Введение к работе
Актуальность темы. Необходимость обобщения интеграла Лебега возникла в основном в связи со следующими проблемами анализа: с задачей восстановления первообразной функции по ее конечной производной и с проблемой вычисления коэффициентов сходящегося ортогонального ряда по его сумме.
Несмотря на большую общность интеграла Лебега, он, будучи "абсолютным" интегралом, оказался недостаточно широким для решения указанных задач, в которых возникает необходимость интегрировать сильно колеблющиеся функции. В 1912 году А.Данжуа ввел более общий процесс интегрирования, чем лебеговский, и показал, что этот процесс полностью решает задачу восстановления функции по ее производной. В определении Данжуа применялся конструктивный метод, основанный на трансфинитном процессе. Позднее, независимо друг от друга, А.Данжуа и А.Я.Хинчин дали еще более общее определение интеграла, позволяющего восстанавливать первообразную функции не только по ее обыкновенной производной, но и по ее аппроксимативной производной. Н.Н.Лузин и А.Я.Хинчин ввели дескриптивные определения этих интегралов.
Независимо от Данжуа новое определение интеграла, не требующее понятия меры и основанное на других принципах, чем определение Данжуа, было дано 0.Перроном. Впоследствии была установлена эквивалентность интеграла Перрона и узкого интеграла Данжуа. Доказательство эквивалентности этих интегралов на отрезке можно найти в монографии С.Сакса [1].
Интересен еще один вариант определения интеграла Перрона, в котором интеграл определяется как предел некоторых римановских
1. Сакс С. Теория интеграла. - М., ИЛ, 1Э49.
о — <| —
сумм. Такое определение интеграла было введено Р.Хенстоком [2], назвавшим этот интеграл обобщенным римановским интегралом (GR-интегралом).
Вторая причина, вызвавшая необходимость обобщения интеграла Лебега, состояла в появлении теории единственности представления функций рядами по ортогональным системам.
Одно из направлений развития этой теории связано с восстановлением коэффициентов всюду сходящегося ортогонального ряда по его сумме. Для большинства классических ортогональных систем, -включая тригонометрическую систему, системы Уолша и Хаара, известно, что если ряд по такой системе сходится всюду к конечной суммируемой функции, то он является рядом Фурье-Лебега этой функции (см. 13], [4]). Для всех упомянутых систем этот результат обобщается на случай узкого интеграла Данжуа (эквивалентного интегралу Перрона) (см. [3], [5]). Сложнее обстоит дело в случае широкого интеграла Данкуа. Для одних систем (систем Хаара и Уолша) соответствующее обобщение возможно (см. [5]), для других (тригонометрическая система) строится противоречащий
2. Henstook R. Definitions ої the Riemann type of the
variational integrals. - Proo. London Math. Soo., 1961, № 3,
p.402-418.
3. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т.1,2. - M., "Мир", 19Є5.
4. Арутюнян Ф.Г., Талалян А.А. О единственности рядов по
системам Хаара и Уолша. - Изв. АН СССР, серия матем., 1964,
Т.28, № 6, с.1391-1408.
5. Арутюнян Ф.Г. Восстановление коэффициентов рядов по системам
Хаара и Уолша, сходящихся к функциям, интегрируемым по Данжуа.
- Изв. АН СССР, серия матем., 19GS, т.30, № 2, с.325-344.
пример (см. [6]).
В 60-е годы начала активно разрабатываться теория единственности для рядов по системам Хаара и Уолша. Усилившийся интерес к этим системам вызван главным образом двумя обстоятельствами. Во-первых, он связан с возросшим использованием этих систем в прикладных вопросах - в теории кодирования, в цифровой обработке сигналов, в распознавании образов (см.[7]). Во-вторых, эти системы, прежде всего система Хаара, оказались полезными в решении многих задач общей теории ортогональных рядов.
Немного позднее в том же круге прикладных вопросов наряду с системой Уолша стали использоваться более общие мультипликативные системы. Кроме того, эти системы представляют большой интерес с точки зрения гармонического анализа, являясь системами характеров соответствующих компактных групп. С мультипликативными системами тесно связан впервые рассмотренный Н.Я.Вилешшным (см. [3]) другой класс ортогональных систем, называемых обычно системами типа Хаара и обобщающих классическую систему Хаара.
Как отмечалось, вопрос о восстановлении коэффициентов всюду сходящихся рядов Хаара и Уолша по их суммам был решен в случае, когда эти ряда сходятся к интегрируемой по Дашуа, в частности, суммируемой функции. Однако, для полного решения этого вопроса необходимо введение интеграла более общего, чем интеграл Данжуа.
Эта задача была решена В.А.Скворцовым в [9]. Им был
6. Скляренко В.А. 00 интегрируемых по Данжуа суммах всюду
сходящихся тригонометрических рядов. - ДАН СССР, 1973,
Т.210, № 3, С.530-533.
-
Хармут X. Теория секвентного анализа. - М., "Мир", 1980.
-
Виленкин Н.Я. Об одном классе полных ортогональных систем. - Изв. АН СССР, серия матем., 1947, т.11, й 4, с.ЗЄЗ-400.
построен интеграл перроновского типа, соответствующий производной относительно последовательности двоичных сетей, который восстанавливает коэффициенты всюду сходящихся рядов Хаара или Уолша. Позднее он же показал (см. [10]), что примитивная в смысле этого интеграла не обладает ^-свойством Лузина. Е.С.Байгожин в [11] сузил этот интеграл так, что он, решая ту же задачу о вычислении коэффициентов, обладает рядом хороших свойств, которыми не обладает двоичный перроновский интеграл, но обладает обычный интеграл Перрона.
Аналогичные вопросы возникают в связи с построением интегралов, позволяющих вычислять коэффициенты сходящихся рядов по мультипликативным системам и системам типа Хаара как коэффициенты Фурье их сумм. Соответствующий перроновский интеграл, базирующийся на понятии производной относительно последовательности Р-ичных сетей, как и в двоичном случае не обладает ^-свойством. Более того, можно показать, что этот интеграл не обладает ^-свойством даже в случае, когда подингегральная функция является конечной производной относительно последовательности р-ичных сетей от своего неопределенного интеграла.' Однако, в диссертации доказано, что можно дать более узкое определение р-ичной производной и ввести соответствующий этой производной более узкий
9.- Скворцов В.А. О рядах Хаара, сходящихся по подпоследовательностям частичных сумм. - ДАН СССР, 1968, т. 183, J6 4, с. 784-786.
10. Skvortsov V.A. Some properties of dyadic primitivies.
- Leoture Notes in Math., 1988, 7.1419, p.167-179.
11. Байгожин E.C. Обобщенные интегралы и задача восстановления
коэффициентов некоторых всюду сходящихся ортогональных рядов.
- Дисс. канд. физ.-мат. наук. М., МГУ, 1992.
р-ичный интеграл, который решая задачу вычисления коэффициентов
для рядов по мультипликативным системам Прайса и системам типа
Хаара, обладает ^-свойством Лузина.
В 1984 г. Н.А.Бокаев в [12] установил следующее утверждение.
Теорема А. Если для частных сумм s (х) ряда, Е d 9 (х) по
системе типа Хаара с коэффициентами, удовлетворящили в каждой точке отрезка [0, 13 условию
dn9Ja:;=Ofj!kJ, (1)
где wkkt1 (т9=1, тк= П ру ^Р3>3=0 - последовательность
чисел, с помощью которой строится систежз типа Хаара.), всюду на СО, 11, кроле, .быть может, некоторого счетного' множества точек, выполнено соотношение llm S (x)=g(x), где g(x) - всюду конеч-
п-*со п
ноя функция, интегрируемая по Перрону, то даяний ряд является рядом Фурье-Перрона функции g(x) по систеле пила Хаара.
Аналогичное утверждение справедливо и для рядов по мультипликативным системам Прайса.
Возникает естественный вопрос: можно ли теорему А обобщить на случай широкого интеграла Данжуа? В диссертации мы решаем его для случая ограниченной последовательности {"р.>*?=0, по которой строятся рассматриваемые системы функций.
Цель работы. Дать конструкцию и изучить свойства некоторого обобщения интеграла Лебега, позволяющего вычислять коэффициенты всюду сходящихся рядов по мультипликативным системам Прайса и
12. Бокаев Н.А. Некоторые вопросы единственности разложения функций в ряды по мультипликативным системам и системам типа Хаара. - Дисс. канд. физ.-мат. наук. М., МГУ, 1984.
системам типа Хаара как коэффициенты Фурье их сумм. Рассмотреть некоторые вопросы единственности представления функций рядами по этим системам.
Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми. Основные из них следующие.
1. Построен обобщенный интеграл, который решая задачу
вычисления коэффициентов всюду сходящихся рядов по мультиплика
тивным системам Прайса и системам типа Хаара в случае ограничен
ности исходной последовательности {pJ^^, обладает ^-свойством
Лузина; изучен ряд свойств построенного интеграла, установлена
эквивалентность его различных определений.
2. Построен пример ряда по системе типа Хаара,
показывающий, что теорема А, вообще говоря, не может быть
обобщена на случай широкого интеграла Данжуа. Найдены условия
того, что ряд по системе типа Хаара или системе Прайса,
определяемой ограниченной последовательностью -Ср^^ > является
рядом Фурье в смысле широкого интеграла Данжуа.
метода исследования. Результаты диссертации получены с использованием методов обобщенного дифференцирования и интегрирования .
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных вопросах теории функций действительного переменного, гармонического анализа и их приложений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах "Теория функций действительного переменного" под руководством члена-корреспон-
дента РАН П.Л.Ульянова, проф. М.К.Потапова, проф. М.И.Дьяченко, "Теория функций действительного переменного" под руководством проф. В.А.Скворцова, проф. Т.П.Лукашенко, на зимней математической школе по теории функций в Воронеже в 1995 году.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих в себя 8 параграфов, и списка литературы, содержащего 42 наименования. Общий объем работы - 133 страницы.
