Введение к работе
Актуальность темы. Теория модельных пространств представляет собой обширный и активно развивающийся раздел современного анализа. В важном частном (скалярном) случае модельные пространства Kq определяют равенством Kq = H2 0 QH2, где H2 - пространство Харди в единичном круге D (или в верхней полуплоскости C+), а в - внутренняя функция. Согласно классической теореме А. Берлинга подпространства Kq и только они инвариантны относительно оператора обратного сдвига в H2.
Становление теории модельных пространств относится к 1960-м годам, когда Б. Секефальви-Надь и Ч. Фойаш построили свой замечательный вариант спектральной теории - функциональную модель операторов сжатия в гильбертовом пространстве. Как оказалось, всякий оператор сжатия T такой, что последовательность {Tn}n>0 поточечно сходится к нулю, может быть реализован как сужение оператора "кратного сдвига" на некоторое инвариантное подпространство оператора обратного сдвига. В простейшем варианте теории, когда I — T*T - оператор ранга 1, соответствующее подпространство совпадает с подпространством Kq в скалярном пространстве Харди. Отсюда происходит ныне широко используемый термин модельное (под)пространство.
Модельные пространства играют исключительно важную роль как в теории операторов, так и в комплексном анализе. В 1960-х годах они возникают в работах Х. Шапиро, А. Шилдса, Н.К. Никольского о базисах Рисса (безусловных базисах) из ядер Коши в пространстве H2 (соответственно в Hp). В 1970-е годы существенный вклад как в изучение аналитических свойств элементов модельных пространств, так и в теорию операторов на модельных пространствах, внесли работы П. Ахерна и Д. Кларка (существование граничных значений, меры Кларка), а позднее работы Д. Сарасона и У. Кона. Модельные пространства связаны с теорией гильбертовых пространств целых функций Л. де Бранжа, имеющей важнейшие приложения в спектральной теории одномерных операторов Шредингера и двумерных канонических систем. А именно, имеется естественный унитарный изоморфизм между пространствами де Бранжа и модельными пространствами в C+, порожденными мероморфными внутренними функциями).
Теория модельных пространств стала одним из важнейших направлений деятельности ленинградской школы теории функций. Значительные результаты в этой области были получены Н.К. Никольским. А.Б. Александровым, В.И. Васюниным, А.Л. Вольбергом, С.Р. Треилем, К.М.
Дьяконовым, А.Г. Полторацким. В работах А.Л. Вольберга-С.Р. Треиля и А.Б. Александрова были получены важные результаты по поставленной в 1982 году У. Коном и до сих пор полностью не решенной задаче об описании вложений карлесоновского типа для модельных пространств. Эта задача представляет особый интерес в свете недавних работ Д. Сара- сона об усеченных операторах Теплица. Неравенства типа Бернштейна для модельных пространств были получены в серии работ К.М. Дьяконова (отметим, что очень частным случаем модельных пространств являются пространства рациональных функций с фиксированными полюсами, в которых неравенства Бернштейна изучались М.Б. Левиным, В.Н. Русаком, П. Борвейном и Т. Эрдейи и др.). В работе Н.К. Никольского, С.В. Хрущева и Б.С. Павлова были получены основополагающие результаты об описании базисов Рисса из воспроизводящих ядер в модельных пространствах. Как частный случай их результаты содержат решение знаменитой задачи Пэли и Винера о базисах из экспонент.
В настоящее время теория модельных пространств представляет собой активно развивающуюся область операторно-ориентированной теории функций. Недавние продвижения в ней связаны с работами В.П. Ха- вина (в соавторстве с Дж. Машреги и Ф.Л. Назаровым) о допустимых мажорантах для модельных пространств и с работами Н.Г. Макарова и А.Г. Полторацкого о полноте систем воспроизводящих ядер и инъ- ективности операторов Теплица. В первом цикле работ был предложен существенно новый подход к теореме Берлинга-Мальявена о мультипликаторе и доказаны теоремы о допустимых мажорантах для модельных пространств. В работах Макарова и Полторацкого построен аналог теории Берлинга-Мальявена, получены результаты о полноте систем воспроизводящих ядер, обобщающие теорему Берлинга-Мальявена о радиусе полноты для семейств экспонент, и рассмотрены приложения к проблемам полноты собственных функций операторов Шредингера.
Цель работы. Целью диссертации является исследование теоретико- функциональных и геометрических свойств модельных подпространств пространства Харди и пространств целых функций де Бранжа, а именно: исследование граничного поведения производных элементов модельного подпространства; доказательство весовых оценок для производных; доказательство новых теорем вложения карлесоновского типа; получение критериев компактности оператора вложения и его принадлежности идеалам Шаттена-фон Неймана; исследование геометрических свойств систем воспроизводящих ядер в модельных пространствах и их устойчивости; описание допустимых мажорант для модельных подпространств, доказательство новых теорем типа Берлинга-Мальявена, исследование зависимости класса допустимых мажорант от распределения нулей порождающей целой (или мероморфной) функции.
Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке.
-
Доказаны существенно новые весовые неравенства типа Бернштей- на, то есть весовые оценки производных для элементов модельных подпространств, и в частности, для пространств мероморфных функций с фиксированными полюсами; установлена оптимальность участвующих весов.
-
Выяснена связь неравенств Бернштейна в модельных подпространствах с теоремой П. Кусиса о внутренне-компактных подпространствах. Решена задача К.М. Дьяконова о необходимости условия ограниченности производной внутренней функции для справедливости неравенства Бернштейна в модельных подпространствах в H1.
-
Доказаны новые варианты теорем вложения карлесоновского типа для модельных подпространств. Найдены критерии компактности оператора вложения и его принадлежности идеалам Шаттена-фон Неймана.
-
Доказаны неравенства типа Бернштейна для элементов пространств де Бранжа-Ровняка. Впервые рассмотрена задача о вложениях пространств де Бранжа-Ровняка.
-
Доказаны теоремы об устойчивости базисов Рисса из воспроизводящих ядер в модельных подпространствах относительно малых возмущений, найдены качественно оптимальные условия устойчивости.
-
Исследованы критерии полноты системы воспроизводящих ядер (множества единственности для модельных подпространств). Получены результаты об устойчивости свойства полноты и критерии полноты в терминах некоторой плотности.
-
Доказаны теоремы типа Берлинга-Мальявена для модельных подпространств, получены новые описания допустимых мажорант, доказано существование минимальных мажорант.
-
Исследована зависимость класса допустимых мажорант от распределения нулей порождающей внутренней функции, для некоторых типовых распределений (степенное распределение в полосе и полуполосе) найдены как необходимые, так и достаточные условия допустимости.
-
Получены геометрические критерии существования минимальной мажоранты и плотности полиномов в пространствах де Бранжа, обобщающие результаты Н.А. Ахиезера и В.П. Гурария.
10. Исследована связь допустимых мажорант со структурой подпространств в пространствах де Бранжа. Доказано, что любое подпространство может быть получено с помощью мажорирования. Полностью описаны подпространства, получаемые мажорированием на вещественной прямой, мнимой оси и на лучах.
Методы исследования. Общая черта вышеперечисленных исследований заключается в том, что рассматриваемые задачи естественным образом сводятся к вопросам теории сингулярных интегральных операторов, в частности, операторов Кальдерона-Зигмунда и их модификаций (в том числе весовых). Помимо методов теории сингулярных интегралов в работе существенно используются результаты и техника теории целых функций (функции вполне регулярного роста, различные варианты принципа Фрагмена-Линделефа), а также теории квазианалитических классов.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании модельных подпространств пространства Харди и пространств целых функций де Бранжа, а также действующих в них операторов; в частности, при изучении мер Карлесона и задач интерполяции в модельных подпространствах, при исследовании усеченных операторов Теплица на модельных подпространствах, при исследовании геометрических свойств воспроизводящих ядер и их применении к вопросам полноты и базисности собственных функций дифференциальных операторов.
Апробация. Результаты диссертации неоднократно докладывались на международных конференциях: "American Mathematical Society Meeting" (Майнц, 2005), "Spaces of Analytic Functions and Their Operators" (Марсель, 2006), "Modern Complex Analysis and Operator Theory and Applications" (Эль-Эскориал, Испания, 2009), "Operator Theory and Harmonic Analysis" (Обервольфах, 2010), "St. Petersburg Summer Meeting in Mathematical Analysis" (С.-Петербург, 2003, 2004, 2006, 2008), на Зимней математической школе в Воронеже (2009), а также на ряде семинаров по анализу и теории функций: на семинаре по комплексному анализу под руководством академика РАН А.А. Гончара, член-корр. РАН Е.М. Чирки и проф. А.И. Аптекарева в Математическом институте РАН (2007), на семинаре С.-Петербургском отделении Математического института РАН (2003-2010), на семинаре по многомерному комплексному анализу (семинар Витушкина) в Московском государственном университете (2010), на семинаре под руководством проф. Б.Н. Хабибуллина в Башкирском государственном университете (Уфа, 2010), на семинаре по теории функций и комплексному анализу под руководством чл.-корр. РАН В.В. Напалкова в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН (Уфа, 2010), а также в университете Париж 6, в университетах Марселя, Бордо, в Королевском техническом университете (Стокгольм) и в Венском техническом университете.
Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в 17 работах, список которых приведен в конце автореферата. Из этих работ статьи [1]—[15] опубликованы в журналах из списка ВАК (6 статей в российских журналах и 9 статей в ведущих зарубежных журналах). Из совместных работ [8, 10, 11, 13, 14, 15] в диссертацию включены только результаты автора.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и 9 глав. Общий объем работы - 285 страниц, библиография включает 140 наименований.
