Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Подготовительные результаты .
1. Основная частота и ее N - средние. 18
2. Оценки основной частоты. 23
3. Второе определение основной частоты . 33
ГЛАВА II. Аналоги принципа Сен-Венана для N -мерных отображений с ограниченным искажением 36
1. Подготовительные леммы об отображениях с ограниченным искажением . 30
2. Аналоги принципа Сен-Венана для компоненты вектор-функции І. 43
3. Аналог принципа Сен-Венана для функции
ГЛАВА III. Теоремы типа Фрапдена-Линделёфа и их приложения . 60
1. Теоремы типа Фрагмена-Линделёфа для компоненты вектор-функции 60
2. Специальный вариант принципа Фрагмена-Линделёфа . 69
3. Теоремы Фрагмена-Линделёфа для модуля вектор-функции І. 79
4. Теоремы типа Альфорса и Вимана
Литература
- Второе определение основной частоты
- Подготовительные леммы об отображениях с ограниченным искажением
- Аналоги принципа Сен-Венана для компоненты вектор-функции І.
- Специальный вариант принципа Фрагмена-Линделёфа
Введение к работе
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Квазиконформные отображения, как обобщения классических конформных отображений, были введены в конце двадцатых годов Г.Гречем и М.А.Лаврентьевым. В работах Л.Альфорса, П.П.Белинского, Л.Берса, И.Н.Векуа, Л.И.Вол-ковыского, Ю.Вяйсяля, В.А.Зорича, С.Л.Крушкаля, Й.Н.Митюка, Й.Н.Песина, Ю.Г.Решетняка, Г.Д.Суворова, Б.В.Шабата были заложены основы теории квазиконформных отображений, выявлены ее многочисленные связи с другими областями математики ( дифференциальные и интегральные уравнения, геометрия, топология) , а также с приложениями ( газовая динамика, теория упругости).
В настоящее время теория квазиконформных отображений представляет собой один из наиболее содержательных и интенсивно развивающихся разделов теории" функций.
Цель работы. Диссертационная работа посвящена изучению произвольных, вообще говоря, неоднолистных квазиконформных отображений - так называемых отображений с ограниченным искажением. Целью работы является распространение на многомерный случай хорошо известного в теории аналитических функций комплексного переменного принципа фрагмена-Линделёфа.
Методика исследования базируется на широком применении" внешних дифференциальных форм; специальных оценках интеграла Дирихле и оценках типа неравенства Пуанкаре для финитных функций. Главный инструмент исследования - основная частота открытых множеств и ее /V -средние, техника использования которых в теории отображений с ограниченным искажением была разработана В.М.Миклюковым.
Научная новизна. В работе впервые получены оценки" интеграла Дирихле для пространственных отображений с ограниченным искажением, являющиеся аналогами хорошо известного в теории: упругости принципа Сен-Венана. С их использованием доказаны теоремы типа Фрагмєна-Линделёфа, Альфорса и Вимана, уточняющие соответствующие результаты В.М.Миклюкова, установленные другим.методом. Все основные результаты, кроме высказываний, приведенных для иллюстрации действенности: общих методов, являются новыми.
Практическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер и могут быть использованы при дальнейшем исследовании пространственных отображений с ограниченным искажением.
Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора \_Ь\~ [Д J и докладывались на УІ, УП и Ж Донецких коллоквиумах по теории квазиконформных отображений и ее обобщениям в 1978, 1980 и 1982 годах, а также на семинарах по теории: функций при Московском и Волгоградском университетах, Институте прикладной математики и механики АН УССР.
Структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав и изложена на зЬ страницах машинописного текста.
Библиография содержит 33 наименования.
Сделаем замечания относительно обозначений,принятых в
Г)" '
работе. Символ К ниже означает П -мерное эвклидово пространство, К "К \) \J , символ К+ - множество положитель-
ных действительных чисел, символ
х =(хьх2;..., хи)
точку ( или вектор) в f^ , символ
длину вектора.
Для произвольного множества С ^- К через Ь обозначаем замыкание с. Если 1Ла R - область, то Q ]^ есть граница - объем (X Далее полагаем;СОп_^ - пло-щадь сферы единичного радиуса S (0, \ ) в R , J0 - 2. - по определению.
Символом 0>С U, Е | обозначается колебание функции J. на множестве С .
Мы используем следующие обозначения функциональных классов:
LpCW - банахово пространство, состоящее из всех измеримых на (л. функций, суммируемых по К со степенью D^ \ . Норма в нем определяется равенством
lp,U
С (U/ - множество и раз непрерывно дифференцируемых в 1А. функций^
- множество функций класса (ли) U:
Wp(U) - множество функций класса LplU), имеющих обобщенные в смысле С.Л.Соболева [2 6] частные производные пер-
ilU'f llilpoLxV'P
вого порядка Ло^. , суммируемые по [А. со степенью П . Необходимые нріжє свойства функций класса Wр (XI/ можно найти в С48]. Wp&>C(К.) - множество функций, принадлежащих.^ лассу на всякой ограниченной подобласти Остальные обозначения вводятся непосредственно в тексте работы.
Основные положения, выносимые на защиту.
Переходя к изложению основных результатов диссертации, отметим, что нумерация основных лемм, теорем и следствий соответствует принятой в тексте диссертации. Некоторые из результатов формулируются здесь в несколько упрощенной форме.
Второе определение основной частоты
Актуальность темы. Квазиконформные отображения, как обобщения классических конформных отображений, были введены в конце двадцатых годов Г.Гречем и М.А.Лаврентьевым. В работах Л.Альфорса, П.П.Белинского, Л.Берса, И.Н.Векуа, Л.И.Вол-ковыского, Ю.Вяйсяля, В.А.Зорича, С.Л.Крушкаля, Й.Н.Митюка, Й.Н.Песина, Ю.Г.Решетняка, Г.Д.Суворова, Б.В.Шабата были заложены основы теории квазиконформных отображений, выявлены ее многочисленные связи с другими областями математики ( дифференциальные и интегральные уравнения, геометрия, топология) , а также с приложениями ( газовая динамика, теория упругости).
В настоящее время теория квазиконформных отображений представляет собой один из наиболее содержательных и интенсивно развивающихся разделов теории" функций.
Цель работы. Диссертационная работа посвящена изучению произвольных, вообще говоря, неоднолистных квазиконформных отображений - так называемых отображений с ограниченным искажением. Целью работы является распространение на многомерный случай хорошо известного в теории аналитических функций комплексного переменного принципа фрагмена-Линделёфа. Методика исследования базируется на широком применении" внешних дифференциальных форм; специальных оценках интеграла Дирихле и оценках типа неравенства Пуанкаре для финитных функций. Главный инструмент исследования - основная частота открытых множеств и ее /V -средние, техника использования которых в теории отображений с ограниченным искажением была разработана В.М.Миклюковым.
Научная новизна. В работе впервые получены оценки" интеграла Дирихле для пространственных отображений с ограниченным искажением, являющиеся аналогами хорошо известного в теории: упругости принципа Сен-Венана. С их использованием доказаны теоремы типа Фрагмєна-Линделёфа, Альфорса и Вимана, уточняющие соответствующие результаты В.М.Миклюкова, установленные другим.методом. Все основные результаты, кроме высказываний, приведенных для иллюстрации действенности: общих методов, являются новыми.
Практическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер и могут быть использованы при дальнейшем исследовании пространственных отображений с ограниченным искажением. Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора \_Ь\ [Д J и докладывались на УІ, УП и Ж Донецких коллоквиумах по теории квазиконформных отображений и ее обобщениям в 1978, 1980 и 1982 годах, а также на семинарах по теории: функций при Московском и Волгоградском университетах, Институте прикладной математики и механики АН УССР. Структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав и изложена на зЬ страницах машинописного текста. Библиография содержит 33 наименования. Сделаем замечания относительно обозначений,принятых в работе. Символ К ниже означает П -мерное эвклидово пространство, К "К \) \J , символ К+ - множество положитель ных действительных чисел, символ длину вектора. Для произвольного множества С - К через Ь обозначаем замыкание с. Если 1Ла R - область, то Q ] есть граница - объем (X Далее полагаем;СОп_ - пло-щадь сферы единичного радиуса S (0, \ ) в R , J0 - 2. - по определению. Символом 0 С U, Е обозначается колебание функции J. на множестве С . Мы используем следующие обозначения функциональных классов: LpCW - банахово пространство, состоящее из всех измеримых на (л. функций, суммируемых по К со степенью D \ . Норма в нем определяется равенством С (U/ - множество и раз непрерывно дифференцируемых в 1А. функций - множество функций класса (ли) U: Wp(U) - множество функций класса LplU), имеющих обобщенные в смысле С.Л.Соболева [2 6] частные производные пер ilU f llilpoLxV P вого порядка Ло . , суммируемые по [А. со степенью П . Необходимые НРІЖЄ свойства функций класса Wр (XI/ можно найти в С48]. Wp& C(К.) - множество функций, принадлежащих. лассу на всякой ограниченной подобласти Остальные обозначения вводятся непосредственно в тексте работы. Основные положения, выносимые на защиту. Переходя к изложению основных результатов диссертации, отметим, что нумерация основных лемм, теорем и следствий соответствует принятой в тексте диссертации. Некоторые из результатов формулируются здесь в несколько упрощенной форме. Глава I "Подготовительные результаты". Пусть г\ есть (КН) -мерное риманово многообразие класса С и пусть \l . J -открытое множество. Ниже нам потребуется следующая численная характеристика.
Подготовительные леммы об отображениях с ограниченным искажением
Доказательство можно найти в \_\ty] 1.6. Оценки (і і0) - {4. і2) указаны для подмножеств сферы единичной площади. Простые рассуждения, использующие соображения подобия позволяют распространить их на общий случай. Пусть Ц. - открытое множество на сфере радиуса t 7 0 в К , с центром в начале координат. Для произвольного К О обозначим через Ьк : Х- КХ растяжение пространства К , через 1Л.ц множество Легко видеть, что Такие области будем-называть областями типа полуцилиндра. ЛЕММА 1.5. Функция Mlt) измерима по Лебегу на R+ . Доказательство. Зафиксируем целое fv7U , Разобьем. отрезок LU,A/jHa L равных отрезков. При этом-точки деления будут иметь вид L-=TR(L+4) (1.-0,4,...,2-4). Пусть 2.t означает ортогональную проекцию открытого множества Lt на гиперплоскость X, = 0 в К . Положим О. = П L . СимволомтА: будем обозначать декартово произведение х Гt- t- 1 Ясно, что за счет выбора К достаточно большим, можно сделать так, чтобы все А были непусты и ступенчатая фигура (?лг,к , полученная объединением всех А , содержала любое наперед заданное компактное множество г , лежащее в области Jj и расположенное между плоскостями Х -0 и Х = М . Пусть N-it2.}... ; легко видеть, что существует последовательность Kf K2 .. . , а также последовательность (Оук/Л со свойствами функции определены на интервалах . Доопределим их при t, 2 /\/ , положив У\у(. ) = + Сх9 при L2/V . Так как последовательность областей (.бу.к J монотонно возрастает, то в силу соотношения И-3), выполнено Функции УІу (І) кусочно постоянны и, тем самым, измеримы. Поэтому предельная функция также измерима по Лебегу на R+ . Ясно, что С другой стороны, поскольку нижняя грань в (І.І) берется по множеству функций с компактными носителями, в этом соотношении почти всюду на р\+ имеет место равенство. Тем самым, измерима по L . 2 области JJ со сферами Ы0-,Ь) с; центром в точке Х-0 и радиуса не пусто. Рассматривая открытые множества Tt как подмножества сферы 5(0;t)co стандартной метрикой, индуцированной из К , мы можем:определить их основную частоту /Kit). Если граница ULt r и допустимые функции в вариационной задаче (I 1) финитны, то из теоремы вложения следует, что у] (У ) 0 при всяком t 7 0 . Если О L г то ясно Как и выше устанавливается ЛЕММА 1.6. Если JD - область типа конуса, то функция А М-±) - измерима по Лебегу. 2.1. В этом параграфе мы получим оценки основной частоты в случае, когда многообразие \\ - гиперплоскость, сфера или цилиндрическая поверхность. Однако источником этих оценок будет не неравенство (/ В) , а интегральное представление финитных функций. Пример такого интегрального представления дается следующей леммой. ЛЕММА 2.1. Для всякой финитной в R функции ЛСХ)класса С имеет место равенство Доказательство можно, например, найти в [2 5] Для ограниченных открытых множеств (лс К оценка основной частоты приводится в следующей лемме. ЛЕММА 2.2. Пусть множество 6(с 3(0Л) К . Тогда Для доказательства заметим, что по лемме 3.3 (см.[25стр. 60) для всякой функции ФСХ) с носителем, содержащимся в имеем Отсюда, в силу (f 3J , следует нужное. Для неограниченных открытых множеств, у которых ІГ)-1) -мерный объем конечен, оценка основной частоты получается, используя технику равноизмеримых перестановок CM.
Аналоги принципа Сен-Венана для компоненты вектор-функции І.
В 1930 году Альфорсдоказал гипотезу Данжуа об оценке числа асимптотических мест целой аналитической функции через ее нижний порядок. Хейнс в 1959 (см.[30]] и Талпур (см. [34]) в 1976 дали обобщение этих результатов на субгармонические функции в К . В.М.Миклюков провел обобщение теорем Альфорса и Вимана для субрешений широкого класса квазилинейных уравнений второго порядка эллиптического типа и, как следствие, для И -мерных отображений с ограниченным искажением ( см Ш) Однако, при этом:вместо нижнего порядка в работе В.М.Миклюкова была использована несколько менеа тонкая характеристика и, кроме того, аналог теоремы Альфорса был установлен лишь для бесконечных асимптотических значений. Мы, в качестве приложений результатов 3, доказываем прямые обобщения теорем Альфорса и Вимана методом отличным от метода работы (.49] и в более, точной форме с заменой порядка нижним порядком.
По аналогии с аналитическими функциями (CM.UOJ) определим следующие понятия. Пусть /: R R - отображение с ограниченным искажением, и пусть I - непрерывная кривая в К , задаваемая уравнением X = X(rj ;0 -\X.(Z)U" Х(т)-о __при Г Если существует конечное либо бесконечное (X (: R такое что то CL называется асимптотическим значением вектор-функции.. ДХ) , а I - асимптотической кривой. Пару [Q, р ( будем называть асимптотическим местом. Два асимптотических места t Q_4П I и IQ_ R I будем считать одинаковыми, если: і) (Хч - CL2 = (X 2]существует последовательность дуг ( ( таких, что один конец У лежит на I , другой на Г г и ПустьU - неограниченная область в К и пусть /(X) непрерывная B.JL) функция. Областью положительности 0 функции (Х) будем называть всякую компоненту связности множества на котором /(Х)?0. Может случиться, что область положительности U функции ;КХ) содержит сферы S(t) сколь угодно большого радиуса "С О- Такие области назовем особыми. Ясно, что особых областей положительности не может быть более одной. Символом N$. будем обозначать максимальное количество неособых областей положительности функции /(X) Введем следующее понятие. Пусть - целая функция, осуществляющая отображение с ограниченным искажением R Точную нижнюю грань D чисел , при которых имеет место соотношение (ч.2/ будем называть нижним порядком"целой функции ДХ) . ТЕОРЕМА 4.1. Предположим, что отображение с ограниченным искажением JL : К" гл имеет У\/- 2 различных асимптотических мест t& hj } [&д,1г ) . . . , 1&/у;Г ]. ТогДа нижний порядок р функции MX) удовлетворяет соотношению где (Ь - постоянная из теоремы 3.1, главы П. Данное утверждение остается в силе и при N і , если предположить, что # п тш i-CX") о3 . Доказательство. Обозначим через Скажем, что асимптотическая кривая Ік, проходит через множество \Ji , если при достаточно больших X, , всякая точка кривой 1к принадлежит t/L . Обозначим1 через (/к ту компоненту связности: множества Ui , через которую проходит кривая Гк. Покажем, что за счет выбора постоянной А достаточно большой можно добиться, чтобы при ІФ J . Предпо ложим противное, что какое бы ни было A u , пересечение множеств . Тогда имеем Откуда вытекает, что если А достаточно велико, то &-,-= CL-. = 0_ .Но так как a является асимптотическим: значением вектор-функции J , то выполняется Поэтому существует последовательность дуг ( о к ( » таких что один конец лежит на I L другой на 11 и выполняется условие Таким образом, мы получили противоречие с тем, что асимптотические места [Q.. \\ и 10,:,11) различны.
Специальный вариант принципа Фрагмена-Линделёфа
Точную нижнюю грань D чисел , при которых имеет место соотношение (ч.2/ будем называть нижним порядком"целой функции ДХ) . ТЕОРЕМА 4.1. Предположим, что отображение с ограниченным искажением JL : К" гл имеет У\/- 2 различных асимптотических мест t& hj } [&д,1г ) . . . , 1&/у;Г ]. ТогДа нижний порядок р функции MX) удовлетворяет соотношению где (Ь - постоянная из теоремы 3.1, главы П. Данное утверждение остается в силе и при N і , если предположить, что # п тш i-CX") о3 . Доказательство. Обозначим через Скажем, что асимптотическая кривая Ік, проходит через множество \Ji , если при достаточно больших X, , всякая точка кривой 1к принадлежит t/L . Обозначим1 через (/к ту компоненту связности: множества Ui , через которую проходит кривая Гк. Покажем, что за счет выбора постоянной А достаточно большой можно добиться, чтобы при ІФ J . Предпо ложим противное, что какое бы ни было A u , пересечение множеств . Тогда имеем Откуда вытекает, что если А достаточно велико, то Но так как a является асимптотическим: значением вектор-функции J , то выполняется Поэтому существует последовательность дуг ( о к ( » таких что один конец лежит на I L другой на 11 и выполняется условие Таким образом, мы получили противоречие с тем, что асимптотические места [Q.. \\ и 10,:,11) различны. В случае, когда М= і существование неособой области положительности (J есть следствие условия Отсюда приходим к нужному заключению. Приведем некоторые следствия теоремы 4.1, основанные на свойствах Д/ - средних основной частоты, установленных в лемме 1.4 главы I. ТЕОРЕМА 4.2. В условиях теоремы 4.1 имеют место неравен ства . где Т)КГ\і - постоянная, определенная в лемме 1.4 главы I. ТЕОРЕМА 4.3. Если отображение с ограниченным искажением -I К К имеет нижний порядок О такой, что то существует последовательность сфер (SlC t )) \t - " DlJ вдоль которой отображение / равномерно стремится к с Теорема 4.2 является прямым следствием указанных выше результатов. Для доказательства теоремы 4.3 заметим, прежде всего, что Z(X) = Wil:K%) не может быть ограничена сверху. Положим &m тіл Их) =К Если A + v? » то все доказано. Если А -+(У? , то рассмотрим функцию t(X) =(%)-Рц , гдеА А . Данная функция имеет, по крайней мере, одну неособую область положительности, что противоречит теореме Ч. \ . Сформулированные выше утверждения представляют собой неравенства прямые обобщения теорем Альфорса и Вимана для целых функций комплексного переменного (L40] стр.226, 232).
Похожие диссертации на теоремы типа Фрагмена-Линделефа для пространственных отображений с ограниченным искажением и их приложения
