Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера для преобразований Фурье некоторых специальных классов функций 13
1. Вспомогательные утверждения 13
2. Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга 20
3. Теоремы типа Пэли-Винера 36
Глава 2. Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера для преобразований Фурье быстро убывающих функций 38
1. Вспомогательные утверждения 38
2. Асимптотика преобразований Лапласа быстро убывающих функций 40
3. Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера 59
Глава 3. Условие полноты весовых экспонент на прямой 72
1. Вспомогательные утверждения 72
2. Условие полноты весовых экспонент на прямой 75
3. Точность константы в теореме 3.1 79
Список литературы 89
- Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга
- Асимптотика преобразований Лапласа быстро убывающих функций
- Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера
- Условие полноты весовых экспонент на прямой
Введение к работе
В диссертации исследуется вопрос о полноте систем экспонент с весом в пространстве 2(R), а также доказывается ряд связанных с этим теорем типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера.
Отправной точкой послужила следующая теорема Винера.
Теорема (Н. Винер, 1931 г.)[1]. Пусть / є LX(R) (L2(R)). Для того, чтобы линейные комбинации сдвигов
/( -A), XeR
были плотны в I QR-) (L2(R)), необходимо и достаточно, чтобы f ф О (/ ф 0 почти всюду).
Так как {fit — A)) = e lXtf(t), а преобразование Фурье задает изоморфизм пространства L2(R) на себя, то плотность в L2(R) линейных комбинаций сдвигов
Л(/) = (/( -A), AeAcR)
эквивалентна полноте в L2(R) семейства экспонент
e iXt g(t), AGACR, (0.1)
где g(t) = f(t) Є L2(R).
Благодаря этому теорема Винера переформулируется следующим образом. Пусть g(t) Є L2(R); для того, чтобы семейство
е ш g(t), А Є R
было полно в L2(K), необходимо и достаточно, чтобы g ф 0 почти всюду.
Зафиксируем g Є 2(R), g ф 0 почти всюду. Возникают вопросы: Существует ли множество Л С R, Л ф R такое, что семейство экспонент (0.1) полно в L2(R)?
Если существует, то как более экономно выбрать множество Л? От чего зависит выбор такого множества?
Частичный ответ на поставленные вопросы дает следующий результат A.M. Седлецкого [13, 16]. Если \g(t)\ exp(-w()), t € R, где u(t) 0, uj(t) возрастает при t 0 и u(t)/(t2 + 1) Є L1(l,+oo), то, пока Л неплотно в R, семейство экспонент (0.1) неполно в L2(R).
Таким образом, допуская некоторую вольность, можно сказать, что полные семейства (0.1) с Л ф R следует искать среди семейств с экспоненциальным и более быстрым убыванием веса g(t). Здесь, как мы увидим
вскоре, выбор Л (Л / R) уже возможен (например, в качестве Л можно взять любое множество с конечной предельной точкой). Кроме того, при экспоненциальном убывании g(t) уже возможен выбор последовательности Л с единственной предельной точкой на бесконечности, такой, что соответствующая система экспонент с весом
e-i\nt g(j. Лп Є Л, Ап - со (га -) со) (0.2)
полна в L2(R).
К этой же тематике можно прийти и со стороны негармонического анализа, т.е. от теории аппроксимационных свойств систем экспонент
е іХп\ Хп Є Л (0.3)
в функциональных пространствах на конечном интервале. Изучением таких свойств систем (0.3) (полнотой, минимальностью, базисностью в Lp(—a, а) р со, поведением биортогональных рядов Фурье по системе (0.3)) занимались Р. Пэли и Н. Винер, затем Н. Левинсон, Л. Шварц, С. Верблюнский, Б.Я. Левин, В.Д. Головин, М.И. Кадец, А.Ф. Леонтьев, В.Э. Кацнельсон, А.П. Хромов, В.А. Молоденков, С.А. Авдонин, Н.К. Никольский, B.C. Павлов, СВ. Хрущёв, A.M. Седлецкий, A.M. Минкин и др.
Очевидно, что ни одна из функций (0.3) не принадлежит пространству D (R), р 1. Чтобы добиться такой принадлежности, все функции системы (0.3) домножают на подходящий вес g(t) . В итоге мы снова приходим к системе (0.2).
Как уже отмечалось, полнота в Ь2(К) системы экспонент (0.2) с весом g{t) = f(t) равносильна плотности линейных комбинаций сдвигов
Л(/) = (/( -Ап), А„ЄЛ) (0.4)
в L2(R). По вопросам полноты систем (0.2) и плотности семейств (0.4) в различных функциональных пространствах на прямой известны работы Р.И. Эдвардса, И. Лёнрота, Т. Ганелиуса, Б. Факсена, Р. Залика, A.M. Се-длецкого, Т.А. Сальниковой, О.В. Шаповаловского, A.M. Олевского и др. Приведем некоторые результаты.
В 1951 году Р. Эдварде [22] рассматривал свойства аффинных преобразований {/(рж + g), р Є V, q Є Q}, где V,Q — подмножества R, функций f , представимых в виде преобразований Фурье (Фурье-Стилтьеса). Им доказан ряд достаточных условий плотности семейств {f(px \- q)} в пространствах Co(R) (C(R)).
В работе [25] И. Лёнрот рассматривал семейства сдвигов А(/) с множеством Л С R, имеющим конечную предельную точку. Он предъявил
достаточное условие плотности Л(/) в пространстве L (R); при этом ограничения, накладываемые им на функцию / Є L2 П С00, касались роста преобразований Фурье / и всех его производных.
Т. Ганелиус [24] получил достаточное условие плотности Л(/) в L1(R); порождающая функция семейства / экспоненциально убывает со всеми производными, Л - множество с конечной предельной точкой.
Пусть везде далее а О, а 1, 1/а + 1//5 = 1.
Р. Залик [29, 30] рассматривал случай быстрого убывания преобразования Фурье, т.е.
/( ) = 0(ехр(-а П), Є R. (0.5)
В частности, он доказал следующее. Если / ф 0 почти всюду и fit) = 0(ехр(—a t2)), то условия т(Л) 2 достаточно для плотности Л(/) в L2(R), а если ехр(—a t2)/ fit) Є 2(R), то условие l/Anj2 = со необходимо для плотности Л(/) в L2(R); здесь г (Л) - показатель сходимости последовательности Л С R.
Б. Факсен изучал вопрос о плотности семейств Л(/) в пространствах L1(R), L2(R). В его работе 1981 года [23] рассмотрен случай экспоненциального убывания /. В классе функций /, таких, что
Ci( + 1)-" /(i)-exp(a ) C2(t + l)m, 3n 0, m 0, a 0, (0.6)
получено необходимое и достаточное условие плотности Л(/) в пространстве L2. А именно пусть / Є L2(R) и для некоторых п 0, га 0, а 0 выполнено условие (0.6). Тогда для плотности семейства Л(/) в Ь2{К) необходимо и достаточно, чтобы
Еехр(-А )=оо.
В этой же статье [23] рассмотрен случай быстрого убывания /. Доказано следующее утверждение. Пусть / Є L2(R), для / выполнено (0.5) и / ф 0 почти всюду; чусть положительная последовательность Л = (Лп) обладает свойством отделимости Л„+1 — Л 5 (3 5 0). Если Hmsup( Ш - /3 М /. (ІЛ iogr) = «J, r-Я-оо 0 Л„ г \Ай/ 7Г \2ДУ то Л(/) плотно в L2(R). Здесь и далее К{(3,а) = \ (aa)_/3/a. A.M. Седлецкий [12] рассматривал системы экспонент (0.2) с весом g{t) = ехр(—a\t\a), т.е. e-iXnt exp(-a a), Ап Є А. (0.7) Им доказано, что если Л - положительная последовательность, имеющая плотность Д (Л) при порядке /3, то условие Д,(Л) 09,0) () является необходимым для полноты системы (0.7) в LP(R), р 1, а условие Ap(A) ±K((3,a)si«j(j (0.8) является достаточным.
Позже О.В. Шаповаловский [20] рассмотрел вес ( ) = ехр(-аС(И)), где a(t) -уточненный порядок, a{t) - а 1 (t — +оо), 1/а+1/(3 = 1. В своей диссертации он распространил результат Седлецкого на случай уточненного порядка. Естественно, при этом плотность последовательности Л также рассматривается при уточненном порядке /3(i) —У /3 (t — +оо).
Ряд интересных результатов о целых или почти целых сдвигах функций получен A.M. Олевским (в том числе с соавторами). Так, в статье [21] доказано, что каждое из пространств LP(R), 2 р +оо, содержит функцию /, чьи целые сдвиги f(t — п), п Є Z полны.
На настоящий момент системы экспонент (0.7) являются наиболее изученными. Исследовалась не только полнота (0.7) в LP(R), р 1, но и минимальность, равномерная минимальность и базисность таких систем. Большая часть работы проведена A.M. Седлецким, известны результаты Р. Залика и Т.Абуабары Саад, Т.А. Сальниковой. Мы не останавливаемся на этом подробно, так как область наших исследований — полнота систем экспонент с весом.
Особое место в негармоническом анализе занимают функции
F(z) = / e-izt f(t)dt, f Є L"(-a, a). (0.9)
—a
Действительно, вопрос о неполноте системы (0.3) в Lq(—a,a) эквивалентен задаче о распределении нулей функции (0.9). Это есть следствие теоремы Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала на пространстве LP(R). При изучении функций (0.9) важную роль играет теорема Пэли-Винера [2], утверждающая, что класс целых функций экспоненциального типа, не превосходящего а, которые принадлеоісат L (R) на вещественной прямой, совпадает с классом целых функций F(z), пред-ставимых в виде (0.9) с р = 2.
Совершенно аналогично вопрос о неполноте в Ь2(К) систем экспонент с весом (0.2) эквивалентен задаче о распределении нулей функций вида
F(z) = J e-iztg(t) f(t)dt, (0.10)
R
функция / принадлежит пространству L2(R).
Классы целых функций вида (0.10) с g(t) = ехр(—аа), / Є L2(R) были описаны в совместной работе Р. Залика и Т. А. Саад [31]. Ими доказаны следующие аналоги теоремы Хаусдорфа-Юнга.
Пусть р Є [1,2], а 0; пусть /(t)exp {a\t\a) Є IS(R). Тогда f(z) есть целая функция и
J\yf/2-le-PKMlyf (\\f(x + iy)\\q)Pdy СО, R
где \\f\\q - норма в Z/ R) функции f(x + iy) переменной х, у фиксировано. Пусть р 2, а 0; пусть f(z) - целая функция такая, что
J\yf/2-ie-pKVW\yp (\\f(x + iy)\\qydy оо.
R
Тогда exp(ata)/(t) Є ЩЩ.
При р = 2 эти утверждения дают теорему типа Пэли-Винера; класс целых функций вида
F{z) = J е-ш аМа f(t)dt, (0.11)
R
где / Є b2(R), совпадает с классом целых функций F(z) таких, что
J\y\P/2-le-2Km\v\P \\F{x + iy)\\ldy ОО. R
Седлецкий A.M. [28] рассматривал функции (0.11) в случае, когда / принадлежит пространству LP(R) с весом \х\г. Кроме того, он изучал классы целых функций, представимых в виде преобразования Фурье вида (0.11), где интегрирование ведется по полупрямой (6, +оо), b Є R, f Є Lp(b, +oo) (см. [14]).
Цель настоящей работы — исследование полноты в Ь2{К) систем экспонент (0.2) в классе специальных быстро убывающих весов g(t), а также доказательство соответствующих аналогов теорем Хаусдорфа-Юнга и
Пэли-Винера для функций
F(z) = Je-iztg(t) f(t)dt, f Є ЩК), р 1,
R
с упомянутыми весами.
Перейдем к изложению результатов.
В первой главе доказаны 8 теорем типа Хаусдорфа-Юнга для некоторых специальных классов преобразований Фурье; сформулируем две из них.
Везде далее т, к 0, р 1, 1/р+ І/q = 1. Фиксируем га, /г, р. Через Ci(m, к) обозначим пространство целых функций F(z) с нормой
\\F(z)\\Cp = (J - MWM \\F(x + iy)\\ dy)1,P. Пусть
J( ) = /ле-" exp (-g є2! !"»-1 - Щ f(t)dt. (0.12)
Теорема 1.3. Пусть т, к 0, р Є [1,2]. 2і7с./ш / Є LP(R), то функция (0.12)принадлежит пространству i(m,k), причем
№)lk c/„,
где С не зависит от f.
Теорема 1.4. Пусть m, к 0, р 2, пусть функция F(z) принадлежит пространству Ci(m,k), тогда F(z) имеет представление (0.12) с f Є Ы}{Щ, прачем
\\f\\p C\\F(z)\\ где С не зависит от F.
В частности, при р = 2 из теорем 1.3 и 1.4 получаем следующий аналог теоремы Пэли-Винера, который существенно используется при доказательстве одного из результатов главы 3.
Теорема 1.10. Пусть т, к 0. Класс функций, представимых в виде F(z) = /д г-1 ехр (- е ! -1 - 1) /(і) А, / Є L2(R), совпадает с классом С\(т, к). Нормы Ц/Ц2 w .Р(.г)І2 эквивалентны.
і
Во второй главе доказаны теоремы типа Хаусдорфа-Юнга для целых функций вида
F(z) = J e itz (\t\ + If fi(\t\) e І І°«І«І) f(t) dt, (0.13)
Li.
где / Є LP(K), fi {t) и l{t) - медленно меняющиеся функции.
Основную трудность при их доказательстве составило получение асим- птотики соответствующих преобразований Лапласа (если в первой главе
асимптотика преобразований Лапласа отыскивалась сравнительно просто, то в данном случае аналогичная задача оказалась значительно сложней). Этому и посвящен второй параграф главы 2, теоремы 2.1, 2.2.
Введем обозначения. Пусть а 1, p l(p=l= q = оо), т\ Є R, медленно меняющиеся функции l(t), (i{t) Є С3[А, +оо) для некоторого А 0. Медленно меняющаяся функция М(х) Є С2[,+оо), ЗВ 0 такова, что произведение
т(х) = х13 1 М(ж), X XQ
является обратной функцией к функции
ta-4{t)[a + a(t)},
где
m = ІШ_РП + /2-І _L__ (1_ ІШ4.L -Ш _і_
°"1 j од р /( ) \,2р /(о + /Од ) M(t)
(существование М(х) доказано в пункте 3 второй главы (лемма 2.15)).
Пусть введенные функции l(t), fi(t), М{х) ограничены на каждом конечном отрезке и удовлетворяют условиям:
tl lt) л tfi it) n t2l"(t) n tV M n ,
(0.14) i3 l "(t) п t3 nm(t) „. , t2 M"(t) „ n (
(0.15) Фиксируем а, г], p, l(t), /x(i). Введем пространство Af/((a, rj) целых функций F(z), z = x + iy с нормой:
\\m\L,= (/(IJ/I + I)"S+W2 M(\y\rm-a/2+ Кт(\у\))-г гНЫ)Г1/2 x
R
x exp(-p „f M(,) [1 - а + а{\ы))) x
xF(x + iy)%dy)1/",
где при фиксированном / \\F(x + г?/)9 есть норма функции F(x + м/) в ЩК).
Верны следующие утверждения.
Теорема 2.3. Пусть р Є [1,2], п , пусть медленно меняющиеся функции /(), fi{t) и М(х) ограничены на каждом конечном отрезке, и l(t), ц(і) Є С3[А, +оо), М(х) Є С2[А, +оо) для некоторого А 0. Пусть для тройки функций l(t), /J (t), М(х) выполнены условия (0.14), (0.15). Если f(i) Є LP(R), то функция (0.13) принадлежит, пространству А]1 (а, г)), причем
\\F(z)\\q,p С У\\„,
где С не зависит от /.
Теорема 2.4. Пусть р 2, ] , пусть медленно меняющиеся функции /(), /i(i) и М(ж) ограничены на каоюдом конечном отрезке, и l(t), fj,(t) Є С3[Д +оо), М(х) Є С2[Д+оо) для некоторого А 0. Пусть для тройки функций l(t), fi(t), М(х) выполнены условия (0.14), (0.15). Если функция F(z) принадлежит пространству AflL{a.,rj), то она представима в виде (0.13) с fit) Є -C (R), причем
\\n\v C\\F(z)\\,,v,
где С не зависит от F.
При р = 2 из теорем 2.3 и 2.4 получаем следующий аналог теоремы Пэли - Винера:
Теорема 2.5. Пусть г) j, медленно меняющиеся функции l(t), /І() принадлеоюапі, классу С3[А, +оо) для некоторого А 0. Пусть медленно меняющаяся функция М(х) Є С2[В, +оо), ЗБ 0, такова, что произведение
т(х) = х® 1 М(х), х х0,
есть обратная функция к
ta ll(t)
t l (t) _ 2п + а/2-1 __1 /1 t l {t) t ц (і)\ 1
a + Щ 2 Щ) \4 7Й + M0 / Й(ї). Пусть функции I (і), /u(), М(ж) ограничены на каоїсдом конечном отрезке,и для них выполнены условия (0.14), (0.15). Тогда класс функций F(z), представимых в виде (0.13) с f(t) Є L2(R), совпадает с пространством Af (а,г)); нормы -Р( )2,2 и Ц/ІІ2 эквивалентны.
В третьей главе рассматривается вопрос о полноте в пространстве I? (R) систем (0.2) с весом
g{t)=exp(-s{\t\)),
т.е. систем
e iXni exp(-e(i)), Хп Є Л С R+, (0.16)
где функция s(t) принадлежит классу 5, который определяется следующим образом.
Обозначим через S класс положительных функций s(t), t 0, ограниченных на каждом конечном отрезке, удовлетворяющих условиям:
(а) s(t) Є С2[В; оо), ЗВ 0, s {t) -» +оо, {t -+ +оо), s"(t) М 0, t t0]
(б) для любого А 0
а"(аО "( )
на множестве
\x\ A{s"{x)) 1/2, х - +оо
(т.е. s"(x)/s"(t) - 1 при ж — +оо на указанном множестве);
(в) s (t) возрастает при t to ,
(г) функция l(i), обратная к sf(t), является медленно меняющейся,
причём
tl (t) ft l(t/Ut)) л ч ,„.,_
Будем рассматривать системы (0.16) с s(t) Є 5.
Стоит отметить, что функции класса S растут быстрее ta при t — +оо, Va (что видно из (г)). Конечно, в этот класс попадают не все гладкие функции s(i), растущие быстрее ta, а только достаточно быстро растущие функции. Например, функция
t sa(t) = I exp(loga x) dx, а Є (1, 2)
и ее производная s a(t) = exp(loga) растут быстрее любой степени:
ta exp(logaz) е\ t to,
но при а Є (1,2) для sa(t) не выполнено второе условие (0.17) (попутно отметим, что при а 2 оно выполняется).
Обозначим р(г) = 1 + log l(r)/ log г, где l(r) — функция, введенная в (г). Пусть Ар(г)(Л) — нижняя плотность последовательности Л при уточненном порядке р(г), т.е.
72,(7 )
Ддм(Л) = liminf —Vf,
—РКП V ) r- +oo гР(г) где п(г) — считающая функция этой последовательности (глава 3, пункт
і).
Получено следующее достаточное условие полноты системы (0.16). Теорема 3.1. Пусть функция s(t) принадлежит классу S. Тогда если
Др(г)(Л) 1/тг, (0.18)
то система (0.16) полна в пространстве L2(K).
Следующая теорема показывает точность константы 1/ТТ в (0.18) на всем классе функций S.
Теорема 3.2. Для любого достаточно малого є 0 (є І/ ЇЇ) существует последовательность Л С R+, такая, что
1) Д,(г)(Л) = 1/тг-е,
2) система (0.16), где
оС0 = \ + /4,
неполна в L2(R).
Отметим, что функция so(i) принадлежит классу S. Последовательность Л строится нами в явном виде.
Системы (0.16) можно формально рассматривать как предельный случай систем (0.7) при а — +оо. Константа І/я- в теореме 3.1 совпадает с пределом точной константы в (0.8) при а —»• +оо (/3 — 1+). Разумеется, само по себе это не доказывает точности константы 1/-7Г в (0.18).
Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах автора [6 - 11, 27].
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Анатолию Мечиславовичу Седлецкому за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга
Каждому классу (1.27) - (1.30) соответствуют две теоремы типа Хаус-дорфа - Юнга. Так функциям, представимым в виде преобразования Фурье (1.27), соответствуют теоремы 1.1 и 1.2, функциям (1.28) — теоремы 1.3, 1.4, функциям вида (1.29) — теоремы 1.5, 1.6, классу (1.30) — теоремы 1.7, 1.8. Теорема 1.1. Пусть ш, к 0, р Є [1, 2]. Если f Є I (R), то функция (1.27) принадлежит пространству {(т, к), причем где постоянная С не зависит от /. Теорема 1.2. Пусть т,к 0, р 2. Если функция F(z) принад лежит пространству {{т, &), то F(z) имеет представление (1.27) с / Є b;,(R), причем где постоянная С не зависит от F. Теорема 1.3. Пусть m,k 0, р Є [1,2]. Если f Є U (R), то функция (1.28) принадлежит пространству Ci(m, к), причем где постоянная С не зависит от f. Теорема 1.4. Пусть ш, к 0, р 2. Если функция F(z) принад-леэюит пространству Ci(m,k), то F(z) имеет представление (1.28) с f Є bp(R), причем где постоянная С не зависит от F. Теорема 1.5. Пусть т, к 0, р Є [1,2]. Если f Є LP(R), то функция (1.29) принадлежит пространству 2(171, к), причем Теорема 1.6. Пусть т,к 0, р 2. Если функция F(z) принадлежит пространству f(m &) т0 F(z) имеет представление (1.29) с f Є ;,(R), причем где постоянная С не зависит от F. Теорема 1.7. Пусть т, к 0, ре [1,2]. СУШ / Є (R), то функция (1.30) принадлежит пространству С т, к), причем где постоянная С не зависит от f. Теорема 1.8. Пусть т, к 0, р 2. Если функция F(z) принадлежит пространству / (т, к), то F(z) имеет представление (1.30) с / Є LP(R), причем где постоянная С не зависит от F. Доказательство теоремы 1.1. Для удобства доказательство разобьем на этапы. (А) Функция F(z) существует при всех гбСи непрерывна, что следует из неравенства Гельдера. Покажем, что F(z) - целая функция. Зафиксируем произвольный замкнутый контур 7 и рассмотрим Поменяем порядок интегрирования справа в (1.39), получим Так как e ltz - целая функция (t фиксировано), контур 7 замкнут, то по теореме Коши Следовательно, интеграл F(z) по произвольному замкнутому контуру (1.40) также равен нулю.
По теореме Морера F{z) - целая функция. В дальнейшем мы не будем подробно останавливаться на доказательстве того, что преобразование Фурье быстро убывающей функции есть целая функция. (Б) При фиксированном у функция ограничена, й так как f(t) Є I (R), то произведение принадлежит пространству 1 (11). При фиксированном у функция F(x-\-iy) (1.27) есть преобразование Фурье функции eyt g{t) Є LP(R), p Є [1,2]. Значит, по теореме Хаусдорфа - Юнга (теорема 1А) верно неравенство (1.2): (В) Интегрируя (1.41) по положительной мере оо х J ep\y\t-Pmtiog(kt) (t + i)J [/( )р + /Н)П d dj/. (1.42) о Теперь внешний интеграл в (1.42) заменяем удвоенным интегралом по R+; и, поменяв порядок интегрирования, получаем Для нахождения асимптотики H(t) при t — +00 в (1.44) сделаем замену переменной и := ру и к новому интегралу применим лемму 1.1. На этом шаге получаем Здесь и далее через А() х В (t), t — +00 будем обозначать следующее отношение: Таким образом, функция F(z) принадлежит пространству р(т, к). Соотношение (1.31) для норм также доказано. Теорема 1.1 доказана. Теоремы 1.3, 1.5, 1.7 доказываются по той же схеме: (A) Функция F(z) целая. (Б) Неравенство Хаусдорфа-Юнга (теорема 1А), переход к интегрированию по полупрямой. (B) Интегрирование по положительной мере вдоль вещественной прямой, изменение порядка интегрирования, переход к интегралам по полупря мым. (Г) Нахождение асимптотики преобразования Лапласа. (Д) Оценка нормы F(z) в соответствующем пространстве через норму f(t). Доказательство теоремы 1.3. (А) Проводя рассуждения, аналогичные пункту (А) доказательства теоремы 1.1, заключаем, что функция (1.28) является целой. (Б) принадлежит пространству Z (R) (f Є LP(R)). Так как F(z) есть преобразование Фурье функции eyt g(t) Є LP(R), p Є [1,2], то по теореме Хаусдорфа - Юнга (Г) Найдем асимптотику внутреннего интеграла Я (t) в (1.46) при —» +00. После замены переменной и := ру из (1.5) находим т (Д) Подставим это в (1.46), получим \\F{x + 4,)11 С /exp (- е -1 - 1) [ /(i)" + /Н)"]х xexpge»/1»- -!- ) Я = С/;. То есть F{z) Є і(т, к) и неравенство для норм (1.33) верно. Теорема 1.3 доказана. П Доказательство теоремы 1.5. (А)
Функция F(z) (1.29) целая. (Б) Так как / Є LP(R), произведение e g{t) := e -1 I N №Ш± \ Ь f(t) (1.47) также принадлежит LP(K), р Є [1,2]. Функция F(x + iy) при фиксированном у есть преобразование Фурье функции (1-47), следовательно, по теореме Хаусдорфа - Юнга верно следующее неравенство: (\\F(x + iy)\\q)p C(\\g(t).e«\\p)p = = с j -mp\t\ m (ЫМ +1) +1 Г /Ир»Л С 7 ePM - e2 ) 8( + 1) +Л 2 [/(t)" + /H)p]dt, (1.48) о \ kt + 1 J у фиксировано. (В) Интегрируя (1.48) по положительной мере ЄХР (" Ш/ + 1 - 1) ЄА/М/ ) dp вдоль вещественной прямой, получим оо (ж + г /)Рр С І Є W\v\lm+l-l) ехр(у/\у\1т+\) Г ep\y\t-mptlof?{kt)x R О С Je-pmtl (kt) flQg + + 1 j 2 [ /(І)Р + /(_t)P] fcX ОС X Г eto) 1 (\Ли/)/(тр)+1-1) cxp( /(py)/(vip)+l)dy = О = с /е--»"- ) С Д1 1)"1 [ 1Д )1" + /(- )П H(t) л. (Г) К внутреннему интегралу #() псле замены переменной и := /л/ применима лемма 1.3 (асимптотика (1.6)), тогда ос H(t) = f eut 2J W4(mp)+l-l) exV{y/u/{mp)+l)du О ,mpt log2 ( t) flog(H+l) + lV x emptlog W &V, 71 , - +00. (1.49) (Д) Из (1.49) и леммы 1.3 получаем IIF(x + іуЩ С Je- W ( g( + + ) [/( )"+/(- )Г]х xemJ)(log2(tl) Aog(fcf+ 1) + 1 д = c у кг +1 у Таким образом, F(z) Є f (m ) и неравенство (1.35) верно. Теорема 1.5 доказана. Доказательство теоремы 1.7. (А) Функция F(z) (1.30) целая. (Б) Так как функция f(t) Є i (R), то произведение ё д(1) := е exp (- е\/ї+І [ 1 + /ш - 1] - ±- \Д + \t\/rnj X i + M х (1 + пГ /W (1.50) принадлежит пространству LP(R), рЄ [1, 2]. При фиксированном у функция F(x+iy) есть преобразование Фурье функции (1.50). По теореме Хаус-дорфа - Юнга имеет место неравенство (Ия + чОН.У C{\\g(t)-e%,) . Тогда (\\F(x + iy)\\q)p С Г e«"exp (- е\/Н [ 1 + Щ/т - 1] R V fce -\ /i+\t\/m) (1+ )4 \m\Vdt С J е?№ exp (- - eV у і + t/m - 1] - І sjl + /m) x x (l + ) N/WIP+I/M)N (1-51) ?/ фиксировано. (В) Проиніегрируем (1.51) вдоль вещественной прямой по положительной мере e-mpylog2fo/ 7 Получим \\F(x + iy)\\pcl С yV l l x R х / е ,у exp I—- -evi-/"4A/r+t/m- II - - А/1 + t/m І x / e exp (- - eV I [л/ГЙМ - 1] - \ yfi+tfri) x (i + ll/Wr + l/H)!"] x (i + )[/Wlp + l/H)nx x J e(py)t-mpyloS2(ky) dydt щ (Г) Асимптотику внутреннего интеграла в (1.52) найдем по лемме 1.4: ОС -і 00 je(py)t exp (-т (py) log2[ (k/p) (py) ])dy = - Jeut mulog" ({k/p)u) du C exp ( eV [y/l + tfa - 1] + і y/TTT/ j X X (H ) , t-ї -boo V m/ (Д) Подставляем это в (1.52), получаем оо ІИ + )11 с /11/«1р +1/(- )1" 1 л = с или;. О
Асимптотика преобразований Лапласа быстро убывающих функций
Здесь речь пойдет об асимптотике преобразований Лапласа следующего вида: где C(t), l(t) - медленно меняющиеся функции. Пусть l(t) и C(t) - дважды непрерывно дифференцируемые при t А (А 0) медленно меняющиеся в смысле Зигмунда функции, т.е. для них выполнены условия Пусть l(t) и C(t) ограничены на каждом конечном отрезке. Потребуем также, чтобы РОССИЙСКАЯ Найдем асимптотику преобразотатгая ШьШіаса (2.7) при у — +оо. Представим интеграл (2.7) в виде суммы двух интегралов Ьі где 6 - достаточно большое положительное число. Обозначим воспользуемся теоремой 1В. Проверим выполнение условий теоремы 1В для функции h(t). Как и функции l(t), (4), функция (2.11) дважды непрерывно дифференцируема. Из (2.11) имеем Так как а 1, то из (2.14) и (2.15) по свойству 2.3 получаем и первое условие теоремы 1В выполнено. Проверим выполнение второго условия. Фиксируем произвольное А 0; пусть тогда из (2.15) при х — +оо имеем ха/уі(х){а(а - 1) + о(1)) - ж - ж«/у/(ж)(аг(с -1) + о(1)) откуда по свойству 2.3 Для проверки условия h"{x) h"(u) на множестве (2.1G) запишем в послед Поскольку функция (2.18) дифференцируема по переменной t, точку экстремума t = t(y) ищем из уравнения так как h(t) tal(t), а 1, то этот экстремум — максимум. Итак, из (2.19) с помощью (2.14) имеем Покажем, что непрерывная правильно меняющаяся функция ta lLQ(t) при t to монотонна и, значит, имеет обратную. Достаточно показать, что Lo(t) - медленно меняющаяся в смысле Зигмунда функция, т.е. для нее выполнено (2.4). В обозначениях (2.12) - (2.14) имеем Так как l(t), C(t) Є C2[6, со) удовлетворяют условиям (2.8), (2.9), то в силу свойства 2.3 отношение на [6; +oo) и бесконечно малая при t — +оо функция. Итак, функция f -1Lo() имеет обратную. По свойству 2.4 (б) уравнение (2.19) имеет решение. Запишем это в следующем виде: причем функция L(y) обладает тем же свойством, что и Lo(t) , т.е. является медленно меняющейся в смысле Зигмунда, и значит, ( t(y) — это точка достижения максимума, то есть c(t) в обозначениях теоремы 1В). Пусть /3 1 такое, что Теперь из (2.21) и (2.11) получаем выражение для функции сопряженной по Юнгу с h(t): Преобразуем зторое слагаемое в нижней строке (2.26), а точнее, его часть Ьа г(у) l(t{y)). Для этого, используя (2.21), запишем откуда или в обозначениях (2.14), (2.23) образом, Подставив (2.27) в (2.26), получим окончательное выражение для h(y): ЧУ) = У0Ь(у) (1 - аДг)) + TbgT + log ЦТ). Нами доказана Лемма 2.1. Пусть а 1, 1/а + 1//9 = 1, у Є R; пусть /(f), () -дважды непрерывно дифференцируемые медленно меняющиеся функции, для которых выполнены условия (2.8), (2.9). Тогда функция h(y), сопряженная по Юнгу с функцией где а правильно меняющаяся функция является обратной к функции Продолжим отыскание асимптотики интеграла 1 і (см. (2.10)). Из (2.15) и (2.23) имеем Подстановкой (2.29) и (2.32) в асимптотику теоремы 1В (см. (1.3) глава ней строке мы использовали сначала (2.17), а в конце — (2.17) и свойство 2.1. Итак, для функции h(t) вида (2.11) выполнены условия теоремы 1В. Найдем функцию h(t) , сопряженную по Юнгу с h(t). По теореме 1В при больших значениях у точка максимума функции единственна.
Поскольку функция (2.18) дифференцируема по переменной t, точку экстремума t = t(y) ищем из уравнения так как h(t) tal(t), а 1, то этот экстремум — максимум. Итак, из (2.19) с помощью (2.14) имеем Покажем, что непрерывная правильно меняющаяся функция ta lLQ(t) при t to монотонна и, значит, имеет обратную. Достаточно показать, что Lo(t) - медленно меняющаяся в смысле Зигмунда функция, т.е. для нее выполнено (2.4). В обозначениях (2.12) - (2.14) имеем Так как l(t), C(t) Є C2[6, со) удовлетворяют условиям (2.8), (2.9), то в силу свойства 2.3 отношение на [6; +oo) и бесконечно малая при t — +оо функция. Итак, функция f -1Lo() имеет обратную. По свойству 2.4 (б) уравнение (2.19) имеет решение. Запишем это в следующем виде: причем функция L(y) обладает тем же свойством, что и Lo(t) , т.е. является медленно меняющейся в смысле Зигмунда, и значит, ( t(y) — это точка достижения максимума, то есть c(t) в обозначениях теоремы 1В). Пусть /3 1 такое, что Теперь из (2.21) и (2.11) получаем выражение для функции сопряженной по Юнгу с h(t): Преобразуем зторое слагаемое в нижней строке (2.26), а точнее, его часть Ьа г(у) l(t{y)). Для этого, используя (2.21), запишем откуда или в обозначениях (2.14), (2.23) образом, Подставив (2.27) в (2.26), получим окончательное выражение для h(y): ЧУ) = У0Ь(у) (1 - аДг)) + TbgT + log ЦТ). Нами доказана Лемма 2.1. Пусть а 1, 1/а + 1//9 = 1, у Є R; пусть /(f), () -дважды непрерывно дифференцируемые медленно меняющиеся функции, для которых выполнены условия (2.8), (2.9). Тогда функция h(y), сопряженная по Юнгу с функцией где а правильно меняющаяся функция является обратной к функции Продолжим отыскание асимптотики интеграла 1 і (см. (2.10)). Из (2.15) и (2.23) имеем Подстановкой (2.29) и (2.32) в асимптотику теоремы 1В (см. (1.3) глава 2) получаем в обозначениях (2.13), (2.14), (2.21) и (2.23). Преобразуем правую часть (2.33). Из (2.23) с помощью (2.27) и соотношения (2.25) находим Вернемся к (2.10). Пусть а 0. Так как 7 — 1; то интеграл 1\ сходится и имеет порядок 0(ехр(Су)). При а 0 1\ имеет тот же порядок. В силу
Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера
Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера - основной результат настоящей главы. Доказательства этих теорем существенным образом опираются на полученную в п.2 асимптотику. Нам понадобится следующая модификация теоремы 2.2. Лемма 2.13. Пусть а 1, 1/а + 1/(3 = 1, т 0, 1. Пусть для ограниченных на каждом конечном интервале медленно меняющихся Щ, функций /(і), () Є С3[А +оо) (ЗА 0) выполнены условия (2.8), (2.9), (2.35). Пусть медленно меняющаяся функция из теоремы 2.1 L(t) (введена в (2.21)) удовлетворяет условиям (2.36). Тогда верна асимптотика Доказательство ведется по аналогии с доказательством теоремы 2.2. Остановимся лишь на основных моментах. Представим интеграл в левой части (2.63) в виде суммы где b - достаточно большое положительное число. Так как - 1, интеграл І\ СХОДРІТСЯ и имеет порядок 0(ехр(С )), t — +00, он не повлияет на асимптотику суммы І\ Ц-12- Найдем асимптотику второго интеграла 1 . Рассмотрим функцию По лемме 2.1 ее сопряженная по Юнгу функция имеет вид где L(y) - медленно меняющаяся функция, такая, что функция явл достаточно большое положительное число. Части /„ и Ja интегралов имеют порядок 0( exp(Ci) ). Докажем, что /&() ЛСО» — +оо, это завершит доказательство леммы. Так как Пусть а 1, 1/а+ 1//3 = 1, р 1, + J = 1 (р = 1 = а = со), г/ Є R, /(і), fi(t) - медленно меняющиеся функции. Пусть М(х) - медленно меняющаяся функция, такая, что произведение является обратной функцией к где норма \\F(x + м/)5 есть норма в Lq(R) функции F(x + iy) переменной х при фиксированном у. Пусть Верна следующая теорема типа Хаусдорфа - Юнга. Теорема 2.3. Пусть р Є [1,2], п &, пусть медленно меняющиеся функции l(t), u(t) и М(х) ограничены на каоюдом конечном отрезке, и l(t), u(t) Є С6[А, +оо) для некоторого А 0. Пусть для тройки функций l(t), u(t), М(х) выполнены условия (2.71)-(2.74). Тогда если f(t) Є LP(R), то функция (2.75) принадлежит пространству Ац а п), причем Доказательство. Утверждение леммы выводится из леммы 2.14. Введем обозначения: C(t) :== ii(t)-l p(t). (2.77) а-2 рг] j +/3/2-1, а
Перед тем, как воспользоваться леммой 2.14 для нахождения асимптотики интеграла (2.78), необходимо подтвердить соответствие введенных обозначений с обозначениями леммы 2.14 и проверить выполнение условий леммы 2.14 для интеграла (2.78). Свяжем функцию М(у) с функцией L(y) из яется обратной к ta l l(t)[a + S(t)], S(t) задается соотношением (2.30). По свойству 2.6 функция, сопряженная по Юнгу к функции m h(t), есть Таким образом, интеграл 1ч можно записать в виде Очевидно, что для функции т h(t) выполнены все условия теоремы 1В. Эта функция выпукла, поэтому по свойству 2.5 (см. (2.6)): (mh) (у) = т h(y), у b. Тогда по теореме 1В верна асимптотика где y(t) - точка достижимости Как и при доказательстве теоремы 2.2, точку y(t) находим из уравнения t = [т h(y/m)]. Из (2.53) получаем откуда по лемме 2.12 Подставляя (2.28) и (2.66) в правую часть (2.64), получаем асимптотику интеграла І2 . Лемма 2.14. Пусть а 1, 1/a + 1//3 = 1, m 0, 1. Пусть для медленно меняющихся функций /(), C(t), принадлежащих классу С3[Д +оо) для некоторого А 0, выполнены условия (2.8), (2.9), (2.35); пусть медленно меняющаяся функция L(t) (введена в (2.21)) удовлетворяет условиям (2.36). Тогда верна асимптотика 1» Интегралы I(t) из (2.63) и J(t) из (2.68) представимы в виде сумм где 6 - достаточно большое положительное число. Части /„ и Ja интегралов имеют порядок 0( exp(Ci) ). Докажем, что /&() ЛСО» — +оо, это завершит доказательство леммы. Так как Пусть а 1, 1/а+ 1//3 = 1, р 1, + J = 1 (р = 1 = а = со), г/ Є R, /(і), fi(t) - медленно меняющиеся функции. Пусть М(х) - медленно меняющаяся функция, такая, что произведение является обратной функцией к где норма \\F(x + м/)5 есть норма в Lq(R) функции F(x + iy) переменной х при фиксированном у. Пусть Верна следующая теорема типа Хаусдорфа - Юнга. Теорема 2.3. Пусть р Є [1,2], п &, пусть медленно меняющиеся функции l(t), u(t) и М(х) ограничены на каоюдом конечном отрезке, и l(t), u(t) Є С6[А, +оо) для некоторого А 0. Пусть для тройки функций l(t), u(t), М(х) выполнены условия (2.71)-(2.74). Тогда если f(t) Є LP(R), то функция (2.75) принадлежит пространству Ац а п), причем Доказательство. Утверждение леммы выводится из леммы 2.14. Введем обозначения: C(t) :== ii(t)-l p(t). (2.77) а-2 рг] j +/3/2-1, а Перед тем, как воспользоваться леммой 2.14 для нахождения асимптотики интеграла (2.78), необходимо подтвердить соответствие введенных обозначений с обозначениями леммы 2.14 и проверить выполнение условий леммы 2.14 для интеграла (2.78). Свяжем функцию М(у) с функцией L(y) из леммы 2.14. По условию теоремы 2.3, функция т(у) = у 1 М(у) (пока формально) есть обратная функция к ta 4(t)[a + a(t)] (см. (2.69), (2.70)). В обозн ачениях (2.77) выражение (2.70) для a(t) принимает вид
Условие полноты весовых экспонент на прямой
В настоящей главе мы рассмотрим вопрос о полноте системы весовых экспонент e iXnt ехр(- e(t)), А„ Є Л С R+ (3.1) в пространстве L2(R). Определение[5]. Дифференцируемая функция р(г), удовлетворяющая условиям lim р(г) = о, lim г-о (г) logr = О r- +ocrv г r- +oo r v называется уточнённым порядком. Пусть р(г) - уточненный порядок, тогда гр = гр L(r), где L{r) -медленно меняющаяся функция. Для дифференцируемых медленно меняющихся функций в смысле Зигмунда (см. глава 2) верно и обратное: произведение тр L{r) есть уточненный порядок [5, стр. 46]. Введём понятие плотности последовательности М = (/І„) 1? М С С при порядке р(г). Обозначим через пм{т) число элементов (с учетом кратности) последовательности цп в круге \z\ г; назовем функцию пм{г) считающей функцией последовательности М. Определение. Плотностью последовательности М при уточнённом порядке р(г) называется величина нижней (верхней) плотностью последовательности М называется нижний (верхний) предел отношения пм{г)/гр(г\ обозначаемый через Д/;(,.)(М) Пусть f(z) - функция конечного порядка р, голоморфная в угле argz Є [01, 0г]. Её рост по направлениям argz = 0, 0 Є [0і, 02 ] характеризует индикатор. Определение. Индикатором функции f(z) при порядке р называется функция /1/(0) = limsup1 1 6 1, 0 Є [0і, 02]. г-»ос Гр Введём класс S - класс положительных функций s(t), ограниченных на каждом конечном отрезке, удовлетворяющих следующим условиям: (а) s(t) Є С2(Б; оо), ЗВ О, s (t) - +00 (t - +00), s"(t) М О, t t0; (б) для любого А 0 s"(z) «"( ) на множестве \x\ A(s"(x))-1/2, х - +00; (в) s (t) возрастает при t to; (г) функция l(t), обратная к s (t), является медленно меняющейся, причём t l {t) l(t) -)-0 (t-ї +00) (3.2) 1ШШ г (,-4-,). (3.3) Для дальнейшего будет важно, что 1{і) возрастает к бесконечности при х — +оо (что сразу следует из (а)). Простейшим примером функции класса S служит функция s(t) = е ; для неё l(t) = logt - медленно меняющаяся функция. Рассматриваются системы экспонент (3.1), где s(i) Є S. Покажем, что функции s(t) Є S растут на бесконечности быстрее ta при всех положительных а. Пусть а 0. Если s (t) возрастает к бесконечности при t — +00, то ns(t) - +00 (t —ї +оо). Тогда по правилу
Лопиталя имеем ta at""1 lim —гт- = lim ,. . . (3.4) і- схз S(t) і- оо S {t) V Функция l(v) возрастает при v о к бесконечности, что следует РІЗ (в). Таким образом, в правой части в (3.4) мы можем сделать замену переменной t = l(v). В силу (г) имеем s (l(v)) = v, v VQ, откуда lim JL = lim а; У = lim "W = 0, (3.5) t-юо S(t) «-»oo 5/( /( /) ) v-wo v v y jti что следует из свойства 2.3 медленно меняющихся функций. Попутно мы показали, что s (i) растёт быстрее ta при всех а 0. Остановимся на свойстве (г) функций класса S. Условия (3.2) и (3.3) хорошо известны в теории медленно меняющихся функций. Функция 1(х) есть, так называемая нормализованная медленно меняющаяся функция (см. пункт 1 главы 2, в частности замечание 2.3). # Предъявим функцию s(t), для которой выполнены все условия принадлежности классу S, кроме (3.3). Это будет означать, что (3.3) есть ограничение, не являющееся следствием условий (а)-(в) и (3.2). Пример. Рассмотрим функцию sa(t) = / exp(logax) dx, a 1, тогда s a(t) = exp(loga). Функция s a(t) растет быстрее любой степени, но медленнее экспоненты: ta exp(logt) еь, t t0. Обратная к s a(t) функция, а именно la(t) = exp(log1/" і), является медленно меняющейся, так как для la(t) выполнено (3.2): № і - О, а 1, t -» +оо. Ш a- log1"1/0 Однако - exp([logt - log1/a ]1/a - log1/ai) = expQog1/at [(l - log1/" 1 tf a - 1]) exp(log1/" t-(--) log1/0"1 ) = exp[-- log2/""11] -fr 1, a G (1; 2); V a) a т.е. условие (3.3) для sa(t) не выполнено. Отметим, что при а 2 условие (3.3) выполняется. Таким образом класс S состоит из достаточно быстро растущих функций. Пусть медленно меняющаяся функция 1(г) удовлетворяет условию (г). Тогда функция p(r) = 14- log l(r)/ log г является уточнённым порядком с р=1. Теорема ЗА [3, стр. 99], [15, стр. 44]. Пусть р(г) — уточнённый поря док, р(г) — р (г — со), пусть L(r) = гр р. Тогда существует функция Р A(z), z = гегв аналитическая при \9\ 7г, принимающая на положитель ной вещественной полуоси положительные значения, такая, что для любого 8 Є (0; 7г) при \9\ -к — 8 равномерно по в выполненяется асимптотическое равенство: А(г еів) = (1 + о(1)) L{r), г -» +оо. Выделив у функции A(z) действительную и мнимую части, имеем . ЯА(г) + і $XA(z) A{z) 1 . , W L(r) L{r) Откуда получаем UA{z) L{r), $ZA(z) o(L(r)), \z\ = г - oo. (3.6) Определение. Целая функция F(z) не выше первого порядка и нормального типа называется целой функцией экспоненциального типа, причем типом функции называется величина log Мр(г) _ . , ч in/ м сг = limsup -, где Мр{г) = max г (2). г-»оо Г ІгІ=г Пусть С?( г) - голоморфная в $lz О функция. Сопоставим ей функцию VG(r), равную числу нулей функции G(z) в круге \z — г/2\ г/2, г 0. щ Теорема ЗВ (Обобщение теоремы Карльсона) [5, стр. 245]. Если G{z) -голоморфная, не равная тооюдественно нулю функция экспоненциального типа в полуплоскости 5te 0, то Kmnf М J-[/ (7r/2) + М-тг/2)]. (3.7) г- +оо 7 27Г Теорема ЗС [26]. Пусть ш(х) - неотрицательная, неубывающая функция на [0, -f-oo), такая, что /00 uj{x)/x2dx -f-oo. Тогда для любого а О существует четная целая функция Qa{z) экспоненциального типа, не превосходящего а, принимающая вещественные значения на вещественной оси, для которой справедливо неравенство \Qa(x)\ exp(-w(z)), ж XQ. щ 2. Условие полноты весовых экспонент на прямой. Теорема 3.1. Пусть функция s(t) принадлеэюит классу S, и пусть р(г) — 1 + l(r)/\ogr, где функция l(t) - обратная к функции s (t), t to. Тогда, если то система (3.1) полна в пространстве L2(R).
Доказательство теоремы 3.1. Предположим, что система экспонент (3.1) неполна в L2(K), и докажем, что этим доказательство теоремы 3.1 будет закончено. Неполнота системы (3.1) равносильна существованию нетривиального функционала, аннулирующего эту систему, т.е. существованию нетривиальной функции / Є L2(R) такой, что функция обращается в нуль в точках Л, -Р(Л) = 0. Далее доказательство разобьём на три этапа. 1) Оценим -Р(г). Применив к интегралу (3.9) неравенство Коши-Буня-ковского, получим Проводя рассуждения, аналогичные пункту (А) доказательства теоремы 1.1 (глава 1), заключаем, что функция (3.9) является целой. Из оценки (3.10) следует ограниченность (г) в каждой полосе \у\ 2/0, z = х + гу. Так как функция 2-s(t) Є 5, то к интегралу в (3.10) применима теорема 1В (глава 1). Положим Фиксируем и — 2Ї/; функция s(t) на бесконечности растёт быстрее линейной функции и t, поэтому при больших значениях и функция s{t,u) имеет точку максимума. Функция s (t) возрастает при t to, откуда s(t) также монотонна, причём, как было показано в (3.5), растёт быстрее любой степени. Таким образом, функция s(t, и) при больших значениях и имеет единственный максимум t = с(и), который при фиксированном и находится из уравнения Отсюда, из (3.11) и из ограниченности -F(z)l в полосе у т/о следует, что ф Действительно, G(z) имеет экспоненциальный тіш в правой полуплоскости. Пусть z = г е1в, тогда воспользовавшись эквивалентностью (3.6), получаем l(r) Оценим индикатор /IG(0) при 0 ф 0,7Г. Используя свойство 2.1 медленно меняющихся функций, из (3.13) получим последнее написано на основании (3.3). В частности, при 9 = ±7г/2 из (3.14) находим 3) Сравним рост считающей функции п(г) последовательности Л и функции VQ{T І (Г)) при больших значениях г 7. Напомним, что VQ(T 1(f)) -это количество нулей функции G(z) в круге z — —jp- 7—!р-, г 0. Нули G(z) суть корни уравнения ф Мы нашли обратную функцию г = X Z(A) (1 + о(1)) к функции г/А(г). Теперь мы можем заключить, что число элементов последовательности Л, принадлежащих интервалу (О, R), не превосходит числа нулей функции F(z) на этом интервале, которое в свою очередь равно количеству нулей функции G{z) на интервале (О, R l(R) (1 + о(1))). Возвращаясь в начало пункта 3) доказательства, получаем Функция G(z) удовлетворяет условиям теоремы ЗВ. Поэтому используя (3.20) и (3.15), по теореме ЗВ (см. (3.7)) получаем Наша цель - доказать точность константы 1/-к в теореме 3.1 на всем классе функций S. Рассмотрим функцию
