О вложениях классов функций Н w в классы функций ограниченной обобщенной вариации и некоторые вопросы теории аппроксимации функций Медведева Мария Викторовна

Содержание к диссертации

Введение

1. Условия вложений классов функций Нш в классы функций ограниченной обобщенной вариации. Случай произвольного класса Нш 21

1.1. Вложения классов функций Нш в классы функций ограниченной Ф-вариации 21

1.2. Вложения классов функций Нш в классы функций ограниченной Л-вариации 27

2. Условия вложений классов функций Нш в классы функций ограниченной Л-вариации при дополнительных ограничениях на модуль непрерывности 37

2.1. Предварительные теоремы, упрощающие переход от общего к частным случаям 37

2.2. Случай классов Нш, близких к классам Липшица Lip а, О < а < 1 46

2.3. Предельный случай при а —> 0. Классы Нш, содержащие объединение всех классов Липшица 59

2.4. Случай классов Нш, промежуточных между Lipl и всеми классами Lip а, 0 < а < 1 68

3. Приближение непрерывных на отрезке функций суперпозициями сигмоидальной функции 97

3.1. Оценка приближения функции 97

3.2. Отсутствие характеристики структурных свойств функции на основании поведения ее приближения суперпозициями сигмоидальной функции 103

Литература 106

• Вложения классов функций Нш в классы функций ограниченной Ф-вариации
• Предварительные теоремы, упрощающие переход от общего к частным случаям
• Оценка приближения функции

Введение к работе

Диссертация посвящена изучению условий вложения классов функций Н^ш в классы функций ограниченной обобщенной вариации, а также некоторым вопросам приближения непрерывной на отрезке функции суперпозициями сигмоидальной функции.

В теории функций действительного переменного встречаются различные обобщения понятия вариации функции. В настоящей диссертации рассматриваются такие обобщения вариации, которые появились в работах, где обобщалась теорема Жордана о сходимости тригонометрического ряда Фурье [1, стр.121]. Различные обобщения этой теоремы на классы функций ограниченной Ф-вариации получали Н.Винер [20], Дж.Марцин-кевич [17], Л.Юнг, который ввел общее определение Ф-вариации [21], Р.Салем [18]. Обобщения теоремы Жордана также получали А.Гарсиа и С.Сойер [14] в терминах условия на индикатрису Банаха. Функции ограниченной Л-вариации впервые были рассмотрены Д.Ватерманом в работе [19], где было получено для них обобщение теоремы Жордана о сходимости тригонометрического ряда Фурье. В дальнейшем исследовались и другие свойства функций ограниченной Л-вариации.

Дадим некоторые определения.

Пусть функция Ф, определенная на [0,оо), непрерывна, строго возрастает и Ф(0) = 0. Будем говорить, что функция / : [а, 6] —> Ш. является функцией с ограниченной Ф-вариацией (/ ФВУ), если ₈ирУ'ф(|/(в_А)-/(в*_₁)|)<оо, ^G ЇҐі где супремум берется по всем разбиениям G = {s^} отрезка [а,Ь], а — so < ... < s_N = b.

Пусть Л = {Afc}^₌₁ — монотонная последовательность положительных чисел такая, что Ад. —ї оо при к —> оо и Л^ — = оо. Функция / : [а,Ь] —» М. ifc=i ^fc называется функцией с ограниченной Л-вариацией (/ Є ABV), если ^1/М-/Ы1 EJK^uk - J\u_kJ_J—' 1 і! < оо _?u . А/ где супремум берется по всем конечным системам G попарно непересекающихся интервалов (ajt,bjt) из отрезка [а,Ь]. Если Л = {к}^₌₁, то такая вариация называется гармонической pi класс функций ограниченной гармонической вариации обозначается ЯВУ.

Д.Ватерман получил обобщение теоремы Жордана для функций класса HBV и доказал, что полученный таким образом признак сходимости ряда Фурье сильнее перечисленных выше признаков.

Вопросы сходимости рядов Фурье функции ограниченной Ф-вариации рассматривали также А.Бернштейн [12], К.И.Осколков [9] и З.А.Чантурия [11].

В дальнейшем, для упрощения записи, в качестве отрезка [a, Ь] будем рассматривать отрезок [0,1].

Функция ш, определенная на [0, оо) или на [0,1], 0 < / < оо, называется модулем непрерывности, если она непрерывна, не убывает, и(0) = 0 и ^(^l + h) < ^(^i) + ^(h) при t\ и t₂, для которых обе части неравенства имеют смысл.

Пусть на отрезке [0,1] задан модуль непрерывности ш. Через Н^ш обозначим множество непрерывных на [0,1] функций /, для которых и (5, /) = О(u>(5)) при 5 -> 0, где "(*,/)= sup \f(x + h)-f(x)\, 0<8<1.

Пусть 1 < р < оо. Обозначим через V_p класс ФВУ, где Ф() = t^p. В работе О.Ковачика [16] содержится теорема, утверждающая, что для заданного модуля непрерывности ш: а) если ou(t) = 0(t^1/p) при t -+ 0, то Н^ш С V_p; б) если u(t) ф 0(t^ll^p) при t -> 0 и, более того, t^ll^p = o(uj(t)) при t -> О, то существует функция / Є Н^ш такая, что / $.V_p.

Мы получили более общее утверждение, частным случаем которого является эта теорема.

Ранее были доказаны теоремы вложения для различных классов функций. Вложения классов функций, задаваемых некоторым модулем непрерывности в другие классы функций изучали Г.Харди и Дж.Литтлвуд [15], П.Л.Ульянов [10]. В настоящей работе исследуются необходимые и достаточные условия вложения классов функций Н^ш в классы функций ФВУ, условия вложения классов функций Н^ш в классы функций ABV и некоторые смежные вопросы. Получены теоремы как общего характера, так и теоремы вложения при различных условиях, наложенных на модуль непрерывности u(t). В данной работе также даются ответы на некоторые вопросы о сигмоидальных функциях, поставленные в работе Чен Дебао [13], где функция а : Ж —> Ш называется сигмоидальной, если lim a(t) = 1 t—>+оо и lim a(t) = 0. Теоремы, относящиеся к вложениям Н^ш С ABV, соста- t—V—оо вляют основное содержание диссертации.

Теоремы о вложениях Н^ш С ABV позволяют автоматически переносить все результаты для функций ограниченной Л-вариации на функции из вложенных в ABV классов. Остановимся кратко еще на одном аспекте рассматриваемых вложений. Известно, что признак Жордана и признак Дини-Липшица сходимости ряда Фурье несравнимы, то есть существуют непрерывные функции ограниченной вариации, не удовлетворяющие условию Дини-Липшица, и существуют функции неограниченной вариации, удовлетворяющие условию Дини-Липшица. В этом же смысле несравнимы признак Ватермана сходимости ряда Фурье для функций ограниченной гармонической вариации и признак Дини-Липшица. Ни один класс Н^ш, более широкий, чем класс Липшица Lip 1, не вкладывается в класс функций ограниченной вариации. В то же время все классы Липшица Lipa, 0 < а < 1, содержатся в HBV. Для оценки признака Ватермана интересно также выяснить, насколько этот признак близок к признаку

Дини-Липшица в отношении других классов, которые характеризуются модулем непрерывности.

Разумеется, в такой общей постановке вопрос не совсем ясен. Ограничимся случаем, когда в окрестности нуля модуль непрерывности u>(t) имеет вид ^ ' ~ | lnt| ІП I lnt| ... ІП_П_2 I lnt| (ln„_i I Ш\)Р '

Ясно, что для со(t) условие Дини-Липшица выполняется. Произведение In | In і I... (ln_n_i | In ^|) при t —> 0 является бесконечно большой величи-ной меньшего порядка по сравнению с | \nt\ для любого 8 > 0. В рамках указанных со следствие 5 из теоремы 9 дает вполне определенный ответ: Н^ш С HBV тогда и только тогда, когда /3 > 1.

Первая глава диссертации посвящена результатам общего характера об условиях вложения Н^ш С ФВУ и условиях вложения Н^ш С ABV. Получены следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть Ф — выпуклая на [0,+оо) функция такая, что ф(0) = 0, Ф(х) > 0 при х > 0, и существует число с > 1, при котором Ф(сх) lim ^ . / < оо. Тогда для вложения Н^ш С ФВУ необходимо и достаточно Ф(х) но, чтобы и{t) = 0(Ф^-1()) при t -» 0.

Выпуклость Ф на [0,+оо) означает, что Ф(аіі + (1 — a) t₂) < аФ(^і) + + (1 - а) Ф(*₂), h,t₂ > 0, 0 < а < 1.

Непосредственно из теоремы 1 получаем следствие 1.

Следствие 1. Пусть 1 < р < оо. Тогда для вложения Н^ш С V_p необходимо и достаточно, чтобы и(i) = 0(t^l^^p) при t —) 0.

Приведенная выше теорема О.Ковачика является частным случаем этого результата.

Если в условии теоремы 1 предположить, что существует с > 1 при ко- ф(сх) тором lim = со, то условие co{t) = 0(Ф^_1(і)) при t —) 0 будет являть- ся необходимым, но не будет достаточным для вложения Н^ш С ФВУ. В работе А.С.Белова [2] приведена теорема, сходная с теоремой 1. Не останавливаясь подробно на сравнении теоремы 1 и результата А.С.Белова, отметим, что при дополнительных предпололсениях они приводят к одинаковым утверждениям, но в целом не следуют друг из друга.

Теорема 2. Для вложения Н^ш С ABV необходимо и достаточно, чтобы для всякой последовательности {ік}^₌і такой, что tk > О, ]С h < 1> ряд у —-— сходился. Кроме того, если для всех указанных последовательностей {tk}^-i последний ряд сходится, то существует число М такое, что > ^ < М для каждой такой последователъно- fc=i ^fc emu.

Теорема 2 дает полное решение проблемы вложения Н^ш С ABV в том смысле, что она содержит необходимое и достаточное условие вложения без каких-либо дополнительных предположений о модуле непрерывности и последовательности Л = {Л^}^. Столь же полное решение получено А.С.Беловым [2], но его необходимое и достаточное условие вложения сильно отличается от условия в теореме 2, и в настоящей работе этот результат А.С.Белова нигде не используется. Полученное в теореме 2 условие вложения оказывается, как будет показано ниже, простым, когда Н^ш является классом Липшица Lip а, 0 < а < 1. Однако, в более сложных частных случаях возникают существенные трудности из-за необходимости рассматривать указанное в теореме обширное семейство последовательностей {4}і- Доказанная далее теорема 3, основанная на теореме 2, позволяет делать вывод о вложении Н^ш С KBV', рассматривая лишь однопараметрическое семейство последовательностей {tkj^i ^с У^ка~ заниєм их построения. Для этих последовательностей условие 2_. Ч < 1 может не выполняться.

Известно утверждение, доказанное С.Б.Стечкиным [3, стр.78-80], что для каждого модуля непрерывности u(t) ^0 существует вогнутый модуль непрерывности u*(t) такой, что u(t) ш совпадает с классом Н^ш* и мы можем считать, что и> — вогнутый модуль непрерывности (u(ati + (1 — a) t₂) > > au(ti) + (1 — а)ш(І2), ti,t₂ > 0, 0 < а < 1). Итак, всякий класс Н^ш задается некоторым вогнутым модулем непрерывности.

Пусть и — вогнутый модуль непрерывности. Положив u(t) = ы(1) для t Є (1,оо), будем считать, что u(t) задан на [0,оо).

Поскольку u(t) — вогнутая функция на [0,оо), то у нее всюду на (О, оо) существуют конечные правая производная u'₊(t) и левая производная u/_(t), причем u)'₊(t) < w'_{t) и для т < t верно ш'₊(т) > ui'_{t).

В точке t = 0 правая производная со'₊(0) конечна или бесконечна. Кроме того, обе односторонние производные — невозрастающие функции, равные нулю при t > 1.

В случае lim = оо (ш'₊(0) = оо) введем функцию t = t(X) еле- дующим образом. Для каждого Л > 0 найдется t Є (0, оо) такое, что ^+ {t) < А < u>'_(t). Бели таких значений t больше одного (например, на промежутке, где u/() = const), то выберем одно из них и обозначим t(X). Таким образом, w+(*(A))< А<ш!_(*(А)).

Так как ш'₊(т) > и/_() при т < , то из определения t(X) следует, что с увеличением А значение t(X) не возрастает. Более того, lim t(X) = 0.

Под окрестностью нуля будем понимать правую окрестность нуля, исключая нуль. В случае, когда u)'(t) существует в некоторой окрестности нуля, функция (А) имеет простой смысл. Именно, t = t(X) — это один из корней уравнения u>'(t) — X при достаточно больших А . Если к тому же в окрестности нуля функция u>'(t) строго убывает, то t(X) — обратная к u'(t) функция в этой окрестности.

Заметим, что в случае lim —^- < оо из определений классов Н^ш и KBV непосредственно следует, что Н^ш С ЛБУ.

Теорема 3. Пусть для вогнутого модуля непрерывности w{t) вы полняется lim = оо. Тогда для вложения Н^ш С ABV необходи мо t мо и достаточно, чтобы существовало число с > 0, при котором ряд —^-4—— сходится.

Вторая глава посвящена критериям вложения Н^ш С ABV при тех или иных ограничениях, наложенных на u(t). Поскольку всякий класс Н^ш задается некоторым вогнутым модулем непрерывности, то всюду в формулировках следующих теорем мы будем полагать, что и — вогнутый модуль непрерывности. Для некоторых модулей непрерывности эти теоремы позволяют делать вывод о вложении Н^ш С K.BV, исследуя сходимость ровно одного ряда.

Будем говорить, что модуль непрерывности u(t) удовлетворяет і. t-ш'М) _Л ^ m-условию, если lim ~— > 0. Это условие аналогично Д₂-условию для выпуклых функций [6, стр.35-37]. Будет показано, что m-условие равно-

,. t'U'Jt) _п сильно условию ит —— > и.

Обозначим через 1щ(х) ^-кратный логарифм 1п(1п...(1пж)) и через ехр_А(ж) обозначим fc-кратную экспоненту ехр(ехр...(ехрж)).

Теоремы 4-7 выделены в отдельный параграф 1 главы 2. Их назначение — упростить переход от теорем 2,3 общего характера к условиям вложения Н^ш С ABV с дополнительными предположениями о модуле непрерывности. Обратим внимание на важную особенность предположений в теоремах 5,6. В этих предположениях не упоминается последовательность Л = {Afcj-j^Lp Они содержат лишь неравенства, связывающие модуль непрерывности или аргумент t с производной модуля непрерывности. Последовательность {Afc})^ участвует только в заключениях теорем. Это обстоятельство играет решающую роль при рассмотрении частных случаев, исключая простой случай классов Липшица. Теоремы 5,6 задают направление поиска в частных случаях. Мы стремимся сначала к построению функций F;, Gi, і = 1,2, и установлению неравенств, входящих в предположения теорем 5,6, отвлекаясь от последовательности {A^j-^Lj.

Теорема 4. Пусть lim—— = 00 и u(t) удовлетворяет т-условию.

Тогда для вложения Н^ш С ABV необходимо и достаточно, чтобы существовало число с > 0, при котором ряд у t(cXk) сходится.

Теорема 5. Пусть на (0,оо) заданы функции F\(z) и F₂(z), положительные и невозрастающие. Тогда

1) если в окрестности нуля выполняется неравенство F\{u'₊(t)) < u)(t), то для вложения Н^ш С ABV необходимо, чтобы при некотором с > О оо ₁ сходился ряд \^ — Fi(cAfc); —' At. jfc=i ^fc

,2) если в окрестности нуля выполняется неравенство u>(t) < ^(и/Д^)), то для вложения Н^ш С AJ5F достаточно, чтобы при некотором с > О оо ₁

Следствие 2. Пусть а > О, А> 0 и В > 0. Тогда

1) если в окрестности нуля выполняется неравенство

А[ш{-₁ )]^а < w{t), то для вложения Н^ш С ЛБУ необходимо,что бы сходился ряд 2_] т—^МсА*,). г^-' At сходился ряд у

,2) если в окрестности нуля выполняется неравенство u(t) < В[и(- _f )}^а, то для вложения Н^ш С ABV достаточно,что бы _{^ М))} сходился ряд у. k=i ^Xk ~ 1 1 Следствие 3. Условие у —ш(—) < оо является достаточным для ti^{Xk Хк} вложения Н^ш С ABV.

Теорема 6. Пусть на (0,оо) заданы функции Gi(z) и Giiz), положительные и невозрастающие. Пусть также и (і) удовлетворяет т-условию. Тогда

1) если в окрестности нуля выполняется неравенство G\(uj'₊(t)) < t, то для вложения H^w С ABV необходимо, чтобы при некотором с > О сходился ряд \^ Gi(cAjt);

2) если в окрестности нуля выполняется неравенство t < G₂(u'₊(t)), то для вложения H^w С ABV достаточно, чтобы при некотором с > О сходился ряд 2_]G2(cXk).

Теоремы 5 и 6 останутся в силе, если в предположениях теорем правую производную и'₊ (і) заменить на левую производную w'_(t). Теоремы 4-6 используются при доказательствах теорем 8-13.

Следующая теорема о числовых рядах используется при доказательстве теорем 10-13.

Пусть {,k}T=i — неубывающая последовательность положительных чисел, т Є N. оо ₁

Обозначим /i = inf{c : с > 0, \] < со}. Если при всех

А:=1 ^eXPm(^CSA;)

ОО .J с > 0 ряд У^ . расходится, то положим /х = оо. Jr^ exp_ro(cfc)

Теорема 7. Справедливо равенство ц = lim ln_m к

Рассмотрим вопрос о вложении Н^ш С ABV при более сильных огра ничениях, наложенных на u(t). В теории функций действительного пе ременного важное место занимают функции, удовлетворяющие условию Липшица [4, стр.75]. Говорят, что функция / удовлетворяет условию Лип шица порядка а, 0 < а < 1 (/ Є Lip а), если u{t,f) = 0(t^a) при t —> 0. Итак, класс Lip а совпадает с классом Н^ш, задаваемым модулем непрерыв ности uj(t) = t^a, 0 < а < 1. Как было замечено выше, если lim—— < со,^v ' ' — ЙО і то Н^ш С ABV. Это означает, что для всякого класса ABV имеет место вложение Lipl С ABV. Для других классов Липшица непосредственно из теоремы 2 легко получить простое условие вложения, не обращаясь к последующим теоремам. А именно, пусть 1 < р < со. Тогда для вложения Lip- С ABV необходимо и достаточно, чтобы > — < оо, где - + - = 1. ^Р й*ї Р ?

Сразу приведем доказательство этого утверждения. Полагая u(t) = U, применим неравенство Гельдера к частичным суммам рядов из теоремы

2 и учтем, что 2_]^^k — І- Получи?

1 /v^ 1 \ где равенство достигается, [, когда 4 = т^ Уту , & = 1, -, п. В силу теоремы 2 отсюда немедленно следует доказываемое утверждение.

Порядок а для класса Липшица Lip а = Н^ш, где w(t) = t^a, 0 < а < 1, равен отношению а = —-ту-. Далее в параграфе 2 главы 2 будут рассма- триваться условия вложения классов Н^ш, являющихся обобщением классов Липшица в следующем смысле. Мы рассмотрим классы Н^ш такие, что tio'it) = cv + o(l) при -)-0, 0 < а < 1. Именно такие классы мы называем tu'₊(t) близкими к классам Липшица. Будет показано, что если lim —^-- = a, О < a < 1, то для всяких «i, q'2, 0 < о>\ < a < a₂ < 1, выполняется Lip«2 С Н^ш С Lipai. Полученная теорема останется в силе, если в предположении теоремы правую производную tu'₊(t) заменить на левую производную u'_(t).

Теорема 8. 1) Пусть для модуля непрерывности uj(t) выполняется условие tuj'Jt) 1 _л/ 1 _ч

У/ =- + 0(-—) nput-^rO, 1<р<оо. u[t) р In г

Тогда для вложения Н^ш С KBV необходимо и достаточно, чтобы Afc A_fc р g

ЕгИг»'<^ ^где- + - = \. (і) . 1 /(ln_m |ln|)\ 2y J5c/m 0(-—) заменить на О (- ^ —) со сколь угодно большим натуральным т и сколь угодно малым а > О, то для каждого р,

1 < р < оо_; указанное условие вложения Н^ш С ABV теряет силу как в части необходимости, так и в части достаточности.

3) Пусть —^:тт— = —\- о(1) при t —> 0, 1 < р < оо. Тогда если вu(t) р окрестности нуля —7— > 0. то условие (1) достаточно для вло- u(t) р _,_т^ toj'At) 1 жения H^w С Ліз к . л/с^ад в окрестности нуля —^-: < 0. то условие u(t) р - (1) необходимо для вложения Н^ш С ЛБУ.

Хотя в пункте 2) теоремы 8 снижаются требования только к модулю непрерывности и, последовательность Л = {А/-}^, как видно из формулировки, не предполагается фиксированной. Поэтому для обоснования пункта 2) и аналогичных пунктов последующих теорем будут строится пары о;, Л, а не и по заданной последовательности Л.

Следствие 4. Если со {t) ~ tp | In іl^¹ (In | lni|)^²...(ln_n_i | \nt\)^Pn при t —> 0 , 1 < p < со, /Зі Ш, і = l,...,n_? то для вложения Н^ш С ABV необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд ^(lnA_t)ft*(lnlnA_t.)/4..(ln„A_t)^ 1 і , где сумма берется по тем к, для которых члены ряда имеют смысл. Для функций fug запись f(t) ~ g(t) при t —У 0 означает, что *-И) g(t)

Если в равенстве —у— = а + о(1), t —> 0, формально перейти к пределу при а —> 0 или просто заменить а на ноль, то получится равенство —^—- = о(1) при —> 0. Классы i?^w, для которых модуль непрерывно-сти удовлетворяет последнему равенству, рассматриваются в параграфе 3 главы 2. Будет показано, что каждый такой класс содержит объединение всех классов Липшица. В качестве примера можно взять класс Н^ш с модулем непрерывности w(t) ~ 11п|^ при t —> 0, (3 < 0. Полученная теорема останется в силе, если в предположении теоремы правую производную w'₊(t) заменить на левую производную w'_(t).

Теорема 9. 1) Пусть для модуля непрерывности to{t) выполняются условия: -^ = 0( , ) при t ->0 существует а > 0 такое, что в окрестности нуля

Н(*) > _e-«VfM _w(t) - ⁰⁰ і 1

Тогда для вложения Н^ш С ЛВУ необходимо, чтобы у т^-^(т^-) ^ - i2j ^c^w 0(—. ) заменить на 0(—^m. —) со сколь угодно боль- шиж натуральным m и сколь угодно малым а > 0, то найдутся модуль непрерывности ш(і) и последовательность Л = {А^.}^ такие, что #^w С ABV, но ]Г T^Ct") ⁼ ' *=i ^А* ^Хк

Заметим, что в силу следствия 3 условие } ^^(--) < 00 является достаточным для вложения Н^ш С ABV без каких-либо дополнительных ограничений на модуль непрерывности u(t).

Следствие 5. Еслиш(Ь) ~ (ln_m_i | \nt\f^m(\ii_m | lni|)^^TO+1...(ln_n_i |lnf|)^ⁿ при t —> 0 , p_m < 0, п > m > 1, (Зі Є К, г = m + 1,..., n, mo d/u вложения Н^ш С Л5У необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд (ln_m \_ку-(ln_m+1 A_fc)^⁺¹ ...(ln„ A_fc)"- г(?е сумма берется no тем к, для которых члены ряда имеют смысл.

В теории функций действительного переменного встречается класс Н^ш с модулем непрерывности ui(t) ~ t\\nt\ при t —> 0 [8, стр.111]. Можно считать, что uj(t) = |ln| в окрестности нуля, так как класс Н^ш не изменится, если u>(t) заменить на эквивалентный модуль непрерывности. В параграфе 4 главы 2 мы рассматриваем обобщение этого класса. Предварительно отметим, что указанный модуль непрерывности является частным случаем модуля непрерывности, заданного в окрестности нуля равенством u)(t) = i(ln_m_i I lnt|)^, m > 1, (3 > 0. Каждый класс Я^ы с таким модулем непрерывности является промежуточным между классом Lipl и всеми классами Lip а, 0 < а < 1, то есть Lipl С Н^ш С Lip а, 0 < а < 1. Запишем последнее равенство в виде u(t) = tu(x), где х = ln_m_i | \nt\ при хи (X) малых , и(х) = х¹³. Заметим, что —гУ = (3.

Теоремы 10-13 параграфа 4 главы 2 относятся к классам Н^ш, которые близки к только что описанным классам в следующем смысле. Пусть в окрестности нуля переменной t модуль непрерывности задан равенством а>() = tu(x), где х = ln_m_i \\nt\ , т > 1. Рассматриваются классы Н^ш, для которых XU IX) —=-У = /3 + о(1) при ж -> оо, (3 > 0.

Здесь г^'_(ж) обозначает левую производную функции и(х) по ж. Ее появле- ние объясняется тем, что при дифференцировании функции и[х) = —-^ по t (с использованием правила дифференцирования композиций) правой производной по t соответствует левая производная функции и(х) по х, так как x'(t) < 0. Будет показано, что такие классы Н^ш являются промежуточными между классом Lipl и всеми классами Lip а, 0 < а < 1. Полученные теоремы останутся в силе, если в предположениях теорем левую производную и'_(х) заменить на правую производную и'₊(х). Как видно из формулировок теорем, значение (3 = 1 оказывается особым среди всех значений (3 > 0.

Теорема 10. 1) Пусть для модуля непрерывности u(t) = tu(x), где х = ln_m_i I \nt\ при малых t, па > 1, выполняется условие XU (X) 1 -у =(3 + 0(-—) при х->оо, /3>0, (3^1.и{х) ШЇ

Тогда для вложения Н^ш С ABV необходимо и достаточно, чтобы при некотором с > 0

ОО _Л р

У" ЄХр[- ЄХр_ш_! ,* J < О. л=і (^и(^л*))'

1 (ln_r xY

2) Если 0(-—) заліенить на 0(————) со сколь угодно большим на- iLj. Ju 111 Jb туралъным г > 2 и сколь угодно малым и > 0, то для каждого (3, (5 > О, ft ф\, указанное условие вложения Н^ш С A.BV теряет силу как в части необходимости, так и в части достаточности.

Теорема 11. 1) Пусть для модуля непрерывности u(t) = tu(x), где х — ln_m_i j при малых t, т > I, выполняется условие хи'_(х) 1 т-т— = I + 0( , ) При X —) 00. и(х) л/іпгс

Тогда для вложения Н^ш С KBV необходимо и достаточно, чтобы при некотором с > О > ЄХр[-exp_m_! -уг-г] < ОС.

1 (1п_г х)^а

2) Если Q( :) заменить на 0(— ) со сколь угодно большимV In ж V In ж натуральным г > 2 и сколь угодно малым а > 0, то указанное условие вложения Н^ш С ЛБУ we будет необходимым. jy .Ё-слм —т— 1 =о(1) при х —»- оо и эта разность не меняет знака при больших х, то указанное условие вложения Н^ш С ABV является достаточным независимо от порядка малости этой разности.

Следствие 6. Еслии(Ь) ~ *(ln_m_i | Int\)^Pm(\n_m | lni|)^^m+1...(ln_n_i | \nt\fⁿ при і -4 0 , /З_т > 0, п > т > 1, /3{ G Ш, і = т + 1,..., п, то для вложения Н^ш С A.BV необходимо и достаточно, чтобы существовало число с > О при котором сходится ряд _Е^ex_pf- ^ex_{p-i л х ^ *——кЪ} k (In А*) * ...(ln_n__mA_fc)^ где сумма берется по тем к, для которых члены ряда имеют смысл.

Теорема 12. 1) Пусть для модуля непрерывности u(t) = tu(x), где х = ln_m_i I lnt\ при малых t, т > 1, выполняется условие

Тії (Ті 1 —-^ = (3 + 0(-^-) при х~>оо, /?>0, Рфі. и(х) In ж

Тогда для вложения Н^ш С ABV необходимо и достаточно, чтобы \п_т к {и{\_к))% hm ^ < оо. _л/ к—>оо - —-

1 (\ъ_гх)^а2) Если 0(-—) заменить на 0(^-- ) со сколь угодно большим на-

ИХ kKj ±11 Ju туралъным г > 2 и сколь угодно малым а > 0, то для каждого (3, (3 > О, (3 ф1, указанное условие вложения Н^ш С ABV теряет силу как в части необходимости, так и в части достаточности.

Теорема 13. 1) Пусть для модуля непрерывности uj{t) = tu(x), где х = ln_m_i I \nt\ при малых t, т > 1, выполняется условие xu'ix) 1 ——т— = 1 + 0( , ) при х —» оо. щх) Vina;

Тогда для вложения Н^ш С ABV необходимо и достаточно, чтобы -\п_т к и(А*) Hm -^—- < ос. к—* со Лі

1 (ln_r х)^а

2) Если Q{ .. ) заменить на 0(— ) со сколь угодно большим V In х V In х натуральным г > 2 и сколь угодно малым а > 0, то указанное условие вложения Н^ш С ABV не будет необходимым. п j- xu'ix)

3) Если функция —т-г 1 есть бесконечно малая при х -^ оо и не меняет знака при больших х, то указанное условие вложения Н^ш С ABV является достаточным независимо от порядка малости этой функции.

Следствие 7. Еслиш(і) ~ t(ln_m_i | In i|)^^m(ln_m \\nt\Y^m+l ...(Ып^1 In t\fⁿ при t —v 0 , ft_m > 0, п > ш > 1, Pi М, і = m + 1,..-, ft, гас? для вложения Н^ш С ЛВУ необходимо и достаточно, чтобы .\n_mk-(\nX_k) 0rn ...(ln_n__mAjfc)^ hm 1 < оо.

Теоремы 10 и 11 приведены в качестве самостоятельных, так как в некоторых случаях вопрос о существовании с можно решить, не обращаясь к теоремам 12 и 13.

Наконец отметим, что в силу вогнутости модуля непрерывности w(t), предел hm—7——, если он существует, не превышает единицы. В WO U)[t) tu'.(t) теореме 8 рассматривается случаи Hm—^:j-— = a, 0 < a < 1, в теоре- wo cu{t) ме 9 — случай Hm ——r- = 0, а в теоремах 10-13 — случай Hm ——~- = 1. wo w(t) wo _w(t)

В третьей главе рассматривается задача о приближении функции, непрерывной на отрезке [0,1], суперпозициями сигмоидальной функции. Даются ответы на некоторые вопросы, поставленные в работе Чен Де-бао [13].

Функция и : Ш —> Ш. называется сигмоидальной, если Hm a(t) = 1 и t—Я-оо Hm <т() = 0. і—>—оо

Обозначим Ф»,* = {cq + ^Г Cia(aiX + bi) : а,-Д-,с,- Є Е,г = 1,..., n,c₀ Є R, Є Ш},

4,ЛЛ = mf Т/ - д\\, где / Є С[0,1] и ||/ - д\\ = sup |/(s) - д(х)\.

В статье [13] Чен Дебао формулирует следующую гипотезу: если и — монотонная сигмоидальная функция, и Є C^~²^(K), / Є С^к[0,1], к Є N, к > 2, то d_n>0.(f) = 0(n~^h) при 72 -^ оо. Кроме того, автор ставит вопрос о возможной аналогии с теоремой Джексона о приближении многочленами. Однако, многочлены являются бесконечно дифференцируемыми и даже аналитическими функциями. Поэтому естественно попытаться доказать

ГИПОТеЗу При бОЛее СИЛЬНОМ ПреДПОЛОЖеНИИ, а ИМеННО, ЧТО фуНКЦИЯ (7 - бесконечно дифференцируемая (аналитичность а не предполагается). В этом случае верна следующая

Теорема 14. Пусть а — сигмоидальная функция и а Є С(Щ. Тогда для любой функции f Є С[0,1] и любого п Є N справедливо неравенство d_n,a-(f) < E_n{f), где E_n(f) — наилучшее приближение функции / в про- странстве С[0,1] алгебраическими полиномами п-й степени.

Заметим, что если при некотором к Є N производная р ' ограничена на [0,1], то из теоремы 14 следует оценка d_n>(r(f) = 0(гі~^к) при п —) со.

Улучшить полученную в теореме 14 оценку d_n^(f) < E_n(f) нельзя, как показывает следующее утверждение.

Теорема 15. Существует монотонная сигмоидалъная функция а, а Є С(Е) такая, что при всяком п Є N найдется функция f_n Є С[0,1] для которой d_n>(r(f_n) = E_n(f_n) ф 0.

Чен Дебао ставит также обратную задачу: можно ли сделать какой-либо вывод о гладкости непрерывной на [0,1] функции /, зная последовательность с?_П)(Т(/)? Теорема 16 показывает, что даже для бесконечно дифференцируемой функции а никакого заключения о гладкости функции / по последовательности с/„_)(Г(/) сделать нельзя без дополнительных предположений о функции а.

Теорема 16. Существует сигмоидалъная функция и, а Є С(Е) такая, что для любой функции f Є С[0,1] приближение d_n(T(f) = 0 для всех п Є N.

Существует также монотонная сигмоидальная функция, обладающая аналогичным свойством, то есть даже если известно, что бесконечно дифференцируемая сигмоидальная функция монотонна, то никакого заключения о гладкости функции / по последовательности d_n,

Теорема 17. Существует монотонная сигмоидалъная функция сг_1; 0*і Є С(М) такая, что для любой функции / Є С[0,1] и любого п Є {2,3,...} величина d_Hj(ri(f) = 0.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22]-[2б].

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю П.Л.Ульянову за постановку задач и внимание к работе.

Вложения классов функций Нш в классы функций ограниченной Ф-вариации

Мы получили более общее утверждение, частным случаем которого является эта теорема.

Ранее были доказаны теоремы вложения для различных классов функций. Вложения классов функций, задаваемых некоторым модулем непрерывности в другие классы функций изучали Г.Харди и Дж.Литтлвуд [15], П.Л.Ульянов [10]. В настоящей работе исследуются необходимые и достаточные условия вложения классов функций Нш в классы функций ФВУ, условия вложения классов функций Нш в классы функций ABV и некоторые смежные вопросы. Получены теоремы как общего характера, так и теоремы вложения при различных условиях, наложенных на модуль непрерывности u(t). В данной работе также даются ответы на некоторые вопросы о сигмоидальных функциях, поставленные в работе Чен Дебао [13], где функция а : Ж — Ш называется сигмоидальной, если lim a(t) = 1 и lim a(t) = 0. Теоремы, относящиеся к вложениям Нш С ABV, соста t—V—оо вляют основное содержание диссертации.

Теоремы о вложениях Нш С ABV позволяют автоматически переносить все результаты для функций ограниченной Л-вариации на функции из вложенных в ABV классов. Остановимся кратко еще на одном аспекте рассматриваемых вложений. Известно, что признак Жордана и признак Дини-Липшица сходимости ряда Фурье несравнимы, то есть существуют непрерывные функции ограниченной вариации, не удовлетворяющие условию Дини-Липшица, и существуют функции неограниченной вариации, удовлетворяющие условию Дини-Липшица. В этом же смысле несравнимы признак Ватермана сходимости ряда Фурье для функций ограниченной гармонической вариации и признак Дини-Липшица. Ни один класс Нш, более широкий, чем класс Липшица Lip 1, не вкладывается в класс функций ограниченной вариации. В то же время все классы Липшица Lipa, 0 а 1, содержатся в HBV. Для оценки признака Ватермана интересно также выяснить, насколько этот признак близок к признаку Дини-Липшица в отношении других классов, которые характеризуются модулем непрерывности.

Предварительные теоремы, упрощающие переход от общего к частным случаям

В теории функций действительного переменного встречаются различные обобщения понятия вариации функции. В настоящей диссертации рассматриваются такие обобщения вариации, которые появились в работах, где обобщалась теорема Жордана о сходимости тригонометрического ряда Фурье [1, стр.121]. Различные обобщения этой теоремы на классы функций ограниченной Ф-вариации получали Н.Винер [20], Дж.Марцин-кевич [17], Л.Юнг, который ввел общее определение Ф-вариации [21], Р.Салем [18]. Обобщения теоремы Жордана также получали А.Гарсиа и С.Сойер [14] в терминах условия на индикатрису Банаха. Функции ограниченной Л-вариации впервые были рассмотрены Д.Ватерманом в работе [19], где было получено для них обобщение теоремы Жордана о сходимости тригонометрического ряда Фурье. В дальнейшем исследовались и другие свойства функций ограниченной Л-вариации.

Оценка приближения функции

Теорема 2. Для вложения Нш С ABV необходимо и достаточно, чтобы для всякой последовательности {ік} =і такой, что tk О

Теорема 2 дает полное решение проблемы вложения Нш С ABV в том смысле, что она содержит необходимое и достаточное условие вложения без каких-либо дополнительных предположений о модуле непрерывности и последовательности Л = {Л } . Столь же полное решение получено А.С.Беловым [2], но его необходимое и достаточное условие вложения сильно отличается от условия в теореме 2, и в настоящей работе этот результат А.С.Белова нигде не используется. Полученное в теореме 2 условие вложения оказывается, как будет показано ниже, простым, когда Нш является классом Липшица Lip а, 0 а 1. Однако, в более сложных частных случаях возникают существенные трудности из-за необходимости рассматривать указанное в теореме обширное семейство последовательностей {4}і- Доказанная далее теорема 3, основанная на теореме 2, позволяет делать вывод о вложении Нш С KBV , рассматривая лишь однопараметрическое семейство последовательностей {tkj i с Указаниєм их построения. Для этих последовательностей условие 2_. Ч 1 может не выполняться.

Известно утверждение, доказанное С.Б.Стечкиным [3, стр.78-80], что для каждого модуля непрерывности u(t) 0 существует вогнутый модуль непрерывности u (t) такой, что при t Є [0,1]. Тогда класс Нш совпадает с классом Нш и мы можем считать, что и — вогнутый модуль непрерывности (u(ati + (1 — a) t2) au(ti) + (1 — а)ш(І2), ti,t2 0, 0 а 1). Итак, всякий класс Нш задается некоторым вогнутым модулем непрерывности.

Пусть и — вогнутый модуль непрерывности. Положив u(t) = ы(1) для t Є (1,оо), будем считать, что u(t) задан на [0,оо).

Поскольку u(t) — вогнутая функция на [0,оо), то у нее всюду на (О, оо) существуют конечные правая производная u +(t) и левая производная u/_(t), причем u) +(t) w _{t) и для т t верно ш +(т) ui _{t).

В точке t = 0 правая производная со +(0) конечна или бесконечна. Кроме того, обе односторонние производные — невозрастающие функции, равные нулю при t 1.

Похожие диссертации на О вложениях классов функций Н w в классы функций ограниченной обобщенной вариации и некоторые вопросы теории аппроксимации функций

Свойство локализации функций с классов типа S' и W'Готинчан, Татьяна Ивановна

О вложении классов функций многих переменных с заданной мажорантой наилучших приблеженийАйдосов, Еркара Жолдыбаевич

Исследование количественных характеристик операторов вложения классов аналитических функций в весовые пространстваПарфенов, Олег Германович

Теоремы вложения классов измеримых функций из пространств ЛоренцаАганин, Андрей Иванович

Распределение нулей функций из обобщённых пространств Бергмана и некоторые применения в теории аппроксимацииБирюков Лев Николаевич

Многомерные классы функций ограниченной вариации и их применение в теории рядов и интегралов ФурьеБахвалов, Александр Николаевич

Аппроксимация функций тригонометрическими полиномами в L2 и фрактальными функциями в CВасильев Станислав Николаевич

Аппроксимация функций полиномиальными решениями эллиптических уравненийФедоровский, Константин Юрьевич

Аппроксимации функций на всей прямой посредством весовых экспонент и теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера Прошкина Анастасия Владимировна

Аппроксимация функций при дополнительных условиях в функциональных пространствахУмалатов, Абулкадар Абулкасумович