Распределение нулей функций из обобщённых пространств Бергмана и некоторые применения в теории аппроксимации Бирюков Лев Николаевич

Поведение нулей функций из пространств Лч

Глава третья посвящена изучению роста функций из весовых пространств Бергмана на единичном круге. В работе Харди и Литтлвуда [23] доказано, что если функция / Є #р, 1 р оо, то

Тейлор в [29] показал, что этот результат — наилучший из возможных. А именно, он доказал, что для всякой функции у (г), такой что р(г) О, (р(г) — О при г - 1 — 0 найдутся функция / Є Нр, 1 р оо, и последовательность гп - 1 — 0, такие что

В отношении весовых пространств Бергмана, имеется следующая оценка, аналогичная оценке (16), доказанная в [9]. Если f{z) Є А?, р 0, а 0, то Следующая теорема уточняет последний результат и обобщает его на пространства Apal{ty ТЕОРЕМА 17. Пусть функция f(z) принадлежит пространству А Щ О р оо, а — 1, l{t) — медленно меняющаяся на бесконечности функция. Тогда имеет место следующая оценка роста модуля функции при приближении к единичной окружности: Далее показано, что в оценке (17) нельзя заменить символ "о" ни на одну конкретную положительную, стремящуюся к 0 функцию: ТЕОРЕМА 18. Пусть р(г) 0, 0 г 1 и пусть р(г) — 0, г — 1 — 0. Тогда существует такая функция f Є Ара1 , (2 = Р , а 1); и последовательность вещественных чисел гп, удовлетворяющих условию О и таких что где с — некоторая константа. Кроме того, в третьей главе при определённых ограничениях на функцию /() получено разложение произвольной функции из пространств А в произведение функции из того же пространства, не имеющей нулей, и произведения типа Бляшке. Аналогичное разложение (факторизация) играет важную роль в теории пространств Нр. Факторизация для пространств Ара была получена Горовцем в [24], где он ввёл произведения h(z), задаваемые следующими формулами. Пусть {zk} — последовательность нулей функции /, Такие же произведения участвуют и в полученной нами факторизации для пространств -АРату По теореме 20, если / Є - ту т0 Функция g(z) = f(z)/h(z) принадлежит пространству А?ату причем Полученная факторизация существенно отличается от аналогичной для пространств Нр тем, что как и у Горовца, теорема 20 ничего не говорит нам о росте функции h(z). Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах ав-тора [1]-[3], [17]. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Анатолию Мечиславовичу Седлецкому за постановку интересной задачи, ценные советы и постоянное внимание к работе. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Положительная функция R(x) называется правильно меняющейся на бесконечности, если она измерима на полуоси [А;+оо), А 0 и существует такое число р Є (—со, со), что для произвольного X О При этом р называется порядком функции R(x). Перечислим некоторые свойства медленно меняющихся на бесконечности функций, которые пригодятся нам в дальнейшем. Они содержатся, например, в [11, с. 10-26]. 1. (Теорема о равномерной сходимости). Если 1{х) — медленно меняющаяся на бесконечности функция, то соотношение (7) выполняется равномерно по А Є [а; Ь] для любых фиксированных 0 а b со. 2. Если 1(х) — медленно меняющаяся на бесконечности функция, то для любого а 0 ха1(х) - со, х а1(х) - 0 при х — со. 3. Если функции h(x) и (я) — медленно меняющиеся на бесконечности, то функции 1\(х)І2(х), І\(х)+І2{х) также являются медленно меняющимися на бесконечности. Кроме того, при любых aGR функция lf(x) является медленно меняющейся на бесконечности. 4. Если 1(х) — медленно меняющаяся на бесконечности функция, то при фиксированном 7 0 существует некоторая неубывающая правильно меняющаяся на бесконечности функция г(х) порядка у, такая что x1l(x)/r(x) -)-1, х — со. Аналогично, если у 0, то существует некоторая невозрастающая правильно меняющаяся функция на бесконечности г(х) порядка у, такая что x1l(x)/r(x) -)-1, х - со. 5. Если l(t) — медленно меняющаяся на бесконечности функция, определённая на [Л;+со), (А 0), и если то функция М(х) — также медленно меняющаяся на бесконечности, и М(х)/1(х) -» оо, х - со. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если в пространстве АРа1, , введённом на стр. 6, функцию 1{х) заменить на эквивалентную ей при х —» со, то пространство Лд щ не изменится. Таким образом, благодаря пункту 4, мы можем сразу считать, что функция х 1(х) возрастает, а функция х/1(х) убывает.

Условия принадлежности степенного ряда пространствам Ар

Учитывая, что C?e(iu) С(ги) из (80) делаем вывод, что нормы g(t) в Я-2С(1И) 0ГРЭ-ничены в совокупности. Выделим слабо сходящуюся последовательность, пусть g(t) — слабый предел. g(t) принадлежит пространству L4_2Mit)- Так как G(w) —) G(w), є - 0 в любой точке w в правой полуплоскости, то из (77) следует (75), а из (80) вытекает (76).Из теорем 10, 11 и 12, 13 соответственно, сразу вытекают два следствия: СЛЕДСТВИЕ 4. Пусть /3 0, 1{х) — медленно меняющаяся функция в нуле и на бесконечности, ограниченная и отделённая от 0 на всех интервалах вида (а,Ь), 0 а Ь со. Тогда пространство А о u ffiw 0} совпадает с пространством функций, представимых в виде

Пусть медленно меняющаяся функция 1(х) удовлетворяет условиям теорем 12, 13. Тогда пространство А2_г myfbw 0 совпадает с пространством функций, представимых в виде Константы c\ и c2 не зависят от функции g. В теоремах и следствиях этого пункта условие медленного изменения функции 1(1/х) можно заменить на условие ограниченности и отделённости от нуля и в окрестности нуля. В таком случае следствие 5, например, примет вид: СЛЕДСТВИЕ 6. Пусть 1(х) — медленно меняющаяся на бесконечности функция, ограниченная и отделённая от нуля на всех конечных интервалах. Пусть таксисе С(х) со, 0 х со. Тогда пространство А цЛШи 0} совпадает с пространством функций В доказательстве теоремы 12 произойдут следующие изменения. Поскольку функция l(t) может не являться медленно меняющейся в нуле, мы не можем применять теорему XII. Следовательно, (73) имеет место только при t -» оо. Но поскольку функция l(t) с, t То, то С(х) f +00, х -» 0. При этом функция l(t) ограничена (на конечных интервалах — по условию, а в окрестности бесконечности — в силу того, что (1) оо), следовательно при t T0 то есть также имеет место (74). В остальном доказательство совпадает. В доказательстве теоремы 13 вместо теоремы XII следует воспользоваться следующим неравенством: В теоремах 10 и 11 произойдут аналогичные изменения. 2.2 Применение к вопросу полноты систем экспонент Переформулируем теоремы 5 на стр. 33 и 9 на стр. 38 о поведении нулей функций из пространств А щ, на круге в терминах считающей функции. Пусть п(г) — число нулей функции / в круге радиуса г. ТЕОРЕМА 14. Пусть 0 р оо и медленно меняющаяся на бесконечности функция l(i) удовлетворяет условию (1) оо. Тогда для любой функции f Є Ap_im(\z\ 1) Кроме того, пусть є О и I удовлетворяет условию п=1 где 5 = (q — 1) Л . Тогда найдётся такая функция f Є ./4 ut\(\z\ 1), что Пусть іУл(ж) — число точек последовательности Л = {Лп} в круге радиуса (ж2 — I)1/2 с центром в точке х О, a NG{X) — число нулей функции G в этом круге. ЛЕММА 9. Пусть 3?АП 0 и пусть {zn} — образ последовательности Л при отображении z = (w — l)/(w+l) полуплоскости Rw О на круг \z\ 1. Тогда ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Сг — прообраз окружности \z\ = г 1. Окружность Сг симметрична относительно вещественной оси и проходит через точки (1 — г)/(1 + г) и (1 + г)/(1 — г) (прообразы точек —гиг соответственно). Следовательно, если мы обозначим через х и R соответственно центр и радиус окружности Сг, то Выражая г через ж и подставляя его в формулу для R, получаем, что R = (х2 — I)1/2. Следовательно, N\(x) = п(г). Из левой части (82) следует, что ж (1 — г)-1, г — 1 — 0. Отсюда непосредственно следует утверждение леммы. Из теоремы 14, леммы 9 и леммы 8 вытекает следующая ТЕОРЕМА 15. Пусть О р оо и l(t) — медленно меняющаяся на бесконечности функция, отделённая от нуля и бесконечности на всех конечных интервалах и такая что (1) оо. Пусть так же G(w) Є Ар_г mffiw 0). Тогда lim sup—— -. Кроме того, пусть є 0 и I удовлетворяет условию (81). Тогда найдётся такая функция G Теперь, воспользовавшись полученными результатами, мы установим условия полноты систем экспонент {еХпі}=і в пространствах I)\_2иху ТЕОРЕМА 16. Пусть L(t) — дифференцируемая медленно меняющаяся на бесконечности функция, ограниченная вне некоторой окрестности 0 и такая, что L(i) - со, t - 0. Пусть также функция l(t) = -(q/pt)L(l/t)- L (l/t) , (83) ограничена, отделена от нуля на всех интервалах вида [0,а), 0 а оо; и медленно меняется в 0 и на бесконечности.

Интегрируемость преобразования Лапласа

Во второй главе, опираясь на результаты первой, изучается вопрос о полноте систем экспонент в пространствах функций, интегрируемых с некоторым весом на полупрямой. Пусть А — некоторое пространство функций на полупрямой и пусть Л = {Лп} -!, $\п 0 — некоторая последовательность чисел. В каком случае система экспонент {е- } , Шп 0 (11) полна в пространстве А1 По известной теореме Мюнца система степеней { ""КГ=і (12) где 0 ді Ц2 полна в пространстве Со [0,1] — пространстве непрерывных функций f(x) на отрезке [0,1], таких что /(0) = 0 — тогда и только тогда, когда 00 .. п=1 Теорема Саса даёт ответ на вопрос о полноте систем степеней (12) в пространствах 2(0,1) при fin Є С. Если 3ffytn —1/2, то система (12) полна в L2(0,1) тогда и только тогда, когда Подстановка х — е 1 позволяет переформулировать вопрос о полноте систем (12) в пространствах Со[0,1] и Lp(0,1) как вопрос о полноте систем (11) с Лп = цп + 1/р в пространствах Со[0,со) и Lp(0,oo). Под пространствами Со [0,1] и Со[0,оо) здесь понимаются, соответственно, подпространство в C[0,1], состоящее из функций, таких что /(0) = 0 и пространство функций, непрерывных на [0, со), и таких что /(оо) = 0, с sup-нормой. A.M. Седлецкий в [10] рассмотрел такую задачу для весовых пространств L(R+) (см. также [9]). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Пусть I(R+) (1 р со, а —1) — пространство функций f на Ж+) таких что l,a = jW)\Pta dt оо. Обозначим через N\(x) число точек последовательности Л = (Ап) в круге радиуса (х2 — I)1/2 с центром в точке х 0. В работе [10] получены следующие условия полноты систем (11) в пространствах l?a = L(R+). ТЕОРЕМА V. Пусть 1 р 2, а р-2. Тогда если (Л):=1ітзир М І Д (13) z-K» XiOgX р то система (11) полна в 1Ра. Если эюе р 2, а р — 2, то для сколь угодно малого є 0 найдётся последовательность Л = (Лп) такая, что система (11) неполна в 1Раи р Таким образом, при р = 2 константа (а — (р — 2))/р в правой части (13) является точной. Мы будем рассматривать следующие, более общие пространства. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Через Lpal,JR+) (1 р со, а -1,/(0 - медленно меняющаяся на бесконечности функция) обозначим пространство функций f наЖ+, таких что Рассматривая пространство Lpal,t,, мы будем предполагать, что функция l(t) ограничена и отделена от нуля на любом интервале вида (а, 6), 0 а Ь со. В основном, нас будет интересовать случай а = р — 2, пограничный для теоремы V. Согласно лемме 7, неполнота системы (11) в Lpal,ts равносильна существованию нетривиальной аналитической функции вида G{w) = ! e wtg(t) dt, u = Mw 0,! (14) такой что G(Xn) = О и g(t) Є Lq_aq/p _q/p. Здесь и далее 1/р + 1/q = 1. Таким образом, вопрос о полноте систем (И) в пространствах Lpal,f, сводится к вопросу о поведении нулей функций вида (14) с функциями д(і) Lq_a J m\-q/p- Сформулируем теоремы, открывающие путь для применения результатов, полученных в первой главе, к вопросу о полноте систем (И) в пространствах Lpal,ty Вначале нам понадобится следующее определение. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Обозначим через Apal,tJffi,w 0} пространство функций, аналитических в полуплоскости {Uw 0}, таких что - J \f(w)\44 (J u 0 la,l= / \fH\PUal (-) dudv CO. ТЕОРЕМА 12. Пусть 2 q со, l(x) — медленно меняющаяся в 0 и на бесконечности функция, отделённая от 0 и ограниченная на всех интервалах вида (а,Ь), 0 а Ь со. Пусть также С{х) со, 0 х со, \im.C(x) = со. Тогда если g Є - !_2(Ш; то функция принадлежит пространству A9_ll,tJUw 0} и \\G(w)\\q_im c\\g\\M_2Al/tb где константа с не зависит от д. ТЕОРЕМА 13. Пусть медленно меняющаяся в 0 и на бесконечности функция 1(х) ограничена и отделена от 0 на интервалах вида (а, 6), 0 а b со и пусть С(х) со при 0 х со, \imC(x) = со. Тогда если G(w) Є Aq_ll,tJ$lw 0), 1 q 2, mo G(w) представима в виде G(w) = j e-wtg(t) dt, R+ где g(t) Є L\_2cm и причём с не зависит от G(w). При q = 2 из теорем 12 и 13 вытекает следующая теорема типа Пэли-Винера. СЛЕДСТВИЕ 5.Пусть медленно меняющаяся функция 1(х) удовлетворяет условиям теорем 12, 13. Тогда пространство А2_г ш\Щиз 0} совпадает с пространством функций, представимых в виде G(w) = je-Wtg(t)dt, geL\L .(1/0» причем ci\\gh,o,c(i/t) \\G{w)\\2,-i,i(t) сзІНкоді/о-Константы с\ и сч не зависят от функции д. Кроме того, во второй главе доказаны теоремы, аналогичные теоремам 12 и 13 для пространств Lp„ при /3 q — 2. Пространства Apal,JA) и APal,J$lw 0) связаны между собой, что позволяет нам, применив результаты первой главы настоящей работы и теоремы 12 и 13, получить следующую теорему. ТЕОРЕМА 16. Пусть L(t) — дифференцируемая, медленно меняющаяся на бесконечности функция, ограниченная вне некоторой окрестности 0, и такая, что L(t) — оо, t - 0. Пусть также функция l(t) = -(q/pt)L(l/t)- L (l/t) ограничена, отделена от нуля на всех интервалах вида [0,а), 0 а оо, и медленно меняется в 0 и на бесконечности.

Применение к вопросу полноты систем экспонент

Рассуждая по индукции получаем, что при любом п Є N U{0} и ПРИ любом Поскольку А произвольное из [1/2,1], то неравенство (60) выполняется, а следовательно и утверждение леммы доказано. 2.1.2 Преобразование Лапласа. 1. Случай /3 q — 2. ТЕОРЕМА 10. Пусть 2 g со, /3 q — 2, 1{х) медленно меняющаяся в нуле и на бесконечности функция, ограниченная и отделённая от нуля на всех интервалах вида (а, 6), 0 а Ь со. Тогда если g Є Lil(1,t,, то функция G{w) = J e-wtg{t) dt принадлежит пространству !_3_я(г){ 0} и \\GH\\q,q-3-№) CIMU,/(l/i) где константа с не зависит от д. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При фиксированном и 0 функция G(u + iv) есть преобразование Фурье функции e utg(t), t 0. По теореме Харди-Литтлвуда [\G(u + iv)\qdv с !e-qut\g{t)\4q-2dt. R Ш+ Проинтегрировав это неравенство по мере и?_3_ l(l/u) du вдоль и 0 получим 1№)И;л-з-мо = / / № + )! 3_/? С1/") йс f f e-qut\g(t)\4q-2 dt uq 1(11 u) du = = с f \g{t)\qtq-2 I e-qutuq- l{llu)dudt. (65) Так как /3 q — 2, то интеграл /.- (1/.,4, ос Є 0. Благодаря этому и в силу того что функция l(t) — медленно меняющаяся в нуле и на бесконечности, мы можем применять теорему X: / .- (1/,,) сКчШ- ж адг— , , -юо, , - 0. Следовательно, при t Т и при 0 То /e-9UV-3" (l/W) du cl(t)(t)-(q-2-. (66) При То t Т последнее неравенство выполняется в силу отделённости от нуля функции l(t). Объединяя (65) и (66) получаем, что l№)li:,,-3-W(i) =? с j \9(№ЩМ = с\\д(ш)\\1Аіт R+ п ТЕОРЕМА 11. Пусть 1 g 2, /3 о/ — 2, функция 1(х) — медленно меняющаяся в нуле и на бесконечности, ограниченная и отделения от нуля на всех интервалах вида (а, 6), 0 а Ь оо. Пусть также G(w) Є А-І-з-вi(t) ffiw 0) Тогда Ст(гу) представима в виде G(w)= [e-wtg(t)dt, (67) где g Є Lqm \9\\q,№/t) 4GH\\q,q-3-№h (68) причём с не зависит от G. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть щ = UwQ 0, К = {w : \w - ги0 u0/2}. Функция (?(гоо)5 - субгармоническая, следовательно , «Г1- z(i/«o) №о)Г У // К»! » При всех w Є К имеет место неравенство щ/2 и Зщ/2. Поскольку /(а;), 1(1/х) — медленно меняющиеся на бесконечности функции, то по теореме о равномерной сходимости существуют U, V О, такие что при любых щ U, ио V 1(и)/1(щ) Є [с, С], 0 с 1 С со. При V щ U выражение 1(и)/1(щ) ограничено в силу ограниченности и отделённости от нуля функции /. Таким образом, vl 1- l(l/uo)\G(wo)\ с Л \G(w)\ u - -0l(l/u)dudv c\\G(w)\\lq_z_ Следовательно, G(iy)9 с (uq l 1(1/и)) , и = Шю 0. По условию функция 1(1/и) отделена от нуля на интервалах вида (а, 6), 0 а Ь со. Кроме того, поскольку q — 1 — (3 1, то по свойству 2 на странице 15 uq x H(l/u) —)со, и —У со. Отсюда следует, что выражение uq l H(l/u) отделено от 0 при и 5, S 0. Значит, G(u ) ограничен в любой полуплоскости вида $tw 5 0 Но в таком случае при фиксированном є 0 функция ——) , $w 0 есть изображение некоторого оригинала ge(t), т.е. G(w) = f e-wtg(t) dt, ftw 0. (69) При фиксированном и 0 функция e utg(t) есть обратное преобразование Фурье функции G(u + iv). Так как G(u + iv) Є Lq(R), то по теореме Харди-Литтлвуда [e-qu%(t)\4q-2dt с ( \G(u + iv)\qdv. Е+ R Проинтегрируем это неравенство по мере uq 3 l(l/u) du вдоль полупрямой и 0: Рассуждая как и в теореме 10, оценим снизу левую часть. По теореме X [ e- tf-Wlil/u) du cl{qt)(qt)- -2-V X ВДГ Л t - оо, t - 0. Следовательно, при t Т, 0 t TQ / e-qutuq-3-Pl{l/u) du cl(t)r{q-2i (71) При To t T последнее неравенство выполняется в силу ограниченности функции /. Объединяя (71) с (70), учитывая определение нормы в 1/\ицл и то что (7є(г(;) G(w) получаем, что HftHlllw/,, = с/ Ыт ЩЛ сСИ Л_3_аді). (72) Таким образом, мы получили, что нормы g(t) в Li , ограничены в совокупности. Выделим слабо сходящуюся последовательность, пусть g[t) — слабый предел. g(t) принадлежит пространству Li . Так как G(w) - G(w), є — 0 в любой точке w в правой полуплоскости, то из (69) следует (67), а из (72) вытекает (68).

Похожие диссертации на Распределение нулей функций из обобщённых пространств Бергмана и некоторые применения в теории аппроксимации

Применение интегральных неравенств на конусах монотонных функций в теории вложения пространств КальдеронаЖамсранжав Даваадулам

Аппроксимации Эрмита-Паде для циклических графов и распределение нулей многочленов, ортогональных с переменным комплексным весомЛысов Владимир Генрихович

Распределение нулей целых функций и выметаниеХабибуллин, Булат Нурмиевич

Рост и распределение нулей аналитических характеристических и хребтовых функцийВишнякова, Анна Марковна

Подпоследовательности и последовательности нулей для весовых пространств голоморфных функций и их устойчивостьХабибуллин, Фархат Булатович

Пространства векторнозначных и операторозначных функций и их применение к аналитическому представлению операторов Наводнов Владимир Григорьевич

Идеальные пространства вектор-функций: геометрия, интерполяция и применения к нелинейным операторам и уравнениямНгуен Хрнг Тхай

Функции множества со значениями в упорядоченном пространстве и их применениеСрибная, Татьяна Аркадьевна

Целые функции типа синуса. Применение к исследованию систем экспонент в весовых гильбертовых пространствахПутинцева, Анастасия Андреевна

Применение теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах к исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравненийАксенов, Николай Александрович