Содержание к диссертации
Введение
1 Аппроксимации Эрмита-Паде для циклических графов . 17
1.1 Система функций, соответствующая графу-дереву 17
1.2 Система функций для циклического графа 24
2 Сильная асимптотика аппроксимаций Эрмита — Паде для системы стильтьесовских функций с весом Лагерра 33
2.1 Постановка задачи 33
2.2 Риманова поверхность 36
2.3 Формулировка результатов 39
2.4 Критические траектории 42
2.5 Равновесные меры 46
2.6 Функции второго рода и соотношения ортогональности 49
2.7 Постановка задачи Римана-Гильберта 51
2.8 Нормировка задачи Римана-Гильберта 54
2.9 Факторизация матрицы скачка. Раскрытие линзы 56
2.10 Проблема Римана-Гильберта с независящими от п скачками 60
2.11 Параметризация в окрестности концевых точек 62
2.12 Последнее преобразование. Окончание доказательства 67
Список литературы
- Система функций для циклического графа
- Формулировка результатов
- Постановка задачи Римана-Гильберта
- Параметризация в окрестности концевых точек
Введение к работе
Теория аппроксимаций Эрмита-Паде берет начало со знаменитой работы [31] Ш. Эрмита о трансцендентности числа е. Формальная сторона этой теории изложена в работе К. Малера [34]. Приведем одно из возможных определений.
Определение 0.1. Для набора / = {fi, І2, , fr) степенных рядов с центром в бесконечности: и мультииндексап = (ni,...,пг) Є Ъг+ аппроксимациями Эрмита-Паде называются рациональные функции с общим знаменателем nnj- = -^-такие, что deg Qn < \п\ := пі Н Ь пг, и выполнены условия интерполяции в точке Z = оо (fjQn - Pnj)(z) = $ + ... , J = l,...,r
Такие рациональные функции всегда существуют. Их нахождение сводится к решению однородной системы \п\ линейных уравнений относительно |п| + 1 неизвестных коэффициентов многочлена Qn. Многочлены Pn>j равны полиномиальным частям разложений fjQn в степенной ряд с центром в бесконечности. Если степень любого такого Qn, с необходимостью равна |п|, то индекс п называется нормальным. В этом случае, аппроксимации Эрмита-Паде определены однозначно.
Вопросы анализа (о сходимости и асимптотике) для аппроксимаций Эрмита-Паде впервые были поставлены Е. М. Никишиным в конце
1970- х годов. Наиболее полные результаты получены для систем марковских функций:
Ш-Ц*&, (0.D где fij — конечные положительные борелевские меры и fij(x) > 0 п. в. по мере Лебега на Aj. Заметим, что для таких функций полином Qn удовлетворяет следующим соотношениям ортогональности / Qn(x)xkdiJ,j(x) = 0, к = 0,..., rtj — 1, j = 1,..., г. (0.2)
Хорошо известны два класса марковских функций, для которых аппроксимации Эрмита-Паде определены единственным образом. Это системы Анжелеско и Никишина.
Системой Анжелеско называется система марковских функций (0.1), для которой отрезки Aj попарно не пересекаются. Из соотношений ортогональности (0.2) следует, что многочлен Qn имеет rij нулей на отрезке Aj для любого j = 1,..., г. Таким образом, его степень равна \п\ и аппроксимации Эрмита-Паде определены однозначно. Первый результат об асимптотике аппроксимаций Эрмита-Паде таких систем был получен В. А. Калягиным [10] для специальных весов типа Якоби. Случай произвольных весов был разобран А. А. Гончаром и Е. А. Рахмановым в работе [5]. Предложенный ими метод задачи равновесия векторного логарифмического потенциала лег в основу изучения асимптотики аппроксимаций Эрмита-Паде. Этот метод был развит ими в работах [6] и [7]. Одним из выводов работы [5] было то, что области сходимости и расходимости аппроксимаций существенным образом зависят от "геометрии" задачи, т. е. взаимного расположения концов отрезков Aj.
Формулы сильной асимптотики совместных аппроксимаций для системы Анжелеско были получены А. И. Аптекаревым [2].
Система Никишина соответствует случаю, когда отрезки Д,- совпадают, а на меры /ij наложены некоторые условия независимости, гарантирующие единственность аппроксимаций Эрмита-Паде. А именно, пусть F = (Fi,..., Fr) — набор интервалов вещественной оси такой, что Fi = Л и Fj П Fj+i = 0. На каждом из интервалов Fj задана мера аг Тогда меры fij на А определяются по индукции: fii(x) := (Ті(х), fi2(oc) :=< і,г >(х)= [ -?Щ-<п(х), (0.3) JF2 х ~ г fij(x) :=< аи а2,...,
Сходимость аппроксимаций Эрмита-Паде для системы Никишина по диагональной последовательности индексов (п, п,..., п) была доказана в работе [14]. Сильная асимптотика изучалась в работе [3].
В работе [8] была предложена конструкция объединяющая и обобщающая системы Анжелеско и Никишина. Такие системы удобно ассоциировать с графами-деревьями. Графы для систем Анжелеско и Никишина изображены ниже (в случае г — 3). —> h —> h —> Ї2 —> /з
В работе В. Н. Сорокина [19], в связи с новым доказательством теоремы Апери об иррациональности С(3), была рассмотрена система функций, связанная с циклическим графом. Дадим формальное определение таких систем.
Пусть (V, =4) — конечное частично-упорядоченное множество с наименьшим элементом О: О =4 А, У А Є V. Будем говорить, что элемент В непосредственно следует за элементом А, если
А^В, flCeV: А^С^В
Множество всех таких упорядоченных пар (А, В) обозначим Е.
Пару Q = (V, ) можно рассматривать как ориентированный граф без ориентированных циклов, где V — множество вершин, а Е — множество ребер. Множество ребер, выходящих из вершины Л, обозначим А+; множество ребер, входящих в вершину Л, обозначим Л_. Далее будем обозначать ребра графа Q прописными греческими буквами. Введем отношение непосредственного следования на множестве Е: ребро (3 непосредственно следует за ребром а (а —> /3), если для некоторой вершины А Є V выполняются а Є А- и (З Є А+. Тот факт, что для некоторой вершины А Є V выполняются а,(3 Є А- или а, (З Є А+, будем коротко записывать а <-ї (3.
Каждому ребру а графа Q поставим в соответствие отрезок Fa вещественной оси Ж и положительную борелевскую меру аа с носителем на Fa. При этом, предполагаем выполнеными следующие условия
1) Если ребра а и /3 имеют общую вершину, то соответствующие отрезки Fa и F/s не пересекаются.
2) Производная
Каждой вершине А Є Vo := V \ {О} соответствует непустой набор Та цепочек ребер tA = (се, /?,..., 7) таких, что а -> /3 -> Уу а Є 0+, j Є А-
Каждой такой цепочке Ьа соответствует мера \itA, определенная по правилу Никишина (0.3):
Вершине А поставим в соответствие функцию dfitA{t) „ .. х — t tATA м=Е/
Определение 0.2. Набор функций / = {/а(х), А Є Vo} называется системой Апоіселеско - Никишина, соответствующей графу Q.
Фиксируем мультииндекс п — {па, А Є Vo} и рассмотрим задачу Эрмита-Паде для системы /.
Существует многочлен Qn ф 0 такой, что degQn ^\п\=^2 пА, AeV0 Rn,A = QnfA - Рп,А = Oiz-^-1), Z^OO, Л Є Vo, где РЩА некоторые многочлены. При изучении этих аппроксимаций, наряду с функциями второго рода Rn^A, удобно рассматривать функции
ФП)л, которые определяются по индукции: ФП)(9 = Qn,
Л:(Л,Д)є ^
В работе [8] для случая, когда граф (7 является деревом и мультиин-дексов п вида пв ^па + 1, если А -< jB (0.5) было показано, что полином Qn имеет \п\ простых нулей на объединении отрезков UaeO+Fa- Таким образом, индексы (0.5) являются нормальными и аппроксимации Эрмита-Паде определены однозначно.
В случае произвольного графа Q, нормальности индексов вообще говоря нет, и вопрос единственности требует дополнительного изучения. Однако, можно показать, что при условии (0.5) любое решение Qn имеет по меньшей мере \п\ — д простых нулей на UaeO+Fa, где д определяется разницей между числом ребер и числом вершин графа Q:
Отметим, что результаты работы [8] об асимптотике аппроксимаций Эрмита-Паде тривиальным образом переносятся на случай циклического графа Q.
Фиксируем распределение вероятностей р = {ра, А Є Vo} на Vo такое, что рв ^ Ра, если А -< В. Рассмотрим последовательность Э муль-тиндексов п = {па, А Є Vo} такую, что выполнено (0.5) и |4 —> ра-Для изучения асимптотики Qn при п Є 0 рассмотрим экстремальную задачу для векторного потенциала.
Введем некоторые обозначения. Для компакта К в комплексной плоскости С, обозначим, Ш+(К) — множество всех конечных положительных борелевских мер ї/, носитель которых supp(z/) принадлежит К. Логарифмический потенциал меры v обозначим через Vv(z) : Vv{z) = [ \n-^—-dp(t), zeC.
Взаимной энергией мер v\ и v
I(vi,V2)= / / In, -Tdvi(x)dv2(t). J J Кхк F — Ч
Полную вариацию меры v будем обозначать \v\.
Определим множество M+(F), как декартово произведение множеств M+(Fa) по всем а Є . Таким образом, элементы /л множества M+(F) есть наборы мер {//Q, а Є 8} такие, что supp(//a) Є Fa
По графу Q построим симметрическую матрицу Л = (аа,р)'-
2, если а = {3,
1, если а -в- /3, аа,р = ^ (0.6) -1, если а —> (3 или (3 —> а,
0, если ребра а и @ не имеют общих вершин.
Для меры її Є M+(F) определим энергию J(/i) и векторный потенциал W» = {И^, а Є }: JM = ^2 <*а,ІЗІ(і*а,Різ),
Предложение 0.3. 1) Существует единственная мера X, решающая следующую задачу минимизации энергии«/(/л) —> min, fi Є M+(F), (0.7)
, ЕаЄЛ_ Ы - И/ЗЄА+ Ы =РА, Л Є V0.
2) Мера А является единственной мерой в миооїсестве {/і Є M+(F) : 53 |/іа| - J] |М/?| = Pi4, Л Є Vo}, аЄА- 0ЄА+ удовлетворяющей следующим условиям равновесия для а = (Л, В) Є . J = vb - г;л ж Є supp(AQ), [> vB-vA, X Є Fa. Таким образом, на константы равновесия wa := vb — va наложено g линейных условий. При этом, можно положить vo = 0.
Предельные распределения нулей полинома Qn и функций Ф^ (0.4) описываются в терминах экстремальной меры А. Пусть а = (Л, В) и qUta — полином, нули которого совпадают с нулями Ф^ на отрезке Fa. Через fj,(q) обозначим дискретную меру, построенную по нулям многочлена q: x:q(x)=0
Справедливо следующее утверждение.
Предложение 0.4. Для любого а Є S выполняются предельные соотношения при п Є 0
В частности, 1 ' аеО+
В том случае, когда удается показать, что функции Фп,л(ПаєЛ Яп^)-1 не имеют нулей вне UaG^_ Fa, можно выписать асимптотические формулы для ФП)л- Это условие выполнено, например, если граф Q является деревом. В следующем предложении предполагается, что старший коэффициент Qn нормирован единицей.
Предложение 0.5. Если для некоторой подпоследовательности Л С в; ^п,а(х) ф 0 при х Є С \ []аЄА_иА Fa, А Є V, то справедливы следующие асимптотические формулы
Ит^1п|Фл(*)|= ] уХа(*)- Е Vx«(x)-vA. ' ' аєА- аЄА+ при х Є С \ UaeA_LL4 Fa. В частности, Yim±-MQn(x)\ = -Y Vx«(x), хЄС\ II Fa пєл \п\ *—? ^а 1 ' аЄО+ аЄО+
В первой главе диссертации, утверждения сформулированные выше применяются для изучения аппроксимаций Эрмита- Паде для двух конкретных наборов функций / = (/ь /2, /з, /4) и g = {gi,g2, 3), где /i(20 = ln(l-l/z)f f2(z) = ln(l + l/z), ,2 ln(l + l/x)dx f In(l - 1/ж)с?ж /!(г)=ГМ1±^,/4(г)=Г z — а: Pi W = /їй, Р2Й = /2W,
0зМ = /зW + /4(*) = - ln(l + 1/z) ln(l - 1/z).
Система функций для циклического графа
Исследование сходимости и асимптотического поведения аппроксимаций (2.2) является сложной задачей с богатым содержанием. В работе зз А. А. Гончара и E. А. Рахманова [5] была изучена сходимость аппроксимаций для системы марковских функций где Aj попарно непересекающиеся отрезки на вещественной оси. Одним из главных выводов работы [5] явилось то, что сходимость, расходимость, предельное распределение полюсов существенно зависит от "геометрии "особенностей функций (2.5) (т.е. расположения отрезков Aj).
В настоящей работе мы рассматриваем асимптотику аппроксимаций Эрмита-Паде для системы функций стильтьесовского типа где (u i,..., wr) - система весов Лаггера: Wj(x) = xae- x, j При г = 1, знаменатели 1ц := q7% являются классическими полиномами Лагерра. При г 1, эти полиномы являются полиномами совместной ортогональности
Известно (см. [15]), что полином 1,1 определен однозначно, с точностью до нормировочной постоянной. Все нули Ifi простые и лежат на интервале (0, со). Аналогично классическим полиномам, полиномы совместной ортогональности Лагерра могут быть представлены формулой Родрига (см. [15, с. 187]). d п ) = x-n l--_j 1»1+«, (2.9) где произведение дифференциальных операторов можно брать в любом порядке , и старший коэффициент 1ц равен единице.
Алгебраические свойства полиномов совместной ортогональности для классических весов, удовлетворяющих уравнению Пирсона, недавно были изучены в работе [22]. В частности, там были получены рекуррентные соотношения и линейное дифференциальное уравнение для полиномов совместной ортогональности Лагерра 1п{х).
Вопросы сходимости аппроксимаций Эрмита-Паде для системы (2.6),(2.7) были рассмотрены В. Н. Сорокиным в [16]. Мы концентрируемся на асимптотическом поведении ln,rfij, в частности, на описании предельного поведения полюсов аппроксимаций. Как уже отмечалось выше, нули In плотны в [0, со]. Для более точного описания их предельного распределения полезно изменить масштаб задачи, так чтобы оно было сосредоточено на компакте. В данной работе изучается асимптотика масштабированных полиномов с единичным старшим коэффициентом Ln{x) = п-2п1й(пх), (2.10) в случае г = 2 весов и диагональных индексов (п,п). Полиномы Ln(x) удовлетворяют соотношениям ортогональности с переменным весом /ОО РОО / Ln{x)xk+ae-n xdx = 0, / Ln(x)xk+ae-n xdx = 0, (2.11) Jo Jo Детально рассматривается случай малого отношения параметров /?г/А 3 + 2\/2. 2.2 Риманова поверхность
В задачах об асимптотике аппроксимаций Эрмита- Паде ключевую роль играют алгебраические функции, определяющие главный член асимптотики (см. [35]). В этом параграфе мы опишем соответствующую алгебраическую функцию и ее риманову поверхность. Предполагаем, что после сжатия плоскости, нули полиномов Ln(x) заметают некоторый компакт и можно ожидать асимптотику вне этого компакта в виде Ln(z) = F(z)$n(z)(l + 0(1/п)), при п - со. где Ф(.г) является ветвью некоторой трехзначной аналитической функции. Явный вид этой функции можно найти следующим образом. Из работы [22], после некоторых преобразований, получим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет полином Ln{z) z2L2z) - z\nz(0l + /) - 2(а + l)K(z) + [0i02n2z2 + (/ + 02)(а + 1 - n)nz + а{а + l)]b n(z) - n2[20i02nz + аЦЗі + fo)]Ln(z) = 0. (2.12) Подставляя асимптотическую формулу в это уравнение и приравнивая коэффициенты при старшем члене по п, получим алгебраическое уравнение для логарифмической производной функции Ф: ф(г)
Формулировка результатов
Определим две меры на отрезке А и кривой Г соответственно НО = ij- Аг(Ф!/Фо)+(0 С Є А, (2.48) КО = - Аг6(Ф2/Фі)+(С) С Є Г. (2.49) Предложение 2.5. Функции А и [І являются функциями распределения полоэюительных мер на А и Г. Масса меры А равна 2, масса меры /І равна 1.
Доказательство. Проведем доказательство для меры \х. Вначале покажем, что функция її монотонна вдоль ориентированной кривой Г. Действительно, производная fi вдоль кривой Г отлична от нуля: определенные в С \ А и С \ Г по модулю 47гг и 2тті соответственно. Данные потенциалы выражаются через ветви функции Ф.
Доказательство. Снова проведем доказательство только для потенциала меры //. Производная Vfl при z Є С \ Г равна где S контур, обходящий Г по часовой стрелке и содержащий точку z слева. Далее,
Замечание 2.8. Из соотношений Предложения 2.7 следует, что (A,/z) векторная равновесная мера для системы Никишина с внешним полем (piRez, (02 — /?i)Re2;); то есть их логарифмические потенциалы (V := KeV) удовлетворяют следующим условиям равновесия которые определены с точностью до нормировки lfi(x). Пусть 7 произвольная кривая вокруг положительной полупрямой с горизонтальными асимптотами в бесконечности (см. рис. 7). В следующем предложении показано, что функция гяд удовлетворяет соотношениям ортогональности на 7 Предложение 2.10. Имеем,
Рассмотрим также функцию, естественным образом связанную с системой Никишина (см. [8]) Данные функции второго рода удовлетворяют следующим интерполяционным условиям в бесконечности, эквивалентным соотношениям ортогональности (2.8):
Рассмотрим следующую матричную задачу Римана-Гильберта. 1. Y(z) - 3 X 3 матричнозначная функция, аналитическая в С \ (R+ U 7), имеющая непрерывные граничные значения слева и справа на ориентированных кривых R+ и 7? связанные матрицей скачка (см. пункт 2). Поведение Y(z) в окрестности бесконечности и концевой точки контура (точки 0) задается в пунктах 3 и 4.
Доказательство. Проверим, что Y(z), заданная (2.79) решает задачу Римана-Гильберта. Очевидно, Y(z) аналитична вне Ш+ U 7- Условия скачка на Ш+ для первой и третьей строк Y тривиальны, то есть эти строки аналитичпы на Ж+. Для элементов второй строки условие скачка записывается в виде которые вытекают из формулы Сохоцкого-Племеля. Аналогично проверяются условия скачка Y(z) на 7- Поведение Y(z) в бесконечности следует из условий нормальности индексов и условий интерполяции (2.73). Поведение Y(z) в окрестности 0 легко проверяется (см. [32]).
Докажем теперь единственность решения задачи Римана-Гильберта. Пусть Y(z) какое-нибудь решение. Покажем, что оно равно (2.79). Пер вая строка Y{z) не имеет скачка на Ш+ Uy. Из поведения матрицы Y{z) в 0 следует, что первая строка состоит из целых функций, а из поведе ния Y(z) в бесконечности следует, что это полиномы степеней не больше (2п,2п — 1,2п — 1). Далее, из формулы Сохоцкого-Племеля, условия скачка на контуре Ж+ и поведения Y(z) в нуле вытекает, что вторая строка есть преобразование Коши первой. Из тех же соображений, при мененных к контуру 7) следует, что третья строка - преобразование
Коши второй. Поведение второй и третьей строк в бесконечности дают интерполяционные условия (2.73), которые, как уже отмечалось, равно сильны определению полиномов Лагерра (2.8). Таким образом, (2.79) единственное решение задачи Римана-Гильберта.
Метод доказательства формул сильной асимптотики ортогональных полиномов, основанный на рассмотрении матричной краевой задачи, был предложен П. Дейфтом и X. Чжу в работе [28]. Следуя этому подходу, мы, посредством цепочки обратимых преобразований Y - U — Т — S, придем к некоторой задаче Римана - Гильберта для матричной функции S. Матрица скачка этой функции Js будет иметь равномерную асимптотику на соответствующей системе контуров Es вида Js{z) = I + 0(l/n),z Є S5. Отсюда следует, что и сама матрица S асимптотически равна S(z) = I + 0(1/п) равномерно на компактах из С. Обращая цепочку преобразований, получим асимптотику У и, в частности, асимптотику ортогональных полиномов Лагерра.
Целью первого преобразования является нормировка матричной задачи Римана-Гильберта в бесконечности. Для этого от краевой задачи на Y мы перейдем к задаче на U, решение которой будет вести себя как единичная матрица в окрестности z = 00. Рассмотрим матричную функцию
Постановка задачи Римана-Гильберта
Теория аппроксимаций Эрмита-Паде берет начало со знаменитой работы [31] Ш. Эрмита о трансцендентности числа е. Формальная сторона этой теории изложена в работе К. Малера [34]. Приведем одно из возможных определений.
Такие рациональные функции всегда существуют. Их нахождение сводится к решению однородной системы \п\ линейных уравнений относительно п + 1 неизвестных коэффициентов многочлена Qn. Многочлены Pn j равны полиномиальным частям разложений fjQn в степенной ряд с центром в бесконечности. Если степень любого такого Qn, с необходимостью равна п, то индекс п называется нормальным. В этом случае, аппроксимации Эрмита-Паде определены однозначно.
Вопросы анализа (о сходимости и асимптотике) для аппроксимаций Эрмита-Паде впервые были поставлены Е. М. Никишиным в конце 1970- х годов. Наиболее полные результаты получены для систем марковских функций: где fij — конечные положительные борелевские меры и fij(x) 0 п. в. по мере Лебега на Aj. Заметим, что для таких функций полином Qn удовлетворяет следующим соотношениям ортогональности Хорошо известны два класса марковских функций, для которых аппроксимации Эрмита-Паде определены единственным образом. Это системы Анжелеско и Никишина.
Системой Анжелеско называется система марковских функций (0.1), для которой отрезки Aj попарно не пересекаются. Из соотношений ортогональности (0.2) следует, что многочлен Qn имеет rij нулей на отрезке Aj для любого j = 1,..., г. Таким образом, его степень равна \п\ и аппроксимации Эрмита-Паде определены однозначно. Первый результат об асимптотике аппроксимаций Эрмита-Паде таких систем был получен В. А. Калягиным [10] для специальных весов типа Якоби. Случай произвольных весов был разобран А. А. Гончаром и Е. А. Рахмановым в работе [5]. Предложенный ими метод задачи равновесия векторного логарифмического потенциала лег в основу изучения асимптотики аппроксимаций Эрмита-Паде. Этот метод был развит ими в работах [6] и [7]. Одним из выводов работы [5] было то, что области сходимости и расходимости аппроксимаций существенным образом зависят от "геометрии" задачи, т. е. взаимного расположения концов отрезков Aj.
Формулы сильной асимптотики совместных аппроксимаций для системы Анжелеско были получены А. И. Аптекаревым [2].
Система Никишина соответствует случаю, когда отрезки Д,- совпадают, а на меры /ij наложены некоторые условия независимости, гарантирующие единственность аппроксимаций Эрмита-Паде. А именно, пусть F = (Fi,..., Fr) — набор интервалов вещественной оси такой, что Fi = Л и Fj П Fj+i = 0. На каждом из интервалов Fj задана мера аг Тогда меры fij на А определяются по индукции:
Сходимость аппроксимаций Эрмита-Паде для системы Никишина по диагональной последовательности индексов (п, п,..., п) была доказана в работе [14]. Сильная асимптотика изучалась в работе [3].
В работе [8] была предложена конструкция объединяющая и обобщающая системы Анжелеско и Никишина. Такие системы удобно ассоциировать с графами-деревьями. Графы для систем Анжелеско и Никишина изображены ниже (в случае г — 3).
Параметризация в окрестности концевых точек
Доказательство. Проверим, что Y(z), заданная (2.79) решает задачу Римана-Гильберта. Очевидно, Y(z) аналитична вне Ш+ U 7- Условия скачка на Ш+ для первой и третьей строк Y тривиальны, то есть эти строки аналитичпы на Ж+. Для элементов второй строки условие скачка записывается в виде которые вытекают из формулы Сохоцкого-Племеля. Аналогично проверяются условия скачка Y(z) на 7- Поведение Y(z) в бесконечности следует из условий нормальности индексов и условий интерполяции (2.73). Поведение Y(z) в окрестности 0 легко проверяется (см. [32]).
Докажем теперь единственность решения задачи Римана-Гильберта. Пусть Y(z) какое-нибудь решение. Покажем, что оно равно (2.79). Пер вая строка Y{z) не имеет скачка на Ш+ Uy. Из поведения матрицы Y{z) в 0 следует, что первая строка состоит из целых функций, а из поведе ния Y(z) в бесконечности следует, что это полиномы степеней не больше (2п,2п — 1,2п — 1). Далее, из формулы Сохоцкого-Племеля, условия скачка на контуре Ж+ и поведения Y(z) в нуле вытекает, что вторая строка есть преобразование Коши первой. Из тех же соображений, при мененных к контуру 7) следует, что третья строка - преобразование Коши второй. Поведение второй и третьей строк в бесконечности дают интерполяционные условия (2.73), которые, как уже отмечалось, равно сильны определению полиномов Лагерра (2.8). Таким образом, (2.79) единственное решение задачи Римана-Гильберта.
Метод доказательства формул сильной асимптотики ортогональных полиномов, основанный на рассмотрении матричной краевой задачи, был предложен П. Дейфтом и X. Чжу в работе [28]. Следуя этому подходу, мы, посредством цепочки обратимых преобразований Y - U — Т — S, придем к некоторой задаче Римана - Гильберта для матричной функции S. Матрица скачка этой функции Js будет иметь равномерную асимптотику на соответствующей системе контуров Es вида Js{z) = I + 0(l/n),z Є S5. Отсюда следует, что и сама матрица S асимптотически равна S(z) = I + 0(1/п) равномерно на компактах из С. Обращая цепочку преобразований, получим асимптотику У и, в частности, асимптотику ортогональных полиномов Лагерра.
Целью первого преобразования является нормировка матричной задачи Римана-Гильберта в бесконечности. Для этого от краевой задачи на Y мы перейдем к задаче на U, решение которой будет вести себя как единичная матрица в окрестности z = 00. Рассмотрим матричную функцию U(z) = CnY{z) -n(z), (2.80) где Ф(г) = с1іа(Фо(;?), Фі( )е- ,Ф2( )е-А ), С = diag(l,chc2). (2.81) Матричная функция U(z) голоморфна в С \ (Ш+ U 7), так как ветви $j{z) голоморфны в АиГ и не имеют нулей. Учитывая поведение &j(z) в окрестности бесконечности, заключаем, что U(z) = I + o(-\ Z OQ, то есть U(z) нормирована в бесконечности. Так как &j(z) ограничены сверху и снизу в окрестности нуля, то U(z) имеет то же поведение в нуле, что и Y(z). Как видим, центральная матрица не зависит от п, а первая и последняя матрицы допускают аналитическое продолжение в области расположенные соответственно справа и слева от отрезка А. Введем дополнительные контуры, пусть, А+ и А_ - дуги, соединяющие концы отрезка А и лежащие соответственно слева и справа от А в области, где Фо Фі- Аналогично, Г+ и Г_ - дуги, соединяющие концы Г и лежащие соответственно слева и справа от Г в области, где Фі Ф2.
