Введение к работе
Актуальность темы. Задачи на минимакс и, в частности, описание полиномов, наименее отклоняющихся от нуля на компактах комплексной плоскости (полиномов Чебышева), играют важную роль в теории приближений и в смежных с ней разделах математики. Для случая, когда рассматриваются полиномы с нулями на фиксированном компакте К в С, они применяются при изучении свойств трансфинитного диаметра К.
В диссертации рассматривается подобная задача на минимакс в классе полиномов, возникающая при экстраполяции целых функций класса Винера с конечного множества. Показатели многих процессов являются аналитическими функциями из определенных классов, причём входная информация об их поведении задаётся нередко в виде значений показателя в конечном числе узлов. Такая информация может быть точной или приближенной. При этом типичная проблема заключается в нахождении оптимальной оценки наилучшего аналитического продолжения функции с конечного множества в какую-либо точку области ее определения, где измерения не производились. Аналогичный вопрос естественно рассматривать и для некоторого компакта. Тогда возникает задача о равномерной экстраполяции с конечного множества в рассматриваемом классе функций. Более общие проблемы этого плана исследуются в теории оптимального восстановления (раздел теории приближений в терминалогии В.М. Тихомирова [12]), большой вклад в разработку которой принадлежит С.А. MicchelH и Th.J. Rivlin [16], A.A. Melkman [15], В.М. Тихомирову [12], К.Ю. Осипенко [11], Г.Г. Магарил-Ильяеву [6], В.В. Арестову
[1] и др. Задачу оптимальной экстраполяции с конечного множества в фиксированную точку области определения в Сп в классах аналитических функций изучали К.Ю. Осипенко, Б.Д. Баянов [3], A.M. Федотов, Л.С. Маергойз [8] и др.
Хорошо известен классический результат П.Л. Чебышева о том, что полином степени п наименее отклоняющийся от нуля на отрезке [—1; 1], имеет вид
Тп{х) = ——j- cos(narccosrr),
причем отрезок [—1; 1] содержит все нули этого полинома. Многочлены Чебышева, заданные на дуге окружности, без ограничения на расположение их нулей в комплексной плоскости С, исследовались Н.И. Ахие-зером и многими другими (см., например, [17]). Как выяснено в диссертации, равномерная оценка экстраполяции функций из класса Винера в любую точку компакта К в С связана с конструкцией многочлена Чебышева с нулями на К.
В связи с вышесказанным актуальным является вопрос о конструкции полиномов Чебышева с нулями на компакте К в С, когда К— фиксированная дуга окружности. Решению этой проблемы и смежным с ней вопросам посвящена диссертация. Основная трудность состоит в том, что множество многочленов с нулями на Г не является линейным пространством. Близкими задачами занимались B.C. Виденский [4], А.Л. Лука-шов [5], СВ. Тышкевич [13]. В частности, СВ. Тышкевич, рассматривая полиномы с нулями на двух и более дугах окружности, получил интегральное представление соответствующего полинома Чебышева, опирающееся на понятие гармонической меры.
Цель работы.
Найти конструкцию многочлена Чебышева с нулями на фиксированной дуге окружности.
С помощью многочлена Чебышева на компакте получить оценку равномерной оптимальной погрешности аналитического продолжения функций из класса Винера с конечного множества на указанный компакт.
Найти оценку оптимальной погрешности аналитического продолжения с конечного множества в заданную точку функций из пространств Винера и Харди.
Методика исследований. В диссертации применяются методы комплексного анализа, функционального анализа, теории функций действительного переменного и теории приближений.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты, изложенные в диссертации, имеют теоретическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории приближений и ряде прикладных задач. Опубликованные результаты главы 2 диссертации послужили отправной точкой для дальнейших исследований В.В. Арестова и А.С. Менделева [2], А.Л. Лукашова и СВ. Тышкевича [14].
Апробация работы. По материалам диссертации делались доклады на:
- всероссийской научной конференции „Алгоритмический и численный анализ некорректных задач", посвященной памяти В.К. Иванова
(Екатеринбург, 1995);
- международной конференции „Симметрия и дифференциальные
уравнения" (Красноярск, 2000);
II и III Всесибирских конгрессах женщин-математиков (Красноярск, 2002, 2004);
Воронежской весенней математической школе „Понтрягинские чтения - XV" (Воронеж, 2004);
международной конференции „Алгоритмический анализ неустойчивых задач", посвященной 100-летию со дня рождения В.К. Иванова (Екатеринбург, 2008);
научных семинарах по теории функций в Уральском государственном университете и отдела теории приближений Института математики и механики УрО РАН (Екатеринбург, 2008-2009);
городском научном семинаре по комплексному анализу в Сибирском федеральном университете (Красноярск, 2009).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [18]-[26]. Совместные работы написаны в нераздельном соавторстве.
Структура и объем. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы. Работа изложена на 78 страницах.
