Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Оценка функции Лебега дискретных сумм Фурье-Чебышева . 14
1.1. Постановка задачи 14
1.2. Некоторые факты из теории многочленов Чебышева 17
1.3. Вспомогательные результаты 22
1.4. Оценка функции Лебега 25
ГЛАВА II. О равномерной ограниченности средних Валле-Пуссена для сумм Фурье-Чебышева 43
2.1. Постановка задачи 43
2.2. Вспомогательные утверждения 47
2.3. Оценки норм операторов Валле-Пуссена 61
Литература 106
- Некоторые факты из теории многочленов Чебышева
- Оценка функции Лебега
- Вспомогательные утверждения
- Оценки норм операторов Валле-Пуссена
Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена приближению непрерывных функций суммами Фурье и их средними типа Балле-Пуссена по многочленам Чебышева, ортогональным на дискретных сетках. Теория ортогональных многочленов в последнее время получила интенсивное развитие и нашла многочисленные приложения. В частности, в теоретических и прикладных исследованиях применяются разложения в ряды по ортогональным многочленам. При этом приходится решать следующую промежуточную задачу: для заданной функции / — /(*) из того или иного класса и выбранной ортонормированной системы {<рп = Vn(t)} требуется оценить отклонение частичной суммы Sn(f) — Sn(f,t) ряда Фурье функции / по системе {ірп} от самой функции /. Эта последняя задача, в свою очередь, приводит к вопросу об оценке функции Лебега для соответствующей системы ор-тонормированных многочленов. На практике в качестве базисов часто применяются классические многочлены, ортогональные на дискретных сетках; именно идея применения разложений по многочленам, ортогональным на сетках для обработки дискретной информации привела П.Л.Чебышева к созданию общей теории ортогональных многочленов. Однако до недавнего времени вопросы, связанные с аппроксимативными свойствами сумм Фурье по многочленам Чебышева, ортогональным на сетках и, особенно, их средних типа Валле-Пуссена оставались малоисследованными. Это, в первую очередь, было связано с отсутствием исследований по изучению асимптотических свойств самих многочленов Чебышева, ортогональных на дискретных сетках. Целенаправленное изучение асимптотических свойств указанных многочленов было
начато в работах Шарапудинова И.И., в которых в отдельных случаях получены окончательные результаты и, как следствие, в этих частных случаях решена задача о поведении фупкции Лебега соответствующих сумм Фурье-Чебышева и их средних типа Балле-Пуссена.
Объект исследования. В работе исследуется поведение функции Лебега для дискретных сумм Фурье по мпогочленам Чебышева ортогональным па равномерной сетке и их средних типа Валле-Пуссена.
Цель работы. 1. Оценить функцию Лебега дискретных сумм Фурье-Чебышева.
2. Исследовать вопрос об ограниченности норм операторов Балле- Пуссена V(f) для сумм Фурье-Чебышева.
Общие методы исследования. В диссертации применяются общие методы теории функций и функционального анализа, а также методы теории ортогональных многочленов.
Научная новизна. Исследованы аппроксимативные свойства сумм Фурье по многочленам Чебышева, образующим ортонормированную систему на конечной равномерной сетке. Получены оценки функции Лебега указанных сумм, которые в определенном смысле носят неулуч-шаемый характер (по порядку). С некоторыми ограничениями доказано, что нормы операторов Валле-Пуссена V'J*(f) для сумм Фурье-Чебышева равномерно ограничены в пространстве С[_і,ц.
Практическая цепность Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы в некоторых вопросах теории приближений и численного анализа.
Апробирование работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались:
-на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (ДГПУ); -на 12-ой Саратовской математической школе (2002 г.); -на 13-ой Саратовской математической школе (2004 г.); -на конференции профессорско-преподавательского состава ДГПУ (2003 г.)
Публикации.» Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах, список которых приведен в конце автореферата. Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 105 страницах компьютерного набора и состоит из введения, 2 глав и списка литературы, включающего 34 наименований.
Некоторые факты из теории многочленов Чебышева
Через T,l3(x,N), (п = 0,1,... ,iV — 1), iV — натуральное число, N 2, обозначим конечную последовательность многочленов Чебыше-ва, образующих ортогональную систему на сетке Гїлг = {0,1,...,ЛГ-1} с весом (л(х) и нормированных условием T" P(N — 1,ЛГ) — I j .. Как показал П. А. Чебышев [18], имеет место равенство Формула Кристоффеля-Дарбу для многочленов Чебышева 7% 0(х) = T ,s3(x,N) имеет следующий вид [29] Рассмотрим асимптотические оценки многочленов Т (ГЕ). Как показано в работе [29] для многочленов Чебышева Т (х) с целыми а и /3 ограничение п = O(vN) является своего рода "водоразделом" для асимптотического поведения в следующем смысле: если n : а\/N (а 0), то для Т (х) справедлива такая же весовая оценка, что и для многочленов Якоби Р $, причем равномерно относительно п, где 0 п a\/ N (N — со), а 0; если же п2fN —J- со, то такой оценки нет. Для многочленов Чебышева Т (х) с целыми а и /? асимптотические оценки получены [29] при условии n = С АГ1/2). Для многочленов Чебышева T jy(x) с дробными а и /3 асимптотические оценки получены [28] при условии п = OfiV1/3). Пусть а,/?-произвольные действительные числа, — 1 x 0,1 п a(N — I)5, (а 0) и с = с(а,/3,а), тогда Аиалагично доказательству неравенства (1.2.19) (см.[29] стр.97) из (1.2.22) можн многочленов Т (ГЕ). Как показано в работе [29] для многочленов Чебышева Т (х) с целыми а и /3 ограничение п = O(vN) является своего рода "водоразделом" для асимптотического поведения в следующем смысле: если n : а\/N (а 0), то для Т (х) справедлива такая же весовая оценка, что и для многочленов Якоби Р $, причем равномерно относительно п, где 0 п a\/ N (N — со), а 0; если же п2fN —J- со, то такой оценки нет. Для многочленов Чебышева Т (х) с целыми а и /? асимптотические оценки получены [29] при условии n = С АГ1/2).
Для многочленов Чебышева T jy(x) с дробными а и /3 асимптотические оценки получены [28] при условии п = OfiV1/3). Пусть а,/?-произвольные действительные числа, — 1 x 0,1 п a(N — I)5, (а 0) и с = с(а,/3,а), тогда Аиалагично доказательству неравенства (1.2.19) (см.[29] стр.97) из (1.2.22) можно доказать справедливость следующих неравенств: Пусть а,/3-произвольные действительные числа, —1 x 1,1 п + Лемма 1.3.3. ([1], ) Пусть неотрицательная функция F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], h = (b — a)/m. Тогда: 1) если F(x) монотонно возрастает на [а, Ь], то 2) если F(x) монотонно убывает на [а, 6], то Лемма 1.3.4. Пусть a, (3 — 1—произвольные действительные числа, n aN1/3, Тогда для выражения (1.2.13) справедливо следующее неравенство: K?N с(о,/3,а)п.. Доказательство. Воспользовавшись равенством (1.3,1) имеем Вернемся теперь к вопросу об оценке функции Лебега , (х), определенной равенством (1.1.10). Заметим, что в силу симметрии (1.2.7) Наша функция — тг монотонно возрастает при 0 б р — -, поэтому используя формулы суммирования Эйлера, т.е. лемму 1.3.3 для (1.4.16), получим следующую оценку 2 4 X Полученное выражение оценим, используя (1.4.2), (1.4.3), (1.2.21) и (1.4.12) "23 c\\W \\ \\К$\\ (Чп? + 1) + l) + 4W: \\nb\T \. (1.4.25) о доказать справедливость следующих неравенств: Пусть а,/3-произвольные действительные числа, —1 x 1,1 п + Лемма 1.3.3. ([1], ) Пусть неотрицательная функция F(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], h = (b — a)/m. Тогда: 1) если F(x) монотонно возрастает на [а, Ь], то 2) если F(x) монотонно убывает на [а, 6], то Лемма 1.3.4. Пусть a, (3 — 1—произвольные действительные числа, n aN1/3, Тогда для выражения (1.2.13) справедливо следующее неравенство: K?N с(о,/3,а)п.. Доказательство. Воспользовавшись равенством (1.3,1) имеем Вернемся теперь к вопросу об оценке функции Лебега , (х), определенной равенством (1.1.10). Заметим, что в силу симметрии (1.2.7) Наша функция — тг монотонно возрастает при 0 б р — -, поэтому используя формулы суммирования Эйлера, т.е. лемму 1.3.3 для (1.4.16), получим следующую оценку 2 4 X Полученное выражение оценим, используя (1.4.2), (1.4.3), (1.2.21) и (1.4.12) "23 c\\W \\ \\К$\\ (Чп? + 1) + l) + 4W: \\nb\T \. (1.4.25)
Оценка функции Лебега
Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.:: Наука, 1979. 2. Агаханов С. А:, Натансон Г.И. Функция Лебега сумм Фурье-Якоби // Вестник Ленинградского ун-та. В..1,1968, с.11-13. 3. Ахмед H.tPao К.Г. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Связь. 1987 4. Вагабов И.А. О приближении функций средними Валле-Пуссена // Межвузовский научно-тематический сборник. Махачкала. Вып. 3, 1997, с. 73-77. 5. Бадков В.М. Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье-Якоби // Сиб. Мат. Ж. Т. 9 Вып. 6, 1968, с. 1263-1283. 6. Бейтмен Г., Эрдейи А: Высшие трансцендентные функции. ТТ. 1, 2. М.: Наука, 1973, 1974. 7. Бернштейн С.Н. О многочленах, ортогональных на конечном отрезке Поли. собр. соч. Т.2. М.: Изд. АН СССР, 1954. 8. Гелъфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. 9. GronwalL Uber die Laplacisehe Reine. Math. Ann., 74, 1913. С.213— 270. 10. Кашин Б.С, Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984. її. Касу мое Н. М.Дискретный аналог полиномов Л ежандра Известия АН Аз. ССР. Сер. физ- техн. и матем. наук, Вып. 2, 1980, с. 9-25. 12. Калъней С.Г, Об аналоге теоремы СМ. Никольского для рядов Яко-би // Укр. матем. Ж. Т. 41, № 4,1991, с. 503-513. 13. Натансон ЛЯ. Двусторонняя оценка функции Лебега интерполяционного процесса Лагранжа с узлами Якоби // Изв. вузов, математика. №11, 19672, с. 67-74. 14. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.:Физматгиз, 1962.- 500 с. - 107 15, Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1979. 16/ Ran Н. Uber die Lebesguesehen Konstanten der Reihentwicklungen nach jacobisehen Polynomen. Journ. fur Math., 161, 1929. 237-254. 17. Чебышев 17.Л. Об интерполировании (1864). Поли. собр. соч. Т.2. М.: Изд. АН СССР. 1947. С. 357-374. 18. Чебышев П. Л. Об интерполировании величин равноотстояпщх (1875). Поли. собр. соч. Т.З. М.: Изд. АН СССР. 1948. С- 66-87. 19. Шарапудинов И.И. Приближение функций суммами Фурье по ортогональным многочленам Чебышева дискретного переменного // М.: Деп. ВИНТИ . Вып. 3137-80. 1980, с. 1-44. 20. Шарапудинов И.И. Функция Лебега частных сумм Фурье по полиномам Хана // Функциональный; анализ» теория функций и их приложения. Махачкала. Изд. Даг.гос. ун-та 1982, с. 132-144. 21.. Шарапудинов И.И.
Некоторые свойства многочленов, ортогональных на конечной системе точек // Изв. вузов. Математика. Вып. 5. 1983, с. 85-88. 22. Шарапудинов И.И. Весовые оценки многочленов Хана // Теория функций и приближений. Тр. Саратовской зимней школы (24 января-5 февраля 1982. 23. Шарапудинов И.И. Асимптотические свойства и весовые оценки многочленов Хана // Изв. вузов. Математика. Вып. 5. 1985, с. 78-80.. 24. Шарапудинов И.И. Асимптотические свойства ортогональных многочленов Хана дискретной переменной // Матем. сборник. Т. 180. Вып. 9, 1989, с. 1259-1277. 25. Шарапудинов И.И. Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье // Дискретная математика. Т. 2. Вып. 2, 1990, с. 33-44. 26. Шарапудинов И.И. К асимптотическому поведению ортогональных многочленов Чебышева дискретной переменной // Матем. заметки. Т. 48. Вып. 6, 1990, с. 150-152. - 108 27. Шарапудинов И.И, Некоторые вопросы теории ортогональных систем Докторская диссертация. М.: МИАН им. В.А» Стеклова. 1991. 28. Шарапудинов И.И. Асимптотические свойства и весовые оценки многочленов Чебышева-Хана // Матем.сборник. Т.182.Вып.3.с.408-420.1991. 29. Шарапудинов И.И. Многочлены ортогональные на сетках. Теория и приложения. Махачкала. 1997. 30. Шарапудинов И.И., Вагабов И. А. О сходимости средних Валле-Пуссена для сумм Фурье-Якоби // Матем. заметки. Т. 60. № 4, 1996, с. 569-586, 31. Шарапудинов И.И. О топологии пространства 1 ([0,1]} // Матем. заметки. Т. 26, Jfc 4, 1979, с. 613-632. 32. Шихшинатова М.М. Оценка функции Лебега для дискретных сумм Фурье-Чебышева // Вестник Дагестанского научного центра РАН. № 12, 2002, с. 17-24; 33. Шихгиинатова М.М. Оценка функции Лебега дискретных сумм Фурье-Чебышева // Тез. докл. 11-ой Саратовской зимней школы " Современные проблемы теории функций и их приложения". Саратов: изд-во СГУ, 2002, с. 230-231. 34. Шихшинатова М.М. Об ограниченности средних Валле-Пуссена для сумм Фурье-Чебышева // Тез. докл. 12-ой Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". Саратов: изд-во СГУ, 2004, с. 207-208.
Вспомогательные утверждения
Актуальность темы. Работа посвящена приближению непрерывных функций суммами Фурье и их средними типа Валле-Пуссена по многочленам Чебышева, ортогональным на дискретных сетках.Теория ортогональных многочленов в последнее время получила интенсивное развитие и нашла многочисленные приложения. В частности, в теоретических и: прикладных исследованиях применяются разложения в ряды по ортогональным многочленам. При этом приходится решать следующую промежуточную задачу: для заданной \ функции / = f{t) из того или иного класса и выбранной ортонормированной системы { рп = п{0} требуется оценить отклонение частичной суммы Sn(f) = ?n(/, ) ряда Фурье функции / по системе { рп} от самой функции / . Эта последняя задача, в свою очередь, приводит к вопросу об оценке функции Лебега для соответствующей системы ор-тонормированных многочленов. На практике в качестве базисов часто применяются классические многочлены, ортогональные на дискретных сетках; именно идея применения разложений, по многочленам, ортогональным на сетках для обработки дискретной информации привела П.Л.Чебышева к созданию общей теории ортогональных многочленов. Однако до недавнего времени вопросы, связанные с аппроксимативными свойствами сумм Фурье по многочленам Чебышева, ортогональным на сетках и, особенно, их средних типа Валле-Пуссена оставались малоисследованными. Это, в первую очередь, было связано с отсутствие средних типа Валле-Пуссена. Г.. Оценить функцию Лебега дискретных сумм Фурье-Чебышева, 2. Исследовать вопрос об ограниченности норм операторов Балле- Пуссена V (/) для сумм Фурье-Чебышева.
Научная новизна. Исследованы аппроксимативные свойства сумм Фурье по многочленам Чебышева, образующим ортонормированную систему на конечной равномерной сетке. Получены оценки функции Лебега указанных сумм, которые в определенном смысле носят неулуч-шаемый характер (по порядку). С некоторыми ограничениями доказано, что нормы операторов Балл е-Пуссена V mif) 713 сумм Фурье-Чебышева равномерно ограничены в пространстве Cr-j i Апробирование работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались: -на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (ДГПУ); -на 12-ой Саратовской математической школе (2002 г.); -на 13-ой Саратовской математической школе (2004 г.); -на конференции профессорско-преподавательского состава ДГПУ (2003 г.) Краткое содержание диссертации. Нам понадобятся некоторые определения и факты, связанные с многочленами Чебышева Т% @{х, N) образующими ортогональную систему на сетке Пдг = {0,1,..., N — 1} с весом Эти многочлены представляют собой дискретный аналог классических многочленов Якоби Р Р (х) в том смысле, что формула Родрига для этих многочленов T {x,N) определяется следующим образом: пусть N -натуральное число, а, /3-произвольные комплексные числа, П V ( - А) = { ( определяет при каждом п многочлен степени не выше п. Пользуясь обозначениями формулу (3) можно представить в следующем виде: где kn= l/(n\{N-l)W).. Обозначим через T (X,N) (0 п N 1) многочлены, образующие ортонормированную систему на П// = {0,1,...,7 — 1} с весом /І(Х) , то есть порядка п функции f — /(х) по системе {т {X,N)} Q , где — коэффициенты Фурье для /. Из (6) и (7) получим При помощи линейной замены переменной получим систему многочленов ортонормированных на системе точек Xj = —1+77 і — 0,1,..., N—1, то есть м исследований по изучению асимптотических свойств самих многочленов Чебышева, ортогональных на дискретных сетках. Целенаправленное изучение асимптотических свойств указанных многочленов было начато в работах Шарапудинова И.И., в которых в отдельных случаях получены окончательные результаты и, как следствие, в этих частных случаях решена задача о поведении функции Лебега соответствующих сумм Фурье-Чебышева и их средних типа Валле-Пуссена. Г.. Оценить функцию Лебега дискретных сумм Фурье-Чебышева, 2. Исследовать вопрос об ограниченности норм операторов Балле- Пуссена V (/) для сумм Фурье-Чебышева. Научная новизна. Исследованы аппроксимативные свойства сумм Фурье по многочленам Чебышева, образующим ортонормированную систему на конечной равномерной сетке. Получены оценки функции Лебега указанных сумм, которые в определенном смысле носят неулуч-шаемый характер (по порядку). С некоторыми ограничениями доказано, что нормы операторов Балл е-Пуссена V mif) 713 сумм Фурье-Чебышева равномерно ограничены в пространстве Cr-j i Апробирование работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались: -на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (ДГПУ); -на 12-ой Саратовской математической школе (2002 г.); -на 13-ой Саратовской математической школе (2004 г.); -на конференции профессорско-преподавательского состава ДГПУ (2003 г.) Краткое содержание диссертации. Нам понадобятся некоторые определения и факты, связанные с многочленами Чебышева Т% @{х, N) образующими ортогональную систему на сетке Пдг = {0,1,..., N — 1} с весом Эти многочлены представляют собой дискретный аналог классических многочленов Якоби Р Р (х) в том смысле, что формула Родрига для этих многочленов T {x,N) определяется следующим образом: пусть N -натуральное число, а, /3-произвольные комплексные числа, П V ( - А) = { ( определяет при каждом п многочлен степени не выше п. Пользуясь обозначениями формулу (3) можно представить в следующем виде: где kn= l/(n\{N-l)W).. Обозначим через T (X,N) (0 п N 1) многочлены, образующие ортонормированную систему на П// = {0,1,...,7 — 1} с весом /І(Х) , то есть порядка п функции f — /(х) по системе {т {X,N)} Q , где — коэффициенты Фурье для /. Из (6) и (7) получим При помощи линейной замены переменной получим систему многочленов ортонормированных на системе точек Xj = —1+77 і — 0,1,..., N—1, то есть
Оценки норм операторов Валле-Пуссена
Апробирование работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались: -на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (ДГПУ); -на 12-ой Саратовской математической школе (2002 г.); -на 13-ой Саратовской математической школе (2004 г.); -на конференции профессорско-преподавательского состава ДГПУ (2003 г.) Краткое содержание диссертации. Нам понадобятся некоторые определения и факты, связанные с многочленами Чебышева Т% @{х, N) образующими ортогональную систему на сетке Пдг = {0,1,..., N — 1} с весом Эти многочлены представляют собой дискретный аналог классических многочленов Якоби Р Р (х) в том смысле, что формула Родрига для этих многочленов T {x,N) определяется следующим образом: пусть N -натуральное число, а, /3-произвольные комплексные числа, П V ( - А) = { ( определяет при каждом п многочлен степени не выше п. Пользуясь обозначениями формулу (3) можно представить в следующем виде: где kn= l/(n\{N-l)W).. Обозначим через T (X,N) (0 п N 1) многочлены, образующие ортонормированную систему на П// = {0,1,...,7 — 1} с весом /І(Х) , то есть порядка п функции f — /(х) по системе {т {X,N)} Q , где — коэффициенты Фурье для /. Из (6) и (7) получим При помощи линейной замены переменной получим систему многочленов ортонормированных на системе точек Xj = —1+77 і — 0,1,..., N—1, то есть ЛГ-1 ;=0 где { N -I p{xj)=iil- —{l+x),a,P,N Пусть / Є С[_ід], где С[_!д]-пространство непрерывных функций /(#), заданных на [—1,1], для которых норма определена следующим образом jl/jj = max j/(a;)j, Pn{f) = Pn(/,х)-алгеброический — 1 X системе {т$(х)}%-. Отсюда возникает задача об оценке функции Лебега % %{х) при х [—1,1]. Поведение функции Лебега для различных ортогональных систем исследовалась в работах многих авторов.В частности, задача об оценке функции Лебега L" (x) сумм ряда Фурье по ортогональным многочленам Якоби Р (х) являлась предметом исследования целого ряда авторов. Известно [14], что функция L% &(x) на интервале (-1,1) имеет порядок роста 0{1пп) при п — оо, то есть ,% & (х) х Inn. (—1 = х 1), причем равномерно относительно — 1+е х 1— с для произвольного е 0. В работе Г.И.Натансона и С.А. Агаханова [3] получен следующий результат: при а, /3 — равномерно относительно а: [—1,1] справедливо соотношение {r",Jy(x)} L01 в случае, когда а = {3 = 0 ,0 п aVTV, a 0 ,. JV" = 2,3,... было исследовано в работе [29] . В первой главе данной работы.мы исследовали поведение функции " (х) при ау0 — , n = OfiV1/3). Нам удалось получить в определенном смысле неулучшаемую по порядку оценку сверху для функции ЇАГ(Х) при n,JV -юо, n = 0{N1 ). Во второй главе в качестве аппарата приближения непрерывных функций рассматриваются средние типа Валле-Пуссена для сумм Фурье $(/, я) по многочленам т (х). Равенство (11) можно переписать в следующем виде Таким образом задача об оценке отклонения средних типа Валле-Пуссена для сумм Фурье Sfr ft(f,x) функции / по системе {тьм(х)}ь о от самой функции / Є С[- ц, в случае когда х Є [—1,1]. сводится к задаче об оценке величины V (a;). Эта задача для случая а — /3 = О рассматривалась в работе [29]. Во второй главе нами показано, что при определенных условиях на параметры, задающие весовую функцию, средние
Валле-Пуссена для сумм Фурье Sbx{f,x) равномерно ограничены на [—1,1] как семейство линейных операторов действующих в пространстве C[_iti]. Для общих линейных методов суммирования аналогичные вопросы были исследованы в работе [12], из которой следует ограниченность средних Валле-Пуссена для сумм Фурье-Якоби при — : /3 а \. Ограниченность норм операторов Валле-Пуссена для сумм Фурье-Якоби при — 1 а,/? 0 исследована в работе [30]. Результаты работы. В первой главе получены оценки сверху функции Лебега " (х) указанных сумм, которые в определенном смысле носят неулучшаемый характер. В 1.3 этой главы получены некоторые вспомогательные результаты. Для весовой функции р(х) її (— (1 + x),N) доказана » где a,/? —1 — действительные числа, n a\ N, a 0. непрерывна на отрезке [а, 6], h — (b — a)jm... Тогда: 1) если F(x) монотонно возрастает на [а, 6], го 2) если F(x) монотонно убывает на [а, 6], то В 1.4 получена оценка функции Лебега указанных сумм, которые в определенном смысле носят иеулучшаемый по порядку характер. Основным результатом первой главы является следующая Теорема .1.4.1. Пусть at/3 —-, Q x il, a Q,n aNz , x = cost/?, e(a) = 0, если a 1/2, e(a) — 1/2, если- a ф 1/2,с = c(a,/?,a). Тогда справедлива следующая оценка функции Лебега " {у(ж)- сумм Фурье- Чебышева. Во второй главе рассматриваются средние типа Балле—Пуссена для сумм Фурье 5j (/, х) по многочленам Чебышева т (х), образующим {--»& ортонормированную систему на равномерной сетке В начале главы устанавливается, вспомогательный результат, представляющий собой аналог формулы Кристоффеля-Дарбу для сумм вида Основным результатом этой главы является доказанная в 2.3 Теорема 2.3.1. Пусть —1 а, (3 0, а, 6, d —положительные числа (а b)t 1 п йг/з . Тогда средние Валле-Пуссена V = Kfm(/) равномерно относительно а — $о ограничены как линейные опера п торы, действующие в пространстве С[—1,1]. Выводятся следствия Следствие 2.3.1. Пусть —1 а, Д 0, а,6,с? — положительные числа, 1 n d\/N, En(f) — наилучшее приближение функции /ЄС[-1,1], тогда Здесь i/(n,N) — sup "—, где верхняя грань берется по всем ал Япфо \\Qn\\N гєбраическим многочленам Qn степени п N — 1, не равным нулю тождественно. Следствие 2.3.3. Пусть f Є C[-l,l], En(f) — наименьшее уклонение функции / от алгебраических многочленов степени п, Рп — произвольный многочлен степени п. Тогда, если n d\/Ny то найдется такая постоянная c(d), что
