Введение к работе
Актуальность темы
Одним из наиболее интересных разделов теории тригонометрических рядов является теория абсолютно сходящихся рядов Фурье Данное направление исследований берет свое начало со знаменитого результата Н Н Лузина и А Данжуа, которые в 1914 году доказали1 следующую теорему
Теорема А Если тригонометрический ряд
ап соь пх + bn sin пх (11)
п=1
сходится абсолютно на множестве Е, т(Е) > 0, то
Ы + \ьп\ < оо
п=1
В 1914 году С Н Бернштейн установил2 для функций из класса Lipw а следующее свойство
Теорема Б. Если 2ж-периодическая функция f(x) удовлетворяет условию Липшица порядка а, где а > \, то ее тригонометрический ряд Фурье сходится абсолютно
В связи с этим, интересен вопрос об оценке величины
Е KI + |ь„|
1Н Н Лузин К абсолютной сходимости тригонометрических рядов, Собр соч, ті, стр 31-40
A Denjoy Sur Tabsolue convergence des series tngonometnques, CR 156, 135-136
2 С И Бернштейн Об абсолютной сходимости тригонометрических рядов, Сочинения, ті, стр 217-223
В этом направлении в 1951 году С Б Стечкиным был установлен следующий результат3
Теорема В Пусть f Є L2[Q,2tt] и (11) - ее ряд Фурье Тогда существует такая константа С, что для любой возрастающей последовательность номеров {щ} имеем
k=l fc=l v« \n* /
где ьЯ(й, /) = sup. J \f(x + t)~ f{x)\4x
\t\<5 N
Естественно поставить вопрос об оценках снизу и сверху
величины
II/1U, = « + №,
71=1
при р Є (0,2) для функций имеющих определенную гладкость
Цель работы
Работа посвящена оценкам сумм степеней модулей коэффициентов Фурье функций из классов Ни как в одномерном, так и в многомерном случаях
Методы исследования
В диссертации используется аппарат теории тригонометрических рядов, метрической теории функций и действительного анализа
3 С Б Стечкин Об абсолютной сходимости ортогональных рядов Матем сборник, 29 (71), 225 (1931), стр 230
Научная новизна
Результаты диссертации являются новыми Установлены следующие основные результаты
-
В одномерном случае получены двусторонние оценки для суммы модулей коэффициентов Фурье в степени р функций из класса Нш, где ш(5) - заданный модуль непрерывности
-
В многомерном случае получены двусторонние оценки суммы для модулей коэффициентов Фурье в степени р для функций из классов Нш{Тт) и Нш*{Тт), где ш(5) - заданый смешанный модуль непрерывности, а шг(5) - заданный модуль гладкости
Теоретическая и практическая ценность
Работа носит теоретический характер Полученные результаты могут найти применение в теории тригонометрических рядов, метрической теории функций и действительном анализе
Апробация работы
Результаты автора неоднократно докладывались на научно-исследовательском семинаре "Тригонометрические и ортогональные ряды "под руководством акад РАН П Л Ульянова, проф М К Потапова и проф М И Дьяченко в МГУ с 2004 по 2007 годы, а также на 12-ой и 14-ой Саратовских зимних школах в 2004 и в 2008 годах, на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н В Ефимова в Абрау-Дюрсо в 2004 году, на международной конференции "Алгебра и анализ "в Казани в 2004 году
Публикации
Основное содержание диссертации опубликовано в 8 научных работах Список публикаций приведен в конце автореферата [1 — 8]
Структура и объем работы
