Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Модуль гладкости функций полоіительного порядка и о порядках ее убывания 26- 54
1. Вспомогательные предложения 26- 42
2. О модулях гладкости функций полонительного порядка и о классах Липшица в 42- 46
3. О порядках убывания модулей гладкости функций 46-51
4. О конструктивной характеристике элементов пространства 51- 54
ГЛАВА II. О точности оценок модуля гладкости полоіительного порядка 55- 78
5. Об оценках модулей гладкости с помощью наилучших приближений функций 55- 67 6. Об оценках модулей гладкости функций с помощью частичной суммы Фурье 67- 74
7. О соотношениях между модулями гладкости различных порядков функций 75- 78
ГЛАВА III. Кратные ряды фурье. конструктивные и структурные свойства функций многих переменных 79-103
8. Определения и вспомогательные леммы 79- 84
9. Смешанные модули гладкости и наилучшие приближения "углом" 84- 91
10. Об оценках наилучших приближений "углом" функций коэффициентамирье 91-103
Литература 104-111
- О модулях гладкости функций полонительного порядка и о классах Липшица в
- О конструктивной характеристике элементов пространства
- О соотношениях между модулями гладкости различных порядков функций
- Смешанные модули гладкости и наилучшие приближения "углом"
Введение к работе
Начиная с исследований Д. Джексона [76], [77] , С.Н.Бернштейна Й, [бб Ш.Валле-Пуссена [85J изучалась взаимосвязь структурных СВОЙСТВ функций с конструктивными.
Наиболее существенные результаты в этом направлении были получены в работах советских математиков: С.М.Никольского, Н.Е.Бари, С.Б.Стечкина, 0.В.Бесова, В.К.Дзядыка, А.Ф.Тимана, М.Ф.Тимана и других см,напр. [іб], [43], [59].
Далее, указанная взаимосвязь структурных и конструктивных СВОЙСТВ функций изучалась и в разных метриках (см.напр., работу П.Л. Ульянова [65]), а также вычислялись порядки точных верхних граней модулей гладкости, наилучших и других приближений на основных классах теории приближений [II] , [56] , [62], [64].
С другой стороны структурные и конструктивные свойства функции можно определить и по известной скорости роста нормы приближающих агрегатов. Первые исследования здесь принадлежат Г.Харди и Д.Литтльвуду ([74], см.также [26] стр.419, 469), А.Зигмунду [25], п.4.7,9 , С.Б.Стечкину [54]. Дальнейшее развитие этой задачи можно найти в работах [7], [43]. п. 5.2.2, [71], [80]. Эта тематика, в тех или иных аспектах, развивается и в настоящее время.
Настоящая работа относится к выше указанным исследованиям, связанным с оценками модулей гладкости функции. Причем показана неулучшаемость, в смысле порядка, основных неравенств установленных в работе. На наш взгляд, получение неулучшаемых оценок, в смысле порядка, представляет значительный интерес как в теоретическом, так и в практическом плане.
Обычно изучается модуль гладкости функции целых порядков, см. напр. [161, [23], [431, [59]. Основным объектом исследования нашей ра - 4 -боты является модуль гладкости функции положительного порядка, не обязательно целого, интенсивно исследуемый начиная с 1977 г. см. напр. C9J, [10] , №], [52], [53] , [69] , [73], [75] , [81-83] .
В диссертации получены критерий модуля гладкости положительного порядка от функций принадлежащих в L IA JH Lz{-°° )% изучены соотношения между дробными классами Липшица в LZL° J ; рассмотрен вопрос о порядке убывания к нулю модуля гладкости положительного порядка функции и получены ее двусторонние оценки посредством частичной суммы Фурье и.коэффициентов Фурье, тригонометрического наилучшего приближения; определены влияния на эти оценки метрики пространства Ь р[РЛя]. t i p oo ; показаны неулучшаемость некоторых теорем и точность, в смысле порядка, основных неравенств; установлены необходимые и достаточные условия существования производных Вейля и определены их дальнейшие структурные свойства; проведены сравнения полученных результатов, показана целесообразность введения модуля гладкости полонительного порядка.
Некоторые из этих вопросов изучены также и в многомерном варианте. Кроме них, установлены двусторонние оценки наилучшего приближения посредством тригонометрического угла и смешанного модуля гладкости с помощью коэффициентов фурье функции
О модулях гладкости функций полонительного порядка и о классах Липшица в
В настоящем параграфе приведены необходимые и достаточные условия того, что функция из С была модулем гладкости полоші-тельного порядка и изучены соотношения между классами Липшица в Lt oi4fi) Изложим о Теорема 2.1. Пусть о и. si, r 0 . Для того, чтобы 6J (-и) была модулем гладкости порядка г некоторой функции f(oc)t=L?Jotbi] необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление: CO(-LL) = Sup iipr(o) ft(h)\ jkUu где %(hhZ, ск Zj H)v4(t)cosvrJr; Cr_ o; С о. Доказательство этой теоремы опирается на лемму I.I, равенство Парсеваля и проводится по методу работы О.В.Бесова и С.Б.Стеч-кина И. Спрашивается, можно ли в классах Дг.г непрерывно меняя oit или Г , получить классы шире или уже, чем исходный класс? Справедлива Теорема 2.2. Пусть 0 d. r t тогда класс функций ) г;Ья шире, чем / . . Доказательство. Так как г ы. , класс функции г.. Теперь покажем, что функция ( )sHT;LzfEO (х) l r;L где , (ос) функция определенная с помощью последовательности (1.39). В самом деле А это показывает, что -А „ (ос) Ш: Н„ , . Теорема 2.3, Пусть о ы. г . Тогда класс функции H .t ШИРЄ, ЧЄМ АЬ-Д, Доказательство. Так как d o , то включениеU-,.TC/-LT следует из леммы I.I. Далее рассмотрим функцию ДО из предыдущей теоремы. Нам уже известно, что/ ДО є. /-Iй . А из (1.40) и следствия 1.2 имеем т.е. / ; (сс) ь/-Т . Теорема доказана. Также из неравенства (1.25) и обратной к нему теоремы (см. [82]) следует Теорема 2.4. Пусть О fr d , тогда классы Lriz и -&:LZ совпадают. Отметим, что некоторые обобщения теорем 2.3, 2.4 также получены в 69). Теорема 2.5. Для того, чтобы заданная функция lO(tt) была модулем гладкости для некоторой функции (х)є. [,я(-оо: +оо) порядка г 0 , необходимо и достаточно, чтобы существовала функция, №эс/ удовлетворяющая следующим двум условиям: I. f(x) _ есть косинус преобразования Фурье некоторой суммируемой и неотрицательной функции у (зс) .
Причем ряды в квадратной скобке сходятся абсолютно. Необходимость. Пусть bj(t) является модулем гладкости порядка Г некоторой функции f(oc) Lz(-,+ x )t т.е. Так как где fA(&) - преобразование Фурье функции f(cc) , то применяя формулу умножения рядов Фурье [I] имеем: силу сходимости ряда последнее равенство можно почленно интегрировать. В качестве w(t) берем функцию Она удовлетворяет условиям теоремы. Достаточность. Если существует функция if (ос) , удовлетворяющая условиям теоремы, то, вычисляя разность порядка г от функций получим нужное равенство Теорема доказана. В отличие от 2 здесь рассматривается пространство LpLo,2si] і р оо . Определены связи между скоростью убывания к нулю модуля гладкости положительного порядка и коэффициентами фурье функции f(x)e LpLo,2% ] . Показано, что свойства а)-в) функции 6д(-и) ф с точностью до отношения эквивалентности полностью характеризуют модули гладкости г -го порядка (r o) . Исследования проведенные в этом параграфе примыкают к результатам С.Алъянчича и М.Томича [67], М.К.Потапова и М.Бериша [48], В.Э.Гейта [II] , [12] , И.А.Шевчука ([16], стр.168), В.И.КЬля - ды 1 35] , Т.В.Вадославовой [49] , [50], [79]. последовательности чисел \аг С,, і &к I , такие. что Тогда существует функция /{ж)є Lp [о,2л) , для которой ак,&к, /с = 12,... являются коэффициентами Фурье, а также существует производная Веиля Доказательство. Пусть Z 4 р со , тогда р -р .В силу условия (3.1) и теоремы Харди и Литтльвуда (ГЙ, стр.217, [27], стр. 165) получим, что ак Ьк и Киак ,ы 4: являются коэффициентами фурье для некоторых функций f(x) и (я) соответственно, причем Ґ ) ТоГДа ИЗ ЛеММЫ 1.3 СЛеДуеТ, ЧТО Существует f (ОС)G Ър [0,2713 и справедливо (3.2). В случае -f p 2 такое заключение вытекает из последнего неравенства,(3.1) и неравенства Гёльдера. Для 2 р оо , рассуждая как при получении неравенства (1,33) и с помощью леммы 1.3 будем иметь
Доказательство. Пусть / / 2 , тогда =/ . Так как существует / (х)є. LplPiZn] , то согласно лемме 1.3 следует, что Ряд J2 /с А (х) является рядом Фурье для некоторой функции Чіі (ос) LpГ ЗД . Тогда неравенство (З.б) при / р 2 можно получить рассуждая как при получении соотношений (1.34) и (1.35). А в случае 2 р оо неравенство (З.б) следует из неравенства Гёльдера и доказанной части теоремы при р=2 . (3.5) вытекает из (3.6). Теорема доказана. (г) Теорема 3.3. Пусть 1 р оо; об,г о; Z o; /(х) є Utp. Тогда сходимость ряда - 49 -составленного из коэффициентов Фурье функции f(x) ;, необходимо и достаточно для существования производной Вейля М(сс) Ьр1 2л] и при этом Необходимость,и обратная оценка к последнему неравенству следуют из леммы I.I2 и 1.3, а соотношения (3.9) - из леммы 1.3 и следствия 1.2. Замечание 3.1. Условие теоремы 3.1 не является необходимыми при -f p Z , а условие теоремы 3.2 - достаточным при я р оо для существования производной Вейля f (jtfG.Vp n zvij . Что бы убедиться в этом, рассмотрим функцию / (ос) из леммы I.I5. В силу теоремы 3.3 у функции oej ) существует fzi00joC М, -! р г. А теорема ЗЛ, при / yo 2 , такого утверждения не гарантирует, так как 12 ак-/с = + со , где а определены равенством (1.39).
Отсюда видно, что условие теоремы ЗЛ не является необходимым. Рассматривая функцию/ с) из леммы I.I5 также можно убедить ся, что условие теоремы 3.2 не является достаточным при Z p o. На примере функции/ ( )=22 /с оьжгвидно, что соотношение (3.9) определяет более точное порядковое соотношение, чем (3.3) и КГ = /7.+-/ Теорема 3»б. Пусть 1 р сю ; Z)ir o-J f (ос) ilF ; тогда для функции Ск)(-сС) соотношение г ; = № ( ). имеет место тогда и только тогда, когда Теорема 3.7. Для любой функции dJ(-u)cp г у-о существует функция {(я)є.І,рГо,2Ті],і р со такая, что Доказательство. Пусть ОдL-U-)&.ЯРГ T J- a- ijc) Последова-тельно применяя леммы 1.6 и 1.7, построим функцию f0oc) 2J a crcs/ur где CLK определены равенствами (I.I2). Тогда, в силу (I.I3), следствия І.I и утверждения 2) леммы 1.6 будем иметь С другой стороны, последовательно применяя неравенства (1,14), (3.9) можно показать, что справедливо Отсюда и утверждения 2) леммы 1.6, получим Теорема доказана.
О конструктивной характеристике элементов пространства
В этом параграфе дифференциально-разностные свойства функции охарактеризованы по степени приближения функции тригономет -рическими полиномами определенного вида. Результаты настоящего параграфа являются обобщением и развитием некоторых исследований Р.М.Тригуба (cM.fl6j, стр.241), П.ХБутцера [72] и других. Теорема 4.1. Пусть f p со r o; f(x) єЬР Lo,zsi} . Тогда справедливо соотношение Доказательство. Пусть Т (х) - тригонометрический полином наилучшего приближения для f(oc)e.LpLo,2VLl Если учесть, что и неравенство Отсюда и из (1.25) получим: Обратное неравенство получается с помощью леммн 1.2 аналогичным путем. Следствие 4.1. Пусть У р оо; г о; (сс)є. Lp IP Я 7t ; Ц іО ; nfoo # тогда для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы - 53-Теорема 4.2. Пусть / р оо, o d r . Тогда у функции // ё L га 2 5ijf существуетrf(oc)e H- th о тогда и только тогда, когда / (х) є HZ І Доказательство. Если существует У єЯ при «? r , то что (х)єНТ; следует из леммы 1.2, а обратное предложение при / р оо следует из теоремы 5.1 и предложения 4.1 из [72], в случае р оо из теоремы 7.1 и предложения 4.1 ТОЙ же работы. Случай оС = л содержится в [72]. Из следствия 4.1 и теоремы 4.2 вытекает следующая Теорема 4.3. Пусть 1 р о; с л; / (ос) є L [р,гя]. Тогда для того чтобы функция f-(cc) имела производную$ffloc)el diL необходимо и достаточно, чтобы имело место соотношение Теорема 4.4. Цусть / р Поі 0; /(сг)є lp L0 ZnJ; 6J (jf) lO,nfoo . Тогда& /&)є htr.-L тогда и только тогда, когда Необходимость, Легко показать, что почти всюду Используя (4.3), теорему 4.1 и лемму 1.2, а также то, что 2 /У; есть тригонометрический полином, получаем Достаточность. Пусть справедливо (4,2), Тогда в силу теоремы 4,1 имеем: Теперь из (4.4) и теоремы 5.1 из ["69] видим, что существует )оі[ (йс) ХҐГІ( ;йс)] . Так как Zrn(t;sc) тригонометрический полином, то отсюда следует существование $У?0 Тогда, согласно (4.2)-(4.4), будем иметь
Отсюда и из теоремы 4.1 получаем достаточность условия (4.2). В настоящем параграфе, являющемся продолжением и развитием работы 0. В.Бесова [4], М.Ф.Тимана [60]- [6, В. М. Кокилашвили [34], выявлено влияние метрики пространства Lp LD 2 л] , у р на скорость стремления к нулю модуля гладкости полони тельного порядка. Показана неулучшаемость полученных утверждений. В силу условия теоремы последнее выражение стремится к нулю при П,ГП- оо . Следовательно, Существует фуНКЦИЯ ЦЪ(Я):1/р1р,Я!пЗ ОС для которой ряд }/с Л (х) является рядом Фурье. Тогда согласно лемме 1.3 у функции ffx.) существует производная Веиля Неравенство (5.1) следует из (1.26) при /г- +оо . Далее, согласно (1.22) и (1.23) имеет место соотношение: Отсюда и из (5.1) получим Теперь неравенство (5.3) следует из (5.2), (5.5) и (1.26). Теорема 5.2. Пусть i p oolp = mascfap);oL o;r &o;n. = i.zl -- b ffoc)s Lf&zx]. Если существует -f M є Lp LO,2 7L] І, TO ряд и справедливы неравенства: Доказательство. Пусть /\/ /г, 4Я 2 \ Используя монотонность наилучшего приближения, а также теорему Литтльвуда и Пэли ([27] , стр.349) имеем: В случае g p oo применяя неравенство &\) (3D о. v) г , а при 1 P Z обобщенное неравенство Минковского і [43], стр. 130) и меняя порядок суммирования можно продолжить далее, на основе теоремы Литтльвуда и Пэли: Теперь заметим, что Ъ = v u для І/є [2 , 2 f/XjW-4/,3 является множителем Марцинкевича. Тогда, с учетом теоремы Марцин кевича (MJ, стр.57), (1.23), (1.25) и леммы 1.3, можно вывести следующее неравенство Следовательно верно и Так как существует f (OC)G ЬрІо,гті] t то на основе лемм 1.10 и 1.2: Тем самым, неравенство (5.8) доказано. Соотношение (5.б) следует из (5.8), а (5.7) - из (5.6) и (5.4). Замечание 5.1. Неравенство (5.8) точнее, чем (0.5). В самом деле, всегда: С другой стороны, для функции 4 j_ .(се) (см.лемму I.I5) по нера р р л ВеНСТВу (0.5) При "U р z со Н- р &- а (5.8) для этой же функции определяет более точную оценку: тогда для функции (ос)е.Лр существует производная Вейля / зс)Є UpIP ti] тогда и только тогда, когда Доказательство. Согласно теореме 3.3 для существования произ /2") водной Веиля порядка OL O , для каждого /№)є Мр ,/ / оо, является необходимым и достаточным условием сходимости ряда J3 а? &Р(с1Н) г. Далее, с помощью лемм I.II, I.I2 можно показать, ЧТО Соответственно оценка (5.II) следует из неравенства (3.8), а соотношения (1.22), (5.4) и (5. II) помогут установить (5.12). Оценка сверху для 6Jr( ,n4)p доказывается как неравенство (5.3). Бели существует / и ( х) , то из леммы I.II и (3.9) имеем: Таким образом, (5.13) полностью доказана. Замечание 5.2. Достаточная часть теоремы 5.3 при 2 р ; является, в классе %ЛР , усилением теоремы 5.1. Это подтверждается тем, что, согласно лемме 1.5, всегда Это означает, что из сходимости ряда (5.1) всегда следует сходимость ряда (5. II).
Далее рассмотрим функцию J г л toe) определяемую по лемме I.I5. В силу (1.40) теорема 5.1 вообще не дает никакой информации об ее дифференцируемоети, тогда как (5.13) приводит к неулучшаемой оценке Более того, теорема 5.3 точнее чем теорема 5.1 в определении скорости стремления к нулю модуля гладкости положительного порядка. В самом деле, рассмотрим функцию fPiiл№) определяемую по лемме I.I5. Из (1.40) и (5.13) следует, что тогда как неравенство (5.3) приводит лишь к соотношению При / р 2 , теорема 5.3 является усилением, на классе функций KJLIpL , и теоремы 5.2. В самом деле, рассмотрим функцию їм, построенную с помощью леммы I.I5. В силу (1.40) по теореме 5.2 имеем лишь такую оценку тогда как по теореме 5.3 Теорема 5.4. Пусть У р Г т-Сп (2,р) ;dL o; л о ; (fat О , я t оо # т0Гда ДЛЯ любой функции (сс)є Ер существует производная Вейля /Гс )(х)є LP 1,г?і] тогда и только тогда, когда Достаточность условия теоремы следует из теоремы 5.I и опре-деления класса tp Необходимость, Пусть для любой функции / (ее) є Ер су ществует производная Вейля / (ос) є Lp І9 25zJ , но Тогда рассмотрим функцию f0 (ос)єЕр 1 р со , определяемую леммой 1.7. Пусть -1 р4 2, сґ=Р .В силу (І.І4) и (5.17) имеем Тогда согласно теореме 3.3 у функции /0(х) не может существовать производная Вейля // в Ър1о.гъ1 при / Р 2 .Следовательно, допущение (5,17) не верно при 1 Р Пусть теперь р о Рассмотрим функцию: По теореме 8.20 из ( 2б]стр. 345: { ) є Z rO/ДО,і ./ .лэ и С другой стороны при яЛ л д : Теперь как и выше допустим, что \/-%ю є Е 3- %єД," / Щ но при этом имеем (5.17). Тогда применяя неравенство Гальдера, теорему 5.2 при р к и учитывая, что wjffyl — $ е имеем: что противоречит допущению (5.17). Тем самым необходимость условия (5.14) доказана. Докажем вторую часть теоремы. Неравенство при / -/ до следует из теоремы 5.1 и определения класса , . Установим справедливость обратного соотношения. Пусть f p & и /( ) существует ? йо в ZaVo/ - То.гда в СИЛУ Доказанного имеет место (5.14). Теперь, на основании леммы 1.7 и теоремы 3.3 имеем:
О соотношениях между модулями гладкости различных порядков функций
Здесь получены точность по порядку соотношений между модулями гладкости различных порядков, приведены результаты, описывающие дифференциальные свойства функций с помощью модулей гладкости, показана неулучшаемость, в смысле порядка, полученных оценок. Как известно (см.напр. [64)), неравенство (1.37) является усилением неравенства Маршо ([59], стр.117), а (1.38) - известного соотношения между модулями гладкости различных порядков (см. лемму 1.2 свойства (е) и (д)) в пространствах LpLo,2$j,-/ p oo. Мы здесь показываем неулучшаемость, в смысле порядка, неравенств (1.37)-(1.38) в различных классах. А именно справедлива Теорема 7.1. Пусть j р «х ,ъ-=т.-п(г,р), р =гпсмс (2, р); Тогда выполняются соотношения: Доказательство. Из (1.37), (1.38) и определения классов ЯГ;1 k ,L следует, что Полагая к=со(} с помощью лемм 1.6, 1.7 определим функцию 0t н)ъ !г tiLi-ъаКу . » где ал: - определены равенствами (I.I2). Так как сд; єМ , то из леммы І.І4-, неравенств (З.ІІ) и (3.13) имеем: Обратные к (7.5), (7,6) неравенства можно вывести с учетом определения числа т и р применением неравенства Гельдера как в предыдущих теоремах (см.напр.теоремы 5Л и 5.5). (7.3) следует из (3.12), (1.28) и рассуждая как теорема 5.4. А неравенство (7.4) доказывается с помощью леммы I.I6 рассуждением, аналогичным доказательству теоремы 5.5. Теперь приведем структурные аналоги теорем 5.1 - 5.3. Теорема 7.2. Пусть / -р - Ъг . к. (&,p)j о у г о то существует производная Вейля -& \l) е А,9-\\ и г Доказательство этой теоремы следует из теоремы 6.1 и (0.10). Она ЯВЛЯеТСЯ уСИЛеНИвМ ТеОреМЫ 2 (28] , ТеореМЫ 4- /ГбЗ ПРИ / cf) L j Также с помощью теорем 5.2, 5.3, 6.2, 6.3 можно получить следующие теоремы: Теорема 7.3. Пусть / -Р « ; p- i fetf) , b j Л? -k (fJL?.:j ґР-сск )гь ) tt- Если существует производная Вейля Неравенство (7.8) является улучшением неравенства (Е) из лем мы 1.2. Теорема 7,4. Пусть 4 p oo ,Z,oL o; г о-,п=1.2,.... Тогда у функции /(cc) JJ существует производная Вейля /ґоі)ґсс)єІ [о,гя) тогда и только тогда, когда и при этом: Здесь ясно,что теорема 7.4 является усилением теорем 7.2 и 7,3 в класса Ulp , а также соотношения (7,9) ,. дает более точные порядковые неравенства, чем (7Д) и (7.8).
Они доказываются как в 5 (см.замечаний 5.1, 5.2), В связи с этим естественно возникает вопрос: в каких классах неравенства (7.7) и (7.8) неулуч-шаемы, в смысле порядка? На этот вопрос ответят следующие теоремы. Теорема 7.5. Пусть У уо ; X rntп.(%.,р); 6 oL 0; бд{-и)є Р&. Тогда для (х) е р. существует производная Вейля , и)(ос)є Lffazz.] тогда и только тогда, когда - 78 -Достаточность теоремы следует из теоремы 5.1, неравенства (1.25) и определения класса Н . Необходимость. Если у функции (х) // , существует про изводная ${{ij , то рассуждая как при доказательстве теРемы вЛ получим (7.10). Пусть О-Ґ- 4, л о Неравенство следует из определения класса /k,.., и теоремы 7.2. Для дока зательства обратного неравенства, как обычно, рассмотрим функцию Очевидно, что г ( } єй теперь нужное нам соотно шение следует из (6.16). г Рассуждая как при доказательстве теоремы 5.5, с помощью (З.П) и (3.13), можно установить и следующую теорему. Теорема 7.6. Пусть t p ) j /uc (Hff) , oCtr о , № "- I . Р ґ I л В ЭТОЙ главе некоторые основные результаты предыдущих глав перенесены на двумерный случай, кроме того, даны оценки наилучших приближений посредством тригонометрического угла с помощью коэффициентов Фурье, Результаты ЭТОЙ главы также справедливы и на п. -мерный случай (п. 5).
Смешанный модуль гладкости функции (я,у)єЬрр,г7\їі р«х порядка г,е о по oz и по у определим так: В силу неравенства ([43], стр. 27) Cx]re(-f: 1, определено для любой функции f( y)eL0P Lo,Zxl\ 7 p CO. Смешанную производную Вейля функции f-C G LpLP/2.%] порядка U o по ос , Ь о по t/ обозначим через f (х,у) (см. напр. [39J). Частичные суммы Фурье функции 4(се,у)еьРІР.г7ії по -ос и по У , соответственно обозначим следующим образом: Далее отметим, что смешанные модули гладкости положительного порядка обладают рядом свойств, аналогичным тем, которые были указаны в 1 для модулей гладкости функции одной переменной, доказательство которых почти дословно повторяют доказательства для функции одного переменного (см.напр. Гбй) , [82]). Поэтому среди этих свойств приведем без доказательств только необходимые в данной главе. Лемма 8.1« Пусть 4 р \ос,ъ о . Для того чтобы существовала смешанная производная Вейля їХі у (ос.у)є ЬрЕо,%я1 необходимо и достаточно, чтобы ряд 22 С кл-ев-Ак,е ( ,у) был рядом Фурье для некоторой функции У«,в(Х;у) G LP IO,Z7L1Z . При этом:
Лемма 8.2. Пусть -/ я )г,е о; / /)еLj LO.гл} ; тогда имеет место соотношение: Доказательство лемм 8.1 и 8.2 проводится с помощью многомерного аналога неравенства (1.3). Лемма 8.3. Пусть и,Ь о; %,т fa, у) - тригонометрический полином по ее степени П. и по у степени т. и у /э оо тогда справедливы неравенства: Лемма 8.4. Пусть j p -oa/ Azr/naxrCZ ttesnt/ifap); r,e o; соответственно рядами Фурье функций при этом: Лемма 8.6. Пусть коэффициенты Фурье функции {.(ссу)є, L EP,ZTL] J р оо полоаительны и удовлетворяют условиям тогда эта функция У t- o-y L о содержится в Мр . Эти леммы легко доказываются. Лемма 8.5 впоследствии позво дит нам вести доказательства некоторых теорем не для ряда Z? Z? /) (я У) , а лишь для указанных частичных рядов, что существенно уменьшает громоздкость выкладок. Лемма 8.7. [29] , [51] . Пусть / р о= и для последовательностей положительных чисел {0-к t J 7=/ выполнены условия АкО-К/ЄЩ
Смешанные модули гладкости и наилучшие приближения "углом"
В работе [45] М.К.Потаповым было получено,в терминах смешанного модуля гладкости, достаточное условие существования смешан-ной производной rf t (X y J) ) ot,b=f,2,.. . Здесь приводятся оценки смешанного модуля гладкости положительного порядка с помощью наилучшего приближения "углом". Теорема 9.1. їїуюь{ р Х=тїп(г,ір );оі&г,& о-,п,гп = і,г,.... f(2.y)elp№ZTilZ Если то существует смешанная производная Вейля f С У)єІ Го,глУ и имеют место неравенства: Доказательство. С помощью свойства смешанного модуля гладкости функции и теоремы Г [4Г1 можно получить, что Отсюда, в силу условия теоремы 9.1 и теоремы из [45], следует, что ряд 20 Ї2 к е -АКіє(Я У) является рядом Фурье для некоторой функции %_,% &У) LP Ео,27і]г . Тогда, согласно лемме 8.1, существует Р (зс,У) и справедливо (9.1). С помощью соотношений (8.2)-(8.6) и (9.1) можно убедиться в справедливости (9.2). Докажем неравенство (9.3). Из определения смешанного модуля Последовательно применяя неравенства (8.1), (8.2) и (9.2) можно заметить, что г,&(( ,тШ }р1пв превосходит правой части не-равенства (9.3), Также из леммы 8.3, ограниченности частичной суммы Фурье в Lp 1о,Яя2 ,-/ р оо и леммы 8.4 следует, что 6Jr,e-((Sn,m(tyx,y n f m4)p не превосходит правой части неравенства (9.3). Далее, с помощью (8.2) нетрудно проверить следующие соотношения: Чкч.е-і (Ъп,оЫ)-$п,т. Ы))Р =0, к п для любого е & і , (9-7) Но из леммы 8.3 и (9.1) будем иметь Теперь остается применить к последнему неравенству соотношения (9.5) - (9.7) и мы убедимся, что 6JrB ((Ga,«() %,т(4)) ч % также не превосходит правой части неравенства (9.3). ,,/ ,2 / оценивается как 6дг,е ((%,&({)- п.т №)) ,у ;п !w % Теорема полностью доказана.: Далее пусть 2 а 2-Mff; 2v rn 2V \ Тогда, используя моно тонность Уп т (4)р (8.2) и теорему Литтльвуда и Пэли (Г43У,стр. 55), имеем:
Отсюда, в случае i p Z с помощью обобщенного неравенства Мин-ковского ([43],стр. 130), а при Z p неравенства 72а (Яь Т и меняя порядок суммирования там, где это необходимо, получим Согласно теореме Литтльвуда-Пэли ( J43),стр.55) будем иметь: Заметим, что 2 S2M при к є ? , Z$H], e Z O, является множителем Марцинкевича, тогда по теореме Марцинкевича (fttf, стр.57): Далее, применяя последовательно (8.2), леммы 8.4 и 8.1, выводим что Таким образом Рассуждая также как при доказательстве неравенств (9.II) - (9.13) можно установить, что (& $(XL$. j L - 1 1 10), В этом параграфе, при дополнительной информации о характере стремления к нулю коэффициентов фурье, установлены двусторонние оценки наилучшего приближения "углом" с помощью коэффициентов Фурье. и каждая из последовательностей положительных чисел {0-КіЄ)ҐЄ удовлетворяют условиям: Если Доказательство. То, что существует {(я,у) ир]р,ъгЛ для которой &% являются коэффициентами Фурье этой функции - 92 -следует из леммы 8.7. Неравенства (10.2) докажем для функции оо с , 0 Легко видеть, что коэффициенты функции Ра.т У) тоже удовлетво-ряют условию теоремы. Тогда, применяя лемму 8.7 для функции Fn,m ( У) имеем: Для функции fj(x,y),j ъьл последнее неравенство доказывается аналогичным образом. Теорема доказана. Утверждение теоремы 10.I также справедливо и при менее жестких условиях. Теорема 10.2. Пусть 1 р« ;п-=о,і 2,.,, и даны последовательности положительных чисел / :/-/,2,5, и Если существувт Z,L o такие, что то э существует (я.у)єЬрІо,гяЗ для которой аке являются коэффициентами Фурье и при этом имеет место неравенство: м Доказательство. Если 2 p o t To теорема 10.2 без первых трех слагаемых следует из теоремы Харди и Литтльвуда (см. напр. [51]) Пусть 1 р 2 . Рассмотрим ряд и покажем, что существует функция д №,у)є ЬрІОЛїі г для которой (10.8) есть ряд Фурье. Кроме того, установим, что для д(ос,у) верно неравенство (10.7). Для этого рассмотрим тригонометрический ряд: у него коэффициенты удовлетворяют условиям теоремы ЮЛ. Поэтому, (10.9) является рядом Фурье некоторой функции д7 й(ъу) и Ряд (10.8) получится из (10.9) почленным умножением №xrHe +f
Тогда будем иметь: Следовательно, согласно лемме 8.1 и теореме 9.1 (10.8) есть ряд Фурье некоторой функции q(x,y)GL0p L &0 и: Далее, рассматривая ряды 2Г Z7 3 sin кос-sin. іц и, рассуждая как и выше, с помощью леммы 8,5 завершаем доказательство теоремы 10,2, Теорема 10.3. Пусть -f p : /&,у) Ь 1Р.2эйк и ее коэффициенты Фурье положительны. Тогда имеет место неравенство Доказательство проведем для функции fjlCyh-LEp-be icacco&ty. fc-1 e t Имеем Іапн e-m+-f о о Пусть г Мр-//-;- 1-Vx%гае U J; ,,„ .) -тригонометрические полиномы соответственно степени п по л и степени /7? по / Тогда, применяя неравенства Гёльдера и (10.5), придем к следующему неравенству:
