Введение к работе
Актуальность темы.
Хорошо известно, что, если /х - мера на окружности Т, а ц, -её сингулярная часть, то для интеграла Коши
MO = / j
справедлива асимптотическая формула
Шту mes{< Є Т : \Кц{і)\ > у} = ±\]ц.\\. (*)
Этот результат, варианты которого были известны еще в прошлом веке, оказался весьма полезен в задачах свободной интерполяции.
Точное равенство (*) пе выполняется в многомерном случае даже для свертки с набором {Rj} ядер Рисса, которую можно рассматривать как многомерный аналог интеграла Коши.
Используя теорию сипгулярных интегральных операторов, разг работанную Кальдероном и Зигмундом в 50-х годах, можно доказать что, при замене интеграла Коши па сингулярный интегральный оператор с определенными условиями на ядро, выполнено неравенство
А mes{* Є Т : (К * ді(і))* > А} < Ск\\(і\\,
где /* - некасательная максимальная функция распределения /. Вопрос о существовании аналогичной асимптотической оценки снизу до педавнего времени был изучен только для двух операторов: тождественного и системы операторов Рисса. Последний результат был получен Варопулосом в 1981 году и выглядит следующим образом:
lira А mes{f Т : (Я,- * /j(<))2 > А2} > с\\(і,||
А-++ СО
(имеются іі виду пекасателї>пьіе гранпчпые значения сверток Rj*
а0-
Таким образом, актуальна задача о по возможности полном описании наборов ядер, для которых справедливы подобные нижние оценки, - особенно в связи с известной технологией приложения таких оценок к задачам свободной интерполяции.
В диссертации получена точная характеристика свертывате-лей К с однородным символом (частным случаем которых являются однородные сингулярные интегральные операторы Кальдерона-Зигмунда), для которых существует оценка
lim А mes{t Є Г : (К * fi(t))* > А} > ск\\р.\\ (**)
А-++СО
(включая случай ядра со значениями в конечномерном пространстве). Эта оценка нарушается тогда и только тогда, когда в какой-то точке единичной сферы выполнено равенство К() =
к(-0 = о.
Цель работы.
Найти необходимое и достаточное условие существования оценки (**) для мультипликаторов с однородным символом порядка 0 и исследовать варианты и приложения таких оценок.
Общая методика исследования.
Используется аппарат классического анализа, гармонического анализа, теории операторов и теории меры.
Научная новизна.
Все основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность.
Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в многомерном гармоническом анализе, теории меры и в задачах интерполяции.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались па семинаре ГГОМИ-СПбГУ по линейному и комплексному анализу.
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1,2].
Структура и объем работы.
