Введение к работе
Актуальность темы. Анализ в бесконечномерном случав представляет собой обширную и быстроразвиваюпуюся область в математике с ис-оодьзованкем различных математических методов„а также созданием совершенно новых методов исследования. Это вызвано, потребностями математической разики и самой математики; в связи с этим отметим работы следующих авторов: А.И.Авербух, О.Г.Смодянов, Ю.М.Березане-киї, Ю.Г.Кондратьев, Ю.Г.Борисович, В.Г.Звягин, Ю.И.Сапронов, И.И.Гельфавд, А.М.Яглом, Ю.Е.Гликлих, А.Н.Колмогоров, Е.Л.Далвц-кж&, С.В.Фомин, Г.Е.Шилов, В.Е.Захаров, Л.Д.Фаддеев, А.В.7глаков, Н.Бурбаки, Х.Дьедонне, С.Ленг, А.Картан, М.Кац, дж.Глямм, А.Дкафф Н.Вин»р, Р.Х.Камерон, В.ТЛартин, Л.Гросс, X.4J. Куо, В.Гудман, И.А.Нич, С.Смейл, Р.Рамэр и др.
Наибольшую трудность в бесконечномерном анализе представляет сі бой теория интегрирования, связанная со структурой пространства, на котором она рассматривается. В конечномерном случае фундаментальную роль играет мера Лебега, которая с точностью до константы определяется следующими условиями: она инвариантна относительно сдвигов, принимает конечные значения на ограниченных борелевых множествах и положительна на непустых открытых множествах. В беек нечномерном случае нельая построить такую меру. Но хотелось йи ун следовать некоторые свойства меры Лебега. Б связи с чем сущвствуе много различных подходов к теории интегрирования в бесконечномерном случае (см. работы А.Н.Колмогорова, Н.Винера, П.Леви, Дя.Иллс К.Д.Злуорти, Р.Реймера, Л.Гросса, Ю.Л.Далецкого, А.В.Угланова и до.)
Наиболее плодотворным в теории интегрирования оказалось направ
ление, связанное с развитием теории случайных процессов, начиная работ А.Н.Колмогорова и Н.Винера. Теория винеровых интегралов
ыявнла ряд особенностей, свойственна! янтеграрованию в функцно-
іальннх пространствах. Наиболее глубоки» результаты связаны с га»-
гами следующих математиков: Р.Х.Камврон, В.Т.Цартнн, М.Кац, М.Д.
Іоясквр, Лд.Лионнс, Л.Гросо, P.ftaiep, I.-G. Kyi», ВЛудаин, M.A.
Іич, Г.Е.Пйлов, Ю.Л.ДЭлвщкй, С.В.Фомия, А.В.Скороход и др. ;,
Введенное в 1965 г. І.Гроссом понятие абстрактного просгрмогад Зинэра наиболее естественным образом вскрыло свойства интеграла Зннара, что поаволшго установить ряд интересных фактов: формулу ан-гегрнроваяия по частяы, теорему о дивергенции для гиперповерхностей гильбертова пространства, аналог теоремы Якоби о замене переменной под знаком интеграла, теорию интегрирования на бесконечномерных многообразиях и т.д.
В данной диссертации с использованием абстрактных пространств Викера, меры Винера и Н-даффервннируемостн удалось полутать ряд интересных результатов.
ЦВДЬ .работы:
- изучение Н-ди$феранцируешсс отображений банаховых пространств
и условия их гладкого продолжения;
изучение Н-критических значений Н-дифференшруемых отображеяий;
изучение преобразований банахова пространства, переводящих нульмножество в нуль-множество по мере Винара;
изучение аппроксииаоионши свойств банахова пространства Н-аяа-литическими отображениями;
изучение оператора Лапласа, пороаденного мерой Винера и его спектра.
ЗДучная новизна. Получены условия, при которых Н-дифферекцируе-мое отображение продолжается до более сильного, в смысле дифферен-цируемости, ' дифференцируемого отображения, что позволяет ДЛЯ. Н-дифференцируемых отображений доказать аналог теоремы Сарда и ус-
тановить локальную единственность реаеная нелинейного уравнения без условия дифференцируемости по Фреше. БВедено понятие Н-анали-тачвсхого отображения, посредством которого удается выявить аппрок-симапдонные свойства Н-аналитическнми отображениями банахова пространства. Построена новая аппроксимационная последовательность для оператора Лапласа, порожденного мерой Винера, вследствие чего удается установить счетность спектра этого оператора.
Достоверность полученных результатов вытекает из строгости изложения и полноты приводимых доказательств.
Адробашя -работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на:
семинаре по геометрии в целом Московского госуниверситета в 1987 г. (рук. проф. Э.Г.Позняк);
семинаре кафедры высшей математики Ростовского инженерно-строительного института в 1988 г. (рук. проф. Н.С.Яаядкоф);
семинаре кафедры геометрии Ростовского госуниверситета в I9S9 и 1993 гг. (рук. проф. С.Б.Климентов);
пятой международной вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике в 1989 г.;
международной научной конференции "Лобачевский- и современна* геометрия" в 1992 г. (г. Казань);
семинаре кафедры алгебры и дискретной математики Ростовского госуниверситета в 1993 г. (рук. проф. И.Б.Симоненко);
семинаре кафедры алгебры и топологических методов анализа Воронежского госуняверситета в 1993 г. (рук. проф. Ю.Г.Еорисович).
UxOjEEgSgi. По теме диссертации опубликовано 6 работ.
Структура и объем диссертации, диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Работа занимает 105 страши ма-
