Введение к работе
Актуальность темы. Задачи, связанные с бесконечномерным интегрированием и мерами на бесконечномерных пространствах, возникли естественным образом из квантовой физики, статистической Физики и теории случайных процессов. Интерес к этим объектам еызшн такте потребностями современной математики. Континуальные интегралы и меры на бесконечномерных пространствах нашли применение при решении дифференциальных уравнении, в теории представлении, спектральной теории дифференциальных операторов и дифференциальной геометрии.
Впервые определение гладкой меры на бесконечномерном линейном пространстве было предложено С.Ь.Фоминым в IS(:6 г. в докладе на Международном конгрессе математиков. Им нэ была высказана мысль о полезности построения бесконечномерного анализа, содерьашего гладкие меры. Ь дальнейшем, это направление нашло широкое сграхение в большем количестве работ на эту тему. Одно;- из первых задач в теории гладких мер оыла задача о существовании разлоязния Хана-кордана в классе бесконечно дифференцируемых мер, т.е. представлении прсизвольнои бесконечно дифференцируемой меры в виде разности двух неотрицательных бесконечно дифференцируемых мер.
Понятие гладкое меры оказалось полезным при решении задачи построения квазиинвариатной меры. Интерес к квазииньариатныы мерам относительно действия группы диффеоморфизмов многообразия связан с задачей построения представлении этих групп и их разнообразными применениями е квантовом струнної* теории и ее обобщениями, в дифференциальной геометрии и теории динамических
систем. Конструкции квазиинвариатных мер на пространствах
локально конечных или сходящихся конфигураций были
предлогены в работах Р.СИсмагилова, А.М.Ьершика,
И .М.Гельфанда, М.И.Граева. Ьопрос о существовании таких
мер на самих группах диффеоморфизмов меньшего класса гладкости
оставался открытым. Отметим, что трудности построения таглх
мер вызваны тем, что группы диффеоморфизмов не являются
локально компактными.
Дифференцируемые меры оказались полезными при изучении (іейнман овских интегралов. Понятие континуального интеграла йпервые появилось в работах феьнмана l конце <0-х годов. Б дальнейшем интегралы Фе^нмана стали часто использоваться в физических работах. Особні, интерес к ним возник с развитием теории калибровочных полек, интегрированием ь суперсимметричных полях и струнної теории поля.
Ь математической литературе наметились три основных подхода в определении wei-нмановских интегралов. Идея перього подхода к определению улішман обского интеграла как предела конечномерных интегралов или секвенциального интеграла восходит к работам самого Фейшана и реализована во многих математических работах, в частности, в работах Нельсона, К.л.Далецкого, А.Л.Алимова, Альбивеио, Хег-Кронна, Ьатанабе, Джонсона, Глимма, Джаффе.
Несколько позже е работе Камерона появилось другое определени феіяманоьского интеграла с использованием аналитического продолжение по параметру или аналитического интеграла &е«нмана.
о тот подход исследовался в работах Кто, Камерона, Сторвака, Клуьанека, і/і.А.Ьвграоова, Глиша, Дкабье и др.
Сравнительно недавно было предложено третье определение интеграла Фемшана с использованием равенства царееваля и свойств обобщенного ггуассоновского процесса в работах Ь.П.Маслова, A.M.Чеботарева, а такгв в работах Де Ьитт-ІЛоретт, О.Г.Смолянова. А.Ь.Угланова, Альбиверио, Хег-Кронна и др.
Эквивалентность первых двух определении проверялось на. сравнителыю узком классе ФункционалоЕ в работах Да.онсона, Камерона, Сторвака. Основные трудности, которые возшюи при изучении интегралов Фе*.нмана, связаны с тем, что аппарат интегрирования по счетно-аддитивным мерам неприменим к этим интегралам, так как мера Фе^лмана не яатяется счетно-аддитивноп. но этоь причине классы интегрируемых по мере Феї.нмака сгункционалов, которые описаны в математическое литературе, были сравнительно узкими и не содержали многих у.нтересных с точки зрения приложения функционалов, в частности, экспонент от полиномов степени выше второй.
Континуальные интегралы о: азались полезными при изучении решении дифференциальных уравнении (именно с этой целью они были Еведены в работах Фейнмана). С помощью интегралов Фейнмана удалось записать решение задачи Коши для уравнения Шредингера. Следует отметить, что из-за того, что описанные классы интегрируемых- по мере Фзкнмана Функционалов были узкими, возможность представления решения уравнения Шредингера через интегралы Фейнмана была доказана только в случае сильных ограничении на еид потенциала.
Цель работы. Целью диссертации является получение разложения Хана-ї;ордана для гладких мер и построение на группах дифпе ом орфизм об конечномерного многообразия борелевских мер, квази инвариантных относительно действия группы диффеоморфизмов более высокой гладкости. Работа посЕящена усовершенствованию конструкции фэинманоъсних интегралов, распространению их на случаж (Тазовых пространств, установлению связи меззду различными определениями, расшрению классов функционалов, интегрируемых по ыере Фейнмана; представлению решений уравненик Іііредингера через интегралы Феїнмана в базовом пространстве и для потенциалов полинокиальногі вида и построению оператора Піредингера в кЕантоьои теории поля для полиношального взаимодействия.
Общая методика исследования. Б диссертации используются методы и приемы бесконечномерного анализа для мер и ііункциіі, а также аналитические методы комплексного анализа. При построении разложения ііана-ілрдана и квазиинвариатных мер на группах диффеоморфизмов получены Формулы специального вида преобразовании и конструкции таких разлозшниь и мер, при этом валную роль играют- оценки, найденные в диссертации.
При изучении интегралов fei-нмана даны ноше конструкции такого рода интегралов, включаыцие в себя ранее известные конструкции. С использованием аналитических методов наедены Формулы для вычисления таких интегралов с помощью интегралов по счетно-аддиткЕНым мерам и получены оценки таких интегралов.
Научная новизна. Бее основные результаты дассертащи являются новыми и опубликованы в работах автора. .Ь диссертации получено разлогение Хана-Іордана для гладких мер, построены на группах диффеоморфизмов борелевские меры, квазиинвариатные отноаїтельно действия групп диффеоморфизмов более, высокого класса гладкости. Ь диссертации такій даны новые конструкции Фейнмановских интегралов, позволяйте рассматривать их в Фазовых пространствах. Описаны классы интегрируемых по мере Феинмана функционалов, Еключающие в себя экспоненты от полиномиальных функционалов. Получены представления решений уравнений Шредингера через интегралы Фейнмана в фазовом пространстве и для потенциалов полиномиального вида и дана конструкция оператора Шредингера для полиномиального взаимодействия в квантовой теории поля.
Приложения Результаты диссертации могут найти применение при решении задач математическом физики, в теории представлений, в квантовой Q-изике, в теории случаііннх процессов, а также при дальнейших исследованиях в бесконечномерном анализе.
Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах на механико-математическсм оакультете МГУ и в математическом институте им. Ь.А.Стеклова АН СС(Р, на Ломоносовских чтениях в МГУ, на Международных конференциях по теории вероятностей и математическое статистике в г.Вильнюсе, на Всесоюзных конференциях по дифференциальным уравнениям им.И.Г .Петровского в МГУ. Они докладывались на математической школе по теории вероятностей и математической статистике в г.Бакуриани, на конференции "Методы алгебры и анализа" в г.Тарту, в Ленинград-
- f -
ском отделении математического института им. Ь.А.Стеклова АН СССР, в математическом институте АН УССР гЛшеь.
Пуолинации. Основные результаты диссертации опуоликованы в работах автора [і] - [HZ], приведенных в конце автореферата. Среди них работ, написанных в соавторстве, нет.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, которые делятся в общей сложности на 14 параграооЕ, а такхе из списка цитированное литературы и списка работ по теме диссертации. Общи*- объем диссертации 'Jcf страниц. Список литературы содержит 7<~ названия.
