Введение к работе
И ОбЗОР ЕЕ СОДЕРЖАНИЯ
Актуальность темы
Представленная диссертация связана с теорией интегралов от скалярных функций, по аддитивной векторной мере. Она свяя»н
Также С Теорией JIWHftfb>vT Ciiui/n-nip», С ІГ^иіС'і-нН.ЛЄТТЛСЇ.Ї линейных
uuoph-ifipo» 2 интегральной форме, в частности, с их представлением интегралами по скалярной мере. Наконец, она связана с приближенным решением линейных операторных уравнений. Все эти вопросы относятся к числу фундаментальных направлений развития математического анализа, им посвящены многочисленные исследования математиков разных стран и получение каких-то новых результатов в этих областях представляется актуальным.
Цель работы
Известны несколько определений неопределенных интегралов от скалярных функций по аддитивной векторной мере. Первая цель работы состоит в разработке аксиоматического описания таких интегралов, в установлении их взаимоопределяющих связей с теорией линейных непрерывных операторов, в разработке на аксиоматической основе свойств таких интегралов и иллюстрации тем самым простоты, с которой эти свойства являются следствиями аксиом.
Вторая цель состоит в нахождении необходимых и достаточных условий для того, чтобы аддитивная векторная мера была дифференцируемой относительно скалярной меры. Другими словами речь вдет об установлении теоремы Радона-Никодама для векторных мер, значения которых принадлежат некоторому банахову фундаментальному пространству.
Третья цель связана с идеей использования этой теоремы к нахождению условий представимости линейного непрерывного оператора интегралами по сквлярной мере.
Наконец, четвертая цель состоит в разработке нового итерационного процесса приоликенного решения линейных операторных уравнений.
Научная новизна
1. Впервые дано аксиоматическое описание неопределенного
интеграла от скалярных функций x(t), teT, образувдих некоторое
Р-пространство X над измеримым пространством (Т, Sj, u.t), по
аддитивной векторной мере v, определенной на Sj со значениями
в Б«И Z
{[x(t)dV / Є21т}іех (1)
-
Установлена тождественность каждого такого неопределенного интеграла по мере v с линейным непрерывным оператором rv:X—*Z, влекущая, в случае, когда X является БФП, изометрический изоморфизм между пространством всех аддитивных векторных мер v:S—r-Z, определяющих неопределенный интеграл (I), и пространством (X,Z).
-
Доказана теорема Радона-Никодша для аддитивных" векторных мер v: Zj,-»- г{Г,2г,цг), то есть найдены необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять мера v, для справедливости равенства "
Ц.--П.В. г
v(e)-i jKCct)^, eeS,,. (2)
-
Получены широкие достаточные условия представимости линейного оператора 1: ^-*ЪГ интегралом по скалярной мере v. Высказана гипотеза о том, что эти условия и необхо»»^.
-
Разработан новый'итсрзмионяїйї матод решения линейных оітраі^рп«т правимний
Ах=у, ХХ, где X - линейное полное сепарабельное метрическое пространство, а Уэу - евклидово пространство.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ 'Теоретическое значение исследования состоит:
-
В аксиоматическом описании неопределенных интегралов (1)и в развитии теории таких интегралов на аксиоматической основе.
-
В получении общего интегрального представления любого линейного непрерывного оператора Г: X-»Z в форме
VxeX: Их) =[x(t)dvf,
т где VeeST -.Vі(e)=f (хе); его частными случаями являются известные интегральные представления тех или иных классов линейных функционалов и операторов .
3. Доказана теорема Радона-Никодима для аддитивных век
торных мер в случае функциональных пространств, получены ноше
широкие достаточные условия представимости линейного оператора
интегралом по скалярной мере.
Практическое значение исследования состоит;
-
В наиболее простом введении в курсах функционального анализа интегралов от скалярных функций по векторной мере и установлении свойств таких интегралов.
-
В наличии преимуществ разработанного итерационного метода приближенного решения линейных операторных уравнений по сравнении с проекционными методами Бубнова-Галеркина и Галер-кина-Летрова.
Апробация работы
Результаты исследований докладывались в НП-й всесоюзной школе по теории линейных операторов в функциональных пространствах (г. Куйбышев, 1988 г.), на научных конференциях "Герценовские чтения", проводившейся при ЛЇЇШ им. А.И.Герцена в апреле 1989 г. и в апреле 1990 г.
Репьем а структура работы.
Работа состоит из пяти глав (из которых первая глава со-даркит общую характеристику работы и обзор ее содержания), заключения и списка литературы, общим объемом 108 стр. В начале работы помещено оглавление.
