Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Общие свойства линейных операторов типа романовского с частными интегралами 16
1. Задача, приводящаяся к уравнению типа Романовского... 16
2. Классификация операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами 18
3. Операторы типа Романовского с частными интегралами в пространстве непрерывных функций 22
3.1. Непрерывность действия операторов типа Романовского BC(D) 22
3.2. Достаточные условия действия 24
3.3. Критерии действия 28
3.4. Пространства операторов типа Романовского 38
3.5. Композиции операторов типа Романовского 44
4. Операторы типа Романовского с частными интегралами в пространствах Лебега 50
4.1. Непрерывность действия 50
4.2. Регулярность операторов типа Романовского 52
4.3. Сопряженные операторы к операторам типа Романовского 57
ГЛАВА 2. Спектральные свойства операторов и урав -нений типа романовского с частными интегралами 63
5. Нетеровость и фредгольмовость операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами в пространстве непрерывных функций 63
5.1. Операторы и уравнения с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами 63
5.2. Операторы и уравнения с вырожденными ядрами 70
6. Нетеровость и фредгольмовость операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами в пространствах Лебега 72
7. Обратимость операторов типа Романовского с частными интегралами в пространстве C(D) 76
7.1. Условия обратимости 76
7.2. об обратимости одного класса операторов 87
8. Условия обратимости операторов типа Романовского с частными интегралами вЬр 92
9. Альтернатива Фредгольма для уравнений типа Романов ского с частными интегралами 94
Литература 98
- Классификация операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами
- Операторы типа Романовского с частными интегралами в пространствах Лебега
- Нетеровость и фредгольмовость операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами в пространствах Лебега
- Условия обратимости операторов типа Романовского с частными интегралами вЬр
Введение к работе
1. Задача теории марковских цепей, поставленная в 1932 году известным советским математиком В.И. Романовским [87,108], приводится к интегральному уравнению вида
Ґ
x(t,s) = / m(t,s,a)x(cr,t)d(j + f(t,s). (1)
J а
Это уравнение он исследовал методом, аналогичным методу определителей Фредгольма, в предположении непрерывности заданных функций m(,s,cr) и f(t,s). Для уравнения (1) характерно то, что сначала производится перестановка переменных в неизвестной функции под знаком интеграла и только потом интегрирование. Теория этого уравнения существенно отличается от теории интегральных уравнений Фредгольма, так как оператор, стоящий в правой части (1), — не интегральный и не вполне непрерывный.
Уравнение (1) является частным случаем уравнения
x(t,s) = Knx{t,s) + f{t,s) (2)
типа Романовского с частными интегралами, где Ux(t,s) = x(s,t), а
pb pb
(Kx)(t,s) = / /(f,s,r)rr(r, s)dr + / m(t,s,a)x{t,a)da
J a J a
pb pb
+ / n(t,s,r,a)x(r,<7)dTda. (3)
J a J a
Свойства оператора (3) и уравнения (2) достаточно подробно исследованы в [42], там же приведены многочисленные приложения уравнений с частными интегралами, а также библиография работ по теории операторов и уравнений с частными интегралами.
Оператор (3) в пространстве непрерывных функций исследовался Ю. Аппеллем (J.Appell), П.П.Забрейко, А.С.Калитвиным,
О.П.Околеловым, Е.В.Фроловой в работах [20, 24, 29, 42, 47, 59, 83-85, 89-94, 97, 109]. Операторы и уравнения с частными интегралами и вырожденными ядрами в пространстве L2 суммируемых с квадратом функций изучались Л.3.Битовой [3-6], с симметричными ядрами В.В.Болтянским, Л.3.Битовой, Л.М.Лихтарниковым в [2, 6, 74], случай жордановых ядер рассмотрен в [6-8]. Свойства оператора (3) в других функциональных пространствах приведены в работах [29, 36, 42, 47, 102, 103].
Спектральные свойства линейных операторов с частными интегралами рассматривались в работах [2-4, 6, 7, 20, 26-29, 33, 34, 37, 42, 47, 97, 102, 103]. Достаточные условия фредгольмовости и обратимости уравнения
x{t,s) = {Kx){t,s) + f{t,s) (4)
с непрерывными ядрами, а также достаточные условия существования решений получены с использованием техники определителей Фредгольма в [83-85]; здесь же найдено представление решений с помощью резольвентных ядер. Условия нётеровости, фредгольмовости и обратимости в случае вырожденных, непрерывных в целом и интегрально ограниченных ядер приведены в [42, 47, 57, 58, 90-94, 97, 103]. Детальный анализ спектральных свойств различных классов операторов с частными интегралами в функциональных пространствах проведен А.С. Калитвиным [26-29, 33-35, 37, 42, 47], в пространстве непрерывных функций Б.В.Фроловой [90-94], А.С. Калитвиным [42, 47].
Важнейшие частные случаи уравнения (4) — уравнения Воль-терра и Вольтерра-Фредгольма, которые впервые изучены В. Воль-терра [9] для случая непрерывных ядер. Операторы и уравнения более общего вида исследовались П.П. Забрейко, А.С.Калитвиным,
В.А.Калитвиным, Е.В.Фроловой в работах [23, 40-42, 44, 45, 47, 48, 54, 60-62, 95-97, 104, 106]. Приближенные методы решения таких уравнений разработаны в [60, 61].
Уравнение (1) является частным случаем уравнений
x{t,8) = {KiX)(ti8) + f(t,8), (5)
где К{ (г = 1,...,6) — операторы типа Романовского
Кг = Lо П + М + N, K2 = LoIl + M + NoIl, K3=L + MoIl + N, IQ = L-\-MoU + NoU,
K5=L + M + NoIl, K6 = LoU + MoU + N.
Здесь
pb pb
(Lx)(t, s) — / l(t, s, т)х{т, s)dr, (Mx)(t,s) = I m(t,s,a)x(t,a)d(j,
J a J a
pb pb
(Nx)(t,s) = / I n(t,s,T,a)x(T,a)dTda,
J a J a
заданные функции l(t,s,r), m(t,s,cr), n(t,s,r, а) измеримы по совокупности переменных t, 5, т, о 6 [a, b], а интегралы понимаются в смысле Лебега.
Вопросы разрешимости уравнений (5) тесно связаны со свойствами операторов К{ (г = 1,..., 6). Операторы К{ являются операторами с частными интегралами, так как в первых двух слагаемых их правых частей интегрирование неизвестной функции ведется по части переменных. Свойства операторов типа Романовского зависят от пространств, в которых они изучаются, и сильно отличаются от свойств обычных интегральных операторов.
Линейные операторы типа Романовского с частными интегралами исследовались А.С.Калитвиным [25-29, 30-34, 38, 42, 47, 55,105],
Л.М. Лихтарниковым [70-73, 75-77], Л.Л. Морозовой [79-82]. Наиболее подробно разработана теория оператора К о П для различного вида ядер. Свойства этого оператора с вырожденными ядрами рассматривались в работах [25, 42, 47], с симметричными ядрами — в [70-73, 82], с симметризуемыми ядрами — в [27-29, 42]. Спектральные свойства операторов типа Романовского для различных классов ядер изучались в [26-29, 30-34, 42, 47, 105]. Структура собственных чисел и собственных функций операторов типа Романовского изучалась в [38, 42, 82].
Уравнение (1) двусвязных цепей Маркова исследовано В.И. Романовским методом определителей Фредгольма в случае непрерывного ядра [87,108], в случае вырожденных ядер уравнение изучалось В.А.Щелкуновым [99, 100]. Спектральные свойства оператора двусвязных цепей Маркова приведены в [42, 47], там же рассмотрены условия обратимости, нётеровости и фредгольмовости уравнения
Приближенные методы решения уравнений типа Романовского с частными интегралами рассматривались в [56, 79-81, 88]. Следует отметить, что найти решения таких уравнений удается в редких случаях.
Из приведенного обзора видно, что задача изучения операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами имеет важное прикладное значение и актуальна. При этом следует заметить, что многие вопросы теории таких операторов и уравнений были не исследованы.
2. В диссертации изучаются условия действия операторов типа Романовского с частными интегралами в пространстве C(D) непрерывных на D = [а,Ь] х [а,Ь] функций ив!р = LP(D) (1 < р < оо), их
непрерывность, регулярность, вид сопряженного оператора. Исследуются нётеровость, фредгольмовость и обратимость операторов и уравнений типа Романовского, рассматриваются их спектральные свойства. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 109 наименований (всего 112 страниц машинописного текста).
В главе 1 изучаются общие свойства линейных операторов типа Романовского с частными интегралами в пространствах C(D) и Lp.
В 1 формулируется задача теории марковских цепей, решение которой приводит к интегральному уравнению (1) [87, 108].
В 2 проведена классификация операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами в зависимости от вида ядер операторов L, М и N (вырожденные, симметричные и др.) и пределов интегрирования (постоянные, переменные, смешанные).
В 3 изучаются свойства операторов типа Романовского в пространстве непрерывных функций. С применением теоремы Банаха о замкнутом графике доказывается теорема 3.1, утверждающая, что если оператор К{ (г = 1,...,6) действует в пространстве C(D), то он непрерывен.
В теоремах 3.2 - 3.3 приводятся достаточные условия действия оператора Кі в пространстве C(D) и формулы для вычисления норм операторов типа Романовского с частными интегралами.
Из критерия действия оператора К{ (г = 1,..., 6) в пространстве C{D) вытекает равенство
= \\Ш *, -)\\Ьг + \\m(t, S, .)||Li + IK*, 8, ., -)1Ы|С(Д).
Далее в 3 изучаются соотношения между пространством С — непрерывных линейных операторов, действующих в C(D), и множе-
ствами А и А, действующих в C(D) операторов
CoU-\-LoU + MoU + NoU = KoU
CoU + LoU + MoU + N
соответственно. Здесь (Cx)(t,s) = c(t, s)x(t, s).
Критерий действия даёт полную характеристику операторов, входящих в А (і = 1,0). Из него следует, что Сі — замкнутое собственное подпространство пространства С.
Действие в C(D) операторов СоП, Loll, МоП, N о Л равносильно действию в C(D) операторов С, L, М, N соответственно. Следовательно, замкнутость пространств Ас, Сц, Am, An, Действующих в С(р) операторов СоП, Lon, МоП, і\ГоП, совпадает с замкнутостью пространств Ас, A/, Am, An действующих в C(D) операторов С, L, М, N соответственно. Отсюда вытекает, что прямая сумма Cic@Cpi@Cqm @Cjn (i,j,p,q Є {0,1}) является замкнутым подпространством пространства Cr действующих в C(D) операто-ров R = С о Пг' + L о Пр + М о П9 + N о Ш.
Для того чтобы оператор R действовал в пространстве C(D) достаточно, чтобы в C(D) действовали операторы L, М и N. Обратное утверждение не верно. В примере 3.1 показывается, что из действия в C(D) оператора R не следует действие в C(D) операторов СоП, Lon, МоПиіУоП.
Пространство С с естественной операцией композиции операторов в качестве умножения является банаховой алгеброй. В работах [42, 102, 109] показано, что подпространство операторов вида K = C + L + M + N является подалгеброй алгебры С, причем композиция таких операторов является оператором с частными интегралами того же типа. Для операторов типа Романовского аналогичное
утверждение не имеет места. В теореме 3.8 выделены множества операторов, композиции которых есть интегральные операторы (операторы с частными интегралами).
В 4 свойства операторов типа Романовского с частными интегралами рассматриваются в пространстве Lp. В теореме 4.1 устанавливается, что если операторы L, М, N действуют в 1р, то
\\Ki\\c(Lr>) < PILc(LP) + \\М\\с(Ы>) + IMl(LP) (І = 1, - , 6).
Регулярность операторов типа Романовского изучается только для операторов вида К\ — К о П, К2 = С + L о П + М о П + iV, К3 = С+ЬоП+МоП+іУоП, КА = C+L+M+iVoIL Регулярность оператора К\ совпадает с регулярностью оператора К = C + L + M + Nw означает действие из Lp в Lq оператора
]Kx[(t, s) = \c(t, s)\x(t, s)+ \l(t, s, t)\x(t, s)dr
J a
+ I \m(t,s,cr)\x(t,a)do- + / / \n(t, s, г, сг)|а:(т, a)drda.
Ja J JD
В теоремах 4.2-4.3 устанавливаются условия регулярности оператора /іГг- (г = 2,3,4).
Далее в 4 определяются условия существования и вид операторов, сопряженных к операторам К{ (г = 1,...,6). Устанавливается, что если операторы L, М, N действуют из Lp в Lq и регулярны, то оператор Кі (і — 1,...,7) действует из Lp в Lq и регулярен. При этом
К{ = П о L* + М* + iV#, /Г* = П о L* + М* + П о JV#, / = # + П оМ* + N*, Щ = L* + П о М* + По АГ#,
K* = L* + M* + UoN*, KZ = IloL* + IloM* + N*,
K$ = Tlo{L* + M* + N*),
где L#, М#, iV# — операторы, транспонированные к операторам L, М, N.
В главе 2 рассматриваются условия нётеровости, фредгольмо-вости и обратимости оператора І" — К{ (г = 1,..., 4) и соответствующего ему уравнения {I — Кг)х = /, где I — тождественный оператор, а К{ (г = 1,...,4) — операторы типа Романовского с частными интегралами вида К1 = L о П + М + N, К2 = L о П + М + N о П, К3 = L + М о П + iV, /Q = L + М о П + А7" о П. Здесь под нётеровым (фред-гольмовым) оператором понимается линейный оператор с замкнутой областью значений, у которого размерности ядра и коядра конечны (размерности ядра и коядра конечны и совпадают).
В 5 для уравнения х = К{Х + / получены критерии фред-гольмовости в практически важном случае непрерывных в целом и интегрально ограниченных ядер. Установлено, что если ядра /(і, 5, г), m(t,s,cr) и n(t,s,T,a) непрерывны в целом и интегрально ограничены на D х [а, Ь] и D х D соответственно, то при г = 1,2 оператор і — Кі фредгольмов в C{D) тогда и только тогда, когда в C{D) фредгольмов оператор / — М, а при г = 3,4 — тогда и только тогда, когда в C(D) фредгольмов оператор I — L (теорема 4.1). В условии этой теоремы фредгольмовость уравнения х = К{Х + / (г = 1,...,4) равносильна при г = 1,2 обратимости уравнения х = Mx + /, а при г = 3,4 — обратимости уравнения х = Lx + /.
В теоремах 5.5 и 5.6 показано, что фредгольмовость уравнения
х = К{Х + / с вырожденными ядрами
р ч
l(t, s,t) = ^T li(t, s)ai(r), m(t, s,
t=l j=l
n(t, s, r, a) = ^2 nfc(*' s)cfc(r> a)i
k=l
где /,-, а,- (г* = 1,2,...,р), mj,bj (j = 1,2,..., g), rifc,cjb (к = 1,2,..., г)— непрерывные функции, а системы функций {а,|г = 1,... ,р] и {bj|i = 1,..., g} ортонормированы, равносильна условию Di(t) ф 0 для г = 1,2 и условию D2{s) ф О для г = 3,4, где Di(t) и D-i(s)— определители
1-І/ц(«) -^lq(0
Di{t) =
-i/gi(t) ... l-vqq(t)
l-^u(s) ..
7^ip(s)
D2(s) =
-/ipi(s) ... l-^pp(s)
Vjk(t)= / bj(a)mk(t,a)dcr (і,к Є 1,...,q),
J a
fiij(s) = / ai(T)lj(r,s)dr (i,j Є 1,... ,p).
«/a
6 содержит условия нётеровости и фредгольмовости оператора / — К{ (і = 1,... ,4) в пространстве LP(D) (1 < р < со). Показывается, что в случае непрерывности операторов L, М, N и компактности (L о П) и NoTV+Mo^LoU) в пространстве Lp нётеровость оператора I — Кі (і = 1, 2) (І — Кі (і = 3,4)) равносильна нётеровости оператора 1-М (I — L), а фредгольмовость / — Кі (г = 1,2) (J — Кі (г = 3,4)) равносильна фредгольмовости 1-М {I — L). Теорема 6.2 устанавливает условия фредгольмовости оператора / — Кі (г = 1,...,4) в случае вырожденных ядер операторов L, М и компактности оператора N.
В 7 исследуются условия обратимости оператора / — Кі (г = 1,...,4) с непрерывными в целом и интегрально ограниченными
ядрами. Установлено, что, если операторы I — L оИ и I — М обратимы, то обратимость оператора I — К\ равносильна обратимости оператора I — Р, где
Р = (7 - L о П)"1 о (7 - М)'1 о (N + М о (L о П)).
В этом случае операторы (7 — L о П)~ , (7 — М)~ имеют вид
гЬ (7-Loll) 1x(t,s) = x(t,s) + l(t,s,r)x(s,r)dT
J а pb лЬ
+ / / ri(t,s,T,a)x(T,a)drda,
J a J a
(1-М) x(t,s) = x(t,s) -f / Г2(і,5,<т)ж(/,(т)б?СГ,
«/a
где гі и Г2 — непрерывные в целом и интегрально ограниченные функции.
В случае, когда ядра операторов L, М и N удовлетворяют равенствам
/(<,в,т) = /(*,т) = ^/,-(0а,-(т),
г'=1
m(, s, a) = ra(s, a) = Yj rrij(s)bj(cr),n(ty s, т, а) = О,
i=i
где /г-,аг- (г = 1,... ,р); mj,6j (j = 1,..., g) — непрерывные функции, а системы функций {аг|г = 1,...,р} и {by|i = 1,...,g} ортонорми-рованы, обратимость оператора 7 — Ki равносильна разрешимости матричного уравнения У = F+CY*, которое при условии существования обратной матрицы С-1 приводится к виду
FY - YC* = D, (6)
где D = С-1Р, F = С-1. Уравнение (6) есть матричное уравнение Ляпунова. Решение таких уравнений приведено, например, в [10], в
операторной форме — в [6]. В [6] установлено, что после приведения матриц F и С к жордановой форме решения уравнения (6) совпадают с решениями одного из уравнений
HPY - YFq = 0, (7)
АУ + Яр-У*і = 0(А^0), (8)
HpY-YFq = DpXq, (9)
ЛУ + HPY - YFq = Dpxq (А ф 0). (10)
Здесь Нр — квадратная матрица порядка р, Fq — матрица, транспонированная к Яд, DpXq — известная матрица.
Приводятся условия, при которых уравнения (7)-(10) имеют решения.
8 содержит теоремы об обратимости и фредгольмовости оператора I — К{ (г — 1, ...,4) в пространстве Lp. В частности доказывается, что если операторы (L о П)2 и N о ІГ + М о (L о П) компактны в Lp, то фредгольмовость оператора I — К{ (г = 1,2) следует из обратимости оператора I — М. Аналогично, если операторы (М о П)2 и N о IT + L о (М о П) компактны в Lp, то фредгольмовость оператора / — К{ (г = 3,4) следует из обратимости оператора I — L.
В 9 устанавливаются условия фредгольмовости уравнений вида
х = KiX + f (і = 1,...,4), (11)
где К{ (г = 1,...,4) — операторы типа Романовского. Теория таких уравнений существенно отличается от теории интегральных уравнений Фредгольма. Поэтому важное значение имеют условия фредгольмовости линейных уравнений с частными интегралами и их сведение к уравнениям Фредгольма. Теоремы, приведенные в 9, вытекают из результатов 5 в случае пространства C(D), и 6 - в случае
пространства LP(D). В теоремах 9.1-9.4 устанавливаются условия, при которых для уравнения (11) справедлива альтернатива Фред-гольма.
В работе принята единая нумерация параграфов. Нумерация формул своя в пределах каждого параграфа. Формулы имеют двойную нумерацию: например, (3.1) означает, что речь идет о формуле 1 из 3.
Основные результаты диссертации докладывались на семинарах и конференциях в Липецком государственном педагогическом университете (1996-2005 годы), в Елецком государственном университете имени И.А. Бунина, на семинаре в Воронежском государственном университете (руководитель семинара профессор А.Г. Баскаков), на Воронежской весенней математической школе, посвященной 60-летнему юбилею профессора Ю.В. Покорного (Воронеж, 2000), на международных научных конференциях "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" (Воронеж, 2000), "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" (Минск, 2001), на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 2002) и опубликованы в работах [12-19, 49-53, 101], из которых [17, 49-53, 101] — совместно с научным руководителем А.С.Калитвиным.
В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю А.С.Калитвину за постоянный интерес и внимательное отношение к работе, а также за многочисленные беседы и ценные указания, способствовавшие её написанию.
Классификация операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами
Обозначим через L, М и N операторы, определяемые равенствами где t, s,r,a Є [а, Ь], функции l(t, s, r), m(i, s, cr), n(t, s, т, сг) измеримы no совокупности переменных, а интегралы понимаются в смысле Лебега. Оператор К = L + М + N назовем оператором с частными интегралами. Обозначим через П оператор П : x(t,s) —+ x(s,t). Из определения видно, что оператор П переставляет переменные у функции, на которую он действует, причем очевидны следующие свойства: 1. П — линейный непрерывный оператор в C(D) и в LP(D); 2. ЦП =1; 3. П о П = I, где / — единичный оператор. Операторами типа Романовского с частными интегралами будем называть следующие операторы: Уравнение называется неоднородным интегральным уравнением типа Романовского с частными интегралами второго рода. Уравнение (2.5) с f(t, s) = О называется однородным интегральным уравнением типа Романовского второго рода, соответствующим уравнению (2.5). Если ядра /(, s, г), m(t, s, а) и n(, s, т, а) имеют вид то уравнение (2.5) называется уравнением типа Романовского с частными интегралами и вырожденными ядрами. Частным случаем уравнений (2.5) и (2.6) являются уравнения с операторами, ядра которых удовлетворяют равенствам l(t,s,r) = l(t,r), m(t,s,a) = m(5,cr), n(t,s, т, a) = 0. В этом случае операторы типа Романовского принимают вид то уравнение (2.7) называется уравнением с вырожденными ядрами.
Пусть А = [0,1]. Обозначим через А, Е и F операторы, определяемые равенствами совокупности переменных. Оператор Б = Л + Е + F называют оператором Вольтерра с частными интегралами. Он изучался в работах [23, 47-42, 44, 45, 47, 48, 54, 95-97, 102-104]. Используя оператор перестановки П, получим следующие операторы: которые будем называть операторами типа Вольтерра - Романовского с частными интегралами. Уравнения называются неоднородными и однородными интегральными уравнениями типа Вольтерра - Романовского соответственно. Большой класс операторов типа Романовского получается, если их построение проводить с помощью операторов L, М и N, которые содержат интегралы с постоянными пределами интегрирования, и операторов А, Е и F, которые содержат интегралы с переменными пределами интегрирования. Такие операторы будем называть операторами типа Вольтерра - Фредгольма - Романовского с частными интегралами. Свойства операторов типа Романовского с частными интегралами зависят от пространства, в котором они действуют. В данном параграфе изучаются свойства этих операторов в пространстве непрерывных функций C(D). Обозначим через С, L, М, N операторы, определяемые равенством (Cx)(t,s) = c(t,s)x(t,s) и равенствами (2.1), (2.2), (2.3), где , s,r, сг Є [а, Ь], функции c(t,s), l(t,s,r), m(t,s,a), n(t,s,r,a) измеримы по совокупности переменных, а интегралы понимаются в смысле Лебега. Рассмотрим операторы (2.4). Хорошо известно, что из действия оператора К в пространстве C(D) вытекает его непрерывность [39, 42, 47, 102, 109]. Отсюда и непрерывности оператора П вытекает непрерывность действующего в C(D) оператора K-j. С применением теоремы Банаха о замкнутом графике аналогичное утверждение доказывается и для оператора Ki(i = 1,...,6). Теорема 3.1. Если оператор С + К% (і = 1,...,6) с частными интегралами действует в пространстве C{D), то он непрерывен.
Доказательство. Докажем, например, непрерывность действующего в C(D) оператора Пусть x Є C(D). По условию теоремы функция y(t, s) = (C-\-K±)x{t, s) определена и принадлежит C(D). Последнее означает, что функции 1(1;,S,T)X(T,S), m(t,s,a)x(a,t) и n( ,s,r, сг)ж(сг, т) интегрируемы почти при всех (t,s) по г на [а, 6], по и на [а,Ь] и по (сг, г) на [а,Ь] х [а,Ь] соответственно. Но тогда, по свойствам интеграла Лебега, функции /(i, s, г);с(т, s), m(i, s,cr)a;((7, t) и n(i,s,r, a)x(cr, т)\ интегрируемы почти при всех (t,s). Отсюда вытекает, что на C(D) определён оператор (3.2). При этом в силу теоремы Фубини, jiiT a: Є M.(D), где M.(D) — пространство измеримых и почти всюду конечных на D функций. Тем самым оператор (3.1) действует из C(D) в M.(D). Покажем теперь, что оператор К± замкнут. Используем результаты, полученные в [59, 97]. Пусть последовательность функций (а;п) С C{D) сходится по норме C(D) к ж Є C{D) и последовательность {К±хп) сходится по норме C(D) к у Є C(D). Покажем, что К/±х = у . Выберем подпоследовательность п натуральных чисел так, чтобы ]CfcLi \\xnk — х \\ со. По признаку Вейерштрасса функциональный ряд # (,s) -f- X fc i \xnk(tis) x (t)s)\ из непрерывных функций сходится равномерно на D. Тогда его сумма z(t, s) — непрерывная на D функция и в силу непрерывности оператора П функция z(s,t) Є C{D). Таким образом, последовательности функций l(t, s, т)хПк (т, s), m(t, s, т)хПк (сг, t) и n(t, s, т, ст)хПк (а, т) почти при всех (t,s) Є D сходятся к функциям l(t,s,r)x (T,s), m(t,s, j)x (a,t) и n{t,s,r,а)х (а,г) и ограничены интегрируемыми на [а,Ь], [а,Ь], D функциями /(, s,r)z(r, s), \m(t, s,cr)z(cr, t) и \n(t, s,r, a)\z(a, г) соответственно. По теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла последовательности функций ((Lxnk)(t, s)), ((М oUxnk)(t,s)) и ((N о Uxnk)(t, s)) сходятся почти при всех (t,s) к функциям (Lz )(i,s),(M о Ux )(t,s) и (N о Ux )(t,s). Тогда (if4a;nfc)( ,s) - (K4x ){t,s). По предположению, последняя последовательность сходится по норме C(D) к y (t,s). Следовательно, К±х — У - Итак, оператор /Q замкнут. В силу теоремы Банаха о замкнутом графике [65], он непрерывен. Аналогично устанавливается непрерывность остальных операторов типа Романовского с частными интегралами. Теорема доказана.
Операторы типа Романовского с частными интегралами в пространствах Лебега
Приведем условия действия операторов типа Романовского в пространстве LP(D) (1 р со). Обозначим через L, М, N операторы, определяемые равенствами (2.1), (2.2) и (2.3) соответственно. С использованием теоремы Банаха и схемы доказательства теоремы 3.1 доказывается Теорема 4.1. Если оператор С + К{ (г = 1,...,6) с частными интегралами действует из пространства LP(D) в пространство Lq(D), то он непрерывен. Доказательство. Доказательство теоремы так же проведем на примере оператора К$. Оно отличается от доказательства теоремы 3.1 в установлении замкнутости этого оператора. Пусть последовательность (хп) С Lp сходится по норме Lp к х Є Lp и последовательность (/Qrcn) сходится в L4 к у Є Lq. Покажем, что К±х = у . Выберем подпоследовательность функций (хПк) оо такую, что хПк сходится почти всюду к х и 2_. \\хпк — х \\ fc=0 (хПо = в). принадлежат Lp. Тем самым, почти при всех (t,s) сходящиеся к функциям l(t,s,r)x (T,s), m(t,s,a)x (a,t) и n(t,s,r,а)х (сг, т) последовательности функций l(t,s,r)xTlk( T,s), m(t,s,a)xnk((T,t) и n(t, s, т, о-)хПк(а, т) ограничены интегрируемыми на [а, Ь], [а, Ь] и [а, 6] х [а, 6] функциями (, S,T)\Z(T, S), m(i,s,cr)z(cr, І) и n(i, s,r, cr)z(cr, т) соответственно. В силу теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, последовательности функций ((Lxnk)(t,s)), ((М о Uxnk)(t,s)) и ((iV о Uxnk)(t,s)) сходятся почти при всех (t,s) к функциям (Lx )(t,s), (М о Ux )(t,s) и (N о Ux )(t,s), а значит (.K4a;nfc)(t,s) (- 4 )( ,s). По предположению, последняя последовательность в L4 сходится к y (t,s). Следовательно, К х = у . Итак, оператор К± замкнут. В силу теоремы Банаха о замкнутом графике [65], он непрерывен. Аналогично доказывается непрерывность остальных операторов типа В.И. Романовского с частными интегралами. Теорема доказана. Пусть X = LP{D) (1 р со), У = L {D) (1 q оо), и М — пространство измеримых и почти всюду конечных функций на D. М. — полное метрическое пространство, сходимость в котором совпадает со сходимостью по мере [65], а метрика инвариантна относительно сдвигов. Напомним, что действующий из Л" в У линейный оператор называется регулярным, если существует такой положительный оператор А : X — У, что \Ах\ А\х\ (х Є X). (Оператор А : X
У называется положительным, если он неотрицательные функции переводит в неотрицательные, т.е. если х Є X и х 0, то Ах Є У и Ах 0). Оператор А называется мажорантой оператора Л. В множестве мажорант оператора А существует наименьшая (в смысле индуцированной упорядоченности пространства линейных операторов), которую называют абсолютной величиной А и обозначают \А\ [ее]. Регулярность линейных операторов с частными интегралами в пространствах Лебега Lp, в пространствах Орлича и в более общих классах идеальных пространств изучалась в [42, 46, 47, 102, 103]. Из этих работ, в частности, вытекает, что оператор где с, I, m, n — заданные измеримые функции, а интегралы понимаются в смысле Лебега, действует из X в У и регулярен тогда и только тогда, когда из X в У действует оператор где (Cx)(t,s) = c(t,s)x(t,s), L, M, N — операторы (2.1), (2.2), (2.3). Регулярность оператора K\ совпадает с регулярностью оператора К и означает действие из X в У оператора ]К[. Рассмотрим регулярность операторов К2, Кз, К± Достаточность вытекает из очевидного неравенства \Ах\ ]А[\х\ (х Є X), которое означает, что ]А[ — одна из мажорант оператора А и потому \А\ }А[. (4.1) Пусть теперь А — регулярный оператор из X в У.
Тогда для любой неотрицательной функции х из X \А\х = sup {\Az\ : \z\ х} G У [66]. Так как X и У — К - пространства счетного типа [65], то в множестве {z : \z\ х} существует счетное и плотное в смысле сходимости по мере множество функций JE7, для которого \Ах\ = sup{\Az\ : zeE} [65]. Пусть Т — множество всех лежащих в [а, Ь] отрезков Т с рациональными концами, S Є Т, U — [а, Ъ] х S, V = Т х [а, 6], A = U U V, У = С/ПУи где г/, w, i , tu принадлежат E, XD — характеристическая функция множества D С D, a D обозначает дополнение D\D. E — счетное и плотное в смысле сходимости по мере в {z : \z\ х} множество. Отметим, что для каждой точки (t, s) Є D найдется последовательность множеств Т„ х Sn, содержащих эту точку, причем Tn,Sn Є Т (п = 1,2,...) и /І(ТП) —+ 0, p(Sn) — 0 при п —» со. Так как Е С Е С {z : \z\ х}, то \А\х = sup {\Az\ : z Є Е }, а так как Е — счетное множество, то почти при всех (t, s) Є. D Пусть (t, s) — произвольная точка из D, в которой выполняется (4.2), a (wn), (vn), (wn) — последовательности функций из Е, для которых Mn(-,-) - sign(n(s,t, -,-)Mv) в M(D), vn(rr) - sign(l(s,t,-))x(r, ), iun(-,cr) —» sign(m(s,t, ))#(, ст) в Л ([а,6]); здесь через M.(D) и М([а, &]) обозначены пространства измеримых и почти всюду конечных функций на D и [а, 6] соответственно, а сходимость понимается как сходимость по мере. Положим С другой стороны, в силу включения zn Є Е (п = 1,2,...) }A[x(t,s) = lim \Azn(t,s)\ sup {\Az\ : z Є E }(t,s), т.е. ]A[ \A\. Так n— oo как (t, s) — произвольная точка из D, в которой выполнено (4.2), то ]A[rc(t,s) Aa:(,s) почти всюду на D при произвольной неотрицательной функции х. Следовательно, ]А[ А, т.е. оператор ]А[ неотрицательные функции из X преобразует в функции из У. Но каждая функция из X представима в виде разности неотрицательных функций из X, тем самым, оператор ]А[ преобразует любые функции из X в функции из У или, иначе, ]А[ действует из X в У. При этом ]А[ \А\.
Отсюда и (4.1) вытекает равенство ]А[= \А\. В силу действия оператора П в У действие оператора ]А[ из X в У равносильно действию из X в У оператора П]А[, который совпадает с оператором ]К?\. Регулярность оператора К% доказана. Регулярность операторов Къ и К± доказывается аналогично. В условии теоремы 4.2 действие оператора ]К{[ (г = 1,...,4) из X в У равносильно действию из X в У четырех операторов: Теорема 4.3. Пусть X = LP(D), У = Lq(D) (1 p,q oo). Оператор K{ : X — У (г = 1,...,4) регулярен тогда и только тогда, когда из X в У действуют операторы ]С[, ]L[, ]М[, ]iV[. ZTpw этом \КІ\=]КІ[ (г = 1,...,4).
Нетеровость и фредгольмовость операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами в пространствах Лебега
Рассмотрим условия обратимости операторов I — К{ (г = 1,...,4) в пространстве C(D). случае существования обратных операторов (I — М) и (І — L о П)- уравнение равносильно уравнению где Пусть /(, s, т), m(i, s, сг), n(, s, т, сг) — вырожденные ядра, тогда операторы L, М, iV действуют в пространстве C(D). Поэтому для операторов с ядрами такого типа справедлива Теорема 7.1. Если операторы 1-М и I — L о П обратимы, то обратимость оператора I — К\ равносильна обратимости оператора I-P. Если ядра операторов L, М и N имеют вид (5.8), то оператор 1-М обратим тогда и только тогда, когда [91] Di(t) 0. -Vql(t) ... 1-Uqq(t) Рассмотрим обратимость оператора I — Loll. Уравнение (I-LoIl)x = f. (7.3) перепишем в виде x(t,s) = f(t,s) + 2U(t,s) / ai(r)x(s,T)dr. Для системы интегральных уравнений (7.6) с непрерывными ядрами справедлива альтернатива Фредгольма [22]. Поэтому в случае однозначной разрешимости однородной системы Р пЬ УМ - 2 аф,т)уі(т)ат = 0 (г = 1,... ,р) (7.7) з=і Ja система (7.6) имеет единственное решение для любых непрерывных функций /i(s),... ,/p(s). Следовательно, фредгольмово уравнение (7.3) обратимо в C(D). Из приведенных рассуждений вытекает Теорема 7.2. Пусть I и т — вырожденные ядра (5.8). Если система уравнений (7.7) имеет единственное решение, D\(t) ф 0 и оператор I — Р обратим, то оператор I — К\ обратим. В [20, 97] доказано, что оператор (I — М) представим в виде где ri — резольвентное ядро оператора М. Установим вид оператора (I — L о П) . Пусть функция /(, s, т) непрерывна и \l(t, s, т) = є, тогда оператор (I — L о П)-1 представим в виде ряда Неймана Здесь L о П — частично интегральный оператор с ядром l(t,s,r), (Loll) , (Loll) ,... — интегральные операторы [14] с итерированными ядрами Так как ряд 5Zi 2 ( s r 0 мажорируется сходящимся рядом 2(1 + є + є2 + ...), то он равномерно сходится. Обозначив через r2{t, s,r,a) сумму ряда ]Г 2 №(t, s, т, сг), получим где r2(t, s, r, cr) — непрерывная функция. Следовательно, при D\(t) ф —І 1 — 1 0 и /(, S,T)\ є операторы (J — M) и (/ — L о П) существуют и определяются равенствами (7.3) и (7.4). Тогда уравнение (7.1) при водится к уравнению (7.2). Справедлива следующая Теорема 7.3. Пусть т — вырожденное ядро (5.8) оператора М. Если D\(t) ф О, \l(tj S,T)\ 3 -, / — непрерывное ядро оператора L и обратим оператор I — Р, то оператор I — К\ обратим. Доказательство.
Оператор 1-М обратим, если Di(t) ф О, а 1 — LoH обратим, если /(i,s,r) —, и обратные к ним операторы имеют вид (7.8) и (7.9) соответственно. Тогда уравнение (7.1) может быть приведено к уравнению (7.2), а обратимость оператора I — К\ следует из обратимости оператора I — Р. Теорема доказана. Рассмотрим подробнее уравнение (7.2). Пусть ядра /, т и п непрерывны в целом и интегрально ограничены. В силу теоремы Фу-бини i/a «/a t/a Так как функции /, m, п, гі, r2 непрерывны в целом и интегрально ограничены, то функция p(t,s,T,cr) из (7.10) непрерывна в целом и интегрально ограничена. Таким образом, в уравнении (7.2) Р — компактный интегральный оператор. Пусть ядра /, т, п оператора I — К\ непрерывны в целом и интегрально ограничены. Этот оператор обратим, если существуют обратные операторы (I — М)-1, (I — L о П)-1 и (I — Р)-1. Условия существования и вид оператора (I — М)-1 определены в [20, 91, 97]. Ядро m(t, s, а) приблизим вырожденным ядром так, что для fh = т — т выполнены условия m = \\т — т\\ Д -и mj(t,s), bj(a) (j = 1,...,q) — непрерывные функции, а система {bj(cr)\j = 1,... ,q} ортонормирована. Тогда уравнение Для оператора (I — LoH) при условии \l(t, s,r) справедливо представление (7.9). Следовательно, при Di(t) ф 0 существует оператор (J — М) , а при \l(t,s,r)\ — оператор (I — L о П) , причем эти операторы определяются равенствами (7.16) и (7.9). Тогда уравнение (I - М) о (I - L о П)ж = / + (JV + М о (L о П))ж приводится к уравнению (7.2). Поэтому справедлива следующая Теорема 7.4. Если ядра l(t,s,r,a), m(t,s,a), n(t,s,r,cr) непрерывны в целом и интегрально ограничены, \l(t,s,r)\ -gz ,Di(t) ф
О, оператор I — Р обратим, то оператор I — Ki обратим. Аналогичные теоремы справедливы при і = 2,3,4. Например, для і = 3 уравнение (J — К%)х = / в случае существования обратных операторов (I — L)-1 и {I — М о П)-1 равносильно уравнению (I - Н)х = и, где Н = {1- L)-1 о (7 - М о П)"1 о (N + L о (М о П)), и = (I - L)"1 о (I - М о П)-1/. Если l(t, s, г), m(t, s, a), n(t, s, т, сг) — вырожденные ядра, то операторы L, М, iV действуют в пространстве C(D). Поэтому справедлива Теорема 7.5. Если операторы I — L и I — МоП обратимы, то обратимость оператора I — Kz равносильна обратимости оператора I-H. Как и в случае і = 1 для ядер вида (5.8) операторов L, М, iV, справедливы Теорема 7.6. .Если l(t, s, г) и m(f, s, сг) — вырожденные ядра (5.8), система уравнений я рЬ i№ 2 bj(o-)mi(a, t)zi(a)da = 0 (j = 1,..., q) z=l Ja имеет единственное решение, D2(s) Ом оператор I — Н обратим, то оператор I — К% обратим. Теорема 7.7. Пусть l(t,s,r) — вырожденное ядро (5.8) оператора L. Если D2{s) ф О, \m(t,s,a)\ j , m — непрерывное ядро оператора М и обратим оператор I — Н, то оператор I — Kz обратим. Если l(t, 5,r), m(t,s,a), n(t, S,T, а) непрерывны в целом и интегрально ограничены, то с применением теоремы Фубини доказывается, что I—Н — компактный интегральный оператор и справедлива Теорема 7.8. Если ядра l(t,s,r), m(t,s,cr), n(t, S,T, а) непрерывны в целом и интегрально ограничены, \m(t,s,r)\ - , D2(s) ф О, оператор I — Н обратим, то оператор I — К$ обратим. где D = С_1Р, F = С-1. Уравнение (7.28) есть матричное уравнение Ляпунова. Решение таких уравнений приведено, например, в [10], в операторной форме — в [6]. Пусть »25 25- -, — собственные числа матрицы С. Тогда ai,a2,..., ап — собственные числа матрицы С , а 5 т ёГ собственные числа матрицы С-1. Хорошо известно [69], что матричное уравнение АХ -+- ХВ = Е имеет единственное решение точно тогда, когда отлична от нуля сумма a -f /3, где а и /3 — произвольные собственные числа матриц А ж В соответственно. Поэтому уравнение (7.28) имеет единственное решение точно тогда, когда — — OCJ = 0 при i,j = 1,2,...,гг. Пусть VF KVC — матрицы, приводящие матрицы F и С к жор-дановой форме здесь Е — единичная матрица, - (ctj) — собственные числа матрицы F (С). Уравнение (7.28) заменяется уравнением Уравнение (7.29) в силу блочного вида матриц F и С распадается на систему уравнений [6] Матрицы у(г і\І)(г ії получаются при разбиении У и D на блоки размеров pi xqj. Каждое из уравнений системы (7.30), в зависимости от конкретного значения a;, OLJ И вида D l \ совпадают с одним из уравнений [6] Fq — матрица, транспонированная к Hq, DpXq — известная матрица, р и q - какие-либо из чисел pi и qj (i,j = 1,...,п). В [6] установлено, что уравнение (7.31) имеет т = min{p,q} линейно - независимых решений; уравнение (7.32) имеет только нулевое решение. Для разрешимости уравнения (7.33) необходимо и достаточно выполнение условия [6] при р q. Общее решение уравнения (7.33) представляется в виде 8. Условия обратимости и фредгольмовости операторов типа Романовского с частными интегралами в пространстве LP(D) Приведем условия, при которых оператор I — К{ (г = 1,...,4) является обратимым в пространстве Lp = LP(D). Уравнение
Условия обратимости операторов типа Романовского с частными интегралами вЬр
Приведем условия, при которых оператор I — К{ (г = 1,...,4) является обратимым в пространстве Lp = LP(D). Уравнение при і = 1 и і = 2 равносильно уравнению (I - М) о (/ - L о Il)x = f + (АГ о П + М о (L о П))ж (8.2) при j = 0 и j = 1 соответственно. Поэтому в случае существования обратных операторов (/ — М) и (I — L о П) уравнение (8.2) эквивалентно уравнению (I - Р)я = /, (8.3) где P = (I-Lo П)"1 о (/ - М)-1 о (TV о Ш + М о (L о П)), = (/-ЬоП)-1о(/-М)-1/. Поэтому справедлива Теорема 8.1. Если 1-М, I—Loll, I Р — обратимые операторы в пространстве Lp, то оператор I — КІ (І = 1, 2) обратим в Lp. Для і = 3,4 рассуждения проводятся аналогично. Уравнение (8.1) с і = 3 и і = 4 равносильно уравнению с j = 0 и j = 1 соответственно. Если существуют обратные операторы (J — L) l и (I — М о П)-1, то уравнение (8.4) эквивалентно уравнению Таким образам, справедлива Теорема 8.2. ЕслиІ—L, I—МоП, /—if — обратимые операторы в пространстве Lp, то оператор I — КІ (І = 3,4) обратим в Lp. При естественных условиях N о Ш + М о (L о П) — двумерный интегральный оператор, а уравнения (8.3) и (8.5) — обычные интегральные уравнения, к которым можно применить все основные результаты классической теории интегральных уравнений. Теорема 8.3. Если операторы (L о П) и N о Пг + М о (L о П) компактны в Lp, то фредголъмовостъ оператора I — КІ (г = 1,2) следует из обратимости оператора I — М. Аналогично, если (М о П)2 и N о Пг + L о (М о П) компактны в Lp, то фредголъмовостъ оператора I — К{ (г = 3,4) вытекает из обратимости оператора I — L. Доказательство.
Так как 1-М — обратимый оператор, то он фредгольмов, поэтому в силу теоремы 6.1 оператор I — КІ (г = 1,2) фредгольмов. При і = 3,4 доказательство аналогично. Объектом исследования в этом параграфе являются уравнения вида где КА = + МОП + ІУОП — операторы типа Романовского с частными интегралами, а операторы L, М, N определяются равенствами (2.1)-(2.3). Примеры, приведенные в [42, 47], показывают, что теория таких уравнений существенно отличается от теории интегральных уравнений Фредгольма. Поэтому важное значение имеют условия фред-гольмовости уравнений и их сведение к уравнениям Фредгольма. Теоремы, приводимые в этом разделе, фактически вытекают из результатов, полученных в 5 для пространства C(D), и 6 — в случае пространства LP(D). Поэтому мы не останавливаемся на их детальном доказательстве. Так как уравнение (9.1) допускает представление в случае г = 1 и в случае і = 2, то отсюда вытекает Теорема 9.1. Пусть операторы L, М, N непрерывны в про-странстве Lp, операторы (L о П) и N о ІГ + М о (L о П) (г = 1,2) компактны в Lp и 1 0 а(М). Тогда справедлива альтернатива Фредгольма: 1) либо уравнения х = К\х + / (г = 1, 2) и у = Щу + g (г = 1,2) разрешимы при любых правых частях и их решения единственны; 2) либо однородные уравнения х = К{Х и у = Kfy имеют одинаковое число линейно-независимых решений xi,... ,хп и г/і,... ,уп, соответственно. При этом уравнения х = К{Х + / и у = Щу-\- g (г = 1,2) разрешимы соответственно тогда и только тогда, когда Ук{1) = О, д(хк) = 0 (к = 1,...,п). Заметим, что если в условии теоремы оператор I—LoU обратим, то уравнения (9.2) и (9.3) приводятся к эквивалентным уравнениям Фредгольма Поэтому оператор (I — Lo П) о (/ — М) является левым ре-гуляризатором уравнений (9.2) и (9.3), а для уравнений (9.4) справедлива альтернатива Фредгольма.
В случае, когда функции /(2,s,r), m(t,s,o ), n(t,s,T,a) непрерывны по совокупности перемен гу _ ных, операторы (L о П) , N + М о (Loll) и N о П + М о (Loll) являются компактными двумерными интегральными операторами [14], а уравнения (9.4) — интегральные уравнения с компактными операторами Я (1 = 1,2). В пространстве C(D) непрерывных функций условия фредгольмовости уравнений (9.1) формулируются в зависимости от вида ядер операторов L, М и N. Фредгольмовость уравнения (9.1) с вырожденными ядрами равносильна фредгольмовости системы линейных уравнений (5.11) в случае г = 1,2 и системы (5.13) в случае г = 3,4. Поэтому справедлива Теорема 9.2. Пусть ядра /, га, п имеют вид (5.8), D\{t) ф 0. Тогда для уравнения х = KiX + f (г = 1,2) справедлива альтернатива Фредголъма тогда и только тогда, когда система уравнений (5.11) имеет только нулевое решение. Аналогично, если ядра I, га, п имеют вид (5.8), D2(s) ф 0, то для уравнения х = К{Х + / (г = 3,4) справедлива альтернатива Фредголъма тогда и только тогда, когда система интегральных уравнений (5.13) имеет только нулевое решение. Для непрерывных в целом и интегрально ограниченных ядер справедлива Теорема 9.3. Если ядра l(t,s,T),m(t,s,a),n(t,s,T,o ) непрерывны в целом и интегрально ограничены, то для уравнения x = KiX + f (г = 1,2) (х = К{Х + f (і = 3,4)) в C(D) альтернатива Фредголъма справедлива точно тогда, когда 1 а(М) (1 o-(L)). В пространстве Lp разрешимость уравнения (9.1) с ядрами операторов іиМ вида (6.5) эквивалентна разрешимости систем (6.6) для і = 1,2 и (6.7) для г = 3,4. Таким образом, справедлива Теорема 9.4. Если вырожденные ядра I и т имеют вид (6.5), \D\{t)\ const 0 (D2(s) const 0), то для уравнения x = K{X + f (і = 1,2) {х = К{Х + / (г = 3,4)) альтернатива Фредголь-ма справедлива тогда и только тогда, когда система (6.6) (система (6.7)) имеет только нулевое решение.
