Введение к работе
Актуальность темы.
Целью работы является применение методов бесконечномерного анализа, прежде всего функционального интегрирования, для исследования уравнений типа Бюргерса в различных пространствах.
Уравнением Бюргерса называется уравнение
f + (/.V/) = iA/
относительно функции / : К. х X —> X, где X — (сепарабельное) гильбертово пространство размерности п Є 1,2,3,..., оо. Предполагается, что
(/> W) = J2 ГдІ и A/ = Z) а^- в трехмерном пространстве (то есть в слу-
г=1 г=1
чае X = М3) уравнение Бюргерса представляет собой систему уравнений, отличающуюся от соответствующих уравнений системы Навье-Стокса отсутствием в правой части члена, зависящего от давления.
Уравнение Бюргерса 1у 2 используется также в акустике, гидродинамике и космологии для моделирования ударных волн, распространяющихся в сплошной среде. В последнее время появилось значительное количество математических работ, посвященных исследованию свойств уравнения Бюргерса и его стохастического аналога (см. 3' 4' 5' 6 и имеющиеся там ссылки).
В диссертации получены представления решений задачи Коши для уравнений Бюргерса с внешней силой в конечномерном и бесконечномерном пространствах с помощью формул Фейнмана и Фейнмана-Каца. Показано, что в бесконечномерном случае уравнение Бюргерса связано с уравнением теплопроводности относительно мер с помощью преобразования, аналогичного преобразованию Хопфа-Коула.
Формулой Фейнмана называется представление решения задачи Коши для эволюционного уравнения с помощью предела интегралов по декартовым степеням фазового пространства, когда степень стремится к бесконечности7 (формулой Фейнмана-Каца называется представление решения той
1Burgers J. М., "A mathematical model illustrating the theory of turbulence", Adv. Appl. Mech., v. 1, 1948, 171-199.
2Hopf E., "The partial differential equation ut + uux = /лихх", Comm. Pure Appl. Math, v. 3, 1950, 201—230.
3Davies I. M., Truman A., and Zhao H., "Stochastic Heat and Burgers Equations and Their Singularities I — Geometrical properties", J. Math. Phys., 43, 2002, 3293-3328.
4Belopolskaya Ya. I., "Smooth Diffusion Mesuares and Their Transformations", J. of Mathematical Sciences, v. 109, n. 6, 2002, 2047-2060.
5Belopolskaya Ya. I., "Generalized Solutions of Nonlinear Parabolic Systems and the Vanishing Viscosity Method", J. of Mathematical Sciences, v. 133, n. 3, 2006, 1207-1223.
6Bertini L., Cancrini N., and Jona-Lasinio G., "The Stochastic Burgers Equation", Comm. Math. Phys., v. 165, n. 2, 1994, 211-232.
7Smolyanov O. G., Tokarev A. G., and Truman A., "Hamiltonian Feynman Path Integrals via the Chernoff Formula", J. Math. Phys., v. 43, n. 10, 2002, 5161-5171.
же задачи с помощью интеграла по траекториям).
Введенный в диссертации бесконечномерный аналог преобразования Хопфа-Коула переводит бесконечномерное уравнение Бюргерса в уравнение теплопроводности относительно мер.
Теория дифференцируемых мер была заложена свыше 40 лет назад С. В. Фоминым 8 (смотри также 9). Последующее развитие этой теории обсуждается в работах 10' и' 12' 13. Одним из центральных понятий теории дифференцируемых мер является понятие логарифмической производной меры, впервые введенной в работе 9. Именно это понятие существенно используется для построения бесконечномерного аналога преобразования Хопфа-Коула.
Кроме того, в диссертации вводятся аналоги уравнения Бюргерса и Колмогорова-Петровского-Пискунова на псевдоримановых многообразиях и определяется преобразование, аналогиченое преобразованию Хопфа-Коула, связывающее эти уравнения.
Подобные результаты получены также для стохастических версий введенных уравнения Бюргерса и уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова на многообразиях. В случае, когда многообразие является евклидовым пространством, введенное стохастическое уравнение Бюргерса совпадает со стохастическим уравнением, исследованным в работах А. Трумана14.
Фактически формулы Фейнмана и формула Фейнмана-Каца появились впервые в работах Фейнмана (см., например, 15), хотя сами эти термины были введены позднее. Во второй половине прошлого века было опубликован-но довольно много математических работ, посвященных исследованию формул Фейнмана-Каца для различных эволюционных уравнений и функциональных интегралов (интегралов по траекториям), использованных в этих формулах. Отметим, в частности, работы И. М. Гельфанда, А. М. Яглома, М. Каца, В. П. Маслова, А. В. Угланова, Ю. Л. Далецкого, С. Альбеверио, Р. Хег-Крона, Ф. А. Березина, Р. Камерона, В. Мартина, Э. Нельсона, Б. Саймона, О. Г. Смолянова, А. Трумена, Е. Т. Шавгулидзе, А. Ю. Хренникова, П. Экснера. Тем не менее, вычисление функциональных интегралов, стоящих
8Фомин С. В., "Дифференцируемые меры в линейных пространствах", УМН, 23:1(139), 1968, 221—222. 9Авербух В. И., Смолянов О. Г., Фомин СВ., "Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах", Тр. ММО, 1971, вып. 24, с. 132—174.
10Смолянов О. Г., Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения, М.: Издательство МГУ, 1979.
пБогачев В. И., Смолянов О. Г., "Аналитические свойства бесконечномерных вероятностных распределений", УМН, 45:3(273), 1990, 3-83.
12Smolyanov О. G., Н. von Weizsacker, "Smooth probability measures and associated differential operators", Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, v. 2, n. 1, 1999, 51—78.
13Богачев В. И., Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна, М.: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2008.
14Truman A. and Zhao Н. Z., "On stochastic diffusion equations and stochastic Burgers equations", J. Math. Phys., v. 37, n. 1, 1996, 283-307.
15Feynman R.P., "Space-time Approach to Nonrelativistic Quantum Mechanics", Rev. Mod. Phys., n. 20, 1948, 367-387.
в формулах Фейнмана-Каца, часто оказывается затруднительным (в частности из-за того, что для многих начально-краевых задач функции Грина не выражаются через элементарные функции). В то же время для многих таких задач удается получить формулы Фейнмана, содержащие конечнократ-ные интегралы только от элементарных функций. Такие формулы Фейнмана позволяют проводить непосредственные вычисления решений эволюционных уравнений, пригодны для аппроксимации переходных вероятностей случайных процессов, полезны для компьютерного моделирования случайных процессов.
В последнее десятилетие аппарат формул Фейнмана активно применяется для описания различных типов динамики в областях евклидовых пространств и римановых многообразий, в бесконечномерных линейных и нелинейных пространствах, при исследовании р-адических аналогов уравнений математической физики. Отметим в этой связи работы О. Г. Смолянова, Е. Т. Шавгулидзе, X. фон Вайцзеккера, О. Виттиха, А. Трумана, Н. Н. Шама-рова, Я. А. Бутко, О. О. Обрезкова, П. Ю. Тарасенко (сам термин "формула Фейнмана" введен в 2002 г. в работе7). Отметим, что в ряде частных случаев, формулы Фейнмана фактически равносильны формулам Фейнмана-Каца. В диссертации формулы Фейнмана и формулы Фейнмана-Каца получены для нелинейных уравнений типа Бюргерса.
Все сказанное и определяет актуальность темы диссертации.
Цель работы.
Получение представлений решений задач Коши для нелинейных уравнений с частными производными типа Бюргерса относительно функций, определенных на конечномерных и бесконечномерных линейных пространствах и на многообразиях, с помощью формул Фейнмана и формул Фейнмана-Каца, а также определение аналогов преобразования Хопфа-Коула для бесконечномерных уравнений типа Бюргерса и аналогичных уравнений на многообразии.
Научная новизна.
В диссертации получены следующие новые результаты:
Получена формула Фейнмана и формула Фейнмана-Каца для решения задачи Коши для уравнения Бюргерса с внешней силой в Шп.
Найдено преобразование (аналогичное преобразованию Хопфа-Коула), связывающее бесконечномерное уравнение Бюргерса и уравнение теплопроводности для мер в оснащенном гильбертовом пространстве.
Получено представление решения задачи Коши для бесконечномерного уравнения Бюргерса с помощью формулы Фейнмана-Каца. Для этого было получено представление решения задачи Коши для бесконечномерного уравнения теплопроводности (с потенциалом) относительно мер в оснащенном гильбертовом пространстве с помощью интеграла по мере Винера.
Построен аналог преобразования Хопфа-Коула, связывающий уравнения Бюргерса и Колмогорова-Петровского-Пискунова относительно функций, определенных на псевдоримановых многообразиях постоянной кривизны с тензором Риччи, пропорциональным метрике. Это же преобразование связывает также стохастические уравнения Бюргерса и Колмогорова-Петровского-Пискунова.
Основные методы исследования.
В диссертации используются методы бесконечномерного анализа, теории дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрии.
Теоретическая и практическая ценность работы.
Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут представлять интерес для специалистов, занимающихся современной теоретической физикой и классическими нелинейными уравнениями математической физики.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и конференциях:
Семинар механико-математического факультета МГУ "Бесконечномерный анализ и математическая физика" под руководством д.ф.-м.н., проф. О.Г. Смолянова, д.ф.-м.н., проф. Е.Т. Шавгулидзе (2007 г., 2008г., 2009 г.),
Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвящчнная памяти И. Г. Петровского, Москва,
(2007 г.),
XVII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (2010 г.)
Публикации.
Основное содержание диссертации было опубликовано в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата (см. [1]—[5]). Работ, написанных в соавторстве нет.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, 3 глав и списка литературы. Объем диссертации — 71 страница, библиография включает 45 наименований.
