Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Допустимость пар пространств функций, имеющих нулевой или конечный предел по мере при t —> оо для интегральных операторов и уравнений Вольтерра 16
1.1. Линейные интегральные операторы 17
1.2. Линейные интегральные уравнения Вольтерра 32
1.3. Оператор суперпозиции и нелинейное уравнение 35
Глава 2. Линейные интегральные операторы Вольтерра и уравнения с периодическими ядрами в пространстве асимптотически периодических по мере функций 45
2.1. Пространство асимптотически периодических по мере функций 46
2.2. Допустимость пары (аР"[а,со),аР"[а,оо)] для интегральных операторов и уравнений Вольтерра 50
Глава 3. Взаимосвязь допустимости и устойчивости для линейных интегральных уравнений Вольтерра в пространстве измеримых ограниченных функций 66
3.1. Алгебра интегральных операторов Вольтерра и L-свойство подпространств из L^, (а, оо) 66
3.2. Взаимосвязь допустимости и устойчивости для уравнения Вольтерра 79
Глава 4. Интегральные уравнения с периодическими ядрами в пространстве измеримых функций 90
4.1. Асимптотически периодические решения линейных интегральных уравнений Вольтерра 90
4.2. Устойчивость линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами 102
Литература 124
- Оператор суперпозиции и нелинейное уравнение
- Допустимость пары (аР"[а,со),аР"[а,оо)] для интегральных операторов и уравнений Вольтерра
- Взаимосвязь допустимости и устойчивости для уравнения Вольтерра
- Устойчивость линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена изучению вопроса допустимости некоторых пар пространств для линейных интегральных операторов Вольтерра
t (Kx)(t)= IK(t,s)x{s)ds,
а также изучению асимптотики решений линейных и нелинейных интегральных уравнений
а И
x(t) = / K(t, s)
+ f(t).
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений Кубанского государственного университета (руководитель — профессор Цалюк З.Б.); на IV Северо - Кавказской региональной конференции «Функционально -дифференциальныеуравнения и их приложения», Махачкала, 1997; на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» Понтрягинские чтения - IX, Воронеж, 1998; на VII Международной конференции «Математика. Экономика. Экология. Образование», Ростов-на-Дону, 1999; на конференции «Вопросы функционального анализа и математической физики», Баку, 1999; на конференции «Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского», Казань, 2000; на Международной конференции «Нелинейный анализ и функционально - дифференциальные уравнения», Воронеж, 2000; на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» Понтрягинские чтения - XII, Воронеж, 2001;
на конференции «Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского», Казань, 2001; на X Международной конференции «Математика. Экономика. Образование», Ростов-на-Дону, 2002; на конференции «Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского», Казань, 2003; на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж, 2001.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [38] -[55]. В работах [38], [39], выполненных совместно с В.Ф. Пуляевым, ему принадлежит постановка задачи. Автору диссертации принадлежит выбор методов исследования и доказательства. В работах [40], [41] В.Ф. Пуляеву принадлежат постановка задачи и определение общих параметров исследования.
В первой главе исследуются вопросы действия операторов и уравнений в пространстве функций, имеющих на бесконечности конечный (в частности, нулевой) предел по мере Лебега (пространства А[}[а, со) и С%[а,оо) соответственно). Подобные утверждения интересны тем, что каждое условие допустимости для оператора в терминах ядра автоматически даёт соответствующее условие допустимости в терминах резольвенты для уравнения. С другой стороны, наличие этих условий позволяет рассматривать интегральные уравнения как операторные и применять при их исследовании соответствующие методы функционального анализа (напр., различные принципы неподвижной точки).
Для линейных интегральных операторов Вольтерра общего вида получены достаточные условия допустимости пары пространств функций, имеющих нулевой предел по мере.
Теорема 1.1. Пусть выполнены следующие условия:
1)\\К\\= sup [\\K(t,s)\\ds< ос;
2) для каждого Т > а
lira I f(T-s)K{t,s)ds] ^0;
3) для любого замкнутого множества F С [а, со) конечной меры и лю-
бого 6 > О существует такое То, зависящее от F и 5, что filt^To: / \\K(t,s)\\ds}t б\ <оо.
[ FD[T0,t] J
Тогда пара (С^а, со), Сд[а, оо) ] допустима для оператора К.
В случае пространства функций, имеющих конечный предел по мере также удалось получить лишь достаточные условия.
Теорема 1.5. Пусть выполнены следующие условия: t
1) \\К\\ = sup [\\K(t,s)\\ds <оо;
2) для каждого Т > а функция
т f(T-s)K(t,s)ds
имеет конечный предел по мере при t -> оо;
3) для любого замкнутого множества F С [а, со) конечной меры и лю
бого 5 > 0 существует такое То, зависящее от F и 5, что
»{t^T0: I \\K{t,s)\\ds> 5} <оо;
Fn[T0,t]
4) функция
K(t, s) ds
имеет конечный предел по мере при t —> оо.
Тогда пара (Ад [а, со), Ад [а, со)) допустима для оператора К.
Для операторов с неотрицательным или разностным ядром в случае пространства функций, имеющих нулевой предел, удалось указать необходимые и достаточные условия (теоремы 1.2 и 1.3). Аналогичное
утверждение доказано и для скалярных операторов с вырожденным ядром (теорема 1.4).
Подобные задачи для других пространств исследовались многими авторами (Цалюк З.Б., Дербенёв В.А., Пуляев В.Ф., Азбелев Н.В. и др.).
Оператор суперпозиции
=
изучался такими авторами, как, например, Немыцкий В.В., Красносельский М.А., Антоневич А.Б. и др. в различных пространствах.
Нами указаны необходимые и достаточные условия действия такого оператора в пространствах С$[а,со) и Agfa,со).
Теорема 1.10. Для допустимости пары ІС%[а,оо), С%[а,оо)] относительно оператора суперпозиции Ф необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
1) для любого г > О существует такое С = С (г) > О, что при любых
t [а, со) и Є Rn : |||| ^ г выполняется неравенство
\\
2) для любого S > 0 существует такое г = г(5) > О, что
alt > a: max ||<0(,)|| ^ S > < со.
I \M*r J
Теорема 1.11. Для допустимости пары (Ад[а,со), А^[а,со)] относительно оператора суперпозиции Ф необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
для любых г > О и о Є К найдется такое С = С(г, о) > 0, что при всех t Є [а, со) и Є Ш.п : || — о|| ^ г выполняется неравенство
для любого 0 Rn
5J для любых 5 > 0 и о Ж.п существует такое г = r(o, <$) > 0, что
filt^a: max ||у>(*,0 - <Жо)ІІ > <* Г < -
В рассматриваемых пространствах Cq[dl, со) и Ад [а, со) операторы Вольтерра могут быть вполне непрерывными лишь в исключительных случаях, что делает достаточно затруднительным применение методов неподвижной точки, основанных на компактности. Однако, при этом остаётся возможным использование принципа сжатых отображений и порядковых свойств положительных операторов, что и иллюстрирует следующее утверждение, описывающее достаточные условия разрешимости нелинейного интегрального уравнения
x(t) = / K{t, s)ip (s, x(s)) ds + f(t)
в пространствах C^a, со) и Ag[a, oo).
Теорема 1.12. Пусть n x n - матрица K(t,s) удовлетворяет условиям теоремы 1.1 (1.5), a n-мерная вектор-функция (p(t,) = v{t,h---,n) — условиям теоремы 1.10 (1.11), и существует такая непрерывная на [а, со) матрица uj(t), что
?(и)-р(*,»/)|<"(*Ж-»7І (Vt^aV^eR").
Тогда, если
sup [\\K(t,s)\\\\ij{8)\\ds< 00,
и существует такое Tq ^ а, что
t [\K{t,s)\u{s)ds^B (W^T0),
где В — nxn - матрица, собственные числа которой по модулю меньше 1, то уравнение
t x(t)= / K{t, s)
при любом свободном члене f(t) из Cg[a,oo) (Agfa, со)J имеет и притом единственное решение x(t) Є Coiai ) (^-оК ))
Следует отметить, что условия, наложенные на ядро в этом утверждении, фактически означают его устойчивость.
Во второй главе рассматриваются задача допустимости для линейного интегрального оператора Вольтерра с периодическим ядром пары пространств асимптотически о;-периодических по мере функций (аР"[а, со)) и вопрос о разрешимости соответствующего линейного интегрального уравнения в указанном пространстве.
Интегральные операторы и уравнения с периодическими ядрами изучались многими авторами ([21], [31], [35], [37] и др.). Подобные исследования в близких классах функций проводили, например, Кара-петянц Н.К. и Самко С.Г. ([17]). Асимптотика решений линейных интегральных уравнений изучалась, в частности, в работах [23], [24], [8] - [13] и др.
Во второй главе установлен критерий принадлежности функции пространству асимптотически а;-периодических по мере функций.
Лемма 2.2. Для того чтобы непрерывная и ограниченная на [а, со) функция x(t) принадлежала пространству аР"[а, со), необходимо и достаточно, чтобы последовательность {x(t-\-kuj)} сходилась по мере на [а, со) к некоторой непрерывной на [а, со) функции y(t).
Оказывается, что в этом случае функция y(t) является а;-периодической составляющей функции х(t).
Установлено также, что если x(t) — асимптотически о;-периодическая по мере функция, то
Km [x(t + ku) - x(t)\ = О
i-»oo
равномерно относительно к Є N.
Нами найдены также условия, обеспечивающие действие линейного интегрального оператора в пространстве аР"[а, со).
1) sup [\\K(t,s)\\ds t^o J
Теорема 2.2. Для допустимости пары (аР[0, со); аР"[0, сон относительно оператора К необходимо, чтобы выполнялись условия: t
< со;
2) функции ifk(t) = / K(t, s) ехр І і s J ds (k = 0,1,..., і = yf—ї)
непрерывны на [0, сю) и lim щ{ї) = О;
t-loo
3) lim f K(t,s)sds0.
о Обратно, если выполнены указанные условия, и
4) для любого замкнутого множества F С [О, оо) конечной меры и лю
бого S > 0 существует такое Tq, зависящее от F и 5, что
ц\і>Т0: f \\K{t,s)\\dsZ6\ <оо,
[ FD[T0:t] J
mo пара (аР"[0, со), aP"[0,oo)j допустима для оператора К.
Известно, что если для оператора Вольтерра допустима пара (ВСп[а, со), ВСп[а,со)), то для него будут допустимыми и многие пары естественных подпространств пространства ВС"[а, оо). В некотором смысле, этим свойством обладают и операторы Вольтерра с периодическими ядрами: допустимость для оператора К пары (аР"[0,оо),
аР"[0,оо)) влечёт за собой допустимость для него и пары (Со [О,оо),
Cq[0,сои. Показано также (теорема 2.3), что необходимым и достаточным условием действия оператора с разностным ядром в пространстве аР"[а, оо) является суммируемость на [а, оо) его ядра. Более того, в этом случае линейный интегральный оператор К переводит пространство асимптотически о;-периодических по мере функций в пространство асимптотически о>-периодических функций.
Указаны условия в терминах резольвенты (теоремы 2.4 и 2.5), при которых решения линейного интегрального уравнения Вольтерра являются асимптотически о;-периодическими по мере функциями.
Следующее утверждение является более общим по сравнению с теоремой 1.12 в линейном случае. На практике данное утверждение применяется в основном при малых т, в частности, при т = 1.
Теорема 2.6. Пусть ядро K(t:s) удовлетворяет условиям 1-4 теоремы 2.2, и для некоторого натурального т существует такая пхп -матрица В, собственные числа которой по модулю меньше 1, что для
всех t ^ 0 выполняется неравенство
j\Km(t,s)\ds^B. о
Тогда пара (аР"[0, со), аР^[0, со) j допустима для уравнения
t x(t)= K(t,s)x(s)ds + f(t).
В первых двух главах настоящей работы изучались интегральные операторы и уравнения в некоторых подпространствах пространства непрерывных функций. Полученные при этом условия являлись, как правило, достаточными. В главах 3 и 4 аналогичные задачи решаются в пространстве измеримых ограниченных в существенном функций (L^(a, оо)) и различных его подпространствах.
В силу специфики пространства L^a, со), некоторые задачи здесь представляются более трудными, чем в пространстве BCn[a, со). С другой стороны, рассматривая линейные интегральные операторы и уравнения в подпространствах измеримых ограниченных в существенном функций, имеющих на бесконечности конечный (AoL^(a, со)) или нулевой (CoL^(a, со)) предел, оказалось возможным указать условия допустимости таких пар пространств, которые являются необходимыми и достаточными одновременно.
Теорема 3.3. Для того чтобы пара (CoL^(a,со), CoL^a, со)) была допустима относительно оператора К, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: t
ijvraisup / \\K(t, s)\\ ds = Г < со;
te[o,oo) J a
2) для любого измеримого ограниченного множества А С [а, со)
vrailim / Kit, s) ds = 0. г-юо J ч '
Теорема 3.4. Для того чтобы пара (AoL,(a, со), AoL^(a,со)) была допустима относительно оператора К, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
t 1) vraisup / \\K(t, s)\\ ds = T < со;
(є[а,оо) J
2) для любого измеримого ограниченного множества А С [а, со) су
ществует конечный предел
vrai.
->oo
lilim / K(t,s)ds; -> J
3) существует конечный предел
t-ЇОО
vrailim / K(t,s)ds. 50 J
Кроме того, установлена взаимосвязь между допустимостью этих пар пространств для уравнения и устойчивостью (асимптотической устойчивостью) ядра (теоремы 3.5 и 3.6).
Теорема 3.5. Ядро K(t, s) уравнения
устойчиво на [а,со) тогда и только тогда, когда пара (L^(a,со), L^a, со)) допустима для этого уравнения.
Теорема 3.6. Ядро K(t,s) уравнения асимптотически устойчиво на [а, со) тогда и только тогда, когда пара (СоЦ^а, со), CoL^(a, со)) допустима для этого уравнения.
Ранее подобные результаты были получены в случае пространства непрерывных функций.
Имеет место гипотеза (автором которой является профессор Ца-люк З.Б.) о том, что из устойчивости интегрального уравнения и допустимости пары (X, X), где X — замкнутое подпространство из L^a, со), обладающее L-свойством, для оператора следует допустимость этой пары и для интегрального уравнения. Нам удалось доказать справедливость этого предположения для подпространств CoL^(a, со) и A0L^(a,co).
Теорема 3.8. Пусть ядро K(t,s) устойчиво и пара (CoL^a, со),
CoL^(a,со)) допустима для оператора К. Тогда пара (CoL^(a,со),
CoL^(a, 00)) допустима и для уравнения
t x(t)= K(t,s)x(s)ds + f(t).
Теорема 3.9. Пусть ядро K(t,s) устойчиво и пара (AoL^(a, 00), AoL^(a, со)) допустима для оператора К. Тогда пара (AoL^(a, 00), AoL^(a, со)) допустима и для уравнения.
Доказательство этих утверждений существенно использует результаты, полученные в работе [27].
В четвёртой главе рассматриваются линейные интегральные операторы и уравнения Вольтерра с периодическими ядрами. В отличие от результатов второй главы, где особенности пространства аР"[а, со) позволили указать лишь достаточные, близкие к необходимым условия допустимости для интегральных операторов и уравнений, здесь найдены условия, являющиеся необходимыми и достаточными.
В первом параграфе уточнены результаты теорем 3.3 и 3.4 для оператора с периодическим ядром (теоремы 4.1 и 4.2) и сформулирован критерий принадлежности пространству измеримых асимптотически и) - периодических функций (aPwL^(0, со)).
Лемма 4.1.
1) Если x(t) Є aPwL^(0, со) и xu(t) — её ш - периодическая составля
ющая, то
lim x(t + кш) — xu{t)
fc-*oo
равномерно no t Є [0, со) \ Е, где Е С [0, со) и \i (Е) = 0.
Обратно, если x(t) Є L^(0,co) и равномерно по t Є [0,ш] \ Е существует
lim x(t + kuS),
mox(t) ЄаР^І^Дсо).
2) Для того чтобы измеримая, ограниченная в существенном на [0, со)
функция x(t) принадлежала пространству аР'WL^(0, оо), необходи
мо и достаточно, чтобы
vrai lim [x(t + кш) — x(t)] — 0
t—юо
равномерно относительно А; Є N.
Приведены также необходимые и достаточные условия действия линейного интегрального оператора в пространстве aPwL^o(0, со)
Теорема 4.3. Для того чтобы пара (aPwLJJ,(0, оо), aPwLJj(0,oo)) была допустима относительно оператора К, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: t
1) vraisup / ||К(t,s)\\ ds < оо;
гє[о,оо) J о
2) для любого измеримого множества А С [0, и>]
vrailim / Kit, s) ds — 0;
t-їоо J A
3) для любого измеримого множества А С [0,w] ряд
00 „
^2 K(t + ш, s) ds
i=oJA
сходится равномерно not Є. [О, а;] \ Е, где р,(Е) — 0.
Кроме того, доказано (лемма 4.2), что из допустимости пары (CoL^(a, оо), aPwL,(0, со)) для интегрального оператора следует также и допустимость для него пары (CoL,(a,оо), CoL,(a, оо)). Данное утверждение является аналогом леммы 2.4, доказанной во второй главе для схожих пространств непрерывных функций. Приведённая в конце первого параграфа теорема 4.6 о существовании у интегрального уравнения с периодическим устойчивым ядром измеримого асимптотически о;-периодического решения является логическим продолжением теорем 1.12 и 2.6. Эти факты свидетельствуют об определённой «родственности» пространств аР"[а, со) и аРшЬ>(0, со).
Переход от пространства аР"[а, со) к aPwL^o(0,oo) дал некоторые преимущества в задаче допустимости для операторов и позволил получить логически завершённые результаты. При этом, как говорилось выше, появились определённые трудности, компенсировать которые удалось усилением требований к ядру.
Во втором параграфе рассматриваются линейные интегральные уравнения Вольтерра, ядра которых удовлетворяют дополнительным,
более жёстким по сравнению с предыдущими случаями условиям. Оказалось, что линейные интегральные операторы с такими ядрами образуют наполненную банахову алгебру, что указывает на своего рода естественность новых требований к ядру.
Далее вводится банахова алгебра абсолютно сходящихся рядов (см., напр., [19]) и определяется банахова алгебра операторнозначных функций, после чего становится возможным свести вопрос об обратимости линейных интегральных операторов к обратимости элементов данной алгебры. При этом используется один из некоммутативных вариантов теоремы Винера, опубликованный в работе [36] и известный как теорема Бохнера - Филлипса. Опишем условия, при которых справедлива эта теорема.
Пусть F — некоторая коммутативная банахова алгебра с единицей комплекснозначных функций f(t), определённых на множестве Г, с операциями поточечного сложения и умножения. Норму в F обозначим через |/|. Пусть X — банахова алгебра (вообще говоря, некоммутативная), с единицей е и нормой ||ж||, Y — банахова алгебра функций х(-) = x(t) из Т в X с операциями поточечного сложения и умножения и нормой ||ж(-)||, обладающая следующими свойствами:
1. Если xh ..., хп Є X, fi(t),..., fn(t) Є F, то функция
хі/і(-) + + *„/„() (1)
принадлежит Y.
2. Для любых х Є X и f(t) Є F справедливо равенство
ll*/(-)ll = IWII/l-
Линейные комбинации вида (1) всюду плотны в Y.
Если х(-) = x\fi(-) + + Xnfn(-), то для каждого непрерывного гомоморфизма М(/) : F н- С1 выполняется неравенство
11^(/0 + .- - + хпМ(Гп)\\^\\х{.)\\.
На основании свойств 3 и 4 каждый определённый на F непрерывный гомоморфизм М однозначно продолжается до непрерывного гомоморфизма М (#()) из Y в X, и при этом выполняется равенство
M(xf(-)) = xM(f).
Назовём М генерированным гомоморфизмом.
Теорема 0.1. Если для каждого генерированного гомоморфизма М элемент М(ж(-)) из X имеет левый обратный в X, то элемент х(-) Є Y имеет левый обратный.
Замечание. Если в X ввести умножение а * b = b а, а в Y — х(-) * у{') — у{') х(-), то для алгебр X' и Y' с новым умножением условия 1-4 теоремы будут выполнены. Генерированные гомоморфизмы, построенные по новым и старым алгебрам, совпадут, а левая обратимость элементов в алгебрах X' и У совпадает с правой обратимостью в алгебрах X и Y.
Отсюда вытекает следующее утверждение.
Теорема 0.1'. Если для каждого генерированного гомоморфизма М элемент М (#()) из X имеет правый обратный в X, то элемент х(-) Є Y имеет правый обратный.
Оператор суперпозиции и нелинейное уравнение
Для линейных интегральных операторов Вольтерра общего вида получены достаточные условия допустимости пары пространств функций, имеющих нулевой предел по мере. Теорема 1.1. Пусть выполнены следующие условия: 2) для каждого Т а 3) для любого замкнутого множества F С [а, со) конечной меры и любого 6 О существует такое То, зависящее от F и 5, что filt To: / \\K(t,s)\\ds}t б\ оо. Тогда пара (С а, со), Сд[а, оо) ] допустима для оператора К. В случае пространства функций, имеющих конечный предел по мере также удалось получить лишь достаточные условия.
Теорема 1.5. Пусть выполнены следующие условия: t имеет конечный предел по мере при t - оо; 3) для любого замкнутого множества F С [а, со) конечной меры и лю бого 5 0 существует такое То, зависящее от F и 5, что имеет конечный предел по мере при t — оо. Тогда пара (Ад [а, со), Ад [а, со)) допустима для оператора К. Для операторов с неотрицательным или разностным ядром в случае пространства функций, имеющих нулевой предел, удалось указать необходимые и достаточные условия (теоремы 1.2 и 1.3). Аналогичное утверждение доказано и для скалярных операторов с вырожденным ядром (теорема 1.4). Подобные задачи для других пространств исследовались многими авторами (Цалюк З.Б., Дербенёв В.А., Пуляев В.Ф., Азбелев Н.В. и др.). Оператор суперпозиции изучался такими авторами, как, например, Немыцкий В.В., Красносельский М.А., Антоневич А.Б. и др. в различных пространствах. Нами указаны необходимые и достаточные условия действия такого оператора в пространствах Теорема 1.10. Для допустимости пары ІС%[а,оо), С%[а,оо)] относительно оператора суперпозиции Ф необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: 1) для любого г О существует такое С = С (г) О, что при любых 2) для любого S 0 существует такое г = г(5) О, что Теорема 1.11. Для допустимости пары (Ад[а,со), А [а,со)] относительно оператора суперпозиции Ф необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: 1) для любых г О и о Є К найдется такое С = С(г, о) 0, что при всех t Є [а, со) и Є 2) для любого 0 Rn p(t, 0) Є AJ[а, со); В рассматриваемых пространствах CQ[DL, со) и Ад [а, со) операторы Вольтерра могут быть вполне непрерывными лишь в исключительных случаях, что делает достаточно затруднительным применение методов неподвижной точки, основанных на компактности.
Однако, при этом остаётся возможным использование принципа сжатых отображений и порядковых свойств положительных операторов, что и иллюстрирует следующее утверждение, описывающее достаточные условия разрешимости нелинейного интегрального уравнения Следует отметить, что условия, наложенные на ядро в этом утверждении, фактически означают его устойчивость. Во второй главе рассматриваются задача допустимости для линейного интегрального оператора Вольтерра с периодическим ядром пары пространств асимптотически о;-периодических по мере функций (аР"[а, со)) и вопрос о разрешимости соответствующего линейного интегрального уравнения в указанном пространстве. Интегральные операторы и уравнения с периодическими ядрами изучались многими авторами ([21], [31], [35], [37] и др.). Подобные исследования в близких классах функций проводили, например, Кара-петянц Н.К. и Самко С.Г. ([17]). Асимптотика решений линейных интегральных уравнений изучалась, в частности, в работах [23], [24], [8] - [13] и др. Во второй главе установлен критерий принадлежности функции пространству асимптотически а;-периодических по мере функций. Лемма 2.2. Для того чтобы непрерывная и ограниченная на [а, со) функция x(t) принадлежала пространству аР"[а, со), необходимо и достаточно, чтобы последовательность {x(t-\-kuj)} сходилась по мере на [а, со) к некоторой непрерывной на [а, со) функции y(t).
Оказывается, что в этом случае функция y(t) является а;-периодической составляющей функции х(t).
Допустимость пары (аР"[а,со),аР"[а,оо)] для интегральных операторов и уравнений Вольтерра
Как и ранее, будем считать, что вещественная пхп - матрица K(t, s) определена всюду в области —оо s t оо, при любом t а суммируема по s на [a,t], K(t,s) = О при a t s оо, при любом t а при всех t R1 и п. в. sGR1. Далее будем предполагать, что а = 0. Условие (2.3) обеспечивает непрерывность / \K(t,s)\ ds, как функ- т ции аргумента t. Из условий, наложенных на ядро K(t,s), вытекает, что следующие утверждения эквивалентны: Как известно, если для оператора Вольтерра с разностным ядром допустима пара (ВСп[а,оо), ВС"[а,оо)), то для него будут допустимыми и многие пары естественных подпространств пространства ВСп[а, оо). Частично этими свойствами обладают и операторы Вольтерра с периодическими ядрами. Оказывается, что допустимость пары (аР"[0,оо), аР"[0,оо)) для оператора К влечёт за собой допустимость для него и пары (Со0 оо), CQ[0,OO)). ЭТО следует из приведённого ниже утверждения. для любого множества В, мера которого меньше 5. Первое условие возможно в силу сходимости соответствующего несобственного интеграла, а второе — в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Покажем, что \Кх\ (to + пш) - 0 при п - со. Выберем N ко так, что для всех п N справедливо неравенство: Согласно предположению, [Кх) (t) Є аР"[0, сходится по мере к функции ( Кх ) () — о;-периодической ющей функции [Кх) (t). Из только что показанного и замечания к лемме 2.2 следует, что [Кх) (t) = О, Лемма доказана. Следствие. Если пара пространств (аР"[0,со), аР[0,со)) допустима для оператора К, то для него допустима и пара (CQ[0, со); С[0,оо)). Далее мы воспользуемся известным утверждением о L-свойстве (см. [24]). Теорема 2.1. Пусть ядро K(t,s) при каждом t Є [а, со) суммируемо по s на [а, оо) (а —ooj. Если замкнутое подпространство X из ВСп[а, оо) содержит подпространство С [а, оо) и пара (X, ВСп[а, оо)) допустима для оператора Ниже сформулированы необходимые, а также достаточные условия, обеспечивающие допустимость для линейного интегрального оператора К пары ( аР"[0, оо), аР"[0,оо) J. При этом существенно будет использован результат леммы 2.3. Теорема 2.2. Для допустимости пары (aPJ[0,oo), aPj[0,oo)J относительно оператора К необходимо, чтобы выполнялись условия: t Обратно, если выполнены указанные условия, и 4) для любого замкнутого множества F С [0, оо) конечной меры и лю- бого 5 0 существует такое Т$, зависящее от F и S, что At TQ: j \\K(t,s)\\ds 5\ со, { Fn[T0,t] J то пара (аР"[0, со), аР"[0, со) J допустима для оператора К. Доказательство. 1. Пусть пара (аР"[0,со), aP"[0,oo)J допустима для оператора К. Тогда, в силу теоремы 2.1 условие 1 выполняется. Для а;-периодической функции x(t) Є Р[0,со) обозначим y(t) = (Кх) ( ). Так как y(t) Є аР[0,оо), то y(t) = yu(t) + y0{t), где yu(t) Є Р"[0,со), ус(0 Є Положив x(t) = exp (i j) и = (cos y&t + і sin Уя) и, где и — произвольный элемент из Rn, получим условие 2. При я() = и 6 Rn имеем [Kxj (t) Є аР"[0,со), откуда в силу леммы 2.3 Поэтому, если x(t) Є P"[0, oo) и последовательность {xn(t)} равномерно на [0,оо) сходится к x(t), где xn(t) принадлежат линейной оболочке множества С, то, ввиду условия 1 данной теоремы, (Кхп) (t) равномерно на [0,со) сходится к [Кх) (t), а следовательно и (Кх) (t) Є 5 со).
Взаимосвязь допустимости и устойчивости для уравнения Вольтерра
В настоящем параграфе будут установлены необходимые и достаточные условия допустимости пар пространств (CoL (a, со), СоЦ (а, со)) и (AoL (a,со), AoL (a,со)) относительно линейного интегрального оператора Вольтерра Кроме того, будет установлена связь между допустимостью для уравнения (3.1) пары (L (a, со), L (a, со)) и устойчивостью этого уравнения, а также между асимптотической устойчивостью уравнения (3.1) и допустимостью для него пары (CoL (a, со), CoL (a, со)). Для заданного множества А С [а, со) обозначим через ХА характеристическую функцию этого множества, т. е. Известно ([16, с. 257, 258]), что множество Q функций вида , плотно в 1,(а, со). Это позволяет указать необходимые и достаточные условия допустимости пар пространств (CoL (a,со), СоЦ (а,со)) и (AoL (a,со), AoL (a, со)) для оператора К. Теорема 3.3. Для того чтобы пара (CoL (a,со), СоЦ а,со)) была допустима относительно оператора К, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: t 2) для любого измеримого ограниченного множества А С [а, со) Необходимость. Так как пространство C0L (a, со), очевидно, обладает L-свойством, то необходимость условия 1 следует из теоремы 3.2. Далее, легко видеть, что для произвольного измеримого ограниченного множества А функция Достаточность. По заданному є 0 найдём такое Т а, что vraisup \\x(t)\\ є. Ввиду плотности Q, в L (a, оо) найдётся такая функция x(t) Є fl, что vraisup \\x{t) - x(t)\\ є что ввиду произвольности є и полноты СоЬ (а,оо) даёт (Кх) (t) Є CoL (a, оо). Теорема доказана. Теорема 3.4. Для того чтобы пара (A0L (a,оо), AoL (a, оо)) была допустима относительно оператора К, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: 2) для любого измеримого ограниченного множества А С [а, оо) существует конечный предел Необходимость. Ввиду того, что пространство AoL (a, оо), очевидно, обладает L-свойством, необходимость первого условия следует из теоремы 3.2.
Кроме того, легко видеть, что функции x(t) = 1 и ХА(І) (А — произвольное измеримое ограниченное множество) принадлежат пространству AoL (a, оо), откуда следует необходимость условий 2 и 3. Достаточность. Пусть x(t) є A0L (a, оо) и Тогда (x(t) — г) Є CoL (a, оо). Повторяя рассуждения достаточной части предыдущей теоремы для функции (x(t) — г), получим, что Отсюда, ввиду полноты пространства AoL (a, оо), очевидным образом следует, что [К(х -г)) (t) Є AoL (a,оо). Далее, согласно условию 3 теоремы, К (г) Є AoLJ,(a, оо), откуда и [Кх) (t) Є A0L (a, оо) ввиду линейности данного пространства. Теорема доказана. Введём понятия устойчивости и асимптотической устойчивости, обозначив через Xf(t) решение уравнения (3.1), соответствующее свободному члену f(t), а через Xf0(t) — решение, соответствующее свободному члену f0(t). Определение. Решение Xf0(t) называется устойчивым, если для любого є О существует такое 5 О, что из (f(t) — fo{t)) Є Определение. Решение Xf0(t) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и из Легко видеть, что устойчивость решения Xf0(t) означает непрерывность оператора ll — Kj в точке fo(t), что ввиду линейности этого оператора влечёт его непрерывность во всём пространстве. Отсюда следует, что решения Xf(t) либо при всех f(t) устойчивы (асимптотически устойчивы), либо при всех f(i) неустойчивы. Таким образом, устойчивость (неустойчивость) определяется не свободным членом уравнения (3.1), а его ядром. Поэтому часто говорят не об устойчивости решения Xf(t) уравнения (3.1), а об устойчивости ядра K(t, s) или самого оператора К. Теорема 3.5. Ядро K(t,s) уравнения (3.1) устойчиво на [а, со) тогда и только тогда, когда пара (L (a,со), L a, со)) допустима для уравнения (3.1). Необходимость. Пусть ядро K(t,s) устойчиво на [а, со). Для заданного є 0 выберем 5 0 так, чтобы из f(t) Є L,(a, со) и / 5 следовало Xf(t) Є L (a, со) и ж/ є. Положим теперь Д() = f(t) /11/11 Для произвольной функции f(t) Є LJ,(a, со). При этом fi(t) Є L (a, со) и /i 5, но тогда Xfv(t) Є LJ,(a,oo). Легко видеть, что Xf(t) = x/ t) \\f\\/S, откуда очевидным образом следует xj{t) Є L (a, со). Таким образом, пара (LJ,(a,oo), LJ,(a,oo)) допустима для уравнения (3.1).
Устойчивость линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами
В этом параграфе интегральные уравнения Вольтерра изучаются при некоторых дополнительных условиях на периодические ядра. Так как ядра, зависящие от разности аргументов, удовлетворяют этим условиям, то соответствующие ограничения можно считать естественными. К рассматриваемому классу операторов с периодическими ядрами можно применить некоммутативный вариант теоремы Винера об обратимости операторов, а именно — теорему Бохнера - Филлипса [36]. Предварительно изучается алгебра операторнозначных функций, позволяющая свести вопрос об обратимости операторов Вольтерра в различных функциональных пространствах к обратимости соответствующих элементов этой алгебры. Рассмотрим интегральные операторы Вольтерра о ядра L(t, s) которых измеримы по совокупности переменных в области 0 s t UJ, (L(t,s) = 0 при s t), при п. в. t суммируемы по s на (0, t), и удовлетворяют условиям: относительно естественных операций сложения и умножения операторов является наполненной банаховой алгеброй с единицей. Обозначим её через QQ. Через Qi обозначим совокупность всех операторов вида XI + Р, где Р — интегральные операторы Фредгольма вида ядра P(t, s) которых измеримы по совокупности переменных на множестве {O s w, O i и}, при п. в. t суммируемы по s на (0,и ), и Так же, как и fio» относительно естественных операций сложения и умножения операторов и нормы Qi является наполненной банаховой алгеброй.
При этом алгебра QQ является замкнутой подалгеброй алгебры Q\. Обозначим через F банахову алгебру абсолютно сходящихся рядов равномерно no t Є D. Тогда при каждом t из множества D и всех п Є N последовательности -I Pn (, s) [ фундаментальны в L"(0,o;). Обозначим соответствующие пределы через Bn(t, s). что означает сходимость последовательности {?/&} = s X] n- " г к X} n-Bn по норме Fi, где Вп — интегральные операторы с ядрами U=o J Bn(t,s). Так как при любом М Є N Для нахождения условий обратимости элементов алгебры Fi воспользуемся теоремой Бохнера - Филлипса (см. [36]). Проверим условия данной теоремы. Легко видеть также, что линейные комбинации вида #i/i(-) + Ь Наконец, покажем, что для ж(-) = жі/і(-) Н 1- Xkfk(-), где хг- Є fii, Установленные выше свойства позволяют по каждому непрерывному гомоморфизму М : F н- С1 построить непрерывный гомоморфизм всюду плотно в Fi, то М продолжается по непрерывности на всю алгебру Fi равенством М (х(-)) — х{в). В силу теоремы Бохнера - Филлипса (теоремы 0.1 и О.Г), если х(-) Є Fi и для каждого гомоморфизма М элемент М (#()) обратим в 7i, т. е. значения функции х() при любом Є D1 обратимы в Qi, то элемент х(-) Є Fi обратим в Fi. Через Fo обозначим замкнутую подалгебру алгебры Fi операторно- значных функций вида ж(-) = ж() = d+Yl nLn, где Ln — интеграль- ные операторы, причём LQ Є QQ. Элемент из Fo обратим в Fi, если при любом Є. D1 операторы обратимы как элементы алгебры fii. Покажем, что в этом случае обратный элемент принадлежит алгебре
