Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Граничные свойства интеграла типа коши на негладкой кривой 23
1. О граничных значениях интеграла типа Коши на негладкой кривой 23
2. Возмущения областями с ограничениями на периметр и ширину . 34
3. Нижняя оценка интеграла типа Коши 40
4. Свойства интеграла типа Коши по неспрямляемой кривой 50
5. Интеграл типа Коши по неспрямляемой кривой и функции Фабера- Шаудера 55
6.Предел симметрической разности интеграла типа Коши 63
ГЛАВА II. Приложения условий непрерывности интеграла типа коши к решению краевой задачи римана и сингулярным интегральным уравнениям 76
7. Задача Римана на замкнутой неспрямляемой кривой 76
6. Задача Римана на неспрямляемой дуге 84
7. Сингулярные интегральные уравнения на неспрямляемой кривой 88
Литература 99
- Возмущения областями с ограничениями на периметр и ширину
- Интеграл типа Коши по неспрямляемой кривой и функции Фабера- Шаудера
- Задача Римана на замкнутой неспрямляемой кривой
- Сингулярные интегральные уравнения на неспрямляемой кривой
Введение к работе
0.L Краткие исторические сведения
Диссертация посвящена исследованию граничного поведения инте грала типа Коши на негладкой неспрямляемой кривой. Эти вопросы ^ вызывают большой интерес в комплексном анализе, в том числе, в связи с решением краевых задач для голоморфных функций и сингулярных интегральных уравнений (см. [1], [2]). В этой области имеется огромное количество различных достижений. Однако для понимания результатов необходимо процитировать некоторые из них. Пусть Г есть простая спрямляемая кривая на комплексной плоскости. Тогда для любой заданной на Г непрерывной функции f(t) интеграл типа Коши существует и представляет собой голоморфную в С\Г функцию. Обозначим через Z—b-t Z~bt пределы, получающиеся при стремлении точки z к точке і Є Г слева и справа соответственно.
Хорошо известно, что интеграл (0.1) по замкнутой кусочно-гладкой кривой Г имеет непрерывные граничные значения на Г, если его плотность f(t) удовлетворяет условию Гельдера sup { 1/(^ГУ *'. *" Є Г, Іф f} = M/. Г) < oo (0.2) с каким-либо показателем v 6 (0,1].
Как отмечается в книге (2], этот факт был известен еще Гарнаку, Морера и Сохоцкому. Ниже через HV{Y) будем обозначать пространство Гельдера, т.е. множество всех заданных на Г функций, удовлетворяющих условию (0.2). Теорема Гарнака-Морера-Сохоцкого была в дальнейшем уточнена И.И.Приваловым [3]. Он установил, что при условии / Є //„(Г),!' < 1, граничные значения интеграла типа Копій по кусочно-гладкой кривой Г не только непрерывны, но и сами принадлежат классу HV{T}. Если дуга Г не замкнутая, то для непрерывности интеграла типа (0.1) на ее концах необходимо дополнительно потребовать, чтобы плотность / не обращалась в нуль в концевых точках Г; в остальном формулировка теоремы Гарнака-Морера-Сохоцкого и теоремы Привалова для разомкнутых дуг не отличается от их формулировки для замкнутых кривых. Почти сразу после доказательства теоремы И.И.Привалова начали появляться разные ее обобщения для негладких кривых. Первые результаты в этой области были получены Н.А.Давыдовым [4], а одним из наиболее важных достижений последнего времени является теорема, доказанная в 1979 году Е.МкДынькиным [5] и независимо от него Т.Салимовым [6]. Эта теорема дает оценку для модуля непрерывности интеграла (0.1) по спрямляемой (вообще говоря, негладкой) кривой Г через модуль непрерывности его плотности / и некоторые величины, характеризующие метрические свойства Г. Простейшие следствия этой оценки таковы: а) если / Є Яі,(Г) при v > 1/2, то граничные значения С±(Г, f;z)существуют и непрерывны без дополнительных ограничений на спрям ляемую кривую. Этот результат вместе с утверждением о его неулуч шаемости (см. ниже) может рассматриваться как решение вопроса о возможности перенесения теоремы Гарнака-Морера-Сохоцкого на про извольные негладкие спрямляемые кривые; б) если кривая Г удовлетворяет условию 0р(г) ~ г, где 0г(г) есть максимальная (по ( Є Г) суммарная длина дуг Г, лежащих в кру ге |z — Q\ < г, то граничные значения (0.1) с плотностью / HV{V)существуют при каком-либо v Є (0,1], причем при v < 1 справед ливы включения С±(Г, /; -г) Є іґ„(Г); это прямое обобщение теоремы И.И.Привалова.
Если Эр = 0(гА), 0 < А < 1, то теорема Дынькина-Салимова дает нижнюю границу для тех показателей vy для которых из включения / Є НДГ) следует существование граничных значений интеграла (0.1) и верхнюю границу для гельдеровских показателей этих граничных значений. Е.М.Дынькин [5] установил, что эти результаты неулучша-емы в терминах модулей непрерывности и используемых в этой работе метрических характеристик кривой Г. В частности, для произвольного фиксированного v <Е (0,1/2] он построил такую кривую Г и такую, заданную на ней функцию jv Є /^(Г), что интеграл (0,1) с Г = Г„ / 1-ій теряет непрерывность в одной из точек интегрирования. Конструкция этой кривой и функции такова. Кривая Г состоит из двух частей: из лежащей в верхней полуплоскости и соединяющей точки 0 и 1 пилообразной ломаной, состоящей из бесконечного числа горизонтальных и вертикальных отрезков, сгущающихся к точке 0, и из соединяющих точки 0 и 1 гладкой дуги, лежащей в нижней полуплоскости. таким образом, часть этой кривой, расположенная вне любой окрестности нуля, состоит из конечного числа отрезков и гладких дуг.Далее, функция / в работе [5] определяются равенством fv(x + гу) = /^(г)» х + гу Є Г„, где график заданной на вещественной оси функции /* также представляет собой ломаную с бесконечным числом звеньев, сгущающихся к точке нуль.Таким образом вне нуля эта функция удовлетворяет условию Гельдерас показателем 1 (т.е. условию Липшица).
При надлежащем выборе обеих этих ломаных интеграл (0.1) теряет непрерывность в точке 0. Таким образом, теорема Дынькина-Салимова оказалась не улучшаемой даже в классе кривых и функций, негладкость которых сосредоточена в одной точке. Отметим, что условия существования граничных значений интеграла типа Коши и их свойства описываются в работах [5], [6] в терминах длин. То же относится ко всем другим известным нам работам в этой области. Несколько позднее Б.А.Кац исследовал интеграл типа Коши (0.1) на неспрям-ляемой кривой [7]. Он показал в каком классе и при каких условиях этот интеграл существует и доказал, что этот интеграл непрерывен вплоть до границы, если плотность f(t) є Н„(Г), v > а/2, а Є [1,2), где а — верхняя метрическая размерность кривой Г (или фрактальная размерность; см. 0.3).
Заметим, что результат Б.А.Каца, указанный выше, также неулуч- шаем по всему классу размерности а в делом. В то же время, эти результаты не исключают существования негладких и неспрямляе-мых кривых, по которым интеграл типа Коши (0.1) с плотностью f(t) Є Ht,(r) имеет непрерывные предельные значения на кривой с обеих сторон, несмотря на то, что приведенные выше условия і/ > 1/2 и v > а/2 не выполняются.
Одной из классических областей приложения теории интеграла типа Коши является решение краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений.
Задача Римана является одной из классических краевых задач теории аналитических функций и имеет многочисленные приложения в различных областях математики и физики. История исследования этой задачи до середины 70-ых годов подробно освещена в монографиях Ф.Д.Гахова [1] и Н.И.Мусхелишвили [2]. Отметим, что основополагающий вклад в разработку теории краевой задачи Римана внесли советские математики, в первую очередь, авторы этих монографий, ими были получены вполне законченные результаты о картине разрешимости задачи Римана на конечном числе гладких кривых с гель-деровскими коэффициентами. Дальнейшее развитие краевой задачи Римана шло ,в основном, по двум путям.
I. Ослабляются требования на коэффициенты задачи Римана: рассматриваются случаи, когда коэффициенты задачи принадлежат пространству Lp или имеют особенности в конечном числе точек (работы Хведелидзе Б.В. [12], Симоненко Н.Б. [16], [17), Говоров Н.В. [18], Да- нилюк И.И. [19] и др.)
II. Рассматриваются контуры более общего типа:негладкие, неспря-мляемые, состоящие из счетного множества кривых, сгущающихся к точке либо к континууму (работы Н.И.Ахиезера [20], Кардивадзе И.Н., Хведелидзе Б.В. [21], Фрейдкин С.А. [22], Пааташвили В.А. [23], Айзенштат А.В. [24]). Значительный вклад в исследование задачи Ри-мана на счетном множестве кривых внесла школа Л.И.Чибриковой [25], И.Г.Салехова [29], Кулагина М.Ф. [28] и др. В работе Б.А.Каца [10] по разрешимости задачи Римана на произвольной жордановой кривой был определен метод регуляризации квазирешения, который успешно применялся затем при решении многих краевых задач [30], [34], [35] и др.
Практически все достижения в решении краевой задачи Римана приводили к подтверждениям в исследовании сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши. их история также отражена в выше упомянутых работах.
В настоящей работе накладываются условия на негладкую кривую Г совсем иного характера. Их можно трактовать как условия малости площадей или иных геометрических характеристик областей, заключенных между Г и некоторой гладкой дугой.
0.2. Содержание диссертации.
Перейдем к описанию содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих девять параграфов, и списка литературы. Она посвящена выводу новых достаточных условий существования граничных значений интеграла типа Коши по негладким и неспрямляемым кривым и приложению этих условий при решении краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений. В главе I выведен ряд новых условий непрерывности интеграла типа Коши вплоть до контура интегрирования Г. В параграфах 1-3 контур Г предполагается дугой-сг началом в точке 0 и концом в точке 1, обладающей следующим свойством: при любом є > 0 часть Г, лежащая вне ^-окрестности точки 0, представляет собою спрямляемую (вообще говоря, негладкую) дугу. Длина этой дуги при є —> О может стремиться к бесконечности, и в этом смысле кривая Г может оказаться неспрямляемой. Именно к этому классу относятся кривые, которые # ^ п „ _ „ _ _ _^ строились в работах Е.М. Дынькина и Б.А. Каца для доказательства неулучшаемости полученных в этих работах условий непрерывности интеграла типа Коши. В параграфе 1 рассматривается ситуация, когда кривая Г есть график непрерывной вещественной функции Y(x), заданной на отрезке / = [0,1] и такой, что У(0) = F(l) = 0, и при любом є > 0 на отрезке [е-, 1] вариация Y ограничена. В этом случае интеграл типа Коши можно определить как несобственный: C(r,f;z)=hm±f 4^- (0-3)
Здесь Ге = {х + гу : є < х < 1,у = К(ж)}. Относительно плотности этого интеграла / потребуем следующее. Для всякой заданной на графике Г функции / определена ее проекция /* на отрезке /: f*{x) = f{x + iY{x)),xeL 10
Будем считать, что /* Є HV{I) и для любого е > Of* Є Ді([,1]). Кроме того, потребуем чтобы /(0) = /(1) = 0. Последнее требование носит технический характер: оно устраняет известные логарифмические особенности интеграла типа Коши на концах контура интегрирования, которые никак не связаны с его негладкостью (см. [1], [2]). Класс функций, обладающих этими свойствами, обозначается ниже через hu.
Один из основных результатов параграфа 1 таков.
Теорема 1.1. Пусть дуга Г = grY есть график непрерывной вещественной функции, заданной на отрезке I, и такой, что её вариация ограничена на отрезке [є71] при любом є > 0. Пусть заданная на этой дуге функция f принадлежит классу hu. Если для некоторой непрерывно дифференцируемой на отрезке I функции Y${x) и некоторого числа р > 2 выполняется условие р \Y(x) - YQ{x)\dx < со, то интеграл типа Коши С (Г, /; z) существует в смысле определения (0.3) при любом z Є С\Г, в любой точке дуги Г имеет граничные значения с обеих сторон и эти граничные значения удовлетворяют условию Гелъдера с показателем а ~ mm{i>, 1 — 2/р}.
В параграфе 1 получены некоторые обобщения этого результата, а также следствие из него, которое можно рассматривать как аналог теоремы И.И. Привалова. Кроме того, в нем приведены примеры, показывающие что полученные результаты позволяют установить непрерывность интеграла типа Коши в случаях, когда условия теорем Е.М. Дынькина и Б.А. Каца нарушены.
Интегральное условие теоремы 1.1 есть условие близости Г к некоторой гладкой дуге. Его можно трактовать, как ограничение на скорость сужения области, заключенной между Г и этой гладкой дугой (т.е_ графиком Уо) при приближении к началу координат,
В параграфе 2 используется условие близости негладкой дуги Г к гладкой Го несколько иного характера. Пусть Го есть гладкая дуга с началом в точке 0 и концом в точке 1. Пусть d+ = {dj} и d~ = {dj} есть две (вообще говоря, бесконечные) последовательности областей с кусочно-гладкими границами, примыкающих к Го сверху и снизу соответственно и сгущающихся к точке 0. Они определяют негладкую дугу Г с теми же началом и концом, такую что все эти области ограничены дугами Г и Го- Мы будем говорить, что Г получена из Го путем возмущения этой дуги областями d+ и d~. Основным результатом параграфа 2 является
Теорема 2.1. Пусть дуга Г с началом в точке 0 и концом в точке 1 получена из гладкой дуги Го с теми же началом и концом путем возмущения ее областями последовательностей d+ ud~] причем область df (соответственно dj) имеет периметр Xj (соответственно Х~) и может быть вписана в прямоугольник с меньшей стороной otj (соответственно aj). Пусть функция f НУ(Г) обращается в нуль в точках 0 и 1, причем v > 1/2. Если для некоторого р Є (2, у^) сходятся ряды mo интеграл типа Коит С(Г, /; >г) существует в смысле определения (0-3) при любом геС\Г ив любой точке дуги Г имеет граничные значения с обеих сторон.
В параграфе 2 построен пример, показывающий что теорема 2.1 может гарантировать непрерывность интеграла типа Коши вплоть до контура интегрирования в случаях, когда результаты предшественников не работают.
В параграфе 3 сконструирован пример, показывающий что интеграл типа Коши может терять непрерывность, если условия теорем параграфов 1-2 нарушены.
В параграфах 4-5 изучается интеграл типа Коши по контурам, которые могут быть неспрямляемы тотально. Это значит, что вместе с дугой Г неспрямляемой может быть дуга 7 С Г, не сводящаяся к точке. В этом случае возникает вопрос о том, в каком смысле понимать интеграл типа Коши по такому контуру.
В параграфе 4 этот вопрос решается следующим образом. Пусть Г есть график непрерывной вещественной функции Y(x), заданной на отрезке [0,1]. При отсутствии дополнительных ограничениях на Y(х) дуга Г будет, вообще говоря, тотально неспрямляема. Для каждой точки z Є С \ Г зафиксируем разрез Лг, который соединяет ее с бесконечностью не пересекаясь с Г, и выберем в С \ Аг однозначную ветвь натурального логарифма log (С — z). Тогда при / Л„ и є > О интеграл [ /(otiose-*) существует как интеграл Стшпьеса, поскольку вариация функции /* на отрезке [є, 1] ограничена. Это дает возможность определить интеграл типа Коши равенством
С(Г, /; z) = lim JL f(Qdc log(C - z). (0.4)
Основным результатом параграфа 4 является
Теорема 4.1. Пусть Г есть график непрерывной вещественной функции Y(x), заданной на отрезке [ОД] и f hv. Если для некоторой непрерывно дифференцируемой на [0,1] функции Yq(x) и для некоторого р > 2 выполняется условие \Y{x) — YG(x)\dx < оо, dx то интеграл типа Коши С(Г, /; z) существует в смысле определения (0.4) при любом z Є С \ Г, в любой точке дуги Г имеет граничные значения с обеих сторон и эти граничные значения удовлетворяют условию Гельдера с показателем у. = min{i/, 1 — 2/р}.
Таким образом, для тотально неспрямляемой дуги Г справедлив результат, вполне аналогичный теореме 1.1.
В параграфе 5 для исследования интеграла типа Коши по неспрямляемой дуге применяется система функций Фабера-Шаудера tpn. При п — 2к + j, 1 < j < 2fc, функция Фабера-Шаудера (рп(х) обращается в нуль вне отрезка у^г, ^ ,ана этом отрезке ее график образует равнобедренный треугольник высоты 1. Известно, что любая непрерывная на отрезке [0,1] функция Y(x) представима равномерно сходящимся рядом Фабера-Шаудера Y(x) = А«ч>а{х). (0.5)
Иначе говоря, ее график получается из отрезка [0,1] результате бесконечной последовательности его возмущений треугольниками. Основной результат параграфа 5 довольно громоздок. Приведем относительно простое
Следствие 5.1. Пусть Г = grY, где Y Є Н^І) имеет разложение вида (0.5), а заданная на Г функция /* Є HU(I), /(0) = /(1) = 0. Если р + и > 1 и сходятся ряды L2 \An\v, 12 п-Мі-і/р)j^j^+i/p-i при некотором р > 2, то интеграл типа Коши С(Г,/; z) существует как интеграл Стилтьеса при любом z Є С \ Г и имеет на Г непрерывные граничные значения с обеих сторон.
В параграфе 6 контур интегрирования Г считается гладким, а плотность / интегрируемой. В нем исследуется вопрос о существовании предельных значений не самого интеграла типа Коши, а его симметрических разностей. Они определяются следующим образом. Пусть t Є Г-точка гладкости кривой Г, а ^-комплексное число, соответствующее единичному вектору нормали к Г в точке t. Симметрическая разность интеграла типа Коши в точке t равна
С(Г,/;* + Лі/)-С(Г,/;і-/и/), 15 где h Є R+ (достаточно малое число). Нас интересует существование ее предела при h —> 0. На основе теории сингулярного (в смысле Лебега) интеграла в параграфе б показано, что этот предел существует в любой лебеговой точке функции / и равен значению функции в этой точке (теорема 6.4). Отсюда следует, в частности, существование этого предела в любой точке-непрерывности функции /.
Возмущения областями с ограничениями на периметр и ширину
Как видно из примеров в предыдущем параграфе, предлагаемый в данной работе метод наиболее эффективен для кривых, ставших негладкими в результате возмущения гладкой дуги бесконечной последовательностью малых областей, присоединяемых к ней сверху или снизу. При этом условия вида (1.2) могут трактоваться как ограничения на скорость убывания площадей этих областей при их сгущении к точке 0. В то же время из примеров ясно, что на непрерывность интеграла типа Коши сильно влияет ширина этих областей. В данном параграфе мы исследуем это явление. Пусть Г0 — grYo есть график гладкой вещественной функции Y0 с началом в точке 0 и концом в точке 1. Он разбивает полосу П = {z : 0 Rez 1} на части П4", П , расположенные выше и ниже Го- Рассмотрим две последовательности односвязных областей d+ = {df,( , } и d = {rff,d ,...} , лежащих в П+ и П соответственно, и обладающих следующими свойствами: a) хотя бы одна из последовательностей d+y d бесконечна (вторая при этом может быть конечной или даже пустой); b) области dj",(]",...,d,... попарно не пересекаются; то же относится к областям второй последовательности; c) области бесконечной последовательности сгущаются к точке 0; d) границы всех этих областей кусочно-гладкие и каждая из них имеет общий участок с Го Обозначим через d+ объединение всех областей последовательно сти d+, а через с -всех областей последовательности вг. Тогда область D+ = (П+ \Jd )\d+ имеет границу, состоящую из двух вертикальных лучей {z : Rez = 0,lmz 0} и {z : Re z = l,Imz 0} и соединяющей точки 0 и 1 дуги Гі. Мы будем говорить, что кривая Г і есть результат возмущения кривой Г0 областями последовательностей d+ и d . Отметим сразу» что разность Гх — Г0 есть совокупность границ областей последовательностей d+ и d , причем границы первой из этих последовательностей входят в Гх — Го с отрицательной ориентацией, а второй-с положительной. Иначе говоря, сигнатура разности равна +1 на множестве d , -1 на множестве d+ и 0 на С \ (d+\Jd ). Если замыкание области df или d помещается внутри прямоугольника {z : а Rez а + а,Ь Imz Ъ + /3}, то мы будем говорить, что ширина этой области не превосходит а, а высота-/?. В предыдущем параграфе плотность интеграла / принадлежала классу hV4 что, в частности, влечет ее дифференцируемость при х 0. Здесь мы снимаем это ограничение.
Сначала рассмотрим следующую ситуацию. Пусть Г есть результат возмущения гладкой дуги Го областями последовательностей d+ и сГ", причем ширина области d Є d+ (соответственно, dj Є d ) не превосходит oij (соответственно aj ), а высота ft (соответственно, /3 ). Пусть f Є Я„(Г). Мы можем продолжить эту функцию на всю комплексную плоскость с помощью оператора Уитни (см., [32] [10]). Продолженная функция fw{z) совпадает с / на Г, удовлетворяет усло вию Гельдера с показателем г/на всей комплексной плоскости, а в С\Г имеет частные производные всех порядков. При этом ее производные первого порядка в точке z Є С \ Г при стремлении г к Г растут как (distizS))1"1 Оценим интеграл // + - - dxdy. Для этого воспользуемся разбиением Уитни (см. [32],[10]) области d . Оно позволяет представить эту область в виде объединения диадических квадратов (т.е. квадратов с вершинами в точках вида (fc+i)2 n, где к,1,п-целые числа) таких, что для каждого квадрата Q справедлива оценка с абсолютной постоянной С 1- Если сторона такого квадрата равна 2 , то интеграл f JQ - =- dxdy оценивается величиной С2-п 2-р -"))) где С есть постоянная, зависящая лишь от /. Поэтому где mn- число квадратов сетки со стороной 2 ", входящих в разбиение Уитни области d (мы предполагаем здесь, что в это разбиение не входят квадраты со стороной большей единицы; это предположение выполнено, если ctj 1 или /#" 1). Ясно, что тп не превосходит общего числа диадических квадратов со стороной 2 п, помещающихся внутри dj . Отсюда вытекают следующие оценки: а) если площадь dj равна сг+, то тп 22п 7+, в частности, пгп b) если OLJ 2"n или /?+ 2_n, то mn 0. Далее, поскольку Q должен пересекаться с множеством {z Є d : dist(z ddj ) C2 n}t то mn не превосходит общего числа квадратов с этим же свойством, а откуда следует c) если длина границы eft есть А+, то тп \+2п (см. [34]). Будем для конкретности считать, что. а.-" /5/ Тогда из этих оце нок следует,
Интеграл типа Коши по неспрямляемой кривой и функции Фабера- Шаудера
Функции Фабера-Шаудера 2, 3j—W-- естественным образом разбиваются на серии. В первую серию входит одна функция ( 2, график которой представляет собою равнобедренный треугольник с основанием [0,1] и высотой 1. Во вторую серию входит две функции у?3-и (р4, графики которых есть равнобедренные треугольники с основаниями [0,1/2], [1/2,1] и высотами 1 и т.д. В А;-тую серию входит 2к 1 функций 2 -Щ)-) 2к» графики которых есть равнобедренные треугольники с основаниями длины 2 +l а высотой 1. В соответствии с этим выделим в ряде (5.1) отрезки рассмотрим частичные суммы График Гт = grYm есть ломаная с началом в точке 0 и концом в точке 1. В силу приведенной выше теоремы функция Ym равномерно сходится к Y. Если функция / определена на Г = grY и принадлеясит пространству Гельдера І7„(Г), то ее продолжение Уитни /ш определено во всей комплексной плоскости. Естественно предположить, что при го - оо интеграл типа Коши C(Tm,ju;z) сходится к С (Г, f;z)t т.е. Дальнейшее обсуждение этого предположения состоит из двух частей. Во-первых, мы выясним, при каких условиях ряд в правой части сходится и дает функцию, обладающую непрерывными граничными значениями на кривой Г. Во-вторых, мы обсудим условия, при которых эта сумма совпадает с левой частью равенства (5.3), т.е. условия, при которых этот переход к пределу законен. I. Все ломаные Гт являются кусочно-гладкими кривыми. Поэтому интегралы С(Гт, /ш; z) имеют непрерывные граничные значения, а для входящих в ряд (5.3) разностей согласно формуле Бореля-Пом-пейя справедливо представление sm(.г)-сигнатура разности Гт+1 — Г . Обозначим Это интеграл по области, состоящей из конечного числа треугольников. Если мы установим, что функции Tm(z) непрерывны во всей комплексной плоскости и ряд =I Tm(z) равномерно сходится, то отсюда очевидным образом будут следовать все нужные нам свойства выражения, стоящего в правой части (5.3). Для непрерывности функции Тт не нужны дополнительные условия. Нам остается оценить Тт таким образом, чтобы из этой оценки следовала равномерная сходимость ряда X)m=i m(z)- Для этого сначала воспользуемся результатами параграфа 2 для оценки интеграла от -=-\ по треугольникам, входящим в разность Г +j — Гш. Если Г-один из таких треугольников, то, как показано в параграфе 2, при v 1/2 и р Є (2, YZ ) имеем где постоянная С зависит только от /, а А есть периметр треугольника Т, а а его ширина, т.е. одна из сторон прямоугольника, внутри которого помещается треугольник Т.
В параграфе 2 предполагалось, что стороны этого прямоугольника направлены параллельно осям, но ясно, что такая оценка не зависит от направления осей, т.е. направления сторон вышеупомянутого прямоугольника мы можем выбрать сами. Треугольник Т примыкает к одному из звеньев ломаной Гт. Мы опишем вокруг Г прямоугольник так, чтобы одна из его сторон была направлена вдоль этого звена, А в качестве ширины а возьмем перпендикулярную ему сторону. Тогда очевидно, что а \А\, где А-коэффициент в разложении (5.1), соответствующий треугольнику Т. Итак, если треугольник Т порожден функцией ipn, п = 2Ш +jy 1 j 2m, то а \Лп\. Далее, обозначим через Ь длину стороны треугольника Т, лежащей на звене ломаной Гт. Она же будет и стороной прямоугольника. Поскольку периметр треугольника меньше периметра описанного прямоугольника, то А 2]АП-Ь2&. Очевидно Ь — &2-тп, где -угловой коэффициент звена ломаной Гт, к которому примыкает Т. Непосредственное вычисление дает следующее правило для вычисления этого коэффициента. По номеру п — 2m + j, где 1 j: 2т, определим тройку чисел (иі,л»і) так что ji j/2, если j четное, и ji = Ц , если j нечетное, щ = 2m_1 + ji, Є\ — +1, если щ нечетное, и егі = — 1 , если пі четное. Затем строим тройку (пг, 2,"2), полагая, что І2 = л/2, если ji четное, и J2 = 212 , если j\ нечетное, п2 2m 2 + J2, Єї — +1, если 7Ї2 нечетное, и 2 = — 1 если п2 четное. Всего таких троек получится т; в последней тройке будет пт = 2. Тогда угловой коэффициент &п для треугольника Тпу соответствующего функции (рп равен кп = Є\АПі2 + 2АП22 -+-... + EmAntn27 и , соответственно, длина Ьп основания этого треугольника есть то ряд Sm=i m(z) сходится равномерно. II. Теперь обсудим левую часть (5.3). Ее можно понимать как интеграл Стилтьеса. Из теоремы Юнга (см. 0.3) следует, что этот интеграл существует, если кривая Г является р спрямляемой, функция / имеет на ней ограниченную -вариацию и4 + 1 (см. 0.3). Если У Є Нр(1), то очевидно, что Г будет 1//і-спрямляемой. Функция / имеет 1/ -ограниченную вариацию, если ее проекция / принадлежит Н„{1) (отметим, что отсюда следует / Є НУ{Г)). Поэтому при v+\x 1 левая часть (5.3) существует, как интеграл Стилтьеса. Из результатов [18] (см. также [36]) следует, что этот интеграл будет равен сумме ряда в правой части (5.3). Итак, справедлива Теорема 5.1 Пусть Г grY, где У Є Н {1) и имеет разложение в ряд Фабера-Шаудера (5.1). Пусть на Г функция f такая, что / Є Н„{1), /(0) =. /(1) = 0 и /г-f v 1. Если при некотором р 2 выполнено условие (5.7), то интеграл типа Коши С(Г,/;z) существует как интеграл Стилтьеса при любом z Є С \ Г и имеет на Г непрерывные граничные значения с обеих сторон. Поскольку вычисление Вп довольно громоздко, дадим упрощенный вариант условия (5.7). Прежде всего отметим, что при любых х О, у 0 и любого /? Є (0,1] справедливо неравенство (х -+- у)& х& 4- у&. Поэтому, условие (5.7) будет выполнено, если сходятся ряды
Задача Римана на замкнутой неспрямляемой кривой
Результаты параграфов 1—2 без труда могут быть использованы для решения задачи Римана на кривых рассматриваемых классов. Полученные результаты дословно повторяют классические (см.[1]). Но для неспрямляемых (в особенности, тотально неспрямляемых)кривых здесь возникают дополнительные сложности при доказательстве единственности решений. В данном параграфе показывается как можно преодолеть эти сложности и снимаются некоторые ограничения, которые в задаче Римана представляются неестественными. Пусть дуги rt = grYi и Г2 = grY2 есть, вообще говоря, неспрям-ляемые графики заданных на отрезке / = [0,1] непрерывных вещественных функций, обращающихся в ноль в точках Ои 1. Пусть эти дуги не имеют других общих точек. Тогда Г = Гх (J Гг разбивает комплексную плоскость С на области D+ и D" э со. Рассмотрим на этой кривой краевую задачу Римана о нахождении регулярных в D+ и D и непрерывных в D и D функций Ф+( г), Ф (г:), удовлетворяющих на кривой Г линейному соотношению Здесь G(t),g(t) — есть заданные на кривой Г функции. I. Сначала изучим задачу о скачке при д Є hu. Требуется найти регулярные в областях D+ и D и непрерывные в D и D функции Ф+(г) Ф (г), удовлетворяющие условию В параграфе 4 было показано, что данная функция в любой точке дуги Г имеет граничные значения с обеих сторон С+(Г,/;) и С (Г, f\t) и эти граничные значения удовлетворяют условию Гель-дера с показателем (х = min{f, 1 — 2/р}, если для некоторой непрерывно дифференцируемой на отрезке / функции YQ(X) И для некоторого числа р 2 выполняется условие где д {х) = д(х + гу). Кроме того, для любого t є Г имеет место равенство (7.2). Решение (7.2) единственно, если кривая Г устранима для класса регулярных в окрестности Г и непрерывных на Г функций. Согласно теореме Е.П.Долженко [33] непрерывная на Г функция класса Нц регулярна там при д а#(Г) — 1. Разность Фі( г) — Фї(г) двух решений задачи о скачке (7.2), (7.3) регулярна в С\Г и непрерывна в С. При и с я(Г) — 1 эта разность регулярна и при z Є Г. В силу теоремы Лиувилля Фі(г) — Ф2ОО = const. Т.к. Фі(оо) — Фг(оо) = 0, то эта константа равна нулю. Теорема 7.1 Пусть кривая Г = ГЧиГг, где Г1)2 = 9TY\ . Пусть g(t) Є hyt v \} (л — min{i/, 1 — 2/р}, ц ая(Г) 1- Бели для некоторой непрерывно дифференцируемой функции YQ{X) и некоторого числа р 2 выполняется условие (x) - YG(x)\dx 00, то функция (7.4) является единственным решением задачи о скачке (7.2), (7.3) класса Я,, (Г). Здесь принадлежность решения Ф классу ЯМ(Г) означает, что Ф удовлетворяет условию
Гельдера с показателем ц в D+ и в любой конечной части D . Но условие g Є h„ довольно неестественно для данной краевой задачи. Во-первых, оно означает, что g(0) = g(l) = О, а во-вторых-что значения g в точках Гі и Г2 с общей проекцией на / одинаковы. Эти ограничения можно снять. Обозначим через hv(Vit Г2) класс функций g(t), обладающими свойствами: б) если /1 и gi есть сужения g на Г\ и Г2 соответственно, то их проекции д\ и д\ на отрезок / = [0,1] принадлежат if і ([г, 1]) при любом є 0. Выберем числа Ли В так, чтобы линейная функция At+B принимала в точках 0 и 1 те же значения, что и функция д Є hu{Yi U Г2). Тогда функция g(t) g(t) — (At + В) обращается в нуль в точках 0 и мы можем повторить все сказанное выше. Далее, функция Ф( ) = Az + В, z Є D+7 и 0, если z Є D } имеет на Г скачок At + В, сумма Ф + Ф дает решение задачи о скачке со скачком д /гДГ Гг). При этом простое повторение рассуждений из параграфа 4 показывает, что т.е. построенное решение есть интеграл типа Коши от исходной функции g(t). Поэтому справедлива Теорема 7.1 Теорема 7.1 сохраняет справедливость для скачков II. Рассмотрим решение однородной задачи где G{t) Є hv(TuT2),v є (0,1),(7(0 Ф 0. Пусть к = indTG{V) — индекс задачи (7.5). Запишем условие в виде Ф+(і) — (t — zo)K((t — z0) KG(t)№ (t)y где zo Є D+. Очевидно, что (t — zo) KG(t) представимо как отношение краевых значений аналитических функций Для канонической функции X(z) запишем выражения Так как X(z) по определению удовлетворяет краевому условию (7.5), то представим коэффициент G{t) по формуле G(t) — x-(t) Тогда краевое условие (7.5) принимает вид Если Ф(г) есть любое решение задачи (7.5) из класса Н д = min{V, 1 — 2/р}, то при fi «я (Г) — 1 функция Ф = является регулярной в С. В бесконечно удаленной точке функция Ф имеет порядок не ниже —к (X(z) имеет, по определению, порядок к). По принципу непрерывности функции левой и правой частей являются аналитическим продолжением друг друга на всю плоскость,, за исключением бесконечно удаленной
Сингулярные интегральные уравнения на неспрямляемой кривой
Пусть Г = Г\иГ2 есть такая же кривая как в параграфе 7, т.е. Гі,2 = 9гУі,2і где Vi и Y% есть непрерывные вещественные функции, заданные на отрезке [0,1], 1 (0) = 1,2(1) — 0. I. Рассмотрим характеристическое уравнение где a(t)j b(t), p(t) Є hv, a2{t) &2(t) = 1. Определим сингулярный интеграл Sr f{t) представлением, согласно В.А. Селезнёву [8] где &±{t) есть граничные значения кусочно-аналитической функции в D±, удовлетворяющие условиям Очевидно, что Ф(г) есть решение задачи о скачке (7.2),(7.3). В рассматриваемом нами неспрямляемом случае мы должны добавить условие Ф 6 Я (Г), р. «я(Г) — 1, обеспечивающее единственность решения этой задачи о скачке. В силу теоремы 7.2, если /І = rnin{ , 1 — 2/р}, \х ая(Г) — 1 и для некоторой непрерывно дифференцируемой на отрезке / функции YQ(X) и некоторого р 2 выполняется условие то решение этой задачи о скачке имеет вид (7.4) Будем искать решение характеристического уравнения в классе Нц, JJ, (0,1]. Подставим в интегральное уравнение (9.2) вместо Sr p(t) и ip(t) выражения Ф+(і) + Ф (і), Ф+() — Ф () соответственно. Сделав ряд преобразований, получим задачу Римана кусочно-аналитическая функция Ф(г), определенная формулой (9.5), исчезающая на бесконечности, является решением задачи Римана (9.6) в классе H {D+ \JD ) \i ая(Г) — 1. Для доказательства равносильности уравнения (9.1) и задачи Римана (9.6) необходимо показать, что функция ip{z)7 найденная из решения задачи (9.6) по формуле (9.3), удовлетворяет интегральному уравнению (9-І). Пусть кусочно-аналитическая функция Ф(г), исчезающая на бесконечности, есть любое решение задачи (9.6) в классе H {D+\JD ), р, о:я(Г) — 1. Учитывая соотношения (9,2) и (9.3), получим Заменяя Ф+(і) правой частью соотношения (9.5), выражая коэффициенты краевой задачи (9.6) G(t) и g(t) через a(t),b(t) и f(t) и, сде лав ряд преобразований, найдем, ;: лД- чт функция (p(t) является решением интегрального уравнения (9Л). Так как коэффициенты задачи Римана G,g Є hu, то ее решение Ф(г) є Hfl(D+\JD"), где fj, = rain{ , 1 — 2/р} и [і сид (Г) — 1, если кроме того, для непрерывно дифференцируемой на отрезке / функции YQ{X) и некоторого числа р 2 выполняется условия Решение (p(t) характеристического уравнения (9.1), найденное по формуле (9.3) будет принадлежать к классу Н .
Итак, для эквивалентности решений интегрального уравнения (9.1) и краевой задачи Римана (9.6) достаточно выполнение условия Если неравенство (9.8) выполняется, то существует число , удовлетворяющее условиям д СЇД-(Г) — 1 и р, — min{f, 1 — 2/р]. Индекс коэффициента - задачи (9.6) назовем индексом интегрального уравнения (7.1) и обозначим п. Пусть X(z) — каноническая функция однородной задачи Римана (g(t) = 0). Выпишем общее решение задачи (9.6) при к, 0 по формуле Учитывая, что коэффициенты a(t) и b(t) уравнения (9.1) удовлетворяют условию a2(t) — b2(t) = 1, т.е. коэффициент G задачи Римана (9.6) не обращается в нуль или оо, получим Итак, формула (9.9) дает общее решение характеристического уравне ния (9.1) при к 0. Отметим, что последнее слагаемое формулы (9.9) есть общее решение однородного уравнения [j{t) 0), а первые два слагаемых- некоторое решение неоднородного уравнения (9.1). Эта же формула (9.9) дает частное решение при к —1, если положить в ней PK(t) = 0 и считать, что правая часть уравнения (9.1) удовлетворяет условиям Сформулируем полученный результат. Теорема 9.1 Пусть кривая Г ГЩ» где дуга Г = grY принадлежит классу G, a(t),b(t)yf(t) є Д„, a2(t) b2(i) = 1. Для некоторой непрерывно дифференцируемой на отрезке / функции YQ(X) и некоторого числа р 2 выполняется условие Если р = min{i/, 1 — 2/р} И/І скя(Г) — 1, то характеристическое уравнение (9.1) имеет следующую картину разрешимости в классе Н . і) При к 0 однородное уравнение К(р = 0 имеет л; + 1 линейно-независимых решений а неоднородное уравнение (9.1) разрешимо при любой правой части и его общее решение зависит от к + 1 независимых постоянных. ii) При к — 1 однородное уравнение (/ = 0) неразрешимо, а неоднородное (9.1) разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть f(t) удовлетворяет — к — 1 условиям разрешимости (9.10) II. Рассмотрим уравнение союзное с характеристическим уравнением Ktp = /, где a(t),b(i),h(t) Є hv, а2 (і) — b2(t) = 1. Решение ip(t) будем искать в классе Н . Сделаем подстановку тогда получим характеристическое уравнение относительно функции w(t) Определим функцию i/ (), складывая формулы (9.12) и (9.14)
