Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Предварительные сведения и обозначения 21
ГЛАВА II. Интеграл типа Коши 36
1. Об Основной лемме Привалова И.И. для интегралов типа Коши 36
2. Необходимые и достаточные условия непрерывности интеграла типа Коши в замкнутой области 42
ГЛАВА III. Особый интеграл 58
1. О теореме Заманеного М.М 58
2. Оценки для особого интеграла 66
ГЛАВА IV. Краевая задача Римана 75
Литература 88
- Об Основной лемме Привалова И.И. для интегралов типа Коши
- Необходимые и достаточные условия непрерывности интеграла типа Коши в замкнутой области
- О теореме Заманеного М.М
- Оценки для особого интеграла
Введение к работе
В настоящей работе исследуется особый интеграл Коши, интеграл типа Коши и краевая задача Римана.
В первой главе введены необходимые обозначения и приведены используемые в дальнейшем сведения. Часть этих утверждений доказана, а часть приведена без доказательств с указанием источника, где эти доказательства могут быть найдены.
Все утверждения из этой главы названы леммами, хотя многие приводимые результаты являются довольно значительными достижениями в соответствующих областях. Это, на наш взгляд, оправдано тем, что в данной работе они носят вспомогательный характер.
Утверждения и обозначения имеют двойную нумерацию: первое число показывает номер главы, второе - порядковый номер утверждения или обозначения внутри этой главы.
Во второй главе исследован интеграл типа Коши, который явля ется основным математическим аппаратом при решении непрерывных и кусочно-непрерывных граничных задач теории аналитических функ ций. f
Пусть Г - замкнутая жорданова спрямляемая кривая (з.ж.с.к.), а /є С> (С*. - множество непрерывных на f функций).
Рассмотрим интеграл типа Коши
2TTL J
2ПJ S -2
Важным является вопрос о непрерывной продолжимости на г (изнутри или извне) функции F(%) в зависимости от функции плотности / и кривой интегрирования X . Начало исследованиям, посвященным этому вопросу, было положено работами Сохоцкого Ю.В.,
Гарнака А., Племеля й. (см. [ 22 J ).
После основополагающих работ Привалова И.И. (Г23]) и Мусхе-лишвили Н.И. (Г22 ] ), сформировался классический результат, подводящий итог всем предыдущим исследованиям: функция F(i) непрерывно продолжима на ^ изнутри и извне, если jf - кусочно-гладкая кривая и /є Н ( Н. - множество функций, удовлетворяющих условию Гельдера с показателем оС є (0,1] ).
В дальнейшем последний результат обобщался в работах Магна-радзе Л.Г. ([ 21] ), Давьздова Н.А. ([ 12]), Гегелия Т.Г. ([ 22]), Бабаева А.А. ([ I ],[ 2 ]), Тамразова П.М. ([36 ]), Салаева В.В. ([ 27J), Геруса О.Ф. ([II ]) и других.
Если, следуя [25] или [ 20 ], ввести следующие обозначения:
Ц(Ь) «fseri |*-ti<*/ ,ier,*>o,
8,(Ю = Wes fo(t) ( тг$ X обозначает линейную меру Лебега измеримого множества X с ]f ),
8(V = s«p 9(S) , (S) = Q(t) -0Ш), ief t * * то можно сформулировать наиболее общее достаточное условие непрерывной продолжимости F(i") на ff , полученное независимо друг от друга Дынькиным Е.М. ([13]) и Салимовым Т.С. ([29 1): если Y - з.ж.с.к., f є С\г и рт sup f hCp / Ч* Wg^, то F(i) непрерывно продолжима на /f изнутри и извне и верны формулы Сохоцкого Ю.В.: где F (і) » F (і) - граничные значения F(?) , соответственно, изнутри и извне У , а
0)($) = supr1 sup l{ttt)-{(i2)l , &>0 . titer
Достаточное условие для непрерывной продолжимости интеграла типа Коши F0O на jf , в несколько иных терминах было получено Гончаром А.А. и Григоряном Л.Д. ( [ І0І): для непрерывной продолжимости F() на гладкую жорданову кривую jf , достаточно, чтобы |f/„tf,r )<<*>, (2) где через Pn(fj If) обозначено наилучшее приблгскение f на X (в равномерной метрике) посредством рациональных функций порядка не выше Л с полюсами вне f .
Несмотря на достаточно большое количество исследований, - б - посвященных вопросу о непрерывной продолжимости F[Sr) на jf , необходимые и достаточные условия найдены только Салаевым В.В. (T26J ), который, используя громоздкий метод трансфинитной индукции, показал, что, если У - замкнутая кусочно-гладкая кривая без точек возврата (в доказательстве этот факт существенен), + Є С v , то ffx) непрерывно продолжима на jf изнутри или извне тогда и только тогда, когда интеграл сходится равномерно по і є. jf при 8 -* 0 .
Во второй главе последний результат обобщен на широкий класс негладких кривых, причем доказательство проще, чем соответствующее доказательство Салаева В.В. (в частности, трансфинитная индукция, не используется). Рассмотрен также случай произвольной з^ж.с.к.
В первом параграфе, при дополнительных условиях на функцию f , несколько уточняется основная лемма Привалова И.И. (лемма 2.1). Далее, во втором параграфе, на основе этого уточнения доказывается следующее необходимое условие непрерывной продолжимости р(ї) на jf .
ТЕОРЕМА 2.1. Пусть jf - з.ж.с.к., /єС^ . Тогда, если интеграл типа Коши непрерывно продолжим на jf изнутри или извне, то интеграл f\h(t) Ч~ * h сходится равномерно по і Є Т при -> О и *)
Если кривая Ї такова, что 8(1) = 0($) , то это условие также и достаточно для непрерывной продолжимости F(tO на jf .
ТЕОРЕМА 2.3. Пусть jf - з.ж.с.к., у которой 0(Ю* « 0() Тогда интеграл типа Коши F0O непрерывно продолжим на jf изнутри и извне тогда и только тогда, когда интеграл №(«*'* h сходится равномерно по іє jf при -+0
Нам неизвестно, остается ли верной теорема 2.3. в случае произвольной з.ж.с.к. Для этого случая получен следующий результат
ТЕОРЕМА 2.6. Пусть Ґ -з.ж.с.к., і є. Су- . Тогда интеграл типа Коши р(ї) непрерывно продолжим на jf изнутри и извне тогда и только тогда, когда существует неотрицательная функция Otj() , >0 , удовлетворяющая следующим условиям:
1) lim ы,(е) = о, ->0 Т
2) для любого ё>0 и любых 2 Є jf и iejf таких, что / 2 -І \-& &/2 » выполняется соотношение Ці)
При этом граничные значения изнутри f (і) и извне функции F00 определяются формулами (I).
Третья глава посвящена изучению особого интеграла Коши. Пусть /Г - з.ж.с.к., є С» . Рассмотрим особый интеграл 7*. =5-/-^^-a. ft... где t Є jf , а интеграл в правой части понимается в смысле главного значения по Коши.
Хорошо известна связь между интегралом типа Коши F0O и особым интегралом Коши, которую вскрывает основная лемма Прива- гр лова И.И.: существование почти всюду (i) эквивалентно существованию почти всюду угловых граничных значений /"(*) изнутри и извне и при этом для почти всех T^/f верны формулы (I).
В силу классической теоремы Племеля И.-Привалова Й.И.(Г22 3 ), если X - гладкая кривая и f Є Н^ ( 0 < # * 4 ) ,то при 0 < оС < 1 f Є Ww , а при <У~ / происходит логарифмическая потеря, то есть для любого ь У 0 и о-* О .
В дальнейшем теорема Племеля-Привалова для более широкого класса кривых и некоторые ее обобщения доказывались в работах Магнарадзе Л.Г. (Г2І 3), Давыдова И.А. (Г 12 3), Гегелия Т.Г. ([22 3), Бабаева А.А. (С ІЗ-С 3 3), Салаева В.В. (Г27 3), Там-разова П.М. (Г35 3,ГЗб 3), Геруса О.Ф. (С ЦЗ), Дынькина Е.М. (СіЗЗ )» Салимова Т.С. (Г29 3). В то же время ни в одной из этих работ не исследовался вопрос о нахождении необходимых и доста-точных условий непрерывности особого интеграла ({") . Такое условие было получено Заманским М.М. (Г44 Л) и Салаевым В.В. ([26 ] ), соответственно, для случаев, когда кривая интегрирования )Г - окружность и кусочно-гладкая кривая без точек возврата.
В первом параграфе показано, что условие, приведенное в [44 J и [26 3 , является необходимым и достаточным для непре-рывности ((т) ив случае негладких кривых, то есть верна
ТЕОРЕМА 3.3. Пусть Г - з.ж.с.к., у которой 9(^)^0(^), f Є Су . Тогда, чтобы особый интеграл f(i) был непрерывен на Г , необходимо и достаточно, чтобы интеграл сходился равномерно по t Є jf при В -* 0
При доказательстве этой теоремы используются следующие результаты, представляющие самостоятельный интерес.
ТЕОРЕМА 3.1. Пусть Г - з.ж.с.к., у которой в(&) = 0(&) , /є Сг . Тогда интеграл типа Коши F(i )єЕр , рє(0, ooj ( Ер - классы Смирнова В.И.).
Далее, на основе теорем 2.3, 3.2 и 3.3 устанавливается
ТЕОРЕМА 3.5. (основная) Пусть Г - з.ж.с.к., у которой 9(Ю = 0($) и f є С* Тогда следующие утверждения эквивалентны:
I. Интеграл типа Коши непрерывно продолжим на Ґ изнутри и извне.
Угловые граничные значения интеграла типа Коши F(%) изнутри или извне jf почти всюду совпадают с некоторой непрерывной на функцией.
Особый интеграл Коши fa-^/%^**^ « j *-* непрерывен на Т 4. Интеграл fe>to\d- сходится равномерно по сЄ^ при 3-+0 .
Принципиально важным обобщением теоремы Племеля И.-Привалова И.И. является оценка модуля непрерывности особого интеграла Коши l(t) через модуль непрерывности функции плотности f() .
Впервые такая оценка была получена Зигмундом А. (ГІ4Д), точнее верна
ТЕОРЕМА (Зигмунд А.) Пусть Г - единичная окружность, i Л. -А,
Тогда f {і) Є Сj* и верна оценка - II - S аг a(i)*c(f2№.k.iJJ!to-jt). где С - постоянная, не зависящая от .
Для особого интеграла Коши по гладкой кривой эта оценка была доказана Магнарадзе Л.Г. (Г 2С ). В терминах введенных ими же характеристик кривой 0C(f) , p(S) Бабаев А.А. и Салаев В.В. ([ 4 ] ) получили оценку типа оценки Зигмунда А. в случае произвольной з.ж.с.к., из которой, в частности, вытекает оценка Зигмунда А. для кривых, у которых отношение небольшей из длин дуг, стягивающих любые две точки к длине хорды, соединяющей эти же точки, ограничено сверху. Телесный аналог этой оценки было получено Тамразовым П.М. (Г 35],[ 361). Впоследствии подобные оценки получались в терминах характеристики 9($") (или ее аналогов) Салаевым В.В. (Г 27] ), Герусом О.Ф. (Ш ] ), Дынькиным Е.М. ([13 J), Салимовым Т.С. (Г29 ]). Из оценки Са-лаева В.В. следует, что если J* - з.ж.с.к., у которой 8(ії) ~ 0(Ю , то на этой кривой верна оценка Зигмунда А.
В совместной работе Г 7 J Бари Н.К. и Стечкин СБ. рассмотрели вопрос о точности оценки Зигмунда А. и доказали, что верна
ТЕОРЕМА. Пусть Xі - единичная окружность, Ф - модуль непрерывности. Тогда, при —р— а = +оо
О существует функция j- є Су» такая, что 0)(&)os <Р(ІЇ) существует функция /є Г/ такая, что G>p(8) ^f(&) я- ' о $ где С - абсолютная постоянная.
Объединением оценки Зигмунда А. и теоремы Бари Н.К. - Стеч-кина получается
ТЕОРЕМА (Зигмунд А.- Бари Н.К. - Стечкин СБ.). Пусть f -единичная окружность, і є ^ . Тогда для того, чтобы необходимо и достаточно, чтобы
Последняя теорема была перенесена Салаевым В.В. на случай Л" , у которой и касательная к <Г непрерывна хотя бы в одной точке, а оценка типа обратной оценки Бари Н.К. - Стечкина СБ. была получена Салимовым Т.С.
Эти результаты показывают, что если Т - з.ж.с.к., у кото- - ІЗ -рой 9() =0() , то знание модуля непрерывности функции j. позволяет получить подробную информацию о модуле непрерывности функции і . В то же время Салаевым В.В. (Г26]) показано, что существуют кусочно-гладкая кривая и функция і є. С* такие, что ] —^
В связи с вышеизложенными результатами возникает задача о нахождении новых отличных от модуля непрерывности, естественных для рассматриваемого круга вопросов, характеристик непрерывных функций и изучения особого интеграла Коши в терминах этих характеристик. В этом направлении отметим работу Салаева В.В. и Исса Р.Б. (CI6J), в которой вводится класс S*. , состоящий из функций f , fe Cy , таких, что интеграл l—m—** r\rem сходится равномерно по V Є. f при 8-*0 . Далее, для функции f є. г определяется характеристика в терминах которой для з.ж.с.к. без точек возврата и такой, у которой 9($) = 0(B) , изучается поведение особого ин- теграла Коши и строится шкала инвариантных относительно /\ f-> f функциональных пространств Zy> , среди которых имеются пространства отличные от инвариантных пространств . Аналогичные результаты в случае разомкнутого контура (удовлетворяющего условию ($*) = 0(B) ) были получены Селимом М.С. ([32 ]).
Во втором параграфе третьей главы в терминах пары характеристик (о>р , he ) функции f устанавливаются оценки для этих же характеристик функции . Эти оценки приведены в теореме 3.6.
ТЕОРЕМА 3.6. Пусть f - з.ж.с.к., у которой Q(&) = 0(B) f fS S* . Тогда.для любого & Є (0,и] верны неравенства где постоянные С} и С2 зависят разве лишь от Ґ .
Отметим, что эти оценки проще соответствующих оценок работы С 32J и обобщают их. Из теоремы 3.6 получено
СЛЕДСТВИЕ 3.1. Пусть jf - з.ж.с.к., у которой 9(f>) = = 0(S) .leS^ . Тогда Jfa)eSr
ТЕОРЕМА 3.6 позволяет строить новые, инвариантные относитель- но особого интегрального оператора А : f —+ f пространст- ва яїу , определяемые следующим образом Zf={feSr\ а,СП - OOftty ,->/*) = 0(f(*))} ПК -*L -w.-^-w ^ где Ф - модуль непрерывности, a q =;SUp li-%1
Верна
ТЕОРЕМА 3.7. Пусть ^ - з.ж.с.к., у которой 9(^)^0(^), f Є Сv» , Ф "" модуль непрерывности и с/ tJ J&-Jt т D(ftS)).
Тогда особый интегральный оператор л f s + ограниченно действует из 2 м В ?М> .
Отметим, что если Ґ - гладкая кривая, то класс S*» содержит функции ,1 є Су> , с сколь угодно "медленно" стремящимися к нулю модулями непрерывности (Г 9 1 ,Г 10 ]).
Если же ^ - произвольная з.ж.с.к., то Si- содержит все функции ^, 4-Е Су- , удовлетворяющие условию о s (Г ІЗ J ,Г 29 1).
Четвертая глава посвящена применению полученных результатов к решению краевой задачи Римана.
Пусть f - з.ж.с.к. Обозначим, как обычно, через >+ иГ, соответственно, внутренность и внешность Т .
Функцию ф(Ъ) будем называть кусочно-аналитической функцией с линией скачков jf , если: а) ф(ъ) - аналитична в f+ и непрерывна в Р ; б) ф(2) - аналитична в f (включая ?=оо ) и непрерывна в /" Ї в) ф(оо) = о
Пусть G- 7 й є Су » причем (г(і)^О для любого
Задача Римана. Найти кусочно-аналитическую функцию ф(%) с линией скачков f , удовлетворяющую в каждой точке ^е^ линейному соотношению ф*Ю -№)ФЪ) +$№)
Задачу Ршлана в такой постановке будем называть неоднородной непрерывной краевой задачей, а функцию 0(*) - ее непрерывным решением.
При (?№) s / задача Римана называется задачей о скачке, а при Q(i)sO - однородной задачей Римана.
Развивая и продолжая идеи предыдущих исследований, Гахов Ф.Д, (Г 8 3) ввел понятие индекса задачи и с помощью этого понятия дал полное решение как однородной, так и неоднородной задач Римана в интегралах типа Коши в классических предположениях: jf - простая замкнутая гладкая кривая, G $ Q є Н и Для любого і є f , & (і) і О
В дальнейшем результаты Гахова Ф.Д. обобщались в работах
Симоненко И.В., Хведелидзе Б.В., Иванова В.В. и др. (полный перечень этих работ имеется вГ8 39С22 1,Г 4ІІ).
Из работ, близких к теме данной диссертации отметим работу Бабаева А.А. и Салаева В.В. Г 6 1 , в которой непрерывная крае-задача Римана решена на произвольной з.ж.с.к. при условии, что коэффициенты Q , Q удовлетворяют естественному обобщенному условию Дини.
В классах непрерывных функций, не описываемых в терминах модулей непрерывности эта задача рассматривалась в работах Исса Р.Б. (ГІ5]), Селима М.С. ([ 311). В первой работе, в случае, з.ж.с.к. без точек возврата и удовлетворяющей условию в(Ю ~ = 0(&) , ослаблены условия на коэффициенты , 0 , а во второй - аналогичные результаты получены в случае разомкнутой ж. с.к., у которой 9() = 0($)
Отметим также недавние результаты Каца (С 193), в которых непрерывная задача Римана решена при очень обших предположениях на линию скачка, которая, вообще говоря, может быть и не спрямляемой. Решение задачи выражается в плоских интегралах, которые являются естественными обобщениями интеграла типа Копій.
В то же время до сих пор оставалась нерешенной следующая проблема, поставленная Гаховым Ф.Д. (Г 8 3 , стр.146): при каких минимальных условиях на коэффициенты Ш) и QCi) задача Римана имеет непрерывное решение.
В главе ІУ эта проблема полностью решена в случае задачи о скачке и однородной задачи Римана.
ТЕОРЕМА 4.1. Пусть f - з.ж.с.к., у которой 6(0 = О(^) * Q& Су* . Тогда для существования непрерывного решения задачи о скачке необходимо и достаточно, чтобы Q Є Sr .
Решением задачи является функция №
ТЕОРЕМ 4.2. Пусть jf - з.ж.с.к., у которой В(&)= О(Ъ), є fy и для любого ief. Ш фО , аС - 2nd СО = 0 . Тогда, чтобы однородная задача Римана имела непрерывное решение, необходимо и достаточно, чтобы Вп G- eS^
При условии ф (оо) =1 решение дается функцией
ТЕОРЕМА 4.3. Пусть ^ - з.ж.с.к., у которой 0(Ю * 0(0» Оє Су* , и для любого Тогда, чтобы однородная задача Римана имела д+1 линейно независимых непрерывных решений необходимо и достаточно, чтобы &iGs Sf
Эти решения определяются формулами
Ф«с*; = erp(_ J __—^), (Г (к = о,/, ..., гс) - 19 -При К < 0 задача не разрешима.
Для случая неоднородной задачи Римана получены следующие результаты
ТЕОРЕМА 4.4» Пусть jf - з.ж.с.к., у которой Q(S) =0(Ъ) $>(} Є j* и для любого i^jf ffCft і 0,Х>/0 , (n(r=$f /і*е_а~
Тогда неоднородная краевая задача Римана разрешима и общим непрерывным решением является функция Ф(*)* где О (г) - полином с произвольными коэффициентами, а
Х(2) = ^ "«4.(^7 2 еяр(_^,А^!^
ТЕОРЕМА 4.5. Пусть f - з.ж.с.к., у которой 0(&)ч0($), д,(гєСг и для любого ІЄД- 0(і)фО, X>0,9G$r
Ы& (Ю , jz Я? -с +00 .
О %
Тогда неоднородная краевая задача Римана разрешима и общее непрерывное решение определяется формулой (3).
Автор выражает искреннюю признательность Бабаеву А.А., Салаеву В.В. за постоянное внимание.
Об Основной лемме Привалова И.И. для интегралов типа Коши
В настоящей работе исследуется особый интеграл Коши, интеграл типа Коши и краевая задача Римана.
В первой главе введены необходимые обозначения и приведены используемые в дальнейшем сведения. Часть этих утверждений доказана, а часть приведена без доказательств с указанием источника, где эти доказательства могут быть найдены.
Все утверждения из этой главы названы леммами, хотя многие приводимые результаты являются довольно значительными достижениями в соответствующих областях. Это, на наш взгляд, оправдано тем, что в данной работе они носят вспомогательный характер. Утверждения и обозначения имеют двойную нумерацию: первое число показывает номер главы, второе - порядковый номер утверждения или обозначения внутри этой главы. Во второй главе исследован интеграл типа Коши, который явля ется основным математическим аппаратом при решении непрерывных и кусочно-непрерывных граничных задач теории аналитических функций. Пусть Г - замкнутая жорданова спрямляемая кривая (з.ж.с.к.), а /є С (С . - множество непрерывных на f функций). Рассмотрим интеграл типа Коши Важным является вопрос о непрерывной продолжимости на г (изнутри или извне) функции F(%) в зависимости от функции плотности / и кривой интегрирования X . Начало исследованиям, посвященным этому вопросу, было положено работами Сохоцкого Ю.В., После основополагающих работ Привалова И.И. (Г23]) и Мусхе-лишвили Н.И. (Г22 ] ), сформировался классический результат, подводящий итог всем предыдущим исследованиям: функция F(i) непрерывно продолжима на изнутри и извне, если jf - кусочно-гладкая кривая и /є Н ( Н. - множество функций, удовлетворяющих условию Гельдера с показателем оС є (0,1] ). В дальнейшем последний результат обобщался в работах Магна-радзе Л.Г. ([ 21] ), Давьздова Н.А. ([ 12]), Гегелия Т.Г. ([ 22]), Бабаева А.А. ([ I ],[ 2 ]), Тамразова П.М. ([36 ]), Салаева В.В. ([ 27J), Геруса О.Ф. ([II ]) и других. Если, следуя [25] или [ 20 ], ввести следующие обозначения: 8,(Ю = Wes fo(t) ( тг$ X обозначает линейную меру Лебега измеримого множества X с ]f ), то можно сформулировать наиболее общее достаточное условие непрерывной продолжимости F(i") на ff , полученное независимо друг от друга Дынькиным Е.М. ([13]) и Салимовым Т.С. то F(i) непрерывно продолжима на /f изнутри и извне и верны формулы Сохоцкого Ю.В.: где F (і) » F (і) - граничные значения F(?) , соответственно, изнутри и извне У , а Достаточное условие для непрерывной продолжимости интеграла типа Коши F0O на jf , в несколько иных терминах было получено Гончаром А.А. и Григоряном Л.Д. ( [ І0І): для непрерывной продолжимости F() на гладкую жорданову кривую jf , достаточно, чтобы где через Pn(fj If) обозначено наилучшее приблгскение f на X (в равномерной метрике) посредством рациональных функций порядка не выше Л с полюсами вне f .
Необходимые и достаточные условия непрерывности интеграла типа Коши в замкнутой области
В данной главе доказана теорема М.М.Заманеного о непрерывности особого интеграла, показана эквивалентность утверждений о непрерывности интеграла типа Коши в замкнутой области, ограниченной з.ж.с.к. Г , непрерывность особого интеграла на jf и непрерывности п.в. угловых граничных значений интеграла типа Коши изнутри или извне кривой f . Получены также оценки метрических характеристик особого интеграла через соответствующие характеристики плотности.
Интегралы в правых частях последних равенствах понимаются в смысле главного значения по Коши. Пусть f - з.ж.с.к., у которой Q(S) - 0($) /є С» Тогда интеграл типа Коши F(%)& р при любом р&(0,оо) (определение Ер на стр.30 ) в f+ и . Доказательство. Класс функций, удовлетворяющих условию Липшица - ip f j , всюду плотен в Z.p(j ) при РЄ[/ о) в норме ІрСЮ Следовательно, существует последовательность функций {fn( )} » По теореме 2.5 имеем, что функция непрерывно продолжима на J1 изнутри и извне, а значит По определению из последнего получим Аналогично рассматривается случай ТЕОРЕМА 3.2. Пусть /f - з.ж.с.к., у которой 9(S) =0(8) f-є Си, . Тогда, если угловые граничные значения интеграла типа Коши F(2) изнутри или извне совпадают с некоторой непрерывной функцией, то Г(г) непрерывно продолжима на у изнутри и извне. Доказательство. Из условия теоремы по леммам I.I3 и I.I2 следует, что V - смирновская кривая. С другой стороны по теореме 3.1 F(2) принадлежит множеству Е р (р 0) и по условию теоремы угловые граничные значения изнутри п.в. совпадают с некоторой ограниченной (непрерывной) функцией. Тогда по лемме I.I4 F(2) ограничена в /f , а значит F( / ()) ( у - конформное отображение круга 12 / f в f+ ) ограничена в круге 2 i . Так как всякая ограниченная аналитическая в круге 2- 1 функция представима интегралом Коши по своим угловым граничным значениям, то функция FCffz)) - представима своим интегралом Коши и угловые граничные значения п.в. на !?1 ? совпадают с некоторой непрерывной функцией (по условию). Тогда по лемме 1.5 Р( (Ю) непрерывно продолжима на J 21 =1 изнутри, а значит Ffe) непрерывно продолжима на f изнутри. По Основной лемме 2.2 имеем, что из существования п.в. на угловых граничных значений изнутри и совпадения их п.в. на с некоторой ограниченной функцией следует существование п.в. угловых граничных значений извне $ и совпадение их п.в. на J с некоторой ограниченной функцией. Тогда, повторив проделанное выше, получим что F(&) непрерывно продолжима на f и извне. Щ ТЕОРЕМА 3.3. Цусть $ - з.ж.с.к., у которой 9(S) 0(S) , f Є Су Тогда, чтобы особый интеграл был непрерывен на J1 необходимо и достаточно, чтобы равномерно на при - 0 сходился интеграл Доказательство. Необходимость. Пусть особый интеграл (t) непрерывен на jf . Тогда по основной лемме 2.2 п.в. на jf существуют угловые граничные значения F (Ю изнутри и п.в. верна формула (2.1), которую запишем в виде
Таким образом, п.в. на ft существуют угловые граничные значения изнутри интеграла типа Коши F(2) И они совпадают п.в. с непрерывной на f функцией t/g (f&) +ftt)) Тогда по теореме 3.2 Ffe) непрерывно продолжима на f изнутри и извне. Из последнего утверждения по теореме 2.1 получим, что интеграл сходится равномерно на Г при - 0 . Достаточность
О теореме Заманеного М.М
Тогда из того, что A Q (О Є S следует, то (t)iQ(i)e о » и наоборот. Таким образом, получена
Пусть - з.ж.с.к., у которой В(Ю 0(&), (гЄСр 90(О Ф0 для любого ie jf и К 0 . Тогда, чтобы однородная задача Римана имела 96+/ линейно независимых непрерывных решений необходимо и достаточно, чтобы сИ Є S При этом решения выражаются формулами -При 7t 0 однородная задача имеет только тривиальное решение - тождественный нуль, то есть задача неразрешима. Тогда неоднородная непрерывная краевая задача Римана при де /-0 разрешима и общее решение дается формулой где РмСЮ " полином с произвольными комплексными коэффициентами, а каноническая функция X ( ) определяется формулой (4.5). Доказательство. Покажем, что в условиях теоремы По условию їй {? Є S . Тогда по теореме 2.2 Х( ) непрерывно продолжима на f извне и изнутри и Х(Ю 40 » значит и второе слагаемое сходится равномерно на jf при -»0 . Таким образом, из сказанного следует, что flf-O/X ftjG Si, Дальнейшее доказательство теоремы повторяет рассуждения классического метода Карлемана-Гахова-Мусхелишвили решения краевой задачи Римана (f 8 J ,Г 22 ] ). Из (4.5) имеем, что G СО « Х+Ш/Х #) Тогда граничное условие (4.1) можно переписать в виде где в левой части граничные значения аналитической в jf функции, а в правой части - граничное значение аналитической в г функции, имеющий в бесконечности порядок не ниже - $- . По принципу непрерывности функции эти являются аналитическим продолжением друг друга на всю плоскость, за исключением бесконечно удаленной точки, где возможен полюс порядка не выше № . Тогда по обобщенной теореме Лиувилля эта единая аналитическая функция есть многочлен степени $. с произвольными коэффициентами, обозначив которое через Р ,(г) получим Тогда неоднородная краевая задача при 9C sO разрешима и общее непрерывное решение дается формулой где Pyfr) " полином с произвольными коэффициентами, а каноническая функция (fc) определяется формулой (4.5). Доказательство. Покажем, что #()/ ){+() є S » Из условия теоремы следует, что Ограничимся в дальнейших рассуждениях случаем 9С = 0 ,так как случай Ж D сводится к этому, отличаясь в соответствующих рассуждениях слагаемым (и -— , которое стремится к нулю при 8.-+D . Обозначим Г+(/) внутренность замкнутой кривой являющейся образом ft - при непрерывном отображении Г (i) . Тогда имеем ij eft Переходя в последнем неравенстве к пределу при -» о , получим - сходится равномерно по , значит.
Замечание. Если в соответствующих рассуждениях вместо класса функций S и рассмотреть класс Sf , непрерывных на Ц функций j. , для которых существует неотрицательная функция dt{) удовлетворяющая условиям:
Оценки для особого интеграла
Четвертая глава посвящена применению полученных результатов к решению краевой задачи Римана.
Пусть f - з.ж.с.к. Обозначим, как обычно, через + иГ, соответственно, внутренность и внешность Т . Функцию ф(Ъ) будем называть кусочно-аналитической функцией с линией скачков jf , если: а) ф(ъ) - аналитична в f+ и непрерывна в Р ; б) ф(2) - аналитична в f (включая =оо ) и непрерывна в) ф(оо) = о Пусть G- 7 й є СУ » причем (г(і) О для любого Задача Римана. Найти кусочно-аналитическую функцию ф(%) с линией скачков f , удовлетворяющую в каждой точке е линейному соотношению Задачу Ршлана в такой постановке будем называть неоднородной непрерывной краевой задачей, а функцию 0( ) - ее непрерывным решением. При (?№) s / задача Римана называется задачей о скачке, а при Q(i)sO - однородной задачей Римана. Развивая и продолжая идеи предыдущих исследований, Гахов Ф.Д, (Г 8 3) ввел понятие индекса задачи и с помощью этого понятия дал полное решение как однородной, так и неоднородной задач Римана в интегралах типа Коши в классических предположениях: jf - простая замкнутая гладкая кривая, G $ Q є Н и Для любого і є f , & (і) і О В дальнейшем результаты Гахова Ф.Д. обобщались в работах Симоненко И.В., Хведелидзе Б.В., Иванова В.В. и др. (полный перечень этих работ имеется вГ8 39С22 1,Г 4ІІ). Из работ, близких к теме данной диссертации отметим работу Бабаева А.А. и Салаева В.В. Г 6 1 , в которой непрерывная крае-задача Римана решена на произвольной з.ж.с.к. при условии, что коэффициенты Q , Q удовлетворяют естественному обобщенному условию Дини. В классах непрерывных функций, не описываемых в терминах модулей непрерывности эта задача рассматривалась в работах Исса Р.Б. (ГІ5]), Селима М.С. ([ 311). В первой работе, в случае, з.ж.с.к. без точек возврата и удовлетворяющей условию в(Ю = 0(&) , ослаблены условия на коэффициенты , 0 , а во второй - аналогичные результаты получены в случае разомкнутой ж. с.к., у которой 9() = 0($) Отметим также недавние результаты Каца (С 193), в которых непрерывная задача Римана решена при очень обших предположениях на линию скачка, которая, вообще говоря, может быть и не спрямляемой. Решение задачи выражается в плоских интегралах, которые являются естественными обобщениями интеграла типа Копій. В то же время до сих пор оставалась нерешенной следующая проблема, поставленная Гаховым Ф.Д. (Г 8 3 , стр.146): при каких минимальных условиях на коэффициенты Ш) и QCi) задача Римана имеет непрерывное решение. В главе ІУ эта проблема полностью решена в случае задачи о скачке и однородной задачи Римана. Пусть f - з.ж.с.к., у которой 6(0 = О( ) Q& Су . Тогда для существования непрерывного решения задачи о скачке необходимо и достаточно, чтобы Q Є Sr . Решением задачи является функция Тогда неоднородная краевая задача Римана разрешима и общее непрерывное решение определяется формулой (3). Автор выражает искреннюю признательность Бабаеву А.А., Салаеву В.В. за постоянное внимание. В данной главе приведены используемые в дальнейшем сведения и обозначения. Обозначим через С комплексную плоскость, через R - множест-во действительных чисел, через R - множество положительных действительных чисел. Пусть Y - замкнутая жорданова спрямляемая кривая (з.ж.с.к.). Обозначим через ь длину Y , через d - диаметр кривой: и і = i($) , 5 є [О, С] - уравнение кривой Г в дуговых координатах, причем і (0) -і (С) Будем говорить, что Y ориентирована положительно, если при изменении s от 0 до t , точка i(s) обходит jf против часовой стрелки, в противном случае - ориентирована отрицательно. В дальнейшем будем полагать, что Т ориентирована положительно. Обозначим через іт дугу кривой J с началом в точке і и концом в точке t , а через $(,Т) - небольшую из длин дуг, стягивающих точки і , т . Замкнутая кривая 3 называется замкнутой К - кривой, или кривой Лаврентьева, если 3K&R У называется замкнутой гладкой кривой, если в уравнении i=i($) у $ 10 , l : а) существует и непрерывна производная (в точках $=0 и s = следует понимать односторонние производные)
