Содержание к диссертации
Введение
1 Некоторые особенности конструкции Беркиля 15
1.1 Определение С Р-интеграла 15
1.2 Связь с производными Пеано 22
1.3 Некоторые примеры С Р-мажорант 24
2 Производные Чезаро с произвольным ядром усреднения 35
2.1 Абстрактные ядра усреднения 35
2.2 Симметричные ядра усреднения 45
3 CfP-интеграл 51
3.1 Свойства СР-производных 52
3.2 Эквивалентность СР-интеграла и С Р-интеграла 60
3.3 Слабые мажоранты и миноранты 64
4 Применения к теории интеграла Беркиля 69
4.1 О свойствах Коши и Гарнака 69
4.2 Связь с широким интегралом Данжуа 77
4.3 Теорема Марцинкевича для С Р-интеграла 80
Литература 82
- Связь с производными Пеано
- Симметричные ядра усреднения
- Эквивалентность СР-интеграла и С Р-интеграла
- Связь с широким интегралом Данжуа
Связь с производными Пеано
Шкала дифференцирования и интегрирования Чезаро-Перрона, построенная Беркилем, представляет собой последовательность определений предела, непрерывности, производной и интеграла, занумерованную целым неотрицательным параметром к.
Построение шкалы традиционно ведется индукцией по к, причем для введения и обоснования корректности каждого следующего уровня определений используются аналогичные факты, установленные для предыдущего уровня.
Базой индукции, соответствующей к = 0, служат классические понятия предела, непрерывности и дифференцируемости, и классический интеграл Перрона.
Определение 1.1.1. Пусть действительная функция / определена на отрезке [а, Ъ]. Тогда функция Ф называется непрерывной перроновской мажорантой (или СQP-мажорантой) для функции / на [а, Ъ], если Ф непрерывна на [а, Ь], и ее нижняя производная 1)Ф(ж) f(x) при х є (a, b), а в концах отрезка [а, Ь] имеем соответствующие неравенства для односторонних производных чисел: D_+ (a) f(a) и D__ (b) f(b). Функция ф называется непрерывной перроновской минорантой {CQP-минорантой) для f на [a, b], если — ф есть непрерывная перроновская мажоранта для -/ на [а,Ь].
Определение 1.1.2. Функция / называется интегрируемой по Перрону {CQP-интегрируемой) на отрезке [а,Ь], если для любого числа є 0 существуют такие СоР-мажоранта Ф и СоР-миноранта для / на [а, &], что
Очевидно, что если в определении 1.1.1 заменить строгое неравенство нестрогим, то мы получим эквивалентное определение интеграла Перрона. Действительно, если D4l(x) f(x) Dtfj(x) и (Ф(&) - Ф(а)) - О0(а) - V )) є/2 то Для функций Ф (ж) = Ф(ж) + еж/4 и (ж) = (ж) — еж/4 имеют место оценки D4! (x) f(x) Dijj {x) и (Ф (&) — Ф (а)) — (ф (а) — ф (Ь)) е. Менее очевидно, что требование непрерывности функций Фи в определении 1.1.1 также можно опустить [26, VIII.3].
Функции (fk(t) — "ядра усреднения", соответствующие порядку усреднения к — монотонно убывают на [0,1] все быстрее и быстрее с ростом к, как показано на рисунке 1.1. Это означает, что при увеличении к все больший вес начинают иметь значения функции f(t) при t близких к х. Ввиду равенства выражение CkF{x)y) действительно представляет собой некоторое усреднение функции F на отрезке [ж,у]; в частности, если F(t) = 1, то CkF(x,y) = l.
Определение 1.1.8. Пусть действительная функция / определена на отрезке [а, Ъ]. Тогда функция Ф называется СкР-мажорантой для функции / на [а, Ь], если Ф является С -непрерывной функцией на [а, Ь] и СШФ(ж) f(x) при ж є (а, 6), С,Р+Ф(а) /(а) и CkD_4 {b) /(6). Функция называется СкР-минорантой для / на [а, &], если — есть С Р-мажоранта для функции — / на [а,Ъ].
Как и в определении 1.1.1, неравенства в этом определении можно заменить на нестрогие. Определение 1.1.9. Функция / называется СкР-интегрируемой на отрезке [а, Ь], если для любого числа є 0 существуют такие С Р-мажоранта Ф и С Р-миноранта ф для / на [а, Ь], что Ф(6) - Ф(а)) - U(6) - VW) При этом под СкР-интегралом функции / на [а, Ъ] понимается общая грань, к которой могут сколь угодно приближаться приращения мажоранты и миноранты функции /: (СкР) / f(x) dx = inf (ф(6) - Ф(а)) = sup(ф{Ь) Прежде чем завершить построение шкалы интегрирования Беркиля, необходимо обсудить корректность введенных определений. Так, имеет место следующая теорема о монотонности: Теорема 1.1.10 (Беркиль[5, теорема 2.2]). Пусть к 0 и СкР-непрерывная функция F такова, что CkDF(x) 0 при х є [а, Ъ]. Тогда F есть неубывающая функция на [а, &].
Проговорим еще несколько очевидных свойств С Р-интеграла. Очевидно, что если функции fag являются С Р-интегрируемыми на [а, Ь], то для любых а,(3 Є Ш функция af + (3g также будет С Р-интегрируемой. Мажорантами и минорантами в этом случае будут служить подходящие линейные комбинации мажорант и минорант функций fag.
Отметим также, что если функция / является CfcP-интегрируемой на [а, Ь], то она С Р-интегрируема и на любом подотрезке [c,d] с [а, Ь], ведь любые мажоранты и миноранты на [а, Ь] служат также мажорантами и минорантами на [c,d]. Напротив, если функция / интегрируема на отрезках [а, Ъ] и \Ь) с], то она интегрируема и на [а, с], поскольку подходящие мажоранты и миноранты на [а, с] можно получить, склеивая мажоранты и миноранты на [а, Ь] и [6, с]. Таким образом, вместе с каждой С Р-интегрируемой функцией на некотором отрезке [а, Ь] можно говорить о неопределенном CkP-интеграле функции /:
При этом если существует такая функция F, что CkDF(x) = f(x) всюду на [а, Ь], то F является неопределенным С Р-интегралом для функции / на [а, Ь], ведь для любого є 0 функции Ф(ж) = F(x) + 2{ъ-а)х и (ж) = F(x) — 2(ь-а)х являются достаточно близкими мажорантами и минорантами
ДЛЯ /. Следуя [5], отметим также, что неопределенный С Р-интеграл всегда С -непрерывен, и его С -производная почти всюду по мере Лебега совпадает с подынтегральной функцией. В частности, неопределенный С Р-интеграл С/г-іР-интегрируем на [а, Ъ].
Наконец, существование интеграла в определении 1.1.4 для любой С/г-іР-интегрируемой функции / доказывается при помощи теоремы об интегрировании по частям. Чтобы ее сформулировать, нам потребуется понятие /с-выпуклых функций.
Определение 1.1.11. Пусть к 2 — натуральное число и / — действительная функция, определенная на отрезке [а,Ь]. Будем говорить, что функция / является к-выпуклой вниз (вверх), если ее обыкновенная (к — 2)-ая производная выпукла вниз (соответственно, вверх) на [а,Ь]. Для единообразия будем называть все выпуклые вниз (вверх) функции 2-выпуклыми вниз (вверх), а монотонно убывающие (возрастающие) функции — 1-выпуклыми вниз (вверх). Также при всех целых положительных к обозначим символом VBfc[a, b] множество всех функций, представимых в виде разности двух /с-выпуклых функций.
Другими словами, функции класса VB есть (к — 1)-кратные неопределенные интегралы от обыкновенных функций ограниченной вариации. Более глубокое исследование свойств /с-выпуклых функций и VBfc-функций производилось в работе [33].
Симметричные ядра усреднения
Как мы видели в теореме 1.3.9, Сг-производная может противоречить аппроксимативной производной на множестве положительной меры. Таким образом, следующее утверждение, обобщающее результаты, полученные в работе [24] для Сі-производной, на любые производные, построенные по симметричному ядру усреднения, вообще говоря, не имеет места для несимметричных ядер усреднения.
Теорема 2.2.3. Пусть функция F имеет аппроксимативную производную F всюду на ограниченном множестве Е с Ш и является Ck-iP-интегрируемой на отрезке [а, Ъ], содержащем множество Е, а р — симметричное ядро усреднения порядка к. Тогда для почти всех х є Е имеют место соотношения
Ввиду произвольности 5 из полученного следует, что C(pD_F{xo) — є. Поскольку точка хо есть произвольная точка плотности Е , из леммы 1.3.7 вытекает, что CvD_F{x) —є для почти всех х є Е . Поскольку объединение Е по п, очевидно, покрывает Е , имеем CvD_F{x) —е для почти всех х є Е . Но поскольку є произвольно, имеем CvD_F{x) О почти всюду на Е , что и требовалось. Вернемся к доказательству теоремы 2.2.3. По теореме Лузина [26, гл. VII, теорема 2.3] существует непрерывная на Ш функция G такая, что для почти всех жєі имеет место равенство
Тогда в силу леммы 1.3.7 имеем (F — G)f&p = 0 всюду на некотором множестве Ei с Е, мера которого равна мере Е. Применяя лемму 2.2.4 к функции F — G и множеству Е\, имеем C(pD{F — G)(x) 0 почти всюду на Ei, т.е. почти всюду на Е. С другой стороны, функция G выбрана так, что по теореме 2.1.12 почти всюду на Е имеем
Это доказывает второе из неравенств (2.2.3). Первое неравенство можно доказать аналогично или свести ко второму заменой F на —F. Теперь продемонстрируем более мощную версию теоремы 2.1.14 для симметричных ядер усреднения. Она обобщает результаты, полученные в работе [18] для Сі-производной, и в силу теоремы 1.3.5 также не переносится на С -производные при к 2.
Пусть к 1, р — симметричное ядро усреднения порядка к, и Ck-непрерывная функция F такова, что C(fDF{x) — оо для всех х є (а, Ъ). Тогда существует такое счетное семейство замкнутых множеств {НІ}, объединение которых совпадает с (а, Ъ), что функция F имеет ограниченную вариацию на каждом из Щ, и для каждого і существует число К{ є Ш такое, что для любого конечного набора непересекающихся интервалов {(cij,bj)}pj=1 с концами на Щ имеют место оценки
Таким образом, по сравнению с теоремой 2.1.14 мы приобретаем замкнутость множеств и дополнительно обнаруживаем, что F є VBG(a,6), но теряем возможность выбрать единую константу КІ, не зависящую от і, и вынуждены накладывать на F дополнительное условие С -непрерывности.
Доказательство. Определим множества Е1п формулой (2.1.9). Занумеруем их единым индексом г = i(n,l)\ {Н}} = {Eln}n& z- Пусть Я0 есть объединение множеств изолированных точек всех множеств Н]. Положим Hf = Н\ \ Щ, и пусть Щ есть замыкание множества Hf. Покажем, что система множеств {Щ} U {{х}}хен0 является искомой.
Прежде всего, множество Но является не более чем счетным, поскольку каждое из Hf, будучи множеством на прямой, имеет не более чем счетное число изолированных точек. Следовательно, наша система множеств не более чем счетна. Далее, ограниченность вариации F и неравенства (2.2.4) выполняются тривиальным образом на одноточечных множествах {х}. Поэтому достаточно проверить аналогичные факты для множеств Щ. Отметим также, что множества Щ замкнуты и не имеют изолированных точек.
Докажем, что F имеет ограниченную вариацию на Е1п. Действительно, обозначим Fn(x) = F(x) + пх. Тогда в силу определения Е1п имеем CvAFn{x, у) 0 и CvAFn{y, х) 0 при х,у є Е1пи х у. Тогда по формуле (2.2.2) имеем
Отсюда видно, что Fn является неубывающей функцией на Е1п, а сама F, таким образом, во всяком случае имеет на нем ограниченную вариацию.
Докажем, что F имеет ограниченную вариацию на замыкании Е1п. Пусть, например, точка является предельной справа для Е1п. Тогда существует возрастающая последовательность {хт} =1 точек множества Е1п, сходящаяся монотонно к . Заметим также, что х\ — 1/п. Тогда, пользуясь формулой (2.2.1), из определения Е1п получаем, что
Аналогичное неравенство справедливо и для предельных слева точек Е1п. Из этого следует, что Fn является монотонно неубывающей функцией и на замыкании Е1п, а значит функция F имеет на нем ограниченную вариацию.
Поскольку замыкание Е1п покрывает НІ, МЫ теперь можем утверждать, что F имеет ограниченную вариацию на НІ.
Осталось установить справедливость неравенств (2.2.4). Мы докажем лишь первое из этих неравенств; второе доказывается аналогично.
Пусть дан набор непересекающихся интервалов {{aj)bj)}p-=l. Без ограничения общности мы можем считать, что у этих интервалов нет общих концов, то есть dj т bji ни при каких j и /; иначе разобьем их на два поднабора, каждый из которых этим свойством обладает.
Так как функция F является С -непрерывной, и, следовательно, согласно лемме 2.1.8, С -непрерывной, для всех j = 1,...,р существуют такие Sj 0, что
Далее, если dj является изолированной справа точкой Щ (и, следовательно, предельной слева, так как у Щ нет изолированных точек), то положим Aj = dj, иначе возьмем А є Hf левее dj, НО так, чтобы отрезки [A, bj] по-прежнему не пересекались, что возможно, так как у интервалов {(dj,bj)} по нашему предположению нет общих концов.
Эквивалентность СР-интеграла и С Р-интеграла
Теоремы 3.1.5, 3.1.6, 3.1.8 и 3.1.9 позволяют нам перейти к построению определения интеграла Чезаро-Перрона, основанного на С-производной. В частности, мы готовы дать аналог теоремы 1.1.10 для, во всяком случае, С-производной.
Пусть к 1, т 1 и CkP-непрерывная функция F такова, что при х є [а, Ъ] CknD_F(x) 0 . Тогда F есть неубывающая функция на [а, &]. Здесь и далее, говоря о производной в конце отрезка, мы будем подразумевать одностороннюю производную. Доказательство. Действительно, применяя (т — 1) раз теорему 3.1.9, уви дим, что CkDF{x) неотрицательна при х є [а, Ъ]. По теореме 1.1.10 функ ция F является неубывающей. Определение 3.2.2. Пусть действительная функция / определена на отрезке [а, Ъ]. Тогда функция Ф называется СР-мажорантой для функции / на [а, Ь], если Ф является (-непрерывной функцией на [а, Ь] и CD4t{x) f(x) при х є [а, &]. Функция -0 называется С},Р-минорантой для / на [а, &], если — есть С Р-мажоранта для функции — / на [а, Ъ].
Как и в определении 1.1.1, неравенства в этом определении можно заменить на нестрогие. Как мы увидим ниже (теорема 3.3.4), вовсе не обязательно требовать выполнения этого неравенства всюду на отрезке [а, Ъ].
Определение 3.2.4. Функция / называется СР-интегрируемой на отрезке [а, Ь], если для любого числа є 0 существуют такие CJTP-мажоранта Ф и СР-миноранта ф для / на [а, Ь], что При этом под СР-интегралом функции / на [а, Ъ] понимается общая грань, к которой могут сколь угодно приближаться приращения мажоранты и миноранты функции /: (С Р) [ f(x) dx = inf (ф(6) - Ф(а)) = sup (де) - де В дальнейшем нам также понадобится понятие (7Р-интегрируемости на произвольном ограниченном множестве. Определение 3.2.5. Будем говорить, что функция /, определенная на ограниченном множестве Q с [а, Ь], является СР-интегрируемой на множестве Q, если функция / , равная / на Q и 0 вне Q, СР-интегрируема на [а, Ь]. При этом будем обозначать
Очевидно, что интегрируемость и значение интеграла в этом определении не зависят от выбора отрезка [a, b] D Q.
Если функция f интегрируема по Лебегу на ограниченном множестве Q, то при к,т 1 функция f является СР-интегрируемой на множестве Q и (СРР) f f(x)dx = JQ Доказательство. Пусть [а, Ь] — какой-нибудь отрезок, ограничивающий множество Q, и функция / равна / на Q и 0 вне Q. Функция / интегрируема по Лебегу на [а, Ь], и ее интеграл равен интегралу / на Q. Согласно [26, гл. VI, теорема 3.2] для любого є 0 существуют непрерывные пер-роновские мажоранта Ф и миноранта ф для / такие, что следует из определения СР интеграла и теорем 3.1.6 и 3.1.9.
Покажем, что на самом деле С Р-интеграл всегда эквивалентен С Р-интегралу. Для этого недостаточно исследовать мажоранты и миноранты по отдельности; нужно существенно пользоваться тем, что у всякой интегрируемой функции есть и мажоранта, и миноранта, и рассматривать их вместе.
Определение 3.2.8. Пара (-непрерывных на отрезке [а, Ъ] функций Ф, называется СР-парой, если CDil){x) CD}&{x) всюду на [а, Ь\, в частности, CD4l{x) — оо и СВ ф{х) +оо. Приращением пары Ф, называется неотрицательная величина
Покажем, что выражение S неотрицательно. Заметим, что функции ifi = tp+l и if2 = удовлетворяют условиям теоремы 2.1.10. Следовательно, поскольку функция Н монотонна, получаем C +lH{x1y) С+1Н(х,у). Теперь имеем оценку
Доказательство. Действительно, задавшись любым є 0 и взяв для функции / какие-нибудь СР-мажоранту Ф и СР-миноранту ф, разность между приращениями которых на [а, Ь] меньше e/(2(k/m) + 1), мы можем по лемме 3.2.9 найти такие С+1Р-мажоранту Ф и С+1Р-миноранту ф для / на [а, Ь], разность между приращениями которых на [а, Ь] меньше
Таким образом, определение 3.2.4 на самом деле является излишним. Несмотря на это, определение СР-мажоранты и миноранты при т 1 является существенно более узким, чем определение С Р-мажоранты и миноранты.
Применяя теорему 3.3.2 к функции F (t) = F(x — (t—x)), можно также построить аналогичную функцию w для отрезка [х — Я, х]. Если функция F является С -непрерывной на всем отрезке [х — Я, х + Я], то и функцию w можно естественным образом распространить на весь отрезок [х — Я, х + Я]. Теорема 3.3.4. Пусть к}т 1, действительная функция f определена на отрезке [а, Ъ], а С -непрерывная на отрезке [а, Ъ] функция Ф такова, что С1У${х) f(x) почти всюду на [а, Ъ], причем С1У${х) — оо при всех х є (а, Ъ), кроме, быть может, не более чем счетного числа точек {xj}f=l. Тогда для любого є 0 существует такая непрерывная и неубывающая на [а, Ъ] функция W, что Ф + W есть С Р-мажоранта для f на [а, Ъ] и W(b) - W(a)
Связь с широким интегралом Данжуа
В этом и следующем параграфе мы впервые перенесем некоторые результаты работы [18] на С Р-интеграл при к 1. Напомним дескриптивное определение широкого интеграла Данжуа. Определение 4.2.1 (см. [26]). Непрерывная на отрезке [а, Ъ] функция /, непрерывная на отрезке [а, Ь], называется ACG-функцией на [а, Ь], если существует такой не более чем счетный набор множеств Еп с [а, Ь], что [jnEn = [a,b] и f абсолютно непрерывна на каждом из Еп. Функция /, определенная на отрезке [а, Ь], называется D-интегрируемой, если существует такая ACG-функция F на [а, Ь], что F[p(x) = f(x) почти всюду на [а, &]; при этом функция F называется неопределенным D-интегралом функции / на [а, Ъ].
Пользуясь результатами работы [21] и теоремой 2.2.3, покажем, что CfcP-интеграл не противоречит широкому интегралу Данжуа.
Определение 4.2.2 (Саржент[21, определения 5, 6, 7, теоремы II, V]). Пусть к 1. (-непрерывная на отрезке [а, Ь] функция F называется СVAC -функцией на замкнутом множестве Q с [а, Ь] со смежными интервалами {(a,i,bi)}, если F абсолютно непрерывна на Q
Функция F называется СVACG -функцией на [а, &], если она О -непре-рывна на [а, 6] и всякое замкнутое множество Q с [а, Ь] содержит порцию Р = Q П [с, d] 7 0, где с = minP и d = maxP, на которой F есть С -АС -функция. Функция /, определенная на отрезке [а, &], называется СкР -интегрируемой, если существует такая CVACG -функция F на [а, Ь], что CkDF(x) = f(x) почти всюду на [а, &]; при этом функция F называется неопределенным С\D -интегралом функции / на [а, Ъ].
В [21], с учетом поправок в [22], доказано, что C\J) -интеграл эквивалентен CfcP-интегралу: всякая С Р-интегрируемая функция является CfcD -интегрируемой, и наоборот, и неопределенный С Р-интеграл совпадает с неопределенным CkD -интегралом с точностью до константы.
Теорема 4.2.3. Если к 1 и функция f является С\Р -интегрируемой на отрезке [а, Ъ] с неопределенным С kP-интегралом F, то F является VBG-функцией на [а, Ъ], и аппроксимативная производная F {х) существует и равна f(x) для почти всех х є [а, Ъ].
Доказательство. Очевидно, что всякая CVACG -функция является VBG-функцией и измерима по Лебегу (будучи С -непрерывной), в частности, почти всюду имеет аппроксимативную производную [26, гл.VII, 5]. Поскольку CkDF(x) = f(x) почти всюду на [а, Ь], по теореме 3.1.9 име ем CfiDF(x) = f(x) почти всюду на [а,Ь]. Но по теореме 2.2.3, в силу сим метрии ядра усреднения tp\{s), имеем равенство F &v{x) = C DF(x) = f(x) почти везде, где аппроксимативная производная существует. Таким обра зом, F p(x) = f(x) почти всюду на [а, Ь], что и требовалось. Замечание 4.2.4. Как мы видели в теореме 1.3.5, не всякая С Р-мажоранта является VBG-функцией. Однако из теоремы 4.2.3 следует, что всякая CfcP-мажоранта С Р-интегрируемой функции является VBG-функцией, поскольку она отличается от неопределенного С Р-интеграла на монотонную функцию.
Теорема 4.2.5. Если к 1 и функция f является одновременно С Р-интегрируемой на отрезке [а, Ъ] с неопределенным СkP-интегралом F\ и D-интегрируемой на [а,Ь] с неопределенным D-интегралом F2, то функция Н(х) = F\{x) — F2{x) является постоянной на всем [а, &].
Доказательство. Поскольку F\ является С -непрерывной функцией на [a, b], a F2 непрерывна на [а, Ь] в обычном смысле, можно утверждать, что и функция Н является (-непрерывной на [а,Ь]. Далее, из предыдущей теоремы следует, что Hfap = 0 почти всюду на [а, Ъ].
Пусть Н не является постоянной, и Q — множество точек [а, Ь], не содержащихся ни в одном интервале постоянства функции Н. Множество Q, очевидно, замкнуто, и Н постоянна на каждом смежном интервале множества Q, а в силу Cfc-непрерывности — и на замыкании каждого смежного интервала Q. В частности, множество Q не содержит изолированных точек, т.е. является совершенным множеством.
Предположим, что Q не пусто. Тогда найдется порция Р = Qn[c, d] Ф 0, где с = minP и d = maxP, на которой F\(x) есть (-АС -функция. В част ности, F\(x) абсолютно непрерывна на Р. Поскольку F2 заведомо является ACG-функцией на Р, функция Н также является ACG-функцией на Р. Но Н является постоянной на смежных интервалах множества Р, дополняю щих его до отрезка [c,d], следовательно, Н есть ACG-функция на [c,d]. Но так как Hfap = 0 почти всюду на [а, Ь], из этого следует [26, гл.VII, 6], что Н постоянна на [c,d], что противоречит непустоте порции Р. Противоре чие возникло из предположения, что Q не пусто. Следовательно, Q пусто, а это и означает, что Н постоянна на [а, Ь]. Теорема 4.2.5 позволяет, в частности, получить следующее обобщение теоремы Валле-Пуссена для широкого интеграла Данжуа.
Теорема 4.2.6. Пусть к 0 и некоторый тригонометрический ряд ограничен в смысле Чезаро {С, к) всюду на [—7г,7г] вместе с сопряженным рядом и суммируется методом Чезаро (С, к) почти всюду к некоторой D-интегрируемой на [—7г, 7г] функции /. Тогда коэффициенты этого тригонометрического ряда вычисляются по функции f по формулам Фурье, в которых интеграл понимается как D-интеграл.
Доказательство. Мы находимся в условиях теоремы Кросса [14]. Следовательно, функция / является Cfc+iP-интегрируемой, и имеют место формулы Фурье в смысле Cfc+iP-интеграла. Но поскольку / также является и D-интегрируемой, то по теореме 4.2.5 ее D-интеграл совпадает с Ck+\P интегралом. Таким образом, формулы Фурье имеют место и в смысле D интеграла тоже.
Докажем теорему типа Марцинкевича для С Р-интеграла Беркиля. В нижеследующем рассуждении мы вновь пользуемся возможностью рассмотреть С -производную вместо (-производной и, следовательно, применить теоремы 2.2.3 и 2.2.5.
Доказательство. Достаточно доказать теорему 4.3.1 для CfP-интеграла. В самом деле, по теореме 3.1.9 функции Ф и ф являются С Р-мажорантой и минорантой для /, следовательно по лемме 3.2.9 найдутся функции Ф и ф , являющиеся СР-мажорантой и минорантой для /, и если теорема 4.3.1 уже установлена для т = к, то из этого будет следовать СР-интегрируемость / при т = к, а следовательно и при любом т в силу теоремы 3.2.10.
Итак, мы имеем С Р-мажоранту Ф и С Р-миноранту ф для функции / на [а, Ь]. Пусть Q — множество точек отрезка [а, Ь], ни в какой окрестности которых / не является С Р-интегрируемой.
Очевидно, что множество Q замкнуто, и что / интегрируема на любом отрезке, свободном от точек Q. Докажем, что Q пусто.
Пусть Q не пусто, (а,(3) — некоторый смежный интервал Q, функция F есть неопределенный интеграл от / на (а,(3). Функция Ф — F является неубывающей на (а, (3) и, с другой стороны, ограничена в окрестности точки (3: действительно, взяв любую точку 7 Є {а,(3), для всех х є { ,(3) имеем Ф(ж) — F(x) (т) —ф(х) + Ф(ж) — Р(7). Таким образом, функция F имеет Cfc-предел в точке (3. Аналогично доказывается, что функция F имеет Cfc-предел в точке а. Следовательно, согласно теореме 4.1.1, функция F является С Р-интегрируемой на всем отрезке [а,(3]. Из этого, в частности, следует, что множество Q не содержит изолированных точек.
