Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Общая постановка задачи восстановления и используемые результаты 15
1.1. Общая постановка задачи восстановления 15
1.2. Обобщенное решение волнового уравнения для начальных данных, задаваемых функциями из L2 22
Глава 2. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения по неточным начальным данным 26
2.1. Оптимальное восстановление линейного оператора мультипликаторного типа по неточным значениям первых N компонент 26
2.2. Оптимальное восстановление решения уравнения гиперболического типа с погрешностью, заданной в метрике 36
2.3. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения с погрешностью, заданной в равномерной метрике 52
2.4. Оптимальное восстановление производных функций по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью 61
Глава 3. Оптимальное восстановление решения многомерного уравнения гиперболического типа 64
3.1. Оптимальное восстановление решения обобщенного волнового уравнения на сфере 64
3.2. Оптимальное восстановление решения обобщенного волнового уравнения в шаре 75
Список литературы
- Обобщенное решение волнового уравнения для начальных данных, задаваемых функциями из L2
- Оптимальное восстановление решения уравнения гиперболического типа с погрешностью, заданной в метрике
- Оптимальное восстановление производных функций по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью
- Оптимальное восстановление решения обобщенного волнового уравнения в шаре
Введение к работе
При решении многих задач математической физики и особенно при их численной реализации естественным образом возникают задачи, связанные с дискретизацией функций, восстановлением функций, функционалов или операторов от них по некоторой неполной и неточной информации о функции. Такого рода задачи, интенсивно изучающиеся в последнее время (особенно в связи с развитием компьютерной техники) составляют новое направление, получившее название — оптимальное восстановление. Круг исследуемых в этой области проблем содержит такие важные задачи, как построение оптимальных методов восстановления функций, заданных точно или приближенно в конечном числе точек, построение оптимальных квадратурных формул, восстановление производных (численное дифференцирование), выбор оптимальным образом информации, которую необходимо знать о функции, чтобы с наименьшей погрешностью восстановить ее, аппроксимация функции по ее приближенным коэффициентам Фурье или преобразованию Фурье и др.
Первый этап теории приближений состоял в приближении индивидуаль-ных элементов некоторого множества с помощью элементов линейного подпространства, то есть в определении величины
min ||ж — z\\,
где х Є X, X — нормированное пространство, L — аппроксимирующее подмножество X.
Теория приближений функций берет свое начало от работ П.Л. Чебышева. Он ввел одно из основных понятий теории — понятие наилучшего приближения функции полиномами, а именно: наилучшим приближением непрерывной функции / на отрезке [а, Ь] обобщенными полиномами ^"=1 йай(ж) в метрике С([а,Ь]) называется величина
En(f)c = min ||/ - 2а*>*(а;)||с?([в)Ч),
где <рп — некоторая система непрерывных на [а, Ь] линейно независимых функций, а минимум берется по всем числам ai,...,an- Полином, для которого достигается этот минимум, называется полиномом наилучшего приближения. В частности, Чебышев установил, что наилучшее приближение функции хп+1 на отрезке [—1,1] в метрике С([—1,1]) алгебраическими многочленами степени п равно 1/2", а многочлен наилучшего приближения таков,
что для него
xn+1 - ^afca;fc = (1/2)" cos(n + 1) arccosz.
На следующем этапе теории приближений изучалось приближение на классе, то есть ставилась задача приблизить функцию из некоторого класса W функциями заданной системы L (например, многочленами), и определить величину
supmin||/-z||.
Примерами таких задач являются приближение функции из Соболевского класса W* многочленами степени не выше п, или
Eng{W;)= supinf||/-Pn|U?.
А.Н. Колмогоров начал изучение задачи о нахождении при фиксированном п такой системы функций <рі,...,срп, для которой наилучшие приближения функций заданного класса полиномами Ylk-i^^kix) были бы наименьшими. В 1936 г. работой [2] был открыт новый этап исследований в теории приближений. В этой работе были определены аппроксимативные характеристики нового типа — поперечники. Поперечником называется величина, характеризующая уклонение множества в нормированном пространстве от некоторой системы объектов (как правило, конечномерных) при определенном методе приближения, а также величина, характеризующая точность восстановления элемента из данного множества:
Pv(c>x) = infsup ||ж - f(x)\\,
где X ~ нормированное пространство с единичным шаром В, С С X — аппроксимируемое подмножество в X, А с X, — некоторая совокупность аппроксимирующих подмножеств, F(C,A)
некоторая совокупность отображений / : С —У А, (р
заданная совокупность отображений из аппроксимируемого в аппроксимирующее множество. В частности, поперечник по Колмогорову:
dn(C,X) = inf{d{C,LN,X)\LN е LinN(X)} =
= inf sup \\x — F(x)\\,
Fe?(C,LinN(X)) XC
где Linw{X) — совокупность подпространств X размерности < N, Т{С1Ып^{Х)) — совокупность всех отображений F из С во всевозможные линейные подпространства L^ Є Ып^(Х).
Идея поиска самого лучшего поперечника лежит в основе задачи, сформулированной С.А.Смоляком [3]. С.А.Смоляк рассматривал
вопросы оптимального восстановления линейного функционала L на некотором множестве W линейного пространства X по значениям линейных функционалов lx,...,ln. Положим для х Є W
їх := (kx,.. .,lnx).
Оператор I : W -> Kn, где К = R или С, называется информационным оператором. Величина
e(L,W,I):= inf sup \Lx-S(Ix)\
S:K"->K xeW
называется погрешностью оптимального восстановления функционала L на множестве W. Всякий метод So, для которого
sup \Lx-S(Ix)\=e{L,W,I),
называется оптимальным методом восстановления. В [3] было доказано, что в вещественном случае для выпуклого и центрально-симетричного множества W среди оптимальных методов восстановления существует линейный и имеет место равенство
e(L,W,7) = sup|La;|.
xEW Іх=0
С работами, посвященными исследованию задач восстановления на классах гладких функций, можно познакомиться по статье [4] и монографии [5].
Дальнейшее развитие теории оптимального восстановления связано с работами В.М. Тихомирова, Г.Г. Магарил-Ильяева и К.Ю. Осипенко. Ими разработан единый подход к решению задач оптимального восстановления, использующий принцип Лагранжа.
Была показана связь задачи опимального восстановления значения линейного функционала х' на классе С, принадлежащем линейному пространству X, по информации у = Fx, где F : С —» Y — линейный оператор из X в другое линейное пространство Y, то есть задачи определения погрешности оптимального восстановления
E(x',C,F)= inf sup\(x',x)-v(Fx)\
4>:F(C)-*K хеС
с выпуклой экстремальной задачей
Re(rr', х) —> max, Fx — 0, х є С.
Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид
(х, X, До) = AoRe^',^) + Re{X,Fx),
где До < 0 и А Є У (У — алгебраически сопряженное к У) — множители Лагранжа. В [6] доказана следующая теорема:
Теорема 1 (Принцип Лагранжа для задач восстановления). Пусть X и У — линейные пространства над Ж или С, С — выпуклое уравновешенное подмножество X и F : X —ь Y — линейный оператор. Тогда для того чтобы допустимая в рассматриваемой экстремальной задаче точка х была решением этой задачи, необходимо и достаточно, чтобы нашелся такой множитель Лаграноюа А Є У, что
тїпС(х,Х, —1) = С{х, А, —1).
При этом х — оптимальный метод восстановления и
E(x',C,F) = Re(x',x).
В [7], [8] разработан метод построения оптимального восстановления линейного оператора по информации, заданной с погрешностью (теорема 7, глава 1).
Обобщенное решение волнового уравнения для начальных данных, задаваемых функциями из L2
Для решения задач, связанных с поиском оптимального метода восстановления решения волнового уравнения, требуется определить понятие обобщенного решения такого уравнения. Введем вначале понятие обобщенного решения гиперболического уравнения в частных производных (см., например, [10]). Пусть D — некоторая ограниченная область тг-мерного пространства Rn. Рассмотрим в (п +- 1)-мерном пространстве Rn+1 = Rn х t{ oo t +00} ограниченный цилиндр QT = {Ж Є D, 0 t T} с боковой поверхностью Тт = {х Є dD, 0 t Т}. Обозначим DT = {х Є D, t = г} сечение этого цилиндра плоскостью t = т, 0 т Т. В частности, DQ — нижнее основание цилиндра, D? — его верхнее основание. В цилиндре QT рассматривается гиперболическое уравнение (25) utt — div(A;(:r) Vw) + а(х)и = д(х, t), где к(х) Є Cl(D), а(х) Є C(D), к(х) к0 = const О, g(x,t) Є L2{QT). Функция и(х, t) Є C2{QT) П C\QT U Гт U D0), удовлетворяющая в QT уравнению (25), на D0 начальным условиям (26) Ч=о = /, (27) ut\t=0 = ip, и на Гг граничному условию (28) «Гт = О, называется классическим решением первой смешанной задачи для уравнения (25). Известно [10], что если и{х, t) является решением первой смешанной задачи, то для любой функции v(x,t) Є H1{QTS)I 0 5 Т, где Hl(Q) — множество функций из L2(Q), имеющих обобщенные производные 1-го порядка, принадлежащие L2(Q), удовлетворяющей условиям v\n = 0, v\r = 0, функция и(х, t) удовлетворяет интегральному тождеству (29) / ( kVuVv + auv — utvt) dxdt = / ipvdx + / gvdxdt. QT-S A) QT-S
С помощью этого тождества вводится понятие обобщенного решения первой смешанной задачи для уравнения (25). Пусть g(x,t) Є L2{QT), f(x),(p(x) Є L2(D). Тогда функция u(x,t) Є Н1 (QT) называется обобщенным решением в QT первой смешанной задачи (25) — (28), если она удовлетворяет начальному условию (26), граничному условию (28) и тождеству (30) / I kWuVv + auv — utvt) dxdt = / ipvdx + / gvdxdt QT DO QT при всех v (ж, t) Є Hl(QT), для которых выполнены условия V\DT = 0, V\VT - 0. Существование обобщенного решения доказывается с помощью метода Фурье. Пусть Vi(x),v2(x),... — ортонормированная в L2{D) система обобщенных собственных функций первой краевой задачи (31) div(fcVv) - av = Xv, х Є D, v\D = 0, а Аі,Аг,... — последовательность соответствующих собственных значений. Тогда vi(x),v2(x),... — ортонормированный базис в L2(D), Хк -» —со при к — со, и 0 Аі Аг Разложим f(x), р(х) и д(х, t) в ряды Фурье по системе Vi(x), v2(x), ... : оо Jfc=l fc=l OO 00 vfr)= 53 VbMx) ч к = ( , vk)L2{D), 53 = ІМІмд); fc=l A=l OO #(м) = 53 Wu (ar) oo 9k(t) = / g{x,t)vk(x)dx, 53 W = / 92(x,t)dx. D fc=1 Тогда обобщенное решение первой смешанной задачи (25) — (28) имеет вид: оо (32) u{x,t)=J2Uk(t)Mx), к=1 где Uk(t) = fk cos y/-Xkt + -7= sin y/-Xkt t +-== / Л(т) sin \/-Afc(t - r)dr. Для решения задач, связанных с оптимальным восстановлением решения волнового уравнения, примем D = [0,7г], QT = {х Є (0,тг), 0 t Г}, Гт = {х = 0, 0 і Т; а; = тг, 0 t Т}. Рассмотрим однородное волновое уравнение (33) «« = «жх с начальными условиями (26) и (27), где функции f(x) и (р(х) принадлежат L2([0,7r]), И граничным условием (34) и(х, 0) = и(тг, 0) = 0. Функция u(x,t) Є С2(0 х тг, О t T)\JCl(Q х 7г, 0 t Т) будет называться классическим решением первой смешанной задачи для уравнения (33), если она удовлетворяет этому уравнению и условиям (26), (27) и (34).
К задачам подобного вида сводится ряд задач об оптимальном восстановлении производных [12] и решений уравнений в частных производных [9], [11]. В перечисленных работах последовательность {/J j}jen обладала свойством монотонности, что в значительной степени облегчало поиск оптимального метода восстановления. Здесь рассматривается ситуация, когда на последовательность {Ab }.?eN накладываются менее ограничительные условия. Перейдем к точной постановке задачи. Положим W = {xeX:\\x\\x l}. Будем считать, что для каждого х Є W нам известен вектор у = (уи---,Уя) такой, что , N v 1/2 \\INX - y\\tN = ( Y , \хз -Уз?) 5 (здесь INX = (xi,... ,XN)). В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения р: 12 — 12. Погрешность восстановления для данного метода р определяется равенством e(Q, W,IN, 6, ф) = sup \\Qx - ip(y)\\h. xew, уві? Погрешностью оптимального восстановления называется величина E(Q,W,IN,S) = inf e(Q,W,IN,5,cp), а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления оператора Q на классе W по информации 1 , заданной с погрешностью в норме l.
Поэтому для нового информационного оператора Ijk последовательность Sj, j = 0,1,...,m, in к, останется без изменений. Далее, возможны два случая: т к и in = к. Рассмотрим первый из них (второй будет вытекать из аналогичных рассуждений для случая (ш)).
Легко убедиться в допустимости последовательности {Uj} и в выполнении условия (Ь). Поскольку и здесь С(и, Ах, А2) = 0, то для доказательства выполнения условия (а) остается доказать, что при всех Uj 0 имеет место неравенство (48). Каждое слагаемое в первой сумме неотрицательно в силу определения г, а каждое слагаемое второй суммы — в силу определения q. Рассуждения, аналогичные тем, которые проводились при доказа тельстве случая (гг), показывают, что в методе (49) можно отбросить точки (fj,fJ-j) . Jm- При этом полученный метод тоже будет оптимальным, а число используемых исходных данных, вообще говоря, сократится.
Оптимальное восстановление решения уравнения гиперболического типа с погрешностью, заданной в метрике
Пусть D — некоторая ограниченная область n-мерного пространства Rn. Рассмотрим в (п + 1)-мерном пространстве Rn+1 = Rn х t{—со t +00} ограниченный цилиндр 5г = {ж D, 0 t Т} с боковой поверхностью Гг = {х Є dD, 0 t Т}. Обозначим DT = {х Є D, t = т} сечение этого цилиндра плоскостью t = т, 0 г Т. В частности, Do — нижнее основание цилиндра, Дг — его верхнее основание. Рассмотрим в цилиндре QT однородное гиперболическое уравнение (50) utt - di\(k(x)Vu) + а(х)и = 0, где к(х) Є С1 (D), а(х) Є C(D), к(х) к0 = const 0, с начальными условиями (51) Ч=о = /, где f(x) Є L2(D), (52) ut\t = 0 и граничным условием (53) и\Тт = 0. Пусть Vi(x),v2(x),... — ортонормированная в L2(D) система обобщенных собственных функций первой краевой задачи (54) div(fcVu) — av = Xv, ж Є D, v\dD — 0, а Аі,Аг, - — последовательность соответствующих собственных значений. Тогда vi(x),v2(x),... — ортонормированный базис в L2(D), Xj — —00 при j - 00, и 0 Ai А2 — Разложим f(x) в ряд Фурье по системе Vi(x),v2(x),... : 00 00 f(X) = Yl МФ» fi = (/ Vj)L2(D), 5 fj = H/Hia(D) 3=1 j=l Тогда обобщенное решение первой смешанной задачи (50) — (53) имеет вид: сю (55) x,t)= 2Uj{t)vj(x), i=i где Uj(t) = fj cos y/—Xjt. При этом функция u(x,t) Є Hl{QT). Предположим, что f(x) Є ИДО), где оо WHD) = {/( ) Є L2(D) : 2ъШ2 1}. 3=1 Полагаем, что т? 0, 7? ПРИ І — Будем считать, что нам известны приближенные значения первых N коэффициентов Фурье функции /, причем погрешность задания этих коэффициентов определяется условием N (56) Х)і/і-УіГ , 0. j=i Поставим задачу поиска оптимального метода восстановления решения задачи (50) — (53) в момент времени Т на классе W D) по информационному оператору Fg , который каждой функции / Є W D) сопоставляет множество векторов у = (ух,... ,ум), удовлетворяющих условию (56).
Тогда обобщенное решение первой смешанной задачи для уравнения (50) имеет вид u{x, t) = 2 . і J sin \f—\jt Vj(x). 3=1 V J При этом функция u(x,t) Є Я1((3г), f(x) Є W7(-D). Будем считать, что нам известны приближенные значения первых N коэффициентов Фурье функции /, причем погрешность задания этих коэффициентов определяется условием (56). Поставим задачу поиска оптимального метода восстановления решения задачи (50), (57), (58), (53) в момент времени Т на классе W iD) по информационному оператору F$ , который каждой функции / Є Wr[{D) сопоставляет множество векторов у = {Уіі ) VN), удовлетворяющих условию (56). В качестве методов восстановления будем рассматривать произвольные операторы р: M.N —У L2(D). Погрешностью восстановления для данного метода р назовем величину e(T,Wl(D),F5N,v) sup \\и(х,Т) - cp(y)(x)\\L2{D). f(x)eW?(D), y=(yu...,yN)mN "=11/,(/)-%12 52 Величина Е{Т, W2(D), FSN) = inf e(T, W](D), F», p) называется погрешностью оптимального восстановления, а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления. Введем обозначения: sin2 л/ Л/Г sin2 л/ Т A = max — = , і і лг -Аут? -Kip sin2 л/ Л/Г sin2 л/ Т В = max \ — = —, 3 N -AJ7J \Ъ г : v. + В-уг = max ( У-—— + Въ). Пусть Sk+i — наибольшее из чисел таких, что Sk S+i г и sin2 у/ уГА,» - sin2 y/-XSk+1TXah = skXSk+l{rYsk+i lsk) sin2 y/-XSkTXj - sin2 y/ XJTXst max где s0 Положим /г = 0,1,... ,m — 1, і Jk = j С N П [1, N] : Sln2 V T Ast+I 8ІП2 " Asfe 8ІП2 VCII T зЪ »fc sfc+ivTefc+i — 7sfc) /г = 0,..., m — 1, V Ajr -{ sin Jm=b eNn[l,JV] ? _Лг 7у Теорема 10. Яри В А для всех д О _ \sm XqT\ а метод р(у) = О — оптилюлъкый. .Если В А, то Л (г) при 5 у/Ъ E(T,W2(D),FSN) = \ sin у/ ХрТ\ а метод (р(у) = 0 — оптимальный; (ІІ) при -—z= 5 . к = 0,1,..., т — \, yhk+i v7s E(T,W](D),FSN) = f sin2 у/=\ГкТ 1 - Ък+16 sin2 7=V T 1 - Д»7, „ -A. а метод 7sfc+i 7«ib Л Sfc+l 7st+i 7«fc sinv r[i + Ф{у) = XSk+1 sin2 V%T - К sin2 y/Xah+1T y/ i Ък+iK+i sin2 л/11 - 7-А sin2 yJ\Sk+1T — оптимальный; (in) при S —— y/lr Із І Уі«і(ж) sin2 yf KT sin2 л/ Т 1 - J27r ъ -1 yjVj{x) Ar Ф{у) = E(T,Wl(D),FsN) = Xl-6 а метод JjXr Sin2 y/-\T jJm V" \ 7gA9 sin2 \f-KT - 7rAr sin2 y/-XqT — оптиліальими. Доказательство. Обозначим щ = //(/) и определим множество F и оператор Q таким же образом, как при доказательстве т sin2 J XjT теоремы 9. Гогда, поскольку последовательность ——-— — немонотонная, но ограниченная, а последовательность 7j -г о при sin2 л/ ЛТТ j — оо, получаем, что \ — 0 при j — оо. Поэтому, sin у=л/г хЛз положив /ij = , Uj = 7i можно воспользоваться результатами теоремы 8 и получить соответствующие выражения для погрешности оптимального восстановления и оптимального метода в каждом диапазоне значений 8. П Рассмотрим в цилиндре QT неоднородное гиперболическое уравнение со стационарной неоднородностью (59) ии — div(k(x)Vu) + а(х)и = д(х), где к(х) Є C1(D), а(х) Є C(D), k(x) k0 — const 0, с нулевыми начальными условиями (60) u\t=0 = 0, (61) «tt=o = 0 и граничным условием (62) и\Гт = 0. Разложим д(х) в ряд Фурье по системе vi(x),V2(x),... : оо оо 9(Х) = Z9jVj{x), д, = (g,Vj)L2(D), ]T J = H Hia(D) 3=1 J=l Тогда обобщенное решение первой смешанной задачи (59) — (62) имеет вид: (63) и(х, ) = 53 ГТ- 1 cos V ) vi(x) fc=i k При этом функция и(х, і) Є H1(QT)- Предположим, что д(х) Є W?(D). Будем считать, что нам известны приближенные значения первых N коэффициентов Фурье функции д, причем погрешность задания этих коэффициентов определяется условием N (64) 52\9і-Уі\2 #, 0. з=\ Поставим задачу поиска оптимального метода восстановления решения задачи (59) — (62) в момент времени Т на классе W D) по информационному оператору Ff, который каждой функции д(-) Є W iD) сопоставляет множество векторов у = (у1}... ,ун), удовлетворяющих условию (64).
Оптимальное восстановление производных функций по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью
Эта оценка для минимального количества первых коэффициентов Фурье, которые необходимо знать для максимально точного восстановления оператора Dk, была получена для случая, когда задана информация IgN+1, в работе [12]. Однако этот же результат можно получить, в том числе и в случае, когда известны приближенные значения всех коэффициентов Фурье, и как непосредственное следствие теоремы 8.
Рассмотрим единичную сферу в d-мерном пространстве, d 2: Sd l = {х Є Rd : \х\ = 1}. Определим для функций, заданных на единичной сфере, сферический лапласиан или оператор Лапласа-Белътрами: AsY(xf) = AY ( где хі Є Sd_1.
Однородными гармоническими многочленами степени к называются такие однородные многочлены Р, для которых АР = 0. Сужение множества однородных гармонических многочленов порядка к на сферу Sd l называется сферическими гармониками порядка к и обозначается Tik- Известно (см., например, [13]), что размерность пространства %к равна а&, где (Ил. и _ 3V ak = (d+2k-2y _ , к 1, ао = 1. Если У"/ ,..., Yak — ортонормированный базис в 91k, то система (к) однородных сферических гармоник Y , к = 0,1,..., j = 1,..., а .
Выражения для погрешности оптимального восстановления и оптимального метода получаются теперь из соответствующих результатов теоремы 8. Рассмотрим задачу оптимального восстановления решения обобщенного волнового уравнения с погрешностью, заданной в равномерной метрике, для уравнения с нулевой начальной скоростью (86), точное решение которого имеет вид (87).
Поставим задачу поиска оптимального метода восстановления решения задачи (86) в момент времени т на классе W (d_1) по информационному оператору Ff (5 = (6Х,... ,6 )), который каждой функции f(x) Є Wf (Sd-1) сопоставляет множество векторов у = (уі,..., yN), удовлетворяющих условию (93). В качестве методов восстановления будем рассматривать произвольные операторы р: lN — L2(Sd-1).
Рассмотрим d-мерный шар Bd. Известно (см. [13]), что функции Бесселя первого рода р-го порядка Jp(x) являются собственными функциями оператора Лапласа, равными нулю на Sd_1, отвечающими собственным значениям —(А І )2, где (if —s-й корень функции Бесселя Jp.
Будем считать, что нам известны приближенные значения N коэффициентов Фурье функции f(x) yksj Є Fjv такие, что s so3 к ко. При этом для некоторых фиксированных s и к могут быть известны все приближенные значения коэффициентов Фурье для j = 1,...,a,k, а для других s и к известна только часть приближенных значений коэффициентов. При этом (98) Е \cksj{f)-yksj\2 b2, 5 0. VksjZYN В качестве методов восстановления будем рассматривать произвольные операторы (р: lN — L2(Bd). Погрешностью восстановления для данного метода р назовем величину e(T,a,W$(Md),F5N,cp) = sup \\u{x,r) - (p(y)\\L2{Bdy Величина E{r, a, w(Md),F5N) = inf e(r, a, Hf (Bd), f, p) называется погрешностью оптимального восстановления, а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления. Будем считать, что к, s принадлежат множеству М0, если для них определены приближенные значения хотя бы некоторых коэффициентов Фурье для j = 1,..., ak\ если же для данной пары чисел к, s известны не все приближенные значения коэффициентов Фурье для j = 1,..., йк, считаем, что к, s принадлежат множеству М\. Отметим, что при этом те пары k,s, для которых известны приближенные значения только части коэффициентов Фурье, будут принадлежать обоим множествам.
Доказательство. Разобьем пары индексов ks на три группы: 1) в первую группу включаем такие значения к и s, для которых ИЗВеСТНЫ ВСЄ Приближенные Значения Коэффициентов Фурье Cksj для всех j : 1 j a,k\ сумму квадратов этих коэффициентов Фурье обозначим &ь(0) = Y.%\ %ej 2) во вторую группу войдут такие пары ks, для каждой из которых известна только часть приближенных значений коэффициентов Фурье; обозначим Ьь(і) = lHjeY cksj суммы квадратов коэффициентов Фурье, для которых известны при ближенные значения, и bks(2) = 2j yN ?ksj суммы квадратов коэффициентов Фурье для тех же к, s, что и в fyt.s(i), для которых неизвестны приближенные значения; 3) наконец, в третью группу включаем пары ks, для которых неизвестны приближенные значения коэффициентов Фурье.
Оптимальное восстановление решения обобщенного волнового уравнения в шаре
Рассмотрим задачу оптимального восстановления решения обобщенного волнового уравнения с погрешностью, заданной в равномерной метрике, для уравнения с нулевой начальной скоростью (96), точное решение которого имеет вид (97). Предположим, что /(ж) Є Wjf (Bd), где Wi(В ) = {/ Є L2(Md) : (-AS) 2/IU2(B«) 1.} Будем считать, что нам известны приближенные значения N коэффициентов Фурье функции f(x) ykSj Є YN такие, что s so, к к0. При этом для некоторых фиксированных s и к могут быть известны все приближенные значения коэффициентов Фурье для j = 1,...,Ofc, а для других s и к известна только часть приближенных значений коэффициентов. При этом (102) \Ckaj(f) - Укзз\ $ksj, Sksj 0. Поставим задачу поиска оптимального метода восстановления решения задачи (96) в момент времени г на классе Wf (Bd) по информационному оператору Ff (5 = {Sksj}), который каждой функции / Є W$(Md) сопоставляет множество векторов У = {Vksj}, удовлетворяющих условию (102). В качестве методов восстановления будем рассматривать произвольные операторы (р : lN —у Z/2(Bd). Погрешностью восстановления для данного метода у? назовем величину е(г,а,И (Вгі),і , ) = sup \Ы{х,т) - p(2/)Ua(B «). few(Bd), уєі» \Cksj(f)—yksj\ 6ksj, 5ksj 0 fc=l,...,fco, S=l,...,So, i=l,...,Ofc Величина E(T, a, W(bd), F?) = inf e(r, a, W(B ), F?,V) (p:tg- L2(Bd) называется погрешностью оптимального восстановления, а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления.
Будем считать, что к, s принадлежат множеству MQ, если для них определены приближенные значения хотя бы некоторых коэффициентов Фурье для j = 1,..., CLk\ если же для данной пары чисел к, s известны не все приближенные значения коэффициентов Фурье для j = 1,..., afc, считаем, что к, s принадлежат множеству Mi.
Для обобщенного волнового уравнения (99), точное решение которого имеет вид (100), причем для приближенных значений коэффициентов Фурье Cksj функции / выполнены условия (102), определим погрешность восстановления для данного метода р и погрешность оптимального восстановления так же, как в предыдущем случае. Положим Сохраняя обозначения, введенные при формулировке и доказательстве теоремы 26, видим, что погрешность оптимального восстановления и оптимальный метод имеют в рассматриваемом случае такой же вид.
При решении многих задач математической физики и особенно при их численной реализации естественным образом возникают задачи, связанные с дискретизацией функций, восстановлением функций, функционалов или операторов от них по некоторой неполной и неточной информации о функции. Такого рода задачи, интенсивно изучающиеся в последнее время (особенно в связи с развитием компьютерной техники) составляют новое направление, получившее название — оптимальное восстановление. Круг исследуемых в этой области проблем содержит такие важные задачи, как построение оптимальных методов восстановления функций, заданных точно или приближенно в конечном числе точек, построение оптимальных квадратурных формул, восстановление производных (численное дифференцирование), выбор оптимальным образом информации, которую необходимо знать о функции, чтобы с наименьшей погрешностью восстановить ее, аппроксимация функции по ее приближенным коэффициентам Фурье или преобразованию Фурье и др.
Первый этап теории приближений состоял в приближении индивидуаль-ных элементов некоторого множества с помощью элементов линейного подпространства, то есть в определении величины min ||ж — z\\, где х Є X, X — нормированное пространство, L — аппроксимирующее подмножество X. Теория приближений функций берет свое начало от работ П.Л. Чебышева. Он ввел одно из основных понятий теории — понятие наилучшего приближения функции полиномами, а именно: наилучшим приближением непрерывной функции / на отрезке [а, Ь] обобщенными полиномами ^"=1 ЙАЙ(Ж) В метрике С([а,Ь]) называется величина п En(f)c = min ||/ - 2а*>*(а;)||с?([в)Ч), где
А.Н. Колмогоров начал изучение задачи о нахождении при фиксированном п такой системы функций <рі,...,срп, для которой наилучшие приближения функций заданного класса полиномами Ylk-i^^kix) были бы наименьшими. В 1936 г. работой [2] был открыт новый этап исследований в теории приближений. В этой работе были определены аппроксимативные характеристики нового типа — поперечники.
