Разложения решений однородного дифференциально-разностного уравнения запаздывающего типа в ряды по экспоненциальным решениям Байгушева, Инна Анатольевна

Введение к работе

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

За последние десятилетия теория дифференциально-разностных уравнений нашла многочисленные приложения в самых разнообразных областях механики, физики, технических наук. Особенно значительны приложения к теории автоматического регулирования и к теории колебаний. В связи с расширением областей приложения дифференциально-разностных уравнений интерес к этой теории в настоящее время не ослабевает.

Представленная работа лежит на стыке следующих разделов современного математического анализа: теория негармонических рядов Фурье и теория дифференциально-разностных уравнений.

Теория негармонических рядов Фурье

Их) - Іс^е¹*¹"-, х(-а,а)

в настоящее время является достаточно продвинутой.Особенностью негармонического анализа служит тот факт, что ряды Фурье строятся с помощью биортогональной системы к системе {е^1)(Лп}_п_₀ . А именно: пусть система

h_n(t)eL⁴(-a,a), К q ( » , п=0,],...

является биортогональной к системе (е^^п.о на (-а, а), то есть

f h_n(t)e^iU^dt = 6_ran,

-а

где 6_mn= 1 при n=tn и 6_mn= 0 при n^m . Тогда если і L^p(-a,a), l/p++l/q = 1, то коэффициенты ряда Фурье задаются формулой

а.

с_п - X f(t)h_n(t)dt.

-а

Достижения этой теории получены благодаря работам Р.Пэли, Н. Винера, Н. Левинсона, Л. Шварца, С. Верблюнского, А. Ф. Леонтьева, Ж. -П. Кахана, Б. С. Павлова, Н. К. Никольского, С. В. Хру-

щева, A.M. Седлецкого, A.M. Минкина и др.

С другой стороны имеется цикл результатов о разложениях дифференциально-разностных уравнений в ряды по их экспоненциальным решениям. Здесь наиболее сильные результаты принадлежат Е. Райту [1], С. Верблюнскому [2],[3] (см. также [4]).

Интерес к этой тематике постоянно подчеркивается в обзорных статьях В. Хана [5], A.M.Зверкина, Г. А.Каменского,С. Б.Нор-кина, Л.Э. Зльсгольца [6], А. Д. Мышкиса, Л.З. Эльсгольца [73, [83 и монографиях 3. Пинни [93, Р.Беллмана, К.Кука [43, Д.Хей-ла [10].Тем не менее, теория таких разложений далека от завершенности.

В настоящей работе рассматривается дифференциально-разностное уравнение с постоянными коэффициентами запаздывающего

1. Wright Е. The linear difference-differential equation with constant coefficiens II Proc. Roy. Soc. Edinburgh, Ser.A, 62,387-393 (1949).

2. Verblunsky S. On a class of differential-difference equations // Proc. London Math. Soc.,Ser.3,6, 355-365 (1956).

3. Verblunsky S. On a class jf Cauchy exponential series // Rend. Circ. Math. Palermo,Ser.2,10, 5-26 (1961).

4. Беллман P., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. Мир, М. (1967).

5. Хан В. Обзор теории дифференциально-разностных уравнений с постоянными коэффициентами и переменными отклонениями // Математика: Сборник переводов 5:6,73-98 (1961).

6. ЗверкинА.М., Каменский Г.А., Зльсгольц Л. 3. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом // Успехи матем. наук 17 N.2(104),77-164 (1962).

7. Мышкис А.Д., Зльсгольц Л.З. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Успехи матем. наук 22 N. 2(134), 21-57 (1967).

8. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Успехи матем. наук 32 N.2(194), 173-202 (1977).

9. Пинни 3. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. Изд.-во иностр. литер., М. (1961).

10. Хейл Д. Теория функционально-дифференциальных уравнений. Мир, М. (1984).

типа (ДРУ):

aoU'(t) + b₀u(t) + b₁u(t-a>) = 0, t>d), (i)>0.

Пусть u(t) - непрерывное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

u(t) = g(t), О ( t < и.

Функцию g(t) называют начальной функцией. Обозначим через h(s) характеристическую функцию уравнения, она имеет вид

Ms) = aoS + b₀ + ^е ^Ws.

Функция u = e^st является решением ДРУ при всех t тогда и только тогда, когда s есть нуль функции h (s). Достаточно полное представление о расположении нулей %„ функции h(s) получено Р. Лангером [11] и Д. Диксоном [12]. Известно, что последовательность (!„} образует запаздывающую цепь и что асимптотика членов ^=(^+і р_п последовательности имеет вид

d_n = l/wClogl-bi/aol - log(2rtn/

p_n = 1/о)[2яп + argC-fy/ao) ± rt/2] + о(1)

где п -» ± . Верхние знаки отвечают корням ^ , у которых Р_п -> - , а нижние - корням, у которых р_п -* + .

Решению u(t) ДРУ-я сопоставляется экспоненциальный ряд (ЭР):

u(t) ~LRes_s__x e^sth"¹(s)[a₀g(o))e" ^ws + (aos+b₀)j g(x)e~^sxdx]

П*0 ⁿ n

11. Langer R. On the zeros of exponential sums and ite-grals // Bull. Amer. Math. Soc. 37,213-239 (1931).

12. Dickson D. Expansions in series of solutions of linear difference-differential and infinite order differential equations with constant coefficients: Mem. Araer. Math. Soc. 23 (1957).

- 4 -(см. [4]). Как мы видим, коэффициенты ряда полностью определяются начальной функцией g(t).

В отличие от негармонических рядов Фурье этот ряд конструируется с помощью преобразования Лапласа. Это обстоятельство существенно отличает такие ряды от негармонических рядов Фурье.

Основные результаты о разложении решения дифференциально-разностного уравнения в ряд по экспоненциальным решениям принадлежат С.Верблюнскому. Им установлено: если начальная функция g(t) Є С [0, со], то ЗР сходится при t>co к функции u(t), являющейся непрерывным решением ДРУ, причем сходимость равномерная на любом конечном отрезке [Т₀,Т], Т₀>со ; если начальная функция g(t)є С¹[О, ш], то ЭР сходится при t>0 к функции u(t), явяющейся непрерывным решением ДРУ, причем сходимость равномерная на любом конечном отрезке [Т₀,Т], Т₀>0.

В настоящей работе получены промежутки сходимости ЭР при менее ограничительных предположениях относительно начальной функции g(t) . Один из основных методов исследования, используемых в диссертации, был предложен A.M. Седлецким в работах [13], [14].

Цель настоящей работы состоит в следующем:

1. исследовать ЗР при минимально допустимых ограничениях, накладываемых на начальную функцию g(t), а именно при условии ее интегрируемости по Лебегу;

2. изучить поведение ЭР для различных подклассов функций, которым принадлежит начальная функция g(t)( рассматриваются классы Lip d(0

Таким образом, основная цель работы заключается в том, чтобы по возможности приблизить теорию экспоненциальных рядов,

13. Седлецкий A.M. Об одном классе биортогональных разложений по показательным функциям // Изв. АН СССР, Сер. матем.41 N.2,393-415 (1977).

.14. Седлецкий A.M. Об одном классе негармонических рядов Фурье // Некоторые проблемы математики в задачах физики, механики, экономики. Изд.-во МФТИ, М. (1990).

- 5 -являющихся разложениями решений дифференциально -разностных уравнений по решениям экспоненциальным, к уровню теории рядов Фурье.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

3. Исследовано поведение ЭР и его связь с решением ДРУ при минимально допустимых ограничениях, накладываемых на начальную функцию ( при условии ее интегрируемости по Лебегу ).

4. Получены области сходимости ЭР и установлена, его связь с решением ДРУ для различных подклассов функций, которым принадлежит начальная функция (рассмотрены множества Lip u(CKcKl), CV, V).

5. Получены результаты о возможности почленного дифференцирования ЭР-а и о возможности расширения области сходимости ЭР-а.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории дифференциально-разностных-уравнений.

Результаты диссертации докладывались на итоговых научных конференциях Астраханского Государственного Педагогического Университета в апреле 1996 г., апреле 1997 г. и в апреле 1998 г. на 2-ой Казанской летней школе-конференции по алгебре и анализу, посвященной 100-летию Б.М. Гагаева в июне 1997 г.

Основное содержание диссертации изложено в работах автора список которых приведен в конце автореферата. Статей, написанных в соавторстве нет.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ

Похожие диссертации на Разложения решений однородного дифференциально-разностного уравнения запаздывающего типа в ряды по экспоненциальным решениям

Асимптотическое поведение решений интегральных уравнений типа ВольтерраСокол Дмитрий Григорьевич

Оптимальное восстановление операторов мультипликаторного типа и решения волнового уравнения по неточным начальным даннымВыск Наталия Дмитриевна

Экстремальные задачи интерполяционного типа и восстановление решений эллиптических уравненийБалова Елена Александровна

Приближение многочленами решений некоторых типов задач для дифференциальных уравнений Азизов Музафар

Интеграл типа Коши на негладкой неспрямляемой кривой и его приложения к решению краевой задачи Римана и сингулярным интегральным уравнениям Погодина Анна Юрьевна

Представление аналитических функций рядами по элементарным решениям уравнения сверткиКомаров, Александр Владимирович

Равномерные приближения решений слабо сингулярных интегральных уравнений первого рядаОжегова, Алла Вячеславовна

Асимптотика решений уравнений Вольтерра с однородными ядрами Цалюк Марина Вадимовна

Оценка погрешности приближенных решений уравнений первого рода в равномерной метрикеХромова, Галина Владимировна

Колеблемость ветвящихся решений уравнений второго порядка - спектральная теорияАбдулмоджид Муаз