Введение к работе
Актуальность темы. Реферируемая работа посвящена систематическому исследованию и теоретическому обоснованию в пространстве непрерывных функций аппроксимативных методов решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода с разностными логарифмическими ядрами в главной части интегрального оператора.
Указанные уравнения возникают в ряде задач электрофизики, теории упругости, аэрогидромеханики и других разделов механики, физики и математической физики. Из теории таких уравнений, которая в настоящее время достаточно хорошо разработана, следует, что обсуждаемые уравнения точно решаются лишь в редких частных случаях, да и к тому же задача их решения относится к классу некорректно поставленных задач. Поэтому как для теории, так и для приложений важное значение приобретают аппроксимативные методы с соответствующим теоретическим обоснованием, причем наибольший интерес представляет равномерная сходимость приближенных решений к точному. Из нескольких подходов к решению указанной задачи наиболее конструктивным является подход, основанный на отыскании корректной постановки задачи с последующим применением аппроксимативных методов решения. Тем самым отпадает необходимость трудоемкого процесса регуляризации исходной задачи. Первые шаги в этом направлении были сделаны еще в 60-е годы А.Н. Тихоновым, В.И. Лмитриевым, Е.В-. Захаровым и В.А. Цецохо. Такой метод получил название "метода саморегуляризации".
Впоследствии численному решению слабо сингулярных интегральных уравнений было посвящено значительное число работ советских математиков и механиков, а также ряда зарубежных авторов. Некоторые итоги полученных результатов подведены в специальной монографии Б.Г. Габдулхаева '. Кроме того, наряду со многими другими вопросами, результаты в этой области частично отражены в монографиях И.И. Воровича, В.М. Александрова, В.А. Вабешко
*) Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. - Казань: Изд - во Казанск. ун -та, 1994. - 288 с.
(1974 г.), Т.Н. Галишниковой, А.С. Ильинского (1987 г.), В.И. Дмитриева, Е.В. Захарова (1987 г.), Е.В. Захарова, Ю.В. Пименова (1982 г.), Колтона и Кресса (1987 г.), В.В. Панасюка, М.П. Савру-ка, З.Т. Назарчука (1984 г.), З.Т. Назарчука (1989 г.), Г.Я. Попова (1982 г.), а также в диссертациях В.В. Воронина (1978 г.), В.А. Цецо-хо (1987 г.), Мохамеда Н.М. (1988 г.), А.И. Гребенникова (1989 г.), Р.Т. Валеевой (1995 г.), Л.А. Сурай (1994 г.).
Однако, несмотря на огромное количество результатов в области аппроксимативных методов решения указанных уравнений, остается еще большое число нерешенных задач. Некоторым из них и посвящена данная диссертация.
Цель работы - теоретическое обоснование в пространстве непрерывных функций аппроксимативных методов решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода с разностными логарифмическими ядрами в главной части интегрального оператора и получение равномерных оценок погрешностей приближенных решений.
Под теоретическим обоснованием,следуя Л.В.Канторовичу, в диссертации понимается следующий круг вопросов :
а) доказательство теорем существования и единственности реше
ния аппроксимирующего уравнения;
б) доказательство сходимости приближенных решений к точному
решению и определение скорости сходимости;
в) установление эффективных оценок погрешности приближенного
решения, учитывающих структурные свойства исходных данных;
г) исследование устойчивости и обусловленности аппроксиматив
ных методов.
Методика исследований. При выводе и обосновании результатов диссертации используются известные результаты из теории функций и приближений, общей теории приближенных методов, функционального анализа и теории интегральных уравнений. При теоретическом обосновании приближенных методов автор следует методике исследования аппроксимативных методов решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода, предложенной Габдулхаевым Б.Г. в упомянутой выше монографии.
Научная новизна.
а) Предложены новые пары пространств искомых элементов X
и правых частей У, в которых задачи решения ряда классов слабо
сингулярных интегральных уравнений первого рода с разностными
логарифмическими ядрами в главной части интегрального оператора
являются корректно поставленными. Установлены оценки норм опе
раторов, обратных к слабо сингулярным операторам.
б) Получены оценки, характеризующие сходимость интерполяци
онного процесса и рядов Фурье в специально введенных простран
ствах. Результаты сформулированы в терминах теории приближения
функций, что позволяет учитывать свойства гладкости исходных дан
ных.
в) Проведено теоретическое обоснование известных полиномиаль
ных методов решения слабо сингулярных интегральных уравнений
первого рода в предложенных автором пространствах. Получены рав
номерные оценки погрешностей приближенных решений.
г) Установлена структура обратного оператора для характеристи
ческого двумерного слабо сингулярного оператора первого рода.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории функций и приближений и интегральных уравнениях, в частности, при дальнейшем развитии аппроксимативных методов решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода. Они могут быть применены также при решении конкретных прикладных задач, сводящихся к рассматриваемым уравнениям.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Итоговых научных конференциях Казанского государственого университета (1985-1995гг.), на Международной научной конференции "Лобачевский и современная геометрия" ( Казань, 1992 г.), на Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева (Казань,1994 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приведен в коште автореферата. .
Структура и объем работы. Диссертация объемом в 92 страницы состоит из введения, двух глав и списка литературы из 95 наименований.
