Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Редукция в задаче совместной аппроксимации
1.1. Предварительные сведения 13
1.2. Формулировка и доказательство теоремы 1.1 (основной теоремы о редукции) и ее следствий 18
1.3. Примеры применения теорем 1.1 и 1.2 и пример отсутствия совместных приближений 28
1.4. Совместные приближения полиномиальными решениями ОЭУПК 35
Глава 2. Оценки -вместимости компактов в M.N
2.1. Формулировка и доказательство теоремы 2.1. (о нулевой VL-вместимости) 38
2.2. Оценки Совместимости компактов в M.N (формулировки теорем 2.2-2.4) 40
2.3. Доказательства теорем 2.2 - 2.4 44
2.4. Некоторые примеры применения теорем 2.2-2.4 53
Список цитированной литературы 55
- Формулировка и доказательство теоремы 1.1 (основной теоремы о редукции) и ее следствий
- Примеры применения теорем 1.1 и 1.2 и пример отсутствия совместных приближений
- Оценки Совместимости компактов в M.N (формулировки теорем 2.2-2.4)
- Некоторые примеры применения теорем 2.2-2.4
Введение к работе
Теория равномерных аппроксимаций голоморфными и гармоническими функциями - глубоко исследованная область комплексного анализа и теории потенциала, базовыми результатами которой являются теоремы Вейерштрас-са (см. [1], Гл.8, §2.2), Рунге [2], Уолша-Лебега (см. [3], с.56), Лаврентьева (см. [3], с.70), Келдыша-Дени ( [4], [5]), Мергеляна [6], Витушкина [7]. В работе А.Г. Витушкина [7], посвященной вопросам равномерного приближения функций рациональными дробями на компактах в С, был предложен локали-зационный метод, который в дальнейшем получил распространение на задачи аппроксимации функций решениями (произвольных) однородных эллиптических уравнений с постоянными комплексными коэффициентами (ОЭУПК) на компактных множествах X в 1SLN в нормах (топологиях) различных классов функций. В работах А.Г. О Фаррелла ( [8], [9]), Т. Бэгби [10], Дж. Вер-деры ( [11], [12], [13]), П.В. Парамонова [14] и других авторов (см. [15], [16] и обзор литературы в этих работах) были получены аналоги известных емкостных критериев Витушкина для большинства задач аппроксимации функций решениями ОЭУПК на компактах в WLN в метриках пространств Lp, Lipa, Cm, ВМО, Wjj. После того, как А.Г. О Фаррелл [17] доказал инвариантность (и непрерывность) оператора Витушкина в широком классе так называемых "конкретных банаховых пространств" - КБП (так О Фаррелл назвал линейные подмногообразия в (Сд°) = (CQ°(M.N)) СО своими банаховыми нормами и определенным набором свойств, см. §1.1 далее), появился цикл работ, посвященных задачам аппроксимации (обобщенных) функций решениями ОЭУПК в нормах КБП на замкнутых множествах X в R . Их результатами стали "абстрактные"аналоги локализационной теоремы Бишопа, теорем Рунге, Рот, Нерсесяна, Аракеляна (см. [18], [19]), а также ряд других утверждений, важных в приложениях. В частности, были получены новые интересные результаты о граничных свойствах решений общих ОЭУПК (см. [20], [21]). Тем не менее, "абстрактных"аналогов емкостных критериев Витушкина для КБП получить не удалось: даже сам но себе емкостный подход в контексте общих КБП представляется весьма громоздким.
В указанных выше работах каждая из аппроксимационных задач посвящена приближениям в некоторой фиксированной норме, которая обладает определенными свойствами однородности и инвариантности. Ясно, что такие приближения не могут учитывать различные свойства гладкости приближаемых функций на разных подмножествах в X. Таким образом, весьма естественно возникает задача о совместной (одновременной) аппроксимации в нескольких (для начала в двух) различных нормах на (двух) разных компактах Х\ и Хг, X = ХіІіХг- Этой тематике посвящен ряд работ (см., например, [22], [23], [24] и цитируемые там работы), где соответствующие нормы или топологии являются классическими: равномерная, поточечно-ограниченная, липшицева. В контексте аппроксимации в произвольных КБП данная задача рассматривается впервые. В принципе, возможен целый ряд различных постановок этой задачи. Наиболее естественным на наш взгляд является уитниевский подход, развитый в контексте "абстрактных"апироксимаций в одной норме в работах [18], [19], [21].
Основной целью первой главы является получение "редукционной" теоремы (теоремы 1.1), сводящей задачу совместной аппроксимации в нормах двух КБП к задачам аппроксимации в каждой из этих норм по отдельности (последние задачи считаются априори решенными). Главная трудность здесь состоит в том, что соответствующий локализационный оператор Витушки-па, играющий существенную роль в таких задачах, как правило оказывается не инвариантным в естественным образом возникающих пространствах аппроксимации. В связи с этим локализационная теорема получена при некоторых ограничениях на множества Х\ и Х2 (X = Х\ U Хг), на которых осуществляется аппроксимация. Аналогичные ограничения возникают уже в простейших случаях равномерной рациональной аппроксимации (см. [25]), когда приближения исследуются на объединении двух компактов, на каждом из которых нужная аппроксимация имеет место. В качестве иллюстраций в главе 1 приводится ряд следствий теоремы 1.1, являющихся новыми даже для таких классических пространств аппроксимаций, как Cm(RN). Приводятся также примеры отсутствия совместной аппроксимации, указывающие на существенность ограничений, указанных в теореме 1.1.
Вторая глава посвящена исследованиям специальных функций множеств -так называемых вместимостей компактных множеств в R , тесно связанных с задачами аппроксимации решениями ОЭУПК (в частности, с условием
(ПК) в теореме 1.1). Приводятся двусторонние оценки вместимостей в терминах различных метрических характеристик соответствующих компактов.
Перейдем к изложению результатов диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы.
Напомним вкратце некоторые необходимые нам определения и понятия, впервые появившиеся в работах [17], [19], [21]. Более подробно они приведены и проиллюстрированы примерами в §1.1.
Пусть V - банахово пространство обобщенных функций (распределений) в с условиями С$° = C$°{RN) С V и V С (С0°°) = (С0°°(М )) , причем оба указанные вложения непрерывны и V является топологическим CQ°-подмодулем в (CQ0) . Обозначим через • норму в V. Такие пространства V (следуя [17]) будем называть конкретными банаховыми пространствами (КБП). Для компактного множества X в Ж обозначим через 1{Х) замыкание в V линейного подмногообразия {/ Є V\ supp/ Г) X = 0}, где supp/ -носитель распределения /. Банахово пространство V(X) = Vy/(X), наделенное факторнормой, рассматривается как наиболее естественное (типа Уитни) "сужение"V на X. Таким образом, /х = inf{/ + /о[/о Є 1(Х)} - норма элемента ("струи") /щ — f + І(Х) в V(X), определенного распределением feV.
Для произвольного открытого множества D в Жн через Vi0C(D) будем обозначать пространство всех распределений / из (Co°(Z))) с условием / /? Є V для каждого р Є CQ (D). Пространство Vioc{D) естественным образом наделяется топологией Фреше. Положим Vice = Vioc(RN). Отметим, что при / Є Vi0C(D) струя /(х) € V(X) корректно определена для любого компакта XBD.
Пусть С - класс всех однородных дифференциальных эллиптических операторов в IR порядка г 1 с постоянными комплексными коэффициентами. Фиксируем L Є С?? и пусть Ф - его (стандартное) фундаментальное решение (см. §1.1). Определим локализационный оператор Витушкина, ассоциированный с L и функцией (р Є CQ°, по формуле
V„/ = Ф (tpLf) ,
где / Є (CO°) J а оператор свертки.
Скажем, что Vip действует инвариантно на Цос, если отображение V p : Цос — Цос непрерывно. В этом случае будем говорить, что (V, L) удовлетворяет условию (I).
Пусть D - открытое множество в R- . Назовем L-аналитическими в D все такие (обобщенные) функции /в Д для которых Lf — 0 в D в обобщенном смысле; их класс будем обозначать через L(D). По известной лемме Вейля, L(D) C°°(D), так что L(D) С Vi0C(D). Для компактного множества X в RN обозначим через Ly(X) замыкание в V(X) линейного подмногообразия L(X) струй /(х) Є V(X), каждая из которых имеет представителя / Є V с условием Lf = 0 в некоторой (для каждого / - своей) окрестности X. Иными словами, Ьу{Х) есть класс струй из V(X), допускающих приближение "L-аналитическими в окрестности X струями "с любой точностью в норме • х Для произвольного множества Е в R , Е означает замыкание, Е° - внутренность, и дЕ - границу множества Е. Пусть В(х, 5) - открытый, а В(х, 6)
- замкнутый шар в R- с центром х и радиусом 6 0.
Основные аппроксимационные задачи (в контексте "одной"нормы) состоят в следующем:
- (проблема аппроксимации "индивидуальной функции") каковы условия на L, V, X и /(х) Є V(X) необходимые и достаточные для того, чтобы f(x) Є Lv(X)1
(проблема аппроксимации для "классов функций") каковы условия на L, V и X необходимые и достаточные для того, чтобы V(X) П L(X°) = Ly(X) Теперь перейдем к постановке задачи о совместных приближениях. Предположим, что даны два КБП, V\ и V , с нормами • Ці и • г соответственно. Пусть V2,/oc Q У\уіосі причем указанное вложение непрерывно. Тогда
ІОС
скажем, что Vi локально вложено в Vi, и будем писать \/2с- V\. Фиксируем произвольные непустые компакты Х\ и Xi в R- и обозначим X = Х\ U Хъ, XQ = Х1ПХ2. Всюду далее предполагается, что Хо ф 0, иначе задача совместной аппроксимации становится тривиальной. В качестве исходного пространства функций (струй), "имеющих различные условия гладкости"на Х\ и на Хг, мы возьмем банахово пространство V\ = ,2(- 1,-) всех пар (Fi, ), Fs Є VS(XS) при s Є {1,2}, удовлетворяющих условию: сужения (в смысле Уитни в Vi) струй F\ и F i на компакт Хо совпадают в V\(X§). Норму в Уі 2 определим равенством (Fi, F2)i)2 = maxdlFiHi , -р2ІІ2,х2}- В качестве пространства L12 = 1,2( 1, ,) "приближающих"элементов берется замыкание в Vi,2 множества всех пар (д)% ууіх )) 2 образованных сужениями L-аналитических в окрестности X функций д на Х\ (в Vi) и на Х і (в У2) соответственно.
Задача о совместных приближениях L-аналитическими функциями на компактах в M.N (для индивидуальной функции) состоит в нахождении необходимых и достаточных условий на (Fi, F2) Є Vit2 (а также на L, Vs, Xs при s Є {1,2}), при которых (Fi, F2) Є 1/1,2 .
Ясно, что простейшими необходимыми условиями для последнего включения будет принадлежность элемента {F\,F2) пространству
Wi,2 = WwfaVuVbXuXi) = {(FhF2) Є Vi2Fe Є Lv.(XsU Є {1,2}}
или (более слабое необходимое условие) пространству
Яі,2 = H1,2{L,VUV2,XUX2) = {{FhF2) Є Vift\Fa Є L(X°),s Є {1,2}}.
Проверка условий принадлежности струй к последним двум пространствам для нас, априори, как бы "вопрос решенный".
Естественно возникают две следующие аппроксимационные задачи (задачи совместной аппроксимации для классов функции): -Для каких L,Vi,V2,Xi,X2 справедливо равенство:
Wi,2 = Lh2 -Для каких L, V\,V2,Xi, Х2 имеет место
#1,2 = Ll,2 Иными словами: для каких L,Vi,V2,Xi,X2 простейшие необходимые условия приближаемости одновременно являются достаточными сразу для ecex(FhF2) єУі,2?
Скажем, что пара компактов (Хі,Х2) удовлетворяет условию (К), если (Xi\X2)° П Х2 = 0 (т.е. компакты Yi2 = (Х\ \Х2)° и Х2 отделены друг от друга "коридором", в котором компакт Х\ является нигде не плотным).
Пара компактов (Xi,X2) удовлетворяет условию (ПК) (Уї-приближаемость в "коридоре"), если существует компакт УЇ, Y\ С Х\ \ Х2, такой, что для каждого х Є Хі \ (УЇ U Х2) найдется 8Х О с условием L\r1(B{x, 5Х) П Х{) =
УїСв упхо.
Отметим, что условие (ПК) есть условие аппроксимации в одной норме - • Ці. Это условие отдельно изучается в §2.1 в терминах введенной в диссертации функции множеств - вместимости. Легко показать, что условие (ПК) включает условие (К), причем всегда Уі2 С Y\ (случай пустых Y\2 и УЇ не исключается).
Основной результат первой главы дает частичный ответ (достаточные условия) как к первой задаче совместной аппроксимации для классов функций, так и к соответствующей задаче для индивидуальных функций.
Теорема 1.1. Пусть V\ и V2 - КБП, причем (\\,Ь) удовлетворяет уело ІОС
вию (I) и V2 V\. Если пара компактов {Х\,Х2) удовлетворяет условию (ПК), то Wlj2 = 1,1,2.
Из доказательства теоремы 1.1 и из [18] (теорема 3) вытекает следующее достаточное условие приближаемости индивидуальной функции.
Следствие 1.1. При выполнении условий теоремы 1.1 пусть F = (Fi,F2) Є Vi,2- Тогда следующие условия эквивалентны:
W F Є L1)2;
(ii) Fs Є LVa(Xs), s Є {1,2};
(iii) найдется конечное покрытие {Bj}j==1 компакта X открытыми шарами Bj такое, что для каждого j Є {1,..., J} выполнено хотя бы одно из двух:
(a) BjHX2 ф 0 uF2 Є Ьу2(В]пХ2); _
(b) Bj П УІ ф 0, В] П Х2 = 0, причем Fi Є LVl (Щ Л Хг).
Во второй задаче совместной аппроксимации для классов функций при дополнительном условии (К) получен исчерпывающий ответ:
Теорема 1.2. Пусть V\ и V2 - КБП, причем {V\,L) удовлетворяет условию (I) и V2 — Vi. Пусть пара компактов (Xi,X2) удовлетворяет условию (К). Тогда Н\і2 = Ь\,2 если и только если одновременно выполнены следующие условия:
{i)Lv2(X2) = V2{X2)r\L{X°2); { )LVl(Y12) = Vl(Y12)nL(Y{2); (iii) условие (ПК) справедливо при Y\ = Y\2.
Из последнего утверждения следует, что для выполнения равенства Н 2 = Li;2 нет необходимости в выполнении условия Ly Xi) = Vi(Xi) П L(X[) ; соответствующий пример приводится ниже в §1.3. Там же, в §1.3, приведены примеры применения теорем 1.1 и 1.2 для совместных Ст-аппроксимаций (т.е. V\ = ВСт, V2 = ВС1, 0 т I) решениями ОЭУПК и построен пример отсутствия совместных приближений, показывающий существенность условия (ПК) в теоремах 1.1 и 1.2.
В §1.4 исследуются совместные приближения полиномиальными решениями ОЭУПК.
Теоремы 1.1 и 1.2 сводят задачу совместной аппроксимации в двух "абстрактных "нормах к задачам аппроксимации в каждой из этих норм по отдельности. В связи с этим возникает естественный вопрос о получении "абстрактных" аналогов емкостных критериев А. Г. Витушкина. Однако оказывается, что в контексте всех КБП введение понятия емкости затруднительно. Более предпочтительным, на наш взгляд, является изучение другой, глобальной характеристики компактов в R" , тесно связанной с аппроксимациями на нигде не плотных компактах и, в частности, с условием (ПК). Через Vo\(E) будем обозначать меру Лебега ограниченного борелевского множества Е в R- . Для компактного множества Е через RE обозначим радиус минимального замкнутого шара в R , содержащего Е. В случае, если Е - компакт с кусочно-гладкой границей дЕ, под S(E) будем понимать поверхностную (N — 1)-мерную меру Лебега дЕ в RN.
Пусть V = ВС(М.2) - пространство ограниченных непрерывных на R2 ком-плекснозначных функций с равномерной нормой -o,aL = - оператор Коши-Римана. Для компакта К в R2 положим R(K) = L\r{K). В работе Д. Хавинсона [26] была впервые введена в рассмотрение "аналитическая вместимость" (analytic content) Х(К) множества К, задаваемая по формуле
\(K) = M{\\f(z)-z\\oMfeR(K)} В дальнейшем она изучалась в работах [27], [28]. Функция множества Х(К) характеризует возможность равномерной аппроксимации всех непрерывных на К функций рациональными дробями, т.е.
(0.1) \{К) = 0 & R(K) = С{К).
Кроме того, Х(К) удовлетворяет соотношениям
(0.2) A(iO (Vopr)A01/2,
(0.3) 2Vo\(K)/S{K) \(K),
которые являются точными, т.е. в (0.2) равенство возможно, только если К является объединением диска и множества нулевой лебеговой меры [29], а (0.3) достигается, если К - диск или кольцо [28]. Непосредственным следствием оценок (0.2) и (0.3) является изопериметрическое неравенство
4irVo\{K) {S{K))2.
Пусть теперь V = BC(RN), a L = А - оператор Лапласа, N 2. В работе [30] Д. Хавинсон рассмотрел аналог величины Х(К) для случая равномерной аппроксимации гармоническими функциями на компактах К в M.N:
А(К) = inf{/ -/оЫ/ € Н(К)},
где Н(К) = Ьу{К), а /о = W2- В [30] доказано
(0.4) Л(#) = 0 & Н{К) = С (К),
что уже не так просто, как (0.1). Кроме того, там же найдена точная оценка
(0.5) A(K) ±(NVol(K)/aN)2 Nt
а также констатировано отсутствие аналога нижней оценки (0.3). Здесь JJV = 27riV/2r(iV/2) - поверхностная мера Лебега единичной сферы в R , Г(-) -функция Эйлера.
Дальнейшее развитие эта тематика получила в работе П. Готье и П.В. Парамонова [31], а также в работе Ю.А. Горохова [32], где были исследованы аналоги величины А(К), связанные с проблемой аппроксимации гармоническими функциями в Ст-нормах (см. примеры 1.2 и 1.3) на компактах в R . В этих работах были доказаны утверждения, аналогичные (0.1) и (0.4), а также приведены точные по порядку величин верхние и нижние оценки соответствующих "вместимостей".
Перейдем к изложению результатов второй главы.
Пусть N 2, V - КБП в#с нормой • , L Є С?. Для компакта К CRN и s Є {0,1} рассмотрим классы
TSL{K) — {/ Є V I Lf = s в (зависящей от/) окрестности компакта К}.
Фиксируем какой-либо элемент /і из Т К). По определению, VL - вместимостью компакта К назовем величину
\vL{K) = mi{\\h-f\\\fTl{K)}.
Ясно, что Хуь(Ю не зависит от выбора /і в ТІ(К).
Следующая теорема является общим "абстрактным"аналогом утверждений (0.1) и (0.4).
Теорема 2.1. Пусть К - компакт в M.N. Пусть C°°(M.N) плотно в Цос и (V, L) удовлетворяет условию (I). Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(i) XVL(K) = 0;
(ii)V(K) = Lv(K).
В качестве следствия этой теоремы (см. следствие 2.1) получается критерий совместной аппроксимации на нигде не плотных компактах Х\, Х2, а также описание условия (ПК) в терминах Хуь Пусть т 0 и т = [т] + /л, где [т] - целая часть га, а /х Є [0,1) -дробная часть т. Для V = BCm(RN) (см. пример 1.3) и фиксированного L Є , введем специальное обозначение \т{К) = \всть{К) и определим функцию множества Лт (так называемую СтЬ - вместимость или, короче, Ст - вместимость) как "однородную порядка [т]" составляющую функции Лт (см. §2.1). Теорема 2.1 стимулирует определенный интерес к получению верхних и нижних оценок величин XVL(K), которые становятся "количественными характеристиками"возможности (У, L) - аппроксимации. Во второй главе получены такие оценки для Ат(К) и \уь(К), выраженные в терминах метрических свойств компактов К. Отметим, что, поскольку рассматриваются операторы L общего вида, точные значения постоянных в этих оценках не обсуждаются.
Установлен следующий аналог оценок (0.2) и (0.5).
Теорема 2.2. Пусть К - компакт в RN, N 2. Тогда
1. Если г N ит Є [0, г), то
Лт(К) dlVoliK)} ,
где С\ Є (0, +оо) не зависит от К.
2. Если г N, то предыдущая оценка остается верной при
т Є [і— N + 1, г), а при т Є [0, г — N + 1) имеет место оценка
Ат(Ю C2i4-"+1-W[Vol(ir)] ,
где Сі Є (0, +оо) не зависит от К.
При получении оценок Ат(К) снизу возникла потребность распространить понятие площади поверхности (периметра) S(K) с компактов с кусочно-гладкой границей на произвольные компакты в Ж. . Обозначим через S (K) "обобщенный"периметр К (подробнее см. §2.2).
Теорема 2.3. Пусть ц Є [0,1), v Є (0,1]. Пусть К - компакт в RN, причем S (K) 00 и Vol (if) 0. Тогда при т = г — 1 + fi имеем
где С € (0, +оо) зависит лишь от L.
Теорема 2.4. Пусть К - непустой компакт в RN, причем К = К0. Тогда при т € [0, г)
Ат{К) - С ЩК) /(dist(:r dK)Y-[m]d ,
к
где С Є (0, +оо) не зависит от К.
Отметим, что следствием приведенных выше оценок являются аналоги теоремы Гартогса-Розенталя (см. следствие 2.2), точные по порядку величин аналоги изоиериметрических неравенств (см. следствие 2.4), а также некоторые оценки величин \VL{K) ДЛЯ V и L общего вида (см. следствие 2.3).
В диссертации используются: методы теории обобщенных функций и лока-лизационная техника А.Г. Витушкина (в контексте работ [13]- [19]), методы теории аппроксимации голоморфными функциями (рациональными дробями) на компактах в С в равномерной [7] и Ст-нормах ( [8], [9], [11]), ряд примеров, конструкций и методов оценивания, связанных с теорией потенциала (в духе работ [26]- [32]).
Результаты диссертации докладывались на механико-математическом факультете МГУ на семинарах по комплексному анализу под руководством академика РАН А. Г. Витушкина, академика ВШ Е. П. Долженко, профессора П. В. Парамонова. Основные результаты опубликованы в работах [В1] и [В2].
Автор благодарен своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору П. В. Парамонову за постановку задач и постоянное внимание к работе.
Формулировка и доказательство теоремы 1.1 (основной теоремы о редукции) и ее следствий
Теория равномерных аппроксимаций голоморфными и гармоническими функциями - глубоко исследованная область комплексного анализа и теории потенциала, базовыми результатами которой являются теоремы Вейерштрас-са (см. [1], Гл.8, 2.2), Рунге [2], Уолша-Лебега (см. [3], с.56), Лаврентьева (см. [3], с.70), Келдыша-Дени ( [4], [5]), Мергеляна [6], Витушкина [7]. В работе А.Г. Витушкина [7], посвященной вопросам равномерного приближения функций рациональными дробями на компактах в С, был предложен локали-зационный метод, который в дальнейшем получил распространение на задачи аппроксимации функций решениями (произвольных) однородных эллиптических уравнений с постоянными комплексными коэффициентами (ОЭУПК) на компактных множествах X в 1SLN в нормах (топологиях) различных классов функций. В работах А.Г. О Фаррелла ( [8], [9]), Т. Бэгби [10], Дж. Вер-деры ( [11], [12], [13]), П.В. Парамонова [14] и других авторов (см. [15], [16] и обзор литературы в этих работах) были получены аналоги известных емкостных критериев Витушкина для большинства задач аппроксимации функций решениями ОЭУПК на компактах в WLN в метриках пространств Lp, Lipa, Cm, ВМО, Wjj. После того, как А.Г. О Фаррелл [17] доказал инвариантность (и непрерывность) оператора Витушкина в широком классе так называемых "конкретных банаховых пространств" - КБП (так О Фаррелл назвал линейные подмногообразия в (Сд) = (CQ(M.N)) СО своими банаховыми нормами и определенным набором свойств, см. 1.1 далее), появился цикл работ, посвященных задачам аппроксимации (обобщенных) функций решениями ОЭУПК в нормах КБП на замкнутых множествах X в R . Их результатами стали "абстрактные"аналоги локализационной теоремы Бишопа, теорем Рунге, Рот, Нерсесяна, Аракеляна (см. [18], [19]), а также ряд других утверждений, важных в приложениях. В частности, были получены новые интересные результаты о граничных свойствах решений общих ОЭУПК (см. [20], [21]). Тем не менее, "абстрактных"аналогов емкостных критериев Витушкина для КБП получить не удалось: даже сам но себе емкостный подход в контексте общих КБП представляется весьма громоздким.
Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты №00-01-00618 и №04-01-00720) и программы "Ведущие научные школы Российской Федерации" (проект НШ-2040.2003.1). В указанных выше работах каждая из аппроксимационных задач посвящена приближениям в некоторой фиксированной норме, которая обладает определенными свойствами однородности и инвариантности. Ясно, что такие приближения не могут учитывать различные свойства гладкости приближаемых функций на разных подмножествах в X. Таким образом, весьма естественно возникает задача о совместной (одновременной) аппроксимации в нескольких (для начала в двух) различных нормах на (двух) разных компактах Х\ и Хг, X = ХіІіХг- Этой тематике посвящен ряд работ (см., например, [22], [23], [24] и цитируемые там работы), где соответствующие нормы или топологии являются классическими: равномерная, поточечно-ограниченная, липшицева. В контексте аппроксимации в произвольных КБП данная задача рассматривается впервые. В принципе, возможен целый ряд различных постановок этой задачи. Наиболее естественным на наш взгляд является уитниевский подход, развитый в контексте "абстрактных"апироксимаций в одной норме в работах [18], [19], [21].
Основной целью первой главы является получение "редукционной" теоремы (теоремы 1.1), сводящей задачу совместной аппроксимации в нормах двух КБП к задачам аппроксимации в каждой из этих норм по отдельности (последние задачи считаются априори решенными). Главная трудность здесь состоит в том, что соответствующий локализационный оператор Витушки-па, играющий существенную роль в таких задачах, как правило оказывается не инвариантным в естественным образом возникающих пространствах аппроксимации. В связи с этим локализационная теорема получена при некоторых ограничениях на множества Х\ и Х2 (X = Х\ U Хг), на которых осуществляется аппроксимация. Аналогичные ограничения возникают уже в простейших случаях равномерной рациональной аппроксимации (см. [25]), когда приближения исследуются на объединении двух компактов, на каждом из которых нужная аппроксимация имеет место. В качестве иллюстраций в главе 1 приводится ряд следствий теоремы 1.1, являющихся новыми даже для таких классических пространств аппроксимаций, как Cm(RN). Приводятся также примеры отсутствия совместной аппроксимации, указывающие на существенность ограничений, указанных в теореме 1.1.
Вторая глава посвящена исследованиям специальных функций множеств -так называемых вместимостей компактных множеств в R , тесно связанных с задачами аппроксимации решениями ОЭУПК (в частности, с условием (ПК) в теореме 1.1). Приводятся двусторонние оценки вместимостей в терминах различных метрических характеристик соответствующих компактов.
Перейдем к изложению результатов диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Напомним вкратце некоторые необходимые нам определения и понятия, впервые появившиеся в работах [17], [19], [21]. Более подробно они приведены и проиллюстрированы примерами в 1.1. Пусть V - банахово пространство обобщенных функций (распределений) в с условиями С$ = C${RN) С V и V С (С0) = (С0(М )) , причем оба указанные вложения непрерывны и V является топологическим CQ-подмодулем в (CQ0) . Обозначим через норму в V. Такие пространства V (следуя [17]) будем называть конкретными банаховыми пространствами (КБП). Для компактного множества X в Ж обозначим через 1{Х) замыкание в V линейного подмногообразия {/ Є V\ supp/ Г) X = 0}, где supp/ -носитель распределения /. Банахово пространство V(X) = Vy/(X), наделенное факторнормой, рассматривается как наиболее естественное (типа Уитни) "сужение"V на X. Таким образом, /х = inf{/ + /о[/о Є 1(Х)} - норма элемента ("струи") /щ — f + І(Х) в V(X), определенного распределением feV. Для произвольного открытого множества D в Жн через Vi0C(D) будем обозначать пространство всех распределений / из (Co(Z))) с условием / /? Є V для каждого р Є CQ (D). Пространство Vioc{D) естественным образом наделяется топологией Фреше. Положим Vice = Vioc(RN). Отметим, что при / Є Vi0C(D) струя /(х) V(X) корректно определена для любого компакта XBD. Пусть С - класс всех однородных дифференциальных эллиптических операторов в IR порядка г 1 с постоянными комплексными коэффициентами. Фиксируем L Є С?? и пусть Ф - его (стандартное) фундаментальное решение (см. 1.1). Определим локализационный оператор Витушкина, ассоциированный с L и функцией (р Є CQ, по формуле
Примеры применения теорем 1.1 и 1.2 и пример отсутствия совместных приближений
Пусть V - КБП в RN, L Є С , а X - компакт в R . Определим Ру(Х) как замыкание в V(X) линейного подмногообразия {рщ Р Є PL}, где через PL обозначено пространство L-полиномов (т.е. всех L-аналитических полиномов вещественных переменных с комплексными коэффициентами). Определим подкласс ЛЛС У в С следующим образом. При N = 2 положим ЛЛС У = $?, а при N 3 в ЛЛС У входят операторы L Є C f со следующим символом: где Pi - некоторый однородный (эллиптический, знакоопределенный) полином порядка 2 с вещественными коэффициентами, и Qr 2 - однородный (эллиптический) полином порядка г — 2.
В [19] (теорема 3 и предложение 2) доказано, что если L Є МЦ! и Ord(V) г — 1, то Ly(X) = Ру(Х) если и только если X имеет связное дополнение (т.е для таких (V, L) выполняется полный аналог классической теоремы Рунге о равномерных аппроксимациях полиномами комплексного переменного). Условия L-полиномиальных аппроксимаций значительно усложняются, если связность M.N \ X не является необходимым условием для выполнения равенства Ly(X) = Pv(X) (например, L есть квадрат оператора Коши-Римана в С, а V = ВС(С), см. [43]- [45]). Пусть теперь VUV2 - КБП в R V2 Vh L Є C?t а Хг и Х2 - фиксированные не пустые компакты в RN (X = Xi U Х2). Определим пространство Pi(2 = Pi 2(Xi,X2) как замыкание в Vj.,2 линейного подмногообразия {ЩхгуРіХі)) I Р є }- ОчевиДно) чт0 Pi,2 Q 1,2 {Pi,2 является подиростран-ством пар из Vi 2, допускающих совместную аппроксимацию L-полиномами в норме 1,2)- В этом параграфе мы хотим найти условия на Va,Xs и L (s Є {1, 2}), необходимые и (или) достаточные для того чтобы, Ні$ — Р\$. Основным здесь для нас будет следующее утверждение. Предложение 1.4. Пусть L Є NC , V2 - V\ - КБП, причем Ord(Vi) г-I. Пусть Xi и Х2 - компакты eRN (X = Хх U Х2, Х0 = ХіГ\Х2 ). Тогда Р\у2 = L\ если и только если RN \ X связно. Доказательство. Пусть Р\$ = Lit2, но, от противного, M.N\X не связно, а - точка из некоторой ограниченной компоненты в M.N\X. Если, как и ранее, Ф - фундаментальное решение для L, то, очевидно, (Ф(х — а)\ ч, Ф(х — ауЛ Л Є Lit2 = Pi,2- Но тогда, как нетрудно показать, найдется последовательность L-полиномов, которая равномерно на X вместе со своими частными производными до порядка г — 1 включительно сходится к Ф(х — а). Последнее, согласно [19], предложение 2, невозможно. Обратно, пусть R- \ X связно и F = (F\, F2) Є L\ - По определению Ь\ найдется последовательность {fn}t=i из - РО такая, что \\F — (/n, /n)i,2 — О при п —» +со. Согласно [19] (теорема 3 и предложение 2), найдется последовательность {Pn}n=i из Рь такая, что /п — РпЦг.х — 0 при п — +оо. Но тогда [F — (РтРп)\\і,2 —» 0 при п — +оо. Действительно, -р„№ \№ - /піЛ + /„ -p„iA -+ 0 , поскольку /n -pnlli, ! A(X)\\fn -Vn\\2,xx - 0 при п - +оо (последнее неравенство легко следует из (1.4)). Простое комбинирование теорем 1.1 и 1.2 с предложением 1.4 дает большой спектр необходимых и (или) достаточных условий L-полиномиальной аппроксимации. Приведем один конкретный содержательный пример применения указанных утверждений. Пример 1.5. Пусть Vi = BC{C),V2 = ВС1 (С). Напомним, что для компакта К пространство У\(К) изометрично С (К) (с равномерной нормой), а V2(K) можно отождествить с пространством С\К) = {(д,дд/дхидд/дх2)\к I 9 Є ВС С)} . Норма ЦСЦСІ(ІІГ) элемента (С1-струи) G = (go,gi,g2) в этом пространстве равна нижней грани норм дІ2 (в V2) по всем g Є ВС1 (С) таким, что (g, dg/dxi,дд/дх2)\к = (до,ди02) При этом УХ,2{ХЪХ2) = {(F,G)\Fe С(Хг), G = (дьЗі.а,) Є С\Х2) : F(x) = до{х), хеХ0} с нормой, определенной ранее. Положим L = =, тогда PL есть пространство полиномов комплексной неременной z. Справедливо следующее утверждение. Следствие 1.4. Пусть Х\ и Х2 - компакты в С с условием (К) (X = Х\ U Х2, Хо = Х\ П Х2 "ф 0j. Следующие условия эквивалентны: (і) для всякой пары (F, G) Є #i,2 и любого є 0 найдется полином р Є Рь для которого \\F-p\\i,Xl е , \\G- (р,др/дхі,др/дх2)\\сцх ) є (т.е. Нц = pifi); (ii) множество С \ X - связно, a X% плотно в X2. Доказательство. Из (і) следует, что #1,2 = Za,2 = Pi,2, откуда сразу полу чаем (ii) по предложению 1.4 и следствию 1.3. Для доказательства обратного включения, ввиду предложение 1.4, достаточно установить, что (из условия (ii) вытекает равенство) #1,2 = L\ . По следствию 1.3, остается только про верить справедливость условий (1.8). Последние вытекают из критерия Ви тушкина [7] (Гл.5, 2, теорема 1) и теоремы Мергеляна [6], если учесть, что для всякого открытого круга В, В Г) Х2 = 0, компакт Х\ П В имеет связное дополнение.
Примеры применения теорем 1.1 и 1.2 и пример отсутствия совместных приближений
Рассмотрим случай т = г. Справедливо следующее утверждение. Предложение 2.2. Пусть К - не пустой компакт в MN. Тогда найдется С Є (0, +со), зависящая лишь от L, такая, что К{К) С 0. Доказательство. Пусть / Є L(K) П ВСГ. Поскольку L = YL аада, имеем Окончательно, из определения Лг получаем АЛЮ М о.и Следовательно, при т г из очевидного неравенства Хт(К) АГ(К), используя предложение 2.2, можно сделать вывод, что величина \т{К) строго положительна для всех не пустых компактов К в Жм. Поэтому, в случае таких К и т, из теоремы 2.1 вытекает, что Ст(К) ф Ьвст(К)- Последнее согласуется с тем, что в случае т г могут быть приближены лишь те функции из Ст(К), которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям (см. [13], стр.158). Теперь рассмотрим два примера. Пример 2.1. Пусть 1/ = гВ Cz, V = ВС0. Покажем, что найдется компакт К, для которого S(K) со, Vo\(K) 0, однако \о(К) = 0. Пример такого компакта дает хорошо известная конструкция "швейцарского сыра", приведенная, например, в [3]. Напомним, что "швейцарский сыр" есть компакт К, возникающий из замкнутого единичного круга 5(0,1) в результате удаления последовательности открытых кругов {Bj = B(aj,rj)}j 0, замы оо кания которых попарно не пересекаются, причем К = В(0,1) \ (U Bj) не имеет внутренних точек. Возьмем такой К, и пусть дополнительно выполне ОО 00 „2 ны два условия: Ylrj со и J2 rj 1. Тогда, с очевидностью, S(K) со j=o j=0 и Vo\(K) 0, причем К является нигде не плотным в С. С другой стороны, используя результат [47], имеем XQ(K) = 0. Пример 2.2. Здесь мы получим оценки снизу величины \v(K) в случаях, когда V - пространство Соболева. Напомним, что для 56Z+nl p oo пространство Соболева W = Wjj(M.N) определяется как класс всех измеримых по мере Лебега в M.N функций /, для которых \\daf\\Lp со при всех \а\ q, где производные понимаются в смысле теории распределений. Норму / Є Wg определим как /и/« = max j Q/jz,p. Хорошо известно, что Wg — Ст для р \a\ q всех q Є Z+ и т О, удовлетворяющих неравенству q + т. Пусть v Є (0,1], \і Є [0,1). Пусть К - компакт, удовлетворяющий условиям, приведенным в следствии 2.3. Тогда найдется С\ Є (0, +оо) такая, что при q — + г — 1 + // выполнено В случае га Є [0, г) и компакта К, удовлетворяющего условиям теоремы 2.4, найдется С 2 Є (0, +оо) такая, что при q - + т выполнено К р к Можно показать, что Сі и С зависят от p,q,N и оператора L.
Некоторые примеры применения теорем 2.2-2.4
Проверка условий принадлежности струй к последним двум пространствам для нас, априори, как бы "вопрос решенный".
Естественно возникают две следующие аппроксимационные задачи (задачи совместной аппроксимации для классов функции): -Для каких L,Vi,V2,Xi,X2 справедливо равенство: Wi,2 = Lh2 -Для каких L, V\,V2,Xi, Х2 имеет место #1,2 = Ll,2 Иными словами: для каких L,Vi,V2,Xi,X2 простейшие необходимые условия приближаемости одновременно являются достаточными сразу для ecex(FhF2) єУі,2? Скажем, что пара компактов (Хі,Х2) удовлетворяет условию (К), если (Xi\X2) П Х2 = 0 (т.е. компакты Yi2 = (Х\ \Х2) и Х2 отделены друг от друга "коридором", в котором компакт Х\ является нигде не плотным). Пара компактов (Xi,X2) удовлетворяет условию (ПК) (Уї-приближаемость в "коридоре"), если существует компакт УЇ, Y\ С Х\ \ Х2, такой, что для каждого х Є Хі \ (УЇ U Х2) найдется 8Х О с условием L\r1(B{x, 5Х) П Х{) = УїСв упхо. Отметим, что условие (ПК) есть условие аппроксимации в одной норме - Ці. Это условие отдельно изучается в 2.1 в терминах введенной в диссертации функции множеств - вместимости. Легко показать, что условие (ПК) включает условие (К), причем всегда Уі2 С Y\ (случай пустых Y\2 и УЇ не исключается). Основной результат первой главы дает частичный ответ (достаточные условия) как к первой задаче совместной аппроксимации для классов функций, так и к соответствующей задаче для индивидуальных функций. Теорема 1.1. Пусть V\ и V2 - КБП, причем (\\,Ь) удовлетворяет уело ІОС вию (I) и V2 V\. Если пара компактов {Х\,Х2) удовлетворяет условию (ПК), то Wlj2 = 1,1,2. Из доказательства теоремы 1.1 и из [18] (теорема 3) вытекает следующее достаточное условие приближаемости индивидуальной функции. Следствие 1.1. При выполнении условий теоремы 1.1 пусть F = (Fi,F2) Є Vi,2- Тогда следующие условия эквивалентны: (iii) найдется конечное покрытие {Bj}j==1 компакта X открытыми шарами Bj такое, что для каждого j Є {1,..., J} выполнено хотя бы одно из двух: (a) BjHX2 ф 0 uF2 Є Ьу2(В]пХ2); _ (b) Bj П УІ ф 0, В] П Х2 = 0, причем Fi Є LVl (Щ Л Хг). Во второй задаче совместной аппроксимации для классов функций при дополнительном условии (К) получен исчерпывающий ответ: Теорема 1.2. Пусть V\ и V2 - КБП, причем {V\,L) удовлетворяет условию (I) и V2 — Vi. Пусть пара компактов (Xi,X2) удовлетворяет условию (К). Тогда Н\і2 = Ь\,2 если и только если одновременно выполнены следующие условия: {i)Lv2(X2) = V2{X2)r\L{X2); { )LVl(Y12) = Vl(Y12)nL(Y{2); (iii) условие (ПК) справедливо при Y\ = Y\2. Из последнего утверждения следует, что для выполнения равенства Н 2 = Li;2 нет необходимости в выполнении условия Ly Xi) = Vi(Xi) П L(X[) ; соответствующий пример приводится ниже в 1.3. Там же, в 1.3, приведены примеры применения теорем 1.1 и 1.2 для совместных Ст-аппроксимаций (т.е. V\ = ВСт, V2 = ВС1, 0 т I) решениями ОЭУПК и построен пример отсутствия совместных приближений, показывающий существенность условия (ПК) в теоремах 1.1 и 1.2. В 1.4 исследуются совместные приближения полиномиальными решениями ОЭУПК. Теоремы 1.1 и 1.2 сводят задачу совместной аппроксимации в двух "абстрактных "нормах к задачам аппроксимации в каждой из этих норм по отдельности. В связи с этим возникает естественный вопрос о получении "абстрактных" аналогов емкостных критериев А. Г. Витушкина. Однако оказывается, что в контексте всех КБП введение понятия емкости затруднительно. Более предпочтительным, на наш взгляд, является изучение другой, глобальной характеристики компактов в R" , тесно связанной с аппроксимациями на нигде не плотных компактах и, в частности, с условием (ПК). Через Vo\(E) будем обозначать меру Лебега ограниченного борелевского множества Е в R- . Для компактного множества Е через RE обозначим радиус минимального замкнутого шара в R , содержащего Е. В случае, если Е - компакт с кусочно-гладкой границей дЕ, под S(E) будем понимать поверхностную (N — 1)-мерную меру Лебега дЕ в RN. Пусть V = ВС(М.2) - пространство ограниченных непрерывных на R2 ком-плекснозначных функций с равномерной нормой -o,aL = - оператор Коши-Римана. Для компакта К в R2 положим R(K) = L\r{K). В работе Д. Хавинсона [26] была впервые введена в рассмотрение "аналитическая вместимость" (analytic content) Х(К) множества К, задаваемая по формуле \(K) = M{\\f(z)-z\\oMfeR(K)} В дальнейшем она изучалась в работах [27], [28]. Функция множества Х(К) характеризует возможность равномерной аппроксимации всех непрерывных на К функций рациональными дробями, т.е. (0.1) \{К) = 0 & R(K) = С{К). Кроме того, Х(К) удовлетворяет соотношениям (0.2) A(iO (Vopr)A01/2, (0.3) 2Vo\(K)/S{K) \(K), которые являются точными, т.е. в (0.2) равенство возможно, только если К является объединением диска и множества нулевой лебеговой меры [29], а (0.3) достигается, если К - диск или кольцо [28]. Непосредственным следствием оценок (0.2) и (0.3) является изопериметрическое неравенство 4irVo\{K) {S{K))2. Пусть теперь V = BC(RN), a L = А - оператор Лапласа, N 2. В работе [30] Д. Хавинсон рассмотрел аналог величины Х(К) для случая равномерной аппроксимации гармоническими функциями на компактах К в M.N:
