Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Продолжение функций и локальные приближения .
1.1. Основные определения стр.20
1.2. Описание метода продолжения стр.25
1.3. (к, р) - модуль непрерывности стр.41
1.4. Геометрические свойства множеств с условием Лихтенштейна стр.51
1.5. Локально-аппроксимационные свойства функций, заданных на множествах из класса AtC .стр.59
1.6. Анизотропные аналоги теорем продолжения.стр. 70
ГЛАВА II. Продолжение функций из пространств, определяемых локальными приближениями .
2.1. Пространства Морри и ВМО стр.84
2.2. Продолжение функций с оценкой убываниямодуля непрерывности стр.89
2.3. Пространства Никольского-Бесова . стр.110
2.4. Пространства Соболева стр.107
2.5. К - функционалы стр.113
Вспомогательные утверждения стр.117
Литература стр.132
Содержание стр.139
- Геометрические свойства множеств с условием Лихтенштейна
- Локально-аппроксимационные свойства функций, заданных на множествах из класса AtC
- Продолжение функций с оценкой убываниямодуля непрерывности
- Пространства Соболева
Введение к работе
В работе рассматриваются задачи, связанные с продолжением функций многих переменных с сохранением дифференциально-разностных свойств. Вопросы такого характера постоянно возникают как при изучении пространств дифференцируемых функций, заданных в областях достаточно общего вида, так и при описании следов функций из таких пространств на подмножествах JR •г к
Впервые подобный результат для пространства U был в 1934 г. получен в классической работе Х.Уитни [63] . В последовавших за ней работах М.Хестенса, С.М.Никольского, А.Кальдерона, Й.Стейна, О.В.Бесова, В.П.Ильина, В.И.Буренко-ва и ряда других авторов этот вопрос изучался для пространств функций обобщенной гладкости, заданных в областях с локаль-но-липшицевой границей, и для их анизотропных аналогов.
В настоящей работе предлагается подход к задаче продолжения, основанный на теории локально-полиномиальной аппроксимации (см. Ю.А.Брудный [12] ). Возникающая при этом ключевая проблема состоит в построении метода продолжения с сохранением локально-аппроксимационных свойств функций. Поскольку в терминах локальной аппроксимации описывается большое количество важных в анализе пространств (ВМО, пространство Морри, \д/р и Вне в изотропном и анизотропном случае и ряд других (см. ЕІ2Ц )), то решение упомянутой выше проблемы позволяет единым образом получить теоремы продолжения для этих пространств.
Достоинством предлагаемого подхода является также возможность доказательства теорем подобного типа в существенно более широких классах областей и в более широком диапазоне изменения параметров, определяющих пространства (так, теоремы продолжения для пространства В р& доказаны при О f ,0 °° » а це при! р,04оо , как в предшествующих работах).
Другой важной областью применения предложенного метода продолжения является описание пространств следов на широком классе замкнутых подмножеств [R (т.н. регулярных множеств). В случае равномерной метрики метод продолжения может быть развит таким образом, что становится возможным описание пространства следов функций из класса Шгмунда на произвольное компактное подмножество IR ; см. [42] - [44],
Перейдем к подробному обзору содержания диссертации.
В первой главе доказаны теоремы о продолжении функций с сохранением локально-аппроксимационных свойств. Для их формулировки используем следующие определения и обозначения.
Пусть функция с Ц(Р) ,0 СГ4СО , где F некоторое измеримое подмножество JR , и 5 6І (F) обозначает класс измеримых подмножеств JT .Локальным наилучшим приближением порядка К (см. [12] , с.71) назовем отображение EL. LG,(F) х х SctfF)" R + • опРеДеляемое формулой Ек 4 74 4 Р1и (А) Здесь и обозначает пространство многочленов IX перемен ных степени 4к Определим еще нормированное локальное приближение vb( V )п » полагая I 0 , 1А\ = 0 , где Al-m&sA
Условимся, что все рассматриваемые в дальнейшем К» - мерные кубы имеют ребра, параллельные координатным осям. Для заданного куба О. через зс(О-) будем обозначать его центр, а через H.(Q) - "радиус", то есть половину длины ребра; запись Q.= GK2C;L) означает, что х = с(0) и X = x(Q . Кроме того, для числа У О через vQ, обозначается куб Q. Х ) .
Определе ниє I (I.I.?)8 Измеримое множество F С R назовем регулярным, если существуют постоянные " Х,0 О такие, что для любого 0,= СК Л)с "эсб F и t4\ будет іалрі е IQI Числа 0 , 0 назовем параметрами регулярности и обозначим "У[р и 9п . Семейство регулярных множеств обозначаем через Если принадлежность ясна из контекста, то для куба & вместо Е, ( ;Q/\jj\ и {%у & \ будем писать Е ( (Г) и &к {{\&) • Теорема I (I.2.I). Если й и 0« °° , то существует оператор продолжения ли- Чг т ас} В скобках указан номер соответствующего утверждения в тексте диссертации. Номер A/.Lj означает утверждение (теорему, определение, предложение и т.д.) j параграфа ь главы А/ нейный при Я У/ 1 , такой, что (а), для любого куба QtrGlU c xt Р и "с Яр (б), если куб Q=CUa:;t) таков, что d cS (, X, FK "Чр и " Ve Пр то Здесь Q Lh куб наименьшего объема, содержащий Q и имеющий центр в с ; через Ч, обозначен радиус U, .
Постоянные , 4 J У г. зависят лишь от к , k , с/, (при 4. ), 4F и ЄЕ . В случае, если \ L W), где открытое подмножество JR , для получения теоремы продолжения с сохранением гладкости важно знать, как связаны "внешние" локально-аппроксимационные свойства функции 4 » описываемые семейством \ Е ( ; 0,(\ Ио \ se(Q) } и соответствующие "внутренние" свойства, описываемые семейством \ Ely, i, ,Q\ J & С j ) . как устанавливается ниже, класс множеств, на которых такая связь существует в виде неулучшаемои интегральной оценки, описывает Определенней (1.4-.1)- Открытое множество )с0\ удовлетворяет условию Лихтенштейна, если существуют постоянные 8,= (JB), - )() такие, что: I). для любого куба Q. с центром в У и Н.(Д) выполнено неравенство к В дальнейшем все положительные постоянные, зависящие лишь от несущественных параметров, будем обозначать у , ± , г , ... и т.д. Atom (Q Л 3)» 6 i(Q) 2). для любых X , 6 д с ІЗС- І4 S в У существует непрерывная кривая I , соединяющая 9С и и такая, что для любой точки z Г будет l -Zl + lZ-yl l -yl ccs ( ;Жа\У) % mill (I3C-H1 , І г П Здесь и ниже 1х= тазе ІзсгІ , где х=(эс ,...,оеЛ) . Совокупность всех таких подмножеств Е\ обозначим Ачх . По поводу близкого определения см. работу П.Джонса [ 54] , где имеется ссылка на более раннюю работу Л.Лихтенштейна [ 57] . Отметим также вложения, установленные в диссертации Рту Аъс :? Con где Con обозначает класс подмножеств JR , удовлетворяющих сильному условию конуса (см.определение в [81 , с.117), Теорема 2 (1.5.7).
Если \ € La () $ % где (X J- oo и ч/ЄА сС , то существует такая постоянная 1= ) і что для любого куба GL = Q(ac/0 с эе и 4 имеет место неравенство Здесь 7" пробегает укладки , состоящие из кубов, лежащих в С помощью теорем I и 2 далее получена теорема о ПрОДОЛ л/ Укладкой называется семейство попарно непересекающихся множеств. жении функций с оценкой порядка убывания одной глобальной характеристики, построенной с помощью р -усреднения локальных приближений (т.н. (k,p ) - модуля непрерывности). Определение 3 (1.3.2; [ 12] , с.79). ( к , \ ) tat модулем непрерывности называется функцияЦ.; _ (JT) jR - -(R » XT определяемая формулой К Р L $AF) ЗГ Q esT где верхняя грань взята по всевозможным укладкам 5Г , состоящим из конгруэнтных кубов Q. , центры которых лежат в F и радиусы t(QK"t При j = ос выражение в правой части (I) заменяется на sup §l(f , Q) » гДе Q- пробегает все кубы с центрами в f и радиусами t(Q)4"t Теорема 3 (1.3.3). Если JT регулярно и(кр4°°» 0 °°, то существует оператор продолжения :L (F) _«(Rk)» линейный при 1 р, 4 СУСІ и такой, что здесь S = тіиЛр,с$.) и 5 некоторая фиксированная постоянная. При р= с?о первое слагаемое справа в (2) заменяется на sup StAhtf u} /иЦ. Наконец, если JT ограничено, то второе слагаемое справа в (2) можно опустить. В том случае, если Е е Ate , неравенство (2) можно усилить. Теорема 4 (1,5.1). Если - €/Кс ,1 р .оо , 1 . °° , то существует линейный оператор продолжения T:L ( " ЦСК ) такой, что Если - ограниченная область, то второе слагаемое справа можно опустить. Замечание I. Пример 1,3.9, в котором указано регулярное множество F & [0,1] и функция f fe L CF) , для которой при любом продолжении неравенство (3) не имеет места, показывает, что результат теоремы 3, вообще говоря неулучшаем. Изложенные выше результаты получены в параграфах 1-5 главы І.
В §1.6 рассмотрены анизотропные аналоги этих утверждений. Для их формулировки зададимся вектором -= (-С ,..-,{ ) с положительными компонентами и введем на IR метрику J) по формуле где Ті - і /(пааое tk) f 1=1,2,..11 .Семей ство шаров в этой метрике обозначим Зі (w ; каждый такой "шар" представляет собой параллелепипед с ребрами, параллельными координатным осям. Заменим теперь в определении I семейство кубов на семейство 3() ; полученные таким образом множестве назовем X -регулярными. Совокупность і -регулярных множеств обозначим 5шг(] . Далее, в определении 2 заменим равномерную метрику на метрику J5 I и полученный в результате такой замены класс множеств обозначим kxt{ ) . Аналогично изотропному случаю справедливы вложения 5\щ{1)$ А%с(Ъ $ Соа(С) где через обозначен класс множеств, удовлетворяю щих сильному условию х -рога (см. определение в [81 , с. 117). Наконец, пространство «/ заменим на пространство многочленов Л. , имеющих степень не выше oil по переменной зсг , 1=і,...а ; здесь ct=Wi,.--,oU.) вектор с целочисленными неотрицательными компонентами. Как показано в §1.6, имеют место анизотропные аналоги результатов теорем 1-4, получающиеся из соответствующих утверждений после "анизотропных" замен в формулировках (семейства кубов наЗЩ) , равномерной метрики на J3 , класса и т.д.). Перейдем к описанию второй главы диссертации, содержание которой составляют приложения изложенных выше результатов. В §1 главы п получено описание следов функций из пространства ВМО на регулярное множество. Определение 4 (2.1.1). Пространство ВМО (F) состоит из функций 4 Li (F) , для которых конечна полунорма где J-r, = S іluufct и Sup взят по всем паралле лепипедам П є ЭС С t) имеющим центр в F . В случае F= &к и ii cons-i , t = i,... к, (т.е,3{({) совпадает с семейством кубов) приведенное определение дает классическое пространство ВМО, введенное Йоном-Ниренбергом в С 513 . Предложение I (2.1.2). Если F€ §faty(l) и ограничено, то имеет место изоморфизм BM0(O(F) =ВМ0(О(Г) F (І) При этом существует линейный оператор продолжения I: DrIU (F) - BM(f (Г) . В параграфе 2.2 (т.е. параграфе 2 главы П) получены теоремы о продолжении функций с оценкой порядка убывания модуля непрерывности продолженной функции через соответствующий модуль непрерывности исходной. Определим, как обычно, к -й модуль непрерывности Функции 4 в Ьь( У) , полагая где к = {acfcjy :["х,х+Ак] с:-у } Теорема 5 (2.2.3). Если - Є Ачх и :Щ 4°° , то существует линейный оператор продолжения I: 1_.р(Л)) — " Lh(IR ) такой, что при О t 4 о it здесь f =р при р °о и р =1 при э= °° . Если "л/ ограниченная область, то второе слагаемое справа отсутствует. Заметим, что для ограниченной области У , удовлетворяющей сильному условию конуса, О.В.Бесовым в [3] при1 р °° и другим методом Ю.А.Брудньш в [15] при 14 f) 4 °° доказано более сильное неравенство
Пример 2.2.9 работы показывает, что для более широкого класса Ate подобное неравенство не имеет места. В §2.3 установлены теоремы о продолжении и теоремы об описании следов функций из пространства Никольского-Бесова, пусть В,() , 0 t co и в&ИЯ ,€=(,.. ЛХ 0 Сі со , O hjG 00 обозначает соответственно изотропное и анизотропное пространства Никольского-Бесова, заданные на открытом множестве из R (см., например, [351 , с.160)« Теорема б (2.3.2). Если ЄАчс , то существует оператор продолжения Т: Ь рв W) " " Bpe(Rп) . При э 1 оператор Т линеен. Аналогичное утверждение установлено и для анизотропного пространства B QW) В ТОМ случае, когда У Ахе(г) (теорема 2.3.7). Отметим, что ранее эти результаты были известны для изотропного и анизотропного пространств Никольского-Бесова в ситуации 44 4°° и множества "У , удовлетворяющего соответственно сильному условию конуса или Z -рога (см. f8J , с.297; подробный обзор результатов приведен в замечании 2.3.16). Кроме того для односвязной плоской области - из класса ktt и пространства Ь3\СУ) утверждение теоремы 6 вытекает из результата работы В.М.Гольдштейна [26] . Таким образом, теорема 6 и теорема 2.3.7 обобщает эти результаты на случай, когда параметры, определяющие пространства, пробегают все допустимые значения и "У принадлежит более широкому классу множеств Axe (t) Следующий результат работы относится к описанию пространства следов функций из Вне на регулярные подмножества IR • Для формулировки соответствующей теоремы приведем Определение 5 (2.3.10). Пространство АреСМ» 0 р »04 °° » 0 rt k» где JT измеримое подмножество R , состоит из функций f 6 Lp(F) , для которых конечна (квази) норма Lf»(P) Если 0=°° , то первое слагаемое справа заменяем на Пространство A fF) является частным случаем аппрок симационно-липшицевых пространств, введенных Ю.А.Брудным в [15] . Теорема 7 (2.3.12). Если Fc (R и регулярно, 0 t k » 0 Ь»б4°° »то имеет место изоморфизм в;ж) =АкД(Г) F При этом в случае р . 1 существует линейный оператор продольная Т: Аре (F) — BjefKa) • Ранее результат теоремы 7 при X нецелом к 1 р х , liQ oo или )=0== оо установлен Ю.А.Брудным в работах W) и[15] . Отметим еще, что утверждение, подобное теореме 7, полу-чено также для анизотропного пространства D ье (теорема 2.3.15). В §2.4 рассмотрена задача о продолжении функций из про странства Соболева с сохранением класса.
Пусть Iя (ІІ.,.--»! ) вектор с натуральными компонентами, 14 f 4°° и /CfR открыто; через Wp(t)) обозначим анизотропное пространство Соболева, состоящее из функций Lb( )» У которых обобщенные соболевские производные І Ъ L 4 . i = iizi... а ] лежат в Lp( )) . Нормируем Wp (-) , полагая п. iL Теорема 8 (2.4.2). Если д А гС(С) , то при f 4°° существует линейный оператор продолжения Вопрос о продолжении функций из соболевских пространств с сохранением класса изучался многоми авторами (подробный обзор см. в замечании 2.4.9). Отметим здесь, что для множества о , удовлетворяющего сильному условию t -рога, результат теоремы 8 при ± р оо и произвольном t установлен в работах 0.В.Бесова [5] и В.П.Ильина [31] (см. также [7] ). Случай {і={г=...= -и.» І4 jo4°° и удовлетворяет сильному условию конуса получен в работе В.И.Буренкова [20] ; наконец, для класса множеств, близкого к ConLl) , результат о продолжении установлен В.Й.Буренковым и Б.Л.Фай-ном в [22] .
Так как классАхС{1) существенно шире класса множеств, удовлетворяющих сильному условию г -рога,то теорема 8 усиливает теоремы указанных работ. Замечание 2. Результат теоремы 8 получен независимо и другим методом Б.Л.Файном, работа которого находит ся в печати (личное сообщение). В следующем § 2,5 работы изучена взаимосвязь между (к , р ) - модулем непрерывности функции и ее К -Функ-ционалом по паре ( L„ t LJ )• Пусть L№), 14 Р(°° обозначает "однородное" пространство Соболева, определяемое с помощью полунормы и «ьы , = и з 4 и Ьр(-У) где сумма взята по всем векторам Jb- і(Ь±»- і@п.) с натуральными компонентами таким, что X JSis к • Построим К - функционал Питре функции € L$) по паре)[ЙЯ_ )» Предложение 2 (2.5.1). Если ограниченная область , то Для ограниченных областей, удовлетворяющих сильному условию конуса (такие множества содержатся в А с ), утверждение предложения 2 можно усилить. Именно, результаты работ Ю.А.Брудного [131 и Х.Йонена и К.Шерера [52] (эта работа выполнена независимо, но несколько позже [13] ) показывают, что в этом случае К Uk;f,XWtt » 5\(4Л\ w)t0 t4diunt (5) Запись j,± te, %г означает, что для некоторых постоянных Jfi , Jfi О будет 4 4 /срг 4 У г • Возникает вопрос: не имеет ли место и для класса Ач,С соотношение (5), а не более слабая эквивалентность (4-)? Ответ на этот вопрос отрицательный: пример ограниченной области "У A tC и функции .й. ЬрСУ) » построенный в 2.2.9, показывает, что соотношение (5), вообще говоря, не справедливо. Несколько слов об организации материала диссертации. Она состоит из двух глав. Все утверждения нумеруются, как уже отмечалось, с помощью трех чисел. Так теорема (предложение, определение и т.д.) Л/.о.J есть теорема j из параграфа О главы Д/ . В то же время ссылка вида "см. ( 0L - х . С )" ( в скобках!) указывает на формулу ( С ) из параграфа Х.Ь . Та же ссылка внутри §a. выглядит так "см. ( О )". Для удобства доказательства некоторые вспомогательные результаты вынесены в конец диссертации. В начале диссертации приводится список основных обозначений. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в статьях С391 - [45] . Пользуясь случаем, выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Ю.А.Брудному за постановку задач и постоянную помощь в работе. СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ UN - Ц, мерное "арифметическое" пространство. ]{ - семейство кубов (R , имеющих ребра, параллельные координатным осям. - куб из Л , имеющий центр в х и длину ребра Ж\\А) - центр куба Q. . - радиус куба Q. , т.е. половина длины ребра. х= .maajxil f где Хя (эс Жл) #0 = Q (х, г) , где Q = Q(a,x) «#" - укладка, т.е. семейство попарно непересекающихся множеств. С,:г Я) - С определяется с помощью Й) . и L - пространство многочленов ft переменных степени к ; см. і.і.з. х0 х . хч .xt- .( .... 0, -( ,,...xj А , где А 1R и измеримо - 1ч, - мерная мера Ле n n / бе га множества А . А И; AIL- (iiflVce) N тИсм - гпаэе і (эе) зеед E-k T AW " локальное наилучшее приближение порядка к функции у на множестве А ; см. I.I.5. і/ d ( ;AL= ІА Еі( ;А) - нормированное локальное приближение; см. 1,1,5. Ek(f,a), &k f,o.) , ад it L (P) и x(Q)tF сокращенная запись Е (t,Q.f\Ma, и e/W - семейство регулярных подмножеств ц\ ; см. 1,1.6. У, у , 0(i) - положительные постоянные, зависящие только от несущественных параметров. С Ю - выполнены неравенства t 4 C/g) 4 Уг • W(JT) семейство кубов Уитни для множества RKt\F » см. 1,2,4. «/І у » Ьтг семейства кубов первого и второго рода; см. "" 1.2.9. k,b » V (Р) И " М0ДУЛЬ непрерывности функций 4 в Lcy.(F) ; см. 1.3.2. А е - класс множеств, удовлетворяющих условию Лихтенштейна; см. 1.4,1. LOU - открытые подмножества [R » удовлетворяющие сильному условию конуса; см. 1.4.2. - семейство кубов Уитни ; см. 1.4.5. Woa- ( ) - семейство кубов Уитни W(tf? \ ) ; см. 1.4.5. 3 - граница множества У . Си ( О.І., Q2) цепь кУбов Уитни, соединяющая куб Q , с кубом Цг ; см. 1.4.9. tPt ty) анизотропная метрика в R ; см. I.6.I. }({.) - семейство шаров (параллелепипедов) в метрике Jb . П(эс, ) { КЛ: J ( , ) $\} осСП) - центр параллелепипеда П . t(П) " PaWc параллелепипеда П • i где ° - Cell,... сІ Є fl_+ - пространство многочленов, имеющих степень 4°U по переменной & і • Eocir, М QL - локальное приближение порядка ol функции \ на множестве А ; здесь of.-(о ,...ок) ; см. 1.6.5. 6ol(f;A)» =1А Ё (;А)«, нормированное локальное приближение порядка Л ; см. 1.6.5. - класс 1 - регулярных подмножеств ц\ ; см.1.6./. - класс открытых подмножеств fl?,v, удовлетворяющих анизотропному условию Лихтенштейна; см. 1.6.19. Сои.(С) - класс множеств» удовлетворяющих сильному условию і - рога. ВМО (F) анизотропный аналог пространства Йона-Нирен берга; см. 2.1.1 . М о (F) - анизотропный аналог пространства Морри; см. k=( k"I) - к" я разность шага и» ; здесь () модуль непрерывности порядка К, функции і в Ц( ) ; см. 2.2.1. D. 0ы)- изотропное пространство Никольского-Бесова; см. I 2#ЗЛ# "ьв » я м -ль.) - анизотропное пространство Никольского-Бесова; см. 2.3.6. - анизотропное пространство Соболева; см. 2.4.1. L.w) - изотропное "однородное" пространство Соболева; см. 2.4.4. К И:; {ДО)- К - функционал Питре пары пространств
Геометрические свойства множеств с условием Лихтенштейна
Изложенные выше результаты получены в параграфах 1-5 главы І. В 1.6 рассмотрены анизотропные аналоги этих утверждений. Для их формулировки зададимся вектором -= (-С ,..-,{ ) с положительными компонентами и введем на IR метрику J) по формулеСемей ство шаров в этой метрике обозначим Зі (w ; каждый такой "шар" представляет собой параллелепипед с ребрами, параллельными координатным осям.
Заменим теперь в определении I семейство кубов на семейство 3() ; полученные таким образом множестве назовем X -регулярными. Совокупность і -регулярных множеств обозначим 5шг(] . Далее, в определении 2 заменим равномерную метрику на метрику J5 I и полученный в результате такой замены класс множеств обозначим kxt{ ) . Аналогично изотропному случаю справедливы вложения где через обозначен класс множеств, удовлетворяю щих сильному условию х -рога (см. определение в [81 , с. 117). Наконец, пространство «/ заменим на пространство многочленов Л. , имеющих степень не выше oil по переменной зсг , 1=і,...а ; здесь ct=Wi,.--,oU.) вектор с целочисленными неотрицательными компонентами. Как показано в 1.6, имеют место анизотропные аналоги результатов теорем 1-4, получающиеся из соответствующих утверждений после "анизотропных" замен в формулировках (семейства кубов наЗЩ) , равномерной метрики на J3 , класса и т.д.). Перейдем к описанию второй главы диссертации, содержание которой составляют приложения изложенных выше результатов. В 1 главы п получено описание следов функций из пространства ВМО на регулярное множество. Определение 4 (2.1.1). Пространство ВМО (F) состоит из функций 4 Li (F) , для которых конечна полунорма где J-r, = S іluufct и Sup взят по всем паралле лепипедам П є ЭС С t) имеющим центр в F . В случае F= &к и ii cons-i , t = i,... к, (т.е,3{({) совпадает с семейством кубов) приведенное определение дает - 10 классическое пространство ВМО, введенное Йоном-Ниренбергом в С 513 . Предложение I (2.1.2). Если F faty(l) и ограничено, то имеет место изоморфизм В параграфе 2.2 (т.е. параграфе 2 главы П) получены теоремы о продолжении функций с оценкой порядка убывания модуля непрерывности продолженной функции через соответствующий модуль непрерывности исходной. Определим, как обычно, к -й модуль непрерывности Функции 4 в Ьь( У) , полагая Теорема 5 (2.2.3). Если - Є Ачх и :Щ 4 , то существует линейный оператор продолжения I: 1_.р(Л)) — " Lh(IR ) такой, что при О t 4 о it здесь f =р при р о и р =1 при э= . Если "л/ ограниченная область, то второе слагаемое справа отсутствует. Заметим, что для ограниченной области У , удовлетворяющей сильному условию конуса, О.В.Бесовым в [3] при1 р - II и другим методом Ю.А.Брудньш в [15] при 14 f) 4 доказано более сильное неравенство Пример 2.2.9 работы показывает, что для более широкого класса Ate подобное неравенство не имеет места. В 2.3 установлены теоремы о продолжении и теоремы об описании следов функций из пространства Никольского-Бесова, пусть В,() , 0 t co и в&ИЯ ,=(,.. ЛХ 0 Сі со , O hjG 00 обозначает соответственно изотропное и анизотропное пространства Никольского-Бесова, заданные на открытом множестве из R (см., например, [351 , с.160)« Теорема б (2.3.2). Если ЄАчс , то существует оператор продолжения Т: Ь рв W) " " Bpe(Rп) . При э 1 оператор Т линеен.
Аналогичное утверждение установлено и для анизотропного пространства B QW) В ТОМ случае, когда У Ахе(г) (теорема 2.3.7). Отметим, что ранее эти результаты были известны для изотропного и анизотропного пространств Никольского-Бесова в ситуации 44 4 и множества "У , удовлетворяющего соответственно сильному условию конуса или Z -рога (см. f8J , с.297; подробный обзор результатов приведен в замечании 2.3.16). Кроме того для односвязной плоской области - из класса ktt и пространства Ь3\СУ) утверждение теоремы 6 вытекает из результата работы В.М.Гольдштейна [26] . Таким образом, теорема 6 и теорема 2.3.7 обобщает эти результаты на случай, когда параметры, определяющие пространства, пробегают все допустимые значения и "У принадлежит более широкому классу множеств Axe (t)
Локально-аппроксимационные свойства функций, заданных на множествах из класса AtC
Одна из целей этой главы состоит в построении оператора продолжения Т: lf(F) — L (Ra), где Ftfkf .который обеспечивает наилучшую по порядку оценку локальных приближений функции T j- через соответствующие локальные приближения функции .
Первый шаг к построению такого оператора осуществлен Ю.А.Брудным, предложившим такой способ продолжения. Пусть покрытие Уитни дополнения IR \ F1 и { І\ соответствующее разбиение единицы (см., например, [37] , с. 199-202). Пусть Q куб с центром в Р содержащий 0-1 и имеющий наименьший объем среди всех таких кубов. Тогда полагаем для проектор из І.І.ІЗ; таким образом в этом случае оператор Т линеен. Такой метод продолжения может быть успешно применен для продолжения с сохранением класса функцийЛР) из пространства, определяемого конечностью полунормы здесь О 4к/Ъ (см. С12] и [47] ) Однако, при Х=0 (функции из пространства ВМО) этот метод уже не работает. Это связано с тем, что кратность семейства Q.t L П F ) равна, вообще говоря, бесконечности.
В диссертации предложена модификация рассматриваемого метода, при которой семейство {Оі,тЛ Р j заменяется некоторым другим семейством Н і] , для которого выполнены условия: (a). Hi С Qt OF? (б). Не квазикубы, то есть Н:1 10.; I равномерно по і ; (в) кратность yU ({Hi j) При таком способе продолжения удается получить точные оценки локального приближения продолженной функции. Именно, верна Теорема. Если Ь%и% и (Kcj.400 , то существует оператор продолжения линейный при 9( -4- такой, что - 27 (а), если Q. Xf , то (б), если кj6 Q=Q(3C/t) таков,чю cds-hDcPHiV и . иаіи. здесь Q куб наименьшего объема, содержащий & и имеющий центр в F ; через t nW обозначен радиус О- -"" . Замечание. Так как для любого продолже ния 4 Функции 4 имеем, очевидно, Ek(f;Q/0P)4 Ek((;Q) , то (2) неулучшаемо по порядку. Можно показать, что правая /у . часть (3) не превосходит«ft sap ({)0.) , где верхняя Q. гчтСи. грань взята по всем кубам Q , лежащим в Jr w , у которых х(й )= . в этом смысле (3) также неулучшаемо. Доказательство (часть I). Сразу же отметим, что можно без потери общности считать Г замкну тым; в противном случае переходим к F и используем I.I.8 (в). Итак, F замкнуто и IR \F открыто; рассмотрим пок рытие Уитни множества \F с помощью кубов изХ (см.на пример, [37] , с.199). Обозначим это покрытие через W(F) и пусть V V : Q WCP)} соответствующее ему бесконечно-диф ференцируемое разбиение единицы. Напомним основные свой ства кубов изW(F) и функций То. (см., [37] , с.199-202, а также 1.6.II, где приведены более общие утверждения).
Продолжение функций с оценкой убываниямодуля непрерывности
Кроме того, в силу изоморфизма В h Ш ") = Вр , (ЦТ) (см. [8] , с.313 при Ь 0 4. и [32] при остальных р , 0 ) получаем 2.3.9. Следствие. Если A te , то Перейдем к изучению следов функций из пространства Dpe на множества, обладающие свойством регулярности. Пространство Аь0(Р) , О to ,0 4 » (ХЧХ к. , где F измеримое подмножество [j , состоит из функций tL CF) , для которых конечна (квази) норма Если Q - oo T0 первое слагаемое справа заменяем на Пространство ApQ(F) является частным случаем аппроксимационно-липшицевых пространств, введенных в работе [15] Теорема. Если FC {R и регулярно, СКХ k. , O 0fb o tio имеет место изоморфизм При этом в случае f 1 существует линейный оператор продолжения Т: A (F) " Вв С ВТ) . Доказательство: Воспользуемся изоморфизмом полученным при э ± в [121 , с. 88; при (ХХ± (Ю) следует из 2.2.2 и определения 2.3.1. Далее,пусть f= 1(F) параметр из теоремы 1.3.3; как следует из доказательства этой теоремы линейно зависит от параметра регулярности \р .Выберем F так, чтобы I стало равным I. В силу того, что WIC I JOL. tRK) УДовлетвРяет А г " условию (см. [12] , с. 82), неравенство теоремы 1.3.3 будет выполнено при всех (0,i] Согласно этой теореме найдется оператор продолжения і , линейный при р і и такой, что Отсюда из определения 2.3.10, предложения 2.3.3 и (10) имеем вложение Обратное вложение следует из (10) и очевидного неравенства где - произвольное продолжение 4 на ТеоРеыа доказана. . В случае, если нецелое, -i f) ,0 оо или [э-0-оо результат теоремы 2.3.12 получен Ю.А.Брудным (см., в частности, [47] ). Определение. Анизотропное прост- ранство АкеСР) 0 р »0 4 » состоит из тех функций е1_ь(Н » Для которых конечна (квази) норма где при 0 = оо первое слагаемое справа заменяем на Sup cat,f»Cf,u)L си / wl Напомним, что здесь К := Игах \i . Аналогом 2.3. 12 является Если f #ЦріО и о с , c=d,.,. И. , то имеет место изоморфизм При Ь - 4 существует линейный оператор продолжения Доказательство этой теоремы с соответствующими "анизотропными" изменениями повторяет доказательство 2.3.12. Действительно, если F= К " , то изоморфизм (II) (являющийся здесь аналогом (10)) получаем из 2.2.II. Далее доказательство ведем как и в 2.3.12; именно, используем теорему о продолжении 1.6.17 и предложение 2.3.3.
Для множеств из класса результат теоремы 2.3.2 получен С.М.Никольским в [34] для 0=оо Д f oo f ч. -нецелое и 0.В.Бесовым в [31 , Ї.4-] (1 э оо)и [5] (любые Ъ и 1 \ ,9 оо ). В анизотропном случае результат 2.3.7 для множеств из Сои (0 Ate (С) получен 0.В.Бесовым в [5] при Ц f 4 (см. так же работу О.В.Бес ова и В.П.Ильина [7] и монографию [8] , с.297).
Для случая квазикруга - R (см. определение в [23]) вопрос о следе bbeClR L изучен при 0 "t± и э-0 1 В.М.Гольдштейном в Г25] , построившим соответствующий линейный оператор продолжения. Однако характеристика пространства следов дана в несколько ином виде, чем в (6).
Пространства Соболева
Лемма, таким образом, будет полностью доказана, если будет указана цепь (Х(ПІ7ГІ2.)С длины иа ЧС ) . Чтобы это сделать отметим прежде всего, что действительно, в силу (2) будет L/П С %zM \\г и IПІ) іПя.I . Кроме того (см, 1.6.II), J представимо в виде объединения $%( Л) укладок; в каждой укладке число параллелепипедов не превышает а значит caJtct Ґ № }[э
Пусть теперь J± : { fUj и, если $i уже определено, то, через ЇУІ+J обозначим множество параллелепипедов из U/ W Jj , каждый из которых пересекает один из параллелепипедов Jі . Пусть к равно наибольшему из номеров , для которых &i Ф $ . Ясно, что Uifj Э Г7і ; в про-тивном случае непрерывная кривая Г » лежащая в U П (см. (I)) будет покрыта двумя замкнутыми непересекающимися множествами U П , U П k , что невозможно.
Итак, для некоторого с будет е с Эи , что соглас-но определению о/с означает существование параллелепипеда В , из e t-i » пересекающего ПІ . Аналогично найдется параллелепипед В-», t-а. » пересекающий 6 г ; этот процесс продолжается і шагов и В«1 Лг Тем самым требуемая цепь Си. (Пх Пі)- { Bj., Ба.,... В,- } построена. Лемма 1.6.24 доказана. Г.2. Доказательство леммы 1.6.25. Случай Г] ЛП ±0 тривиален (полагаем 0 (ГГ}Л") = = {П , П"і ). Пусть теперь П Л П" = Ф » так что По условию J3.(3C(rh, эс(П"))4 У) , так что согласно 1.6.19 найдется кривая Г С лЗ , соединяющая (П ) с х(П ) и удовлетворяющая соотношениям (1.6.5) и (1.6.6). Пусть "Н Г\(ПиП ) 5 покажем, что если ГІ из Win содержит Ъ , то Это неравенство вместе с (II) показывает, что jC ("Z, (Rvt))s « jOe (2 , ое(П )) . Так как еще в силу (7) Д, ( , Кн\-У)% (П) і ю (9) установлено. Пусть теперь к выбрано из условия В силу непрерывности функции 4- \Ре х и непрерывности кривой Г существуют точки її Г , для которых Из (13) еще следует, что t( ПО ч( Пс-и) . Это соотношение, а также неравенства (14) и (16), показывают, что для параллелепипедов V\t и ПС+І выполнены условия леммы 1.6.24. В силу этой леммы найдется цепь СиП:„,Лс) = что где параллелепипеды объединения упорядочены естественным образом; проверим (1.6.II). Пусть В , В параллелепи педы из СЛ.(П,П ) и номер В в цепи не превышает номе ра В . Тогда для некторых t , ] , j і $ бу дет В есиМзм) и В"е СМЛс.ПиО Если i. 3 , то согласно (17) В c Jffc Ь и (1.6.II) установлено. Поэтому рассмотрим случай j . t ; здесь в силу (15) и (17) получаем Лемма 1.6.25 доказана. Г.З. Доказательство леммы 1.6.26. Нужно показать, что свойство 2) из 1.6.19 сохраняется при (х, ) dtam-x У Итакі пусть 3 ; нетривиален лишь случай J3.e Сое, ) 5(-) (18) Существует семейство J:z J J » состоящее из конгруэнтных параллелепипедов из с центрами в J и радиусом t(fl) : ( )/Z , которое покрывает v и состоит из не более, чем $- ( ) элементов. Пользуясь связнгстью о , соединем зе и непрерывной кривой Р С - . Рассуждая так же, как в конце доказательства леммы 1.6.24, из семейства J ( Г ):= J П6 ПЛ Г 0 } выделим семейство параллелепипедов {&!,..., Вт , лежащее в Д Г ) , fc Э у . Так как В с ЛВ -и Ф , то jat і =et&t) , C&t+i)) «Д&г) +bt(B i) %(Ч) ; поэтому в силу 1.6.19 найдется кривая V с $ , соединяющая oe(Bi) и oeCBt+O , для которой выполнены неравенства (1.6.5) и (1.6.6). Аналогично найдется такая же кривая Г0 для точек х и ІВІ) и кривая Г для точек ос(Ви ) и . Далее, полагаем Покажем, что кривая і искомая. Выполнение (1.6.5) для нее очевидно в силу ограниченности "У и условия (18). Про ве рим выполнение (1.6.6). Для этого через Е обозначим параллелепипед из 3(f) с центром хСВс) и радиусом М-і/г «PtC CnO e ) .
