Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Две задачи бесконечномерного линейного программирования 38
1.1. Первая задача линейного программирования 38
1.1.1. Лемма В.ВАрестова 46
1.1.2. Непрерывная зависимость значения первой задачи линейного программирования от параметра 49
1.2. Вторая задача линейного программирования. Взаимосвязь с первой задачей 51
Глава 2. Точные константы в прямых теоремах теории приближения в Х2-пространствах функций одного переменного 60
2.1. Константа Джексона-Стечкина пространства на отрезке с весом Якоби 60
2.1.1. Некоторые свойства полиномов Якоби 60
2.1.2. Постановка задачи 63
2.1.3. Формулировка результата 68
2.1.4. Редукция к первой задаче линейного программирования. Непрерывная зависимость от аргумента модуля непрерывности константы 72
2.1.5. Двойственная задача 75
2.1.6. Интегральные представления обобщенного сдвига 77
2.1.7. Некоторые свойства ультрасферического сдвига (случай a = j -1/2 ) 79
2.1.8. Некоторые свойства обобщенного сдвига в случае 81
2.1.9. Двусторонние оценки точки Черных 83
2.1.10. Доказательство утверждения (А) теоремы 2.1.3 . 87
2.1.11. Оценка снизу константы Джексона-Стечкина пространства . 88
2.1.12. Неравенство Джексона-Стечкина в L2a х ,2 Доказательство теорем 89
2.2. Константа Джексона-Стечкина пространства на полупрямой с весом Лагерра 91
2.2.1. Введение 92
2.2.2. Оценка снизу 99
2.2.3. Вспомогательные утверждения 101
2.2.4. Доказательство теоремы 2.2.1 106
2.3. Константа Джексона-Стечкина пространства L2 на полупрямой со степенным весом 107
2.3.1. Неравенство Джексона-Стечкина в* L7(M.+,x2v+l), -1/2 107
2.3.2. Основной результат 111
2.3.3. Двусторонние оценки точки Черных 113
2.3.4. Доказательство теоремы 2.3.1 117
Глава 3. Точные константы в прямых теоремах теории приближения в пространствах L2 функций нескольких переменных 119
3.1. Константы Джексона-Стечкина пространств на многомерной сфере и проективных пространствах 119
3.1.1. Точное неравенство Джексона-Стечкина в L2 на сфере т~\ т > 3 119
3.1.2. Точные неравенства Джексона-Стечкина в L на проективных пространствах 124
3.2. Константа Джексона-Стечкина пространства Ь2(Жт), т>2 128
3.2.1. Постановка задачи. История вопроса 128
3.2.2. Редукция к одномерной задаче 134
3.2.3. Комментарии 138
Глава 4. Прямые теоремы теории приближения в L2 на периоде с модулями непрерывности, порожденными разностными операторами с переменными коэффициентами 140
4.1. Неравенство Джексона-Стечкина с модулем непрерывности, порожденным разностным оператором с переменными коэффициентами 140
4.1.1. Введение 140
4.1.2. Вспомогательные результаты 142
4.1.3. Конечно-разностный оператор 143
4.1.4. Связь с дифференциальными операторами 147
4.1.5. Три примера 150
4.1.6. Формулировки задач 153
4.1.7. Оценка снизу константы Джексона-Стечкина . 157
4.2. Минимальная константа Джексона-Стечкина пространства L2 160
4.2.1. Постановка задачи 160
4.2.2. Основной результат 162
4.2.3. Вспомогательные утверждения 164
4.2.4. Доказательство теоремы 4.2.1 164
4.2.5. Комментарии 167
4.2.6. Локализация оптимальных точек минимальной константы Джексона пространства < р < 2, и минимальной константы Джексона-Стечкина пространства 171
Глава 5. Родственные экстремальные задачи для положительно определенных функций 176
5.1. Возможности классической схемы Дельсарта в задаче о контактном числе тт пространства Rm 176
5.1.1. Задача Дельсарта, связанная с тт 176
5.1.2. Основные результаты 181
5.1.3. Теорема двойственности для задачи Дельсарта общего вида 182
5.1.4- Теорема двойственности для задачи Дельсарта, связанной с тт 196
5.1.5. Решение задачи Дельсарта, связанной с т\ 198
5.2. Возможности классической схемы Дельсарта в задаче о максимизации минимального углового расстояния сферического кода с заданным числом элементов 222
5.2.1. Введение 223
5.2.2. Основные результаты 227
5.2.3. Вычисление значения S4(25) 228
5.2.4. Вычисление значения $4(24) 252
Список литературы 255
- Непрерывная зависимость значения первой задачи линейного программирования от параметра
- Редукция к первой задаче линейного программирования. Непрерывная зависимость от аргумента модуля непрерывности константы
- Точные неравенства Джексона-Стечкина в L на проективных пространствах
- Теорема двойственности для задачи Дельсарта общего вида
Введение к работе
Общая характеристика работы
В диссертационной работе изучаются два взаимосвязанных круга экстремальных задач: вычисление и исследование точных констант в прямых теоремах теории приближения функций в пространстве L2 и задача Дель-сарта для положительно определенных функций, связанная со сферическими кодами.
Актуальность темы
Важной экстремальной задачей теории приближений является задача о точных константах в неравенствах Джексона Стечки на в пространствах функций, заданных на множествах, обладающих алгебраической структурой, определенным образом согласованной с метрикой на этих множествах (см. [77,80]). Неравенством Джексона-Стечкина принято называть неравенство, в котором величина наилучшего приближения функции конечномерным подпространством в той или иной метрике оценивается сверху через ее модуль непрерывности положительного порядка; в случае первого модуля непрерывности, такое неравенство называется неравенством Джексона. Впервые указанное неравенство для наилучших приближений непрерывных периодических функций пространством тригонометрических полиномов в равномерной метрике изучал Д.Джексон [221].
Несмотря на то, что величина наилучшего приближения функции в пространстве L2 конечномерным подпространством и ближайший элемент подпространства находятся достаточно просто, задача оценки указанной величины через модуль непрерывности функции с наименьшей возможной (независящей от функции) константой оказалась нетривиальной.
Задачи о точных константах в неравенствах Джексона-Стечкина для наилучших приближений функций полиномами в L -пространствах сводятся к экстремальным задачам для непрерывных функций с ограничениями на их значения и коэффициенты Фурье. Такого рода задачи возникают и в других областях математики, например, при исследовании границ упаковок некоторых метрических пространств по схеме Дельсарта (см. [73,84,105,245], [92, гл.9,13, 14], [79]), оценок снизу мощности дизайнов (см. [186]), а также в теории чисел (см. [5,147]).
Первый точный результат в прямых теоремах теории приближения в пространстве С(Т) установил Н.П.Корнейчук [94]. Его методы развили и дополнили многие математики и, в частности, его ученики В.Ф.Бабенко, А.А.Лигун.
Имеется ряд результатов, относящихся к поведению точной константы в неравенстве между величиной приближения непрерывной функции заданным линейным методом и модулем непрерывности функции. В случае приближения некоторыми классическими линейными методами было найдено наименьшее значение аргумента модуля непрерывности при котором соответствующая точная константа (как функция указанного аргумента) выходит на свой глобальный минимум. Это наименьшее значение аргумента модуля непрерывности называется оптимальной точкой соответствующего неравенства. В частности, для приближения методом Фавара оптимальную точку нашли С.Б.Стечкин [148] (оценка сверху) и В.Т.Гаврилюк (оценка снизу, см. [149,150]).
Н.И.Черных [166,167] в одномерном случае разработал методику получения точных неравенств Джексона-Стечкина в пространстве L2(T) для наилучших приближений функций тригонометрическими полиномами; в частности, он [195] нашел оптимальную точку неравенства Джексона. В.А.Юдин [178] получил в этой тематике первые принципиальные результаты в многомерном случае. Н.И.Черных [168] предложил метод получения точных -неравенств Джексона при 1 р 2 из аналогичных Ь2-неравенств, основанный на глубоких результатах В.И.Бердышева [40] и С.В.Конягина [85]. Подобный метод использовал О.Л.Виноградов [56]. Иной метод исследования точных / -неравенств Джексона при 1 р 2 был предложен в работах В.И.Иванова [77], А.В.Московского [114] и Д.В.Горбачева [65].
Некоторые задачи в L2 сложнее своих аналогов в других пространствах. Например, до сих пор не получен аналог в 1/2(ТГ) результата Н.П.Корнейчука [96] (см. равенство (0.0.6) ниже) о точном неравенстве Джексона в С = С(Т) для малых значений аргумента модуля непрерывности; хотя известна [189] соответствующая предельная задача.
Взаимосвязь задач теории приближения с задачами теории кодирования по существу содержится в работах А.Н.Колмогорова, В.М.Тихомирова [90,156] и Г.Г.Лоренца [238]. Задача об оценке сверху мощности -кода (е-различимого множества) из компактного метрического пространства X оказалась связанной (см. [180]) с задачей нахождения минимальной (относительно приближающих подпространств заданной размерности) константы в неравенстве Джексона в пространстве С(Х) функций, непрерывных на X. На сегодня остается открытым вопрос о точном значении минимальной константы Джексона пространства С(Х) для следующих важных случаев: X = Т™, X = Sm, m Є N. В 1967 г. была найдена минимальная (в указанном выше смысле) константа Джексона пространства 2(Т), а позднее — и пространства L (T) при 1 р 2. Н.И.Черных [167,168] получил соответствующие оценки сверху, а В.И.Бердышев — оценки снизу [41, теорема 5 , с. 60] (см. также [42]). Принципиальные результаты в этой тематике принадлежат Н.П.Корнейчуку [97, §6.3], [98, §8.3]. А.А.Лигун (см. [236, оценки (4), (5)]) локализовал оптимальную точку минимальной константы в неравенстве Джексона в пространстве СГ(Т), г € N, г раз непрерывно дифференцируемых функций с применением модуля непрерывности г-й производной функции.
Впервые методы, разработанные для исследования точных неравенств Джексона в -пространствах, успешно применил В.А.Юдин в [179,180, 182-185] к изучению аналитических задач теории кодирования. Этот подход был развит В.И.Ивановым, О.И.Смирновым и Д.В.Горбачевым [64,67, 68,71,80].
Для исследования задач оптимального в определенном смысле расположения конечного множества точек на сфере (или на другом многообразии, обладающем алгебраической структурой, определенным образом согласованной с метрикой на многобразии) используются экстремальные свойства положительно определенных непрерывных функций. Критерии свойства положительной определенности для непрерывных зональных функций в терминах соответствующих коэффициентов (преобразования) Фурье этих функций хорошо известны (см. [48,100,101,205,206,241,253,254]). Доказательства существенных свойств класса положительно определенных непрерывных функций во многом опираются на предшествующие результаты для положительно определенных квадратичных форм. В частности, из результата И.Шура [251] (см. [123, отдел 7, §3, задача 35, с. 119]) следует, что указанный класс функций замкнут относительно операции произведения.
В теории кодирования идея применения свойства положительной определенности и постановка соответствующей экстремальной задачи с целью получения оценки сверху мощности кода (без ограничений на структуру кода) в конкретном метрическом пространстве, принадлежит Ф.Дельсарту [73,217]. Г.А.Кабатянский и В.И.Левенштейн [84], Э.Одлыжко и Н.Слоэн [245], В.И.Левенштейн [104, 105], В.М.Сидельников [140] развили метод Ф.Дельсарта и успешно применили его, в частности, к сферическим кодам. Хорошо известна универсальная оценка Левенштейна [104,105] для значения задачи Дельсарта, полученная на основе теории ортогональных многчленов. В некоторых случаях эта оценка совпала с известными оценками снизу. Э.Одлыжко и Н.Слоэн применяли компьютерный вариант поиска допустимых полиномов в задаче Дельсарта, и на этом пути им удалось улучшить оценку Левенштейна в некоторых конкретных случаях. Эту методику успешно развил и получил несколько новых результатов П.Бойваленков [207-209]. Имеется большое количество и других работ, посвященных данной тематике. Обзор соответствующих результатов приведен в [92,230,231]. О некоторых последних достижениях в этой области будет сказано ниже.
Определение понятия положительно определенной функции на прямой восходит к работе М.Матиас [241] 1923 года. Балле Пуссен (1898) был, по-видимому, первым, кто по существу применил конкретную положительно определенную функцию, при изучении расположения нулей дзетта-функции Римана и в задаче распределения простых чисел. Этот подход развивали и успешно применяли Э.Ландау, Л.Чакалов, Л.Б.Ван-дер-Варден, С.Френч, С.Б.Стечкин, В.П.Кондратьев, А.Й.Резцов, В.В.Арестов и другие математики (см. [5,147] и приведенную там библиографию).
Цель работы:
— изучение точных констант в прямых теоремах теории приближения в L2 -пространствах функций одного и нескольких переменных в терминах модуля непрерывности положительного порядка; разработка единого подхода к решению этого круга задач; изучение свойств точных констант как функций аргумента модуля непрерывности; исследование неравенств типа Джексона-Стечкина в пространстве L2(T) на торе с модулями непрерывности, порожденными разностными операторами с переменными коэффициентами и, в частности, с тригономет рическим модулем непрерывности;
— исследование возможностей классической схемы Дельсарта в задаче о максимизации минимального попарного углового расстояния сферического кода с фиксированным числом элементов; нахождение новых взаимосвязей задач о точных константах в неравенствах Джексона-Стечкина в L2 с экстремальными задачами теории функций, возникающими в теории кодирования.
Методика исследований
Исследование неравенства Джексона для наилучших среднеквадратиче-ских приближений функций полиномами и целыми функциями сводится к экстремальной задаче для положительно определенных функций. Подобной же задачей является задача Дельсарта, возникшая в геометрических задачах о сферических кодах, в частности, о контактных числах евклидовых пространств. Ключевыми методами исследования указанных задач являются методы выпуклого анализа, в том числе, двойственность как в обычном, так и в обобщенном смыслах. Одновременное изучение пары двойственных задач является удобным и результативным методом исследования. Анализ условий экстремальности пары допустимых элементов двойственных задач приводит (как правило) к нелинейным уравнениям. Важная роль при этом отводится предварительным численным экспериментам, которые помогают выяснить ключевые свойства экстремальных элементов и значительно ускорить процесс выработки правильной гипотезы. В диссертационной работе применяются также методы из различных разделов математики: теории функций, теории аппроксимации, теории ортогональных многочленов, гармонического и функционального анализа, бесконечномерного линейного программирования. Новизна методов нахождения точных констант в -неравенствах Джексона Стечкина состоит в способах построения экстремальных весов (решений двойственных задач), основанных на формулах умножения классических ортогональных много членов, на самосопряженности операторов обобщенного сдвига, а также на использовании свойств решений дифференциальных уравнений, кото рым удовлетворяют указанные многочлены. Метод, применяемый для ре шения задачи Дельсарта, состоит в построении квадратурных формул, использующих не только значения функций, но и их коэффициенты Фурье-Гегенбауэра, а также применение элементарных симметрических многочленов, что существенно упрощает возникающую систему нелинейных уравнений.
Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следу-ющем:
— получены новые точные неравенства Джексона-Стечкина с модулем непрерывности порядка 1 в ./ -пространствах на отрезке и на полуоси с классическими весами для наилучших приближений функций полиномами и целыми функциями; в этих неравенствах изучены свойства точных констант как функций аргумента модуля непрерывности, а именно, доказана их непрерывность, локализованы их оптимальные точки; аналогичные результаты установлены для неравенств Джексона Стечкина в L2-пространствах функций нескольких переменных на следующих многообразиях: сфера §m , проективные пространства Р"1-1 ), Щ- С) и евклидовы пространства Мт; исследованы возможности применения классической схемы в задаче о максимизации минимального попарного углового рас стояния сферического кода с конкретным числом элементов; кроме того, установлена явная взаимосвязь задачи о точной константе в неравенстве Джексона-Стечкина в L2 с задачей Дельсарта специального вида.
Теоретическая и практическая значимость
Работа носит теоретический характер. Разработан единый подход к решению задач о точных константах в прямых теоремах теории приближения в / -пространствах функций одного и нескольких переменных в терминах модуля непрерывности порядка 1. Развита методика решения обратной задачи Дельсарта для сферических кодов, основанная на применении специальных квадратурных формул, использующих не только значения функций, но и коэффициенты Фурье-Гегенбауэра этих функций.
Полученные результаты могут быть использованы для поиска новых точных констант в прямых теоремах теории приближения в других пространствах функций, в частности в / -пространствах; для дальнейшего исследования неравенств Джексона-Стечкина с модулями непрерывности, порожденными разностными операторами с переменными коэффициентами, в частности с модулями непрерывности, аннулирующими ядра дифференциальных операторов; а также для решения экстремальных задач на классах положительно определенных функций, возникающих в комбинаторной геометрии и теории чисел.
Публикации
Основные результаты опубликованы в центральной печати [11, 21, 25, 198], а также в трудах и материалах международных конференций [22,26, 27]. Из совместной работы [11] в диссертацию включены только результаты автора, за исключением леммы 1.3 (в диссертации это лемма 5.2.3), принадлежащей В.В.Арестову. Ему также принадлежит лемма 1.1.1, которая изложена в пункте 1.1.1 главы 1. Результаты § 5.1 получены совместно В.В.Арестовым и автором [6]; они включены в диссертацию для полноты изложения и не выносятся на защиту.
Апробация
Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:
Международная конференция Теория приближения функций и операто-ров , посвященная 80-летию С.Б.Стечкина (2000);
Саратовские зимние математические школы по теории функций (1994, 1998, 2000, 2002);
Воронежские зимние математические школы (2001, 2003); Всероссийская научная конференция Алгоритмический и численный анализ некорректных задач , Екатеринбург (1995);
Всероссийская научная конференция Алгоритмический анализ некорректных задач , Екатеринбург (1998);
Всероссийские научные конференции Алгоритмический анализ неустойчивых задач , Екатеринбург (2001, 2004);
Международный семинар Аппроксимация и сложность в Международном математическом центре им. С.Б Варшава, Польша (1995);
Международная конференция и Чебышевские чтения, посвященные 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева, Москва (1996);
Пятая объединенная конференция университетов Сарагосы и По
Прикладная математика и статистика , Хака, Испания (1997);
Международная конференция Теория приближений и гармонический анализ , Тула (1998);
Международная конференция Геометрические аспекты анализа Фурье и функционального анализа , Киль, Германия (1998); Всероссийская научная конференция Математическое программирование и приложения , Екатеринбург (1999);
Международная конференция Современное состояние и перспективы развития математики в рамках программы "Казахстан в третьем тысячелетии" , Алматы (2000);
В заключение выражаю глубокую благодарность моему учителю Виталию Владимировичу Арестову за постоянную поддержку моей работы и искреннюю признательность Николаю Ивановичу Черных за постоянный интерес к моим исследованиям.
Непрерывная зависимость значения первой задачи линейного программирования от параметра
Дальнейшие исторические сведения и результаты, касающиеся неравенств Джексона-Стечкина для функций из C(Sm-1), I (Sm_1), m З, с применением модулей непрерывности порядка г 1, основанных на г-ой разности функции вдоль геодезической, можно найти в работах [70,111,121,122,162]. Наряду с указанными выше модулями непрерывности многие математики используют и другие модули непрерывности (см., например, [65,69,102,103,171,219])3 в частности, основанные на операторе Mt сдвига, действие которого Mtf{x) представляет собой усреднение функции / по границе сферической "шапки" углового радиуса і с полюсом в точке х (см. [118, формулы (1.1), (1-19)], а также 3.1 ниже, формула (3.1.2)). Этот оператор сдвига применялся учеными в 19 веке в вопросах о сходимости ряда Фурье-Лапласа функций, заданных на S2 (см. [53, с. 178] и приведенные там ссылки). Такой модуль непрерывности для функций / из С(2) в прямых и обратных теоремах теории приближения впервые применяла Г.Г.Кушниренко в работах [102,103]. История дальнейшего развития этого вопроса содержится в работе [136]. Из работ Д.Ньюмена и Г.Шапиро, Д.Рагозина, В.М.Федорова (см. [162] и приведенную там библиографию) , относящихся к прямой теореме теории приближения функций на многомерной сфере Sm видно, каким образом влияет размерность сферы на указанную теорему.
Перечислим несколько результатов о точных неравенствах Джексона-Стечкина для функций многих переменных. В 1981 году В.А.Юдин [178] нашел точную константу в неравенстве Джексона для функций из Х2(Тт), заданных на многомерном торе Т, m 2. Аналогичная задача в пространстве Ь2(Шт), т — 2,3, была решена В.Ю.Поповым [126, теорема 3]. В пространстве C(Sm), m 2 для наилучших приближений линейными методами В.В.Шалаев [171] получил точный результат в соответствующей прямой теореме теории приближения. В.В.Арестов и В.Ю.Попов [13,14] нашли точное значение наименьшей константы в неравенстве Джексона-Стечкина в пространстве L2(Sm), т = 2, 3. В случае пространств L2(M), М R T S1", т 2, В.Ю.Попов [126,128,129] нашел точную константу в неравенстве Джексона-Стечкина для достаточно малых значений аргумента модуля непрерывности. В.И.Иванов [77] нашел точную константу в неравенстве Джексона в 1 (1), т 2, при 1 р 2. Точным неравенствам Джексона-Стечкина в / -пространствах посвящен еще ряд работ, о некоторых из них мы скажем ниже в главах 2, 3, 4. Среди современных работ на эту тему отметим работы Е.Е.Бердышевой [43-45,202,203], О.Л.Виноградова [56], Д.В.Горбачева [63,65,66,68,70], А.В.Московского [114], С.Н.Васильева [51,52,259], А.И.Козко и А.В.Рождественского [86,87], Н.А.Барабошкиной [201].
В пятой главе изучается линейная экстремальная задача Дельсарта для непрерывных на отрезке функций, представимых рядами по ортогональным многочленам, с ограничениями на значения функций и коэффициенты разложений. К задачам такого рода сводятся экстремальные задачи различных разделов математики. Здесь изучается вариант этой задачи, возникший в исследованиях Ф.Дельсарта [73, 217] границ упаковок в некоторых метрических пространствах. Схема Дельсарта была развита и успешно применена в работах Г.А.Кабатянского и В.И.Левенштейна [84], Э.Одлыжко и Н.Слоэна [245], В.И.Левенштейна [104,105], В.М.Сидельникова [140] в связи с исследованием упаковок метрических пространств и, в частности, контактных чисел евклидовых пространств Ж7", т 2. Контактным числом тт пространства Шт называют максимальное число шаров единичного радиуса с непересекающимися внутренностями, касающихся единичного шара пространства. Этой проблематике посвящены также работы П.Бойваленкова [207-209] и работа [210]. Изложение соответствующих результатов и другая родственная, богатая информация имеется в монографии Дж.Конвея и Н.Слоэна [92], а также в ее втором и третьем изданиях [230,231].
Из последних работ на эту тему следует сказать о работе В.А.Юдина [181], в которой был разработан аналог схемы Дельсарта [73,84,92,104,105, 140,217,245] для изучения достаточно общей задачи минимизации функции фиксированного числа точек на единичной сфере евклидова пространства Rm; исследования в этом направлении были продолжены в [2,91,188].
Недавно Д.В.Штром [255] нашел значение wm задачи Дельсарта (связанного с контактным числом тт пространства Шт неравенством Tm Wm) Для большого числа значений размерности т 146; он [176] также нашел значение wm задачи Дельсарта (дающего оценку сверху максимальной мощности антиподального сферического 1/2-кода пространства Жт) для размерностей m 161 с небольшими пропусками. При этом Д.В.Штром использовал методику, разработанную в совместной работе В.В.Арестова и автора [6] (см. 5.1 ниже). С помощью этой же методики в [12,194] была решена задача Дельсарта, связанная со сферическим 1/3-кодом в евклидовом пространстве размерности 4,5,6.
В работе [6] была найдена величина w = 25.558429097..., откуда следует вывод, что с помощью классической схемы Дельсарта невозможно решить вопрос о том, каково же на самом деле значение числа т : 24 или 25? Таким образом, для решения этой проблемы нужно либо улучшить оценку снизу Г4, либо получить принципиально новую оценку сверху. Именно на втором пути в 2003 году О.Р.Мусин получил продвижение в этой тематике. Он предложил обобщение схемы Дельсарта, существенно расширив класс функций, по которому ищется точная нижняя грань специального функционала. О.Р.Мусин [115,243] установил, что т± = 24.
Первая глава содержит вспомогательные утверждения, в частности, получена явная формула, связывающая задачу о константе Джексона-Стечкина пространства L2 с задачей Дельсарта. Главы 2, 3, 4 посвящены изучению наименьших констант в неравенствах Джексон а-Стечкина в -пространствах функций одного и нескольких переменных. В пятой главе исследуется задача Дельсарта.
История вопроса частично была приведена выше, в каждом параграфе приводится исторический обзор, соответствующий его теме. В замечаниях, приводимых после формулировок основных утверждений диссертации, указывается связь с результатами других математиков. Учитывая это, здесь мы ограничимся лишь формулировками основных результатов диссертации.
Редукция к первой задаче линейного программирования. Непрерывная зависимость от аргумента модуля непрерывности константы
Здесь Еа (/) v — величина наилучшего приближения функции / Є Lv классом Wa i функций g Є L , у которых преобразование Ганкеля (см. формулу (2.3.2) в пункте 2.3.1) сосредоточено на отрезке [0,ег]; и)Г (/, 6) — г-й модуль непрерывности функции /, построенный на основе оператора сдвига Tt = Ttu с шагом t Є R+, действующим на функции по правилу (2.3.5). Основным результатом 2.3 является теорема 2.3.1, также близкая по сути к теореме 2.1.1, сформулированной выше.
В третьей главе исследуются задачи о точных неравенствах Джексона-Стечкина в пространствах L2 функций на многомерной сфере, некоторых проективных и евклидовых пространствах. В первом случае функции приближаются сужениями алгебраических многочленов на сферу, а модуль непрерывности положительного порядка строится на основе оператора обобщенного сдвига Mt} действие которого Mtf(x) представляет собой усреднение функции / по границе сферической "шапки" углового радиуса t с полюсом в точке х. Аналогично строятся модули непрерывности и в других случаях.
Так, в случае пространства L2 на многомерном евклидовом пространстве Шт действие оператора обобщенного сдвига stf(x) представляет собой усреднение функции / по сфере радиуса t с центром в точке а;. В качестве приближающего множества в этом случае берется класс Wa целых функций экспоненциального сферического типа сг 0, принадлежащих пространству L2. Класс Wa состоит из функций д ЄЬ2, носитель suppt? преобразования Фурье д которых лежит в евклидовом шаре Ш С К радиуса и 0 с центром в начале координат пространства Кт.
Во всех указанных случаях многообразия, на которых строятся пространства L2, обладают алгебраической структурой, определенным образом согласованной с метрикой на этих многообразиях, а приближающие подпространства и модули непрерывности — соответствующей инвариантностью. Эти свойства обеспечивают наличие среди экстремальных функций в неравенствах Джексона-Стечкина зональных (радиальных) функций, что позволяет свести изучение многомерных неравенств Джексона-Стечкина к одномерным весовым неравенствам. На этом пути и были найдены константы Джексона-Стечкина указанных 2-пространств (см. теоремы 3.1.1, 3.2.1 и следствия 3.1.1, 3.1.2).
В четвертой главе мы вновь возвращаемся к исследованию точных констант в прямых теоремах теории приближения в конкретном L2 -пространстве функций одного переменного, но в этот раз акцент делается не на "вариацию" области определения функций и соответствующего приближающего подпространства, а на "вариацию" модуля непрерывности.
Подробнее. В 4.1 четвертой главы изучается неравенство типа Джексона-Стечкина между наилучшим среднеквадратичным приближением произвольной 27г-периодической комплекснозначной функции из L2 тригонометрическими полиномами заданной степени, с одной стороны, и ее модулем непрерывности, построенным на основе конечно-разностного оператора, коэффициенты которого непрерывно зависят от его шага, с другой стороны. Среди таких модулей непрерывности содержится так называемый тригонометрический модуль непрерывности, который аннулирует тригонометрические полиномы заданного порядка. Неравенство Джексона-Стечкина с тригонометрическим модулем непрерывности в пространстве С(Т) исследовалось В.Т.Шевалдиным [252]. В 4.1 (теорема 4.1.1) получена оценка снизу для точной константы в указанном неравенстве. В ряде случаев эта оценка неулучшаема. В случае тригонометрического модуля непрерывности полученная оценка снизу улучшает соответствующую оценку, установленную в [33]. В 4.2 найдена (см. теорему 4.2.1) универсальная (независящая от приближающего конечномерного подпространства) оценка снизу для соответствующей константы Джексона-Стечкина пространства L2. А именно, доказано, что утверждение (4.1.30) теоремы 4.1.1 останется верным, если пространство Г„_і тригонометрических полиномов заменить любым конечномерным подпространством Otcl2. В пункте 4.2.6 рассматривается задача колмогоровского типа об оп тимальной точке минимальной (относительно приближающих подпространств размерности не выше заданной) константы Джексона пространства1 LJR(T) (1 V 2) на периоде, а также аналогичная задача про оптимальную точку минимальной константы Джексона-Стечкина пространства Ь (Т). Получены (см. теорему 4.2.2) эффективные двусторонние оценки указанных,оптимальных точек, совпадающие между собой по порядку. В пятой главе изучается задача Дельсарта как общего вида, так и специального — связанного со сферическими кодами. 5.1 содержит результаты, полученные автором и В.В.Арестовым совместно. Пусть % — (} — равномерно ограниченная система веще-ственнозначных функций, непрерывных на конечном отрезке J — [о, 6]; G — множество неотрицательных суммируемых числовых последователь ностей х = {xk}kLi из +, для которых функция f(t) — 1 + )]xkRk{t) неположительна на J . Рассматривается задача о минимизации функционала 6(:с) = У_]хк на множестве последовательностей х = {xk}kLi Є G в к=1 предположении, что G непусто. Эта задача называется задачей Дельсарта (порожденной системой 7V) с отрезком неположительности [а, Ь]. Известный метод Дельсарта оценки сверху границ упаковок некоторых метрических пространств приводит к этой задаче для специальных систем 1Z. функций, ортогональных с тем или иным весом на отрезке (содержащем в себе отрезок J = [а, 6]) или на сетке.
Точные неравенства Джексона-Стечкина в L на проективных пространствах
В работе В.И.Иванова и О.И.Смирнова [80, с. 101] (см. также [81, с. 100]) доказано, что оператор среднего значения (см. [163, гл.1, 4]) (аналог оператора М(, см. (3.1.3)) для функций, заданных на компактных сильно однородных (или, что тоже самое, двухточечно-однородных или дважды однородных) метрических пространствах, выражается через зональные сферические функции. В частности, учитывая явное выражение зональных сферических функций на Рт-1(С) (см. [84, 105, 232]) через многочлены Якоби R , получаем, что указанный оператор среднего значения в пространстве L2(Fm 1(C)) эквивалентен следующему оператору обобщенного сдвига:
Далее, по аналогии с тем как это уже делалось раньше, на основе обобщенного сдвига определяются разностный оператор порядка г 0 с шагом t Є [0,7г/2] и соответствующий модуль непрерывности функции / Z/2(F7l 1(C)), который мы будем обозначать также через шг (/, ). Затем с помощью теоремы 2.1.2 получаем
Из утверждений, содержащихся в работах [80,81,232], следует, что наряду с указанными выше тремя важными приложениями частных случаев теоремы 2.1.2, относящихся к неравенствам Джексона-Стечкина в пространствах (m_3)/2,(m-3}/2 L(m-3)/2, l/2 4-2,0 = 2, 3, . . по крайней мере еще два. А именно, к задачам о константах Джексона-Стечкина в пространствах i m-i і» m = 2,3,..., и L3 сводятся соответственно аналогичные задачи в пространствах L2(lP4m(IHI)), т = 2,3,..., и L2(F16(Cay)). Здесь F m(H) — проективное пространство над телом кватернионов m = {xQ + xii + X2J + xsk: х„єЩ, Р16(Сау) — проективная плоскость Кэли. Верхние индексы Am и 16 обозначают вещественную размерность соответствующих многообразий.
В данном параграфе получено точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве Ь2[Жт), т 2, между наилучшим приближением функции целыми функциями заданного экспоненциального сферического типа и сферическим модулем непрерывности функции вещественного порядка f 1; установлены оценки сверху и снизу (отличающиеся друг от друга в два раза) для наименьшего значения аргумента модуля непрерывности, начиная с которого точная константа в неравенстве Джексона-Стечкина выходит на свой минимум.
В данном пункте на основе понятия сферического сдвига или, что то же самое, сферического среднего (см. [82, гл. 1, 4]) по схеме Грюнвальда-Летникова (см. [138, 20]) определяется разностный оператор порядка г 0 (необязательно целого) с шагом t М., а с помощью него — соответствующий модуль непрерывности комплекснозначной функции / Є L2(JSLm)} в терминах которого затем ставится задача о точной константе в неравенстве Джексона-Стечкина для наилучших приближений в пространстве L2(Rm) классом W0 целых функций из L2(Rm) экспоненциального сферического типа а 0. С помощью известных рассуждений, которые использовались, к примеру, В.Ю.Поповым в работах [126-128], указанная выше многомерная задача сводится (см. пункт 3.2.2 ниже) к одномерной задаче, в свою очередь последняя задача эквивалентна задаче (см. 2.3) о точном неравенстве Джексона-Стечкина в пространстве L2(ffi+,xm_1) вещественных измеримых функций на полуоси R+, суммируемых с квадратом с весом хт 1.
Итак, пусть L2 = Ь2(Жт) — гильбертово пространство комплексно-значых функций на Шт с обычными скалярным произведением и нормой
Обозначим через WQ = WG(L2(Wn)) класс целых функций экспоненциального сферического типа о 0, принадлежащих пространству L (см. [116, 3.2.6], [135, гл.З, 4], [125]). Класс Wa состоит из функций д Є L , носитель supp# преобразования Фурье д которых лежит в евклидовом шаре В — {х Є Rm : \х\ = yjx х а} радиуса а 0 с центром в начале координат пространства Шт. Наилучшим приближением функции / из L2 классом Wa называется величина
Сферический сдвиг с шагом і є М или, что то же самое, сферическое среднее (см. [82, гл. 4, с. 72]) есть оператор st, действующий по правилу где Sm_1 — {х Є М.т : \х\ = 1} — единичная евклидова сфера в Жт, а Sm_1 — площадь ее поверхности7. Известно, что норма оператора st, как оператора из 2(Rm) в Ь2(Жт), равна единице (см., например, формулу (3.2.27) ниже). Поэтому можно применить известную конструкцию Грюнвальда-Летникова (см. [138, 20]) для построения разностного оператора порядка г 0 (необязательно целого). А именно, разностным оператором порядка г 0 с шагом t Є К называется оператор здесь з — I — тождественный оператор, S — к я итерация оператора st. Для функции / Є L2 ее модулем непрерывности порядка г О называется следующая функция аргумента т 0 :
Для функций, заданных на многомерной сфере, соответствующие разностные операторы и модули непрерывности дробного порядка рассматривал Х.П.Рустамов [136].
Теорема двойственности для задачи Дельсарта общего вида
В силу известного представления неотрицательного тригонометрического полинома (см. [139, теорема 1.2.1], [123, ч. 2, отдел шестой, 5]), справед ливо обратное утверждение. Именно, если р — неотрицательный триго нометрический полином степени т, удовлетворяющий условию (0) = О, то найдется такой набор 9Л комплексных чисел juo, Mm (сумма которых равна нулю), для которого выполняется (4.1.15).
Если набор SDt вида (4.1.4) удовлетворяет дополнительному условию то, как известно (см. [213, 6]), в силу основной теоремы алгебры для мно гочленов, оператор Af представим в виде произведения (суперпозиции) разностных операторов первого порядка, т.е. Здесь $1 (t),..., #m() — корни характеристического многочлена хи определенного формулой (4.1.9); / — тождественный оператор. В силу непрерывности коэффициентов \xv указанные корни непрерывно зависят от t. Коэффициенты \iv связаны с корнями характеристического многочлена Xt соотношением — элементарный симметрический многочлен степени j от m переменных. Поскольку симметрический многочлен не изменяется при любой перестановке своих аргументов, то в представлении (4.1.17) оператора Д порядок следования сомножителей не играет роли. Условие Y =o№v() = О (см. (4.1.4)) означает, что среди корней характеристического многочлена Xo(z) имеется хотя бы один корень равный единице. Разложения, аналогичные (4.1.17), для разностных операторов более общего вида (см. сноску 10) возникают в связи с вопросами неосцилляции решений соответствующих однородных разностных уравнений [153,154]. Важным примером разностного оператора типа (4.1.4)+(4.1.16) является оператор они стремятся к единице при t — 0. Коэффициенты \іу(і), являющиеся элементами соответствующего набора ЗЯ, вычисляются с помощью формул (4.1.18), (4.1.20), т.е. Этот набор 9Я удовлетворяет условиям (4.1.4).
Разностный оператор вида (4.1.19) (с некоторыми ограничениями на ) применяли А. Шарма и И.Цимбаларио [173], Ч.А. Мичелли [242], В.Т. Шевалдин [174], в связи с задачей об экстремальной функциональной интерполяции. Они построили указанный разностный оператор исходя из условия, что он аннулирует ядро дифференциального оператора с постоянными коэффициентами ао, ai7 ..., ато і) действующего из Ст(Е) в С(П). Здесь D — оператор дифференцирования: Df — / ; Ст(К) — пространство комплекснозначных функций (необязательно периодических) т раз непрерывно дифференцируемых на Ш. Указанное условие можно кратко записать так: Учитывая важность только что рассмотренного случая, условимся обозначать набор 97t вида (4.1.21) символом fflc, с целью подчеркнуть его связь с дифференциальным оператором , определенным формулой (4.1.22). Как показывают результаты упомянутых выше работ [173, 174, 242], в некоторых ситуациях, благодаря, в частности, свойству (4.1.23), дифференциальному оператору С} определенному формулой (4.1.22), более естественно сопоставлять конечно-разностный оператор Af — At с вида (4.1.19), чем разностный оператор L = Д + y"j avtm v s.vt, который довольно часто связывают с оператором С. В 1959 году Т. Поповичу [247, с. 104, формула (22)] ввел понятие разделенной разности по заданной чебышевской системе функций Введенная им разделенная разность обладает важным свойством: она аннулирует линейное пространство, порожденное подсистемой На основе указанной разделенной разности З.Вронич [261, пункт 4, с. 910], [262] определил конечно-разностный оператор, который аннулирует ядро дифференциального оператора с переменными коэффициентами. Он ввел соответствующий равномерный модуль непрерывности и доказал [261, пункт 5, теорема 5] теорему типа Уитни. Конечно-разностный оператор, определенный в [261,262], может быть представлен в виде, указанном в сноске 10. Используя классические примі емы линейной алгебры, теории дифференциальных и разностных уравнений, можно убедиться в том, что в случае дифференциального оператора с постоянными коэффициентами вида (4.1.22) указанный конечно-разностный оператор отличается от At ненулевым множителем, зависящим только от шага t. Г.Тодер и С.Тодер [258, формула (8)] для заданной чебышевской си стемы функций Um построили разделенную разность, определение кото рой несколько отличается от упомянутого выше определения -Т.Поповичу. В этой же работе введен [258, определение 5] соответствующий конечно w разностный оператор, который аннулирует полиномы по системе Um. Этот разностный оператор также может быть представлена в виде, указанном в сноске 10. Используя те же приемы, о которых говорилось выше, можно доказать, что если в качестве Um взять базис ядра дифференциального оператора С вида (4.1.22), то соответствующий конечно-разностный оператор совпадет с Дг :, Для случая С = Dm это утверждение приведено в [258, формула (9)].
