Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Экстремальные задачи теории приближений 43
1.1. Константа Джексона в Ьр на сфере 43
1.2. Константа Джексона в Ьр на КРОСП 58
1.3. Неравенство Джексона в пространстве 1Р{) 66
1.4. Константа Джексона в hi на гиперболоиде 73
1.5. Приближение в 1^2 частичными интегралами Фурье 81
Глава 2. Задачи для целых функций экспоненциального сферического типа 102
2.1. Основные обозначения и вспомогательные результаты 102
2.2. Экстремальные задачи типа Черныха-Логана 109
2.3. Многомерная задача Турана 117
2.4. Интегральная задача Дельсарта 123
1 2.5. Экстремальные задачи на полуоси с весом t2a+l 132
Глава 3. Экстремальные задачи для функций с малым носителем 136
3.1. Экстремальная задача Турана для периодических функций 136
3.2. Экстремальная задача Конягина для периодических функций . 146
3.3. Интегральная задача Конягина и оценки (С, Ь)-констант Никольского 150
Глава 4. Некоторые приложения экстремальных задач 173
4.1. Оценки экстремальных расположений точек на торе и в пространстве 173
4.2. Экстремальные задачи, связанные с оценками мощности кодов и дизайнов 176
4.3. Приложения одномерной задачи Турана 189
Список литературы 194
- Константа Джексона в hi на гиперболоиде
- Экстремальные задачи типа Черныха-Логана
- Экстремальная задача Конягина для периодических функций
- Экстремальные задачи, связанные с оценками мощности кодов и дизайнов
Введение к работе
Актуальность темы. Экстремальные задачи и их приложения интересовали математиков на протяжении многих веков. Важный шаг в развитии экстремальных задач был сделан П. Л. Чебышевым, зало жившим в 50-е годы XIX века основы раздела конструктивной теории функций — теории приближений. Развитием теории приближении, как для практических приложений, так и теоретических основ, занима лись многие математики. Стоит отметить работы ближайших учени ков Чебышева и его последователей Е. И. Золотарева, А. Н. Коркина, А. А. Маркова. Принципиальную роль в становлении теории приближе ния функций сыграла теорема Вейерштрасса (1885), согласно которой для любой непрерывной на отрезке функции последовательность ее наилучших приближений многочленами порядка п сходится к нулю при п — со. Теорема Вейерштрасса неконструктивна в том плане, что не содержит оценки скорости приближения. Возникла потребность получения таких оценок. Важные результаты в этом направлении были получены в начале и середине ХХ-го века Д. Джексоном, Ш. Ж. Бал ле Пуссеном, С. Н. Бернштейном, Ж. Фаваром, А. Н. Колмогоровым, F С. Б. Стечкиным, С. М. Никольским. Одной из центральных экстремальных задач теории приближений является задача о точных константах в неравенствах Джексона. Неравенствами Джексона принято называть неравенства, в которых величина наилучшего приближения функции оценивается с помощью ее модуля непрерывности. Первое такое неравенство между наилучшим приближением непрерывной 27г-периодической функции тригонометрическими многочленами и ее равномерным модулем непрерывности, введенным А. Лебегом, было доказано Д. Джексоном в 1911 г. Первые неравенства Джексона с точными константами были получены Н.П. Корнейчуком для пространства С (—к, тг] в 1962 г. и Н.И. Чер-ныхом для пространства 1 (-7г, 7г] в 1967 г. Точные константы в неравенствах Джексона являются функциями размерности приближающего подпространства и аргумента в модуле непрерывности. В 1979 г. Н. И. Черных нашел минимальное значение аргумента в модуле непрерывности, при котором точная константа в неравенстве Джексона в пространстве 1 (-7г, тг] выходит на свой глобальный минимум. Нахождение таких аргументов, называемых оптимальными аргументами или точками Черныха, становится важной экстремальной задачей.
После результатов Н. П. Корнейчука и Н. И. Черныха появился интерес к получению точных неравенств Джексона и в других пространствах Lp. В 1992 г. Н.И. Черных доказал точное неравенство Джексона в пространстве Ьр(—7г, 7г] при 1 р 2. До сих пор остается нерешенной проблемой получение аналогичного результата при р 2.
Результаты Черныха переносились на пространства Lp (1 р 2) на многомерном торе, сфере, евклидовом пространстве и других многообразиях В. А. Юдиным, В. И. Ивановым, О. И. Смирновым, А. В. Московским, В. В. Арестовым, А. Г. Бабенко, В. Ю. Поповым и другими авторами.
В основе решения многих экстремальных задач теории приближе ния лежат экстремальные задачи для тригонометрических и алгебраи ческих многочленов, целых функций экспоненциального типа и функ ций, задаваемых рядами по ортогональным многочленам и интеграль ными преобразованиями. При этом в большинстве случаев условия на допустимые функции ставятся как на принимаемые ими значения, так и на значения их преобразования (коэффициенты) Фурье. Оказалось, что многие из этих задач параллельно рассматривались и решались » в других областях математики. Здесь в первую очередь выделим задачи дискретной математики и метрической геометрии об оценке характеристик экстремальных расположений точек в пространстве, в частности, задачи об оценке мощности кодов, дизайнов, упаковок и покрытий. Отметим результаты Ф. Дельсарта, Д. Геталса, Дж. Зейделя, К. Данк-ла, А. Одлыжко, Н. Слоэна, В.М. Сидельникова, В. И. Левенштей-на, Г. А. Кабатянского, Г. Фазекаша, В. А. Юдина, Н.Н. Андреева, А. Г. Бабенко, В. В. Арестова, В. И. Иванова, О. Р. Мусина, Н. Cohn, N. Elkies, A. Kumar и других авторов. Ими рассматривались экстремальные задачи гармонического анализа для положительно определенных функций, задаваемых рядами по ортогональным многочленам с ограничениями на значения функций (как правило это неположительность или неотрицательность на промежутке). Такие задачи стали называть задачами Дельсарта, поставившего подобную задачу для оценки мощности кодов на ассоциативных симметричных полиномиальных схемах отношений. Конструкции экстремальных функций в этих задачах часто оказывались известными и использовались в других областях. Такими являются функции, построенные Н. И. Черныхом и В. А. Юдиным для задач о константах Джексона в 1,2(Тп), и которые оказываются экстремальными в задачах об оценке характеристик решеток в Rn. На этом примере прослеживается связь экстремальных задач теории функций и теории приближения с их приложениями. Интересной с точки зрения переплетения идей является задача об оценке плотности упаковки Ап евклидова пространства шарами — одна из центральных проблем математики, известная для п = 3 как задача Кеплера, и в постановке для решеток являющаяся нерешенной частью 18-й проблемы Гильберта. Важность проблемы оценки величины Ап обусловлена ее многочисленными приложениями в метрической геометрии, в задачах цифровой передачи информации, теории кодирования и т. д. В 1978 г. В. И. Левенштейном и Г. А. Кабатянским с помощью решения некоторой экстремальной задачи Дельсарта для сферы и неравенства Яглома была получена оценка Ап 2-0 5990-" +0 )) (п — оо), наилучшая до сих пор. Можно отметить и другие области математики, где возникает потребность в решении экстремальных задач. Например, много экс тремальных задач, родственных отмеченным выше, было рассмотре но П. Тураном, С. Б. Ст чкиным, А. Ю. Поповым, С. В. Конягиным, И.Е. Шпарлинским, H.L. Montgomery и другими математиками в связи с приложениями в аналитической теории чисел.
Цель работы. Вычислить точные константы Джексона для наилучших приближений в пространствах LP(M) при 1 р 2 для компактных и локально компактных однородных метрических пространств М, а также на полуоси с весом, развив известные подходы. Четко выделить экстремальные задачи, лежащие в основе доказательства точных неравенств Джексона.
Решить многомерные экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа и приложить их к задачам теории функций, теории приближений, дискретной математики и аналитической теории чисел. Развить технику, связанную с использованием квадратурных формул на полуоси с весом, точных для целых функций экспоненциального типа. Установить связь поставленных задач с экстремальными задачами Дельсарта.
Исследовать серию одномерных экстремальных задач для функций с малым носителем и получить новые оценки в задачах о константах Никольского. Решить экстремальные задачи для многочленов и рядов по ортогональным многочленам, связанные с оценками мощности кодов и дизайнов на однородных пространствах.
Методика исследований. Применяются современные методы теории функций действительного и комплексного переменного, функционального анализа, в частности, теории пространств Lp со смешанной нормой, теории приближений, теории экстремальных задач, абстрактного гармонического анализа и теории представления классических групп, теории задачи Штурма-Лиувилля и операторов обобщенного сдвига.
Для доказательства точных неравенств Джексона в пространствах Lp при 1 р 2 используются положительная определенность зональных сферических функций и положительные ядра типа Бомана-Коровкина по таким функциям, имеющие экстремальные характер. Поиск оптимальных аргументов в неравенствах Джексона опирается на решение экстремальных задач дельсартовского типа.
При решении экстремальных задач для целых функций многих переменных экспоненциального сферического типа используются метод I
усреднения и квадратурные формулы гауссовского и марковского типов на полуоси со степенным весом.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
Вычислены точные константы Джексона в пространствах Lp при 1 р 2 на компактных римановых симметрических многообразиях ранга 1, в пространстве L i на многомерном гиперболоиде и полуоси с весом для приближений частичными интегралами Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Для степенного веса и пространства Жп найдены оптимальные аргументы в точном неравенстве Джексона.
Решены экстремальные задачи Черныха-Логана, Турана, Дельсарта для целых функций многих переменных экспоненциального сферического типа.
Для отдельных значений параметров решены экстремальные задачи Турана, Конягина для функций одной переменной с малым носителем. Улучшены оценки (С, і)-констант Никольского.
Доказана неулучшаемость некоторых известных оценок характеристик кодов, дизайнов, упаковок и покрытий в однородных пространствах, полученных при решении экстремальных задач. Решена в одном случае экстремальная задача Монтгомери, связанная с множествами ван дер Корпута в теории чисел.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Развита схема получения точных констант Джексона в пространствах Lp при 1 р 2 на однородных пространствах, не являющихся абелевыми группами. Разработана методика решения экстремальных задач для целых функций многих переменных экспоненциального типа. Установлена взаимосвязь экстремальных задач из разных областей математики.
Полученные результаты могут быть использованы при решении новых экстремальных задач в теории функций, теории приближений, дискретной математике, теории чисел.
Публикации. Основные результаты опубликованы в 10 статьях в центральной печати [21, 25, 27-29, 31, 33, 36, 109, 115], в 8 статьях в журнале «Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информа J тика», входящем в перечень ВАК РФ ведущих научных журналов и изданий [19, 20, 22, 23, 26, ЗО, 34, 35], в двух статьях в трудах международных конференций [24, 32] и трех электронных препринтах, размещенных на цитируемом ресурсе Интернет [110-112].
В совместной работе [31] В. И. Иванову принадлежит утверждение б теоремы 3. В работе [115] автору принадлежат результаты относительно задачи Монтгомери. В работе [33] А. С. Маношиной частично принадлежат лемма 2 и случай р = 3 в теореме 3. В работе [36] С. А. Странковскому принадлежат одномерные результаты. В работе [34] М. С. Пискоржу в доказательстве теоремы принадлежит оценка снизу. В работе [35] О. С. Столяровой осуществлены компьютерные вычисления.
Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж (1997, 2005); школа-конференция «Алгебра и анализ», посвященная 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева, Казань (1997); 9-я Саратовская зимняя математическая школа, Саратов (1998); Международная конференция «Теория приближений и гармонический анализ», Тула (1998); XII Международная конференция «Проблемы теоретической кибернетики», Нижний Новгород (1999); Международная школа СБ. Стечки-на по теории функций, Миасс Челябинской обл., (1998, 1999, 2001, 2004); Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», Тула (2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005); Международная конференция «Теория приближений функций и операторов», Екатеринбург (2000); Международная конференции «Колмогоров и современная математика», Москва, (2003); Международный семинар «Дискретная математика и ее приложения», Москва (2004); Международная конференция «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященная столетию СМ. Никольского, Москва (2005);
Тезисы докладов, указанных конференций, опубликованы.
Также результаты диссертации докладывались на научных семи нарах: под руководством академика РАН П. Л. Ульянова и члена корреспондента РАН Б. С. Кашина в МГУ им. М.В. Ломоносова; под руководством профессора С. В. Конягина в МГУ им. М. В. Ломоносова; под руководством профессора В. М. Сидельникова в МГУ им. М. В. Ло моносова; под руководством профессора С. А. Теляковского в МИ им. В. А. Стеклова РАН; под руководством члена-корреспондента РАН Ю. Н. Субботина и профессора Н. И. Черныха в ИММ УрО РАН; под руководством профессора В. И. Иванова в ТулГУ.
Константа Джексона в hi на гиперболоиде
Вычислить точные константы Джексона для наилучших приближений в пространствах LP(M) при 1 р 2 для компактных и локально компактных однородных метрических пространств М, а также на полуоси с весом, развив известные подходы. Четко выделить экстремальные задачи, лежащие в основе доказательства точных неравенств Джексона.
Решить многомерные экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа и приложить их к задачам теории функций, теории приближений, дискретной математики и аналитической теории чисел. Развить технику, связанную с использованием квадратурных формул на полуоси с весом, точных для целых функций экспоненциального типа. Установить связь поставленных задач с экстремальными задачами Дельсарта.
Исследовать серию одномерных экстремальных задач для функций с малым носителем и получить новые оценки в задачах о константах Никольского. Решить экстремальные задачи для многочленов и рядов по ортогональным многочленам, связанные с оценками мощности кодов и дизайнов на однородных пространствах.
Методика исследований. Применяются современные методы теории функций действительного и комплексного переменного, функционального анализа, в частности, теории пространств Lp со смешанной нормой, теории приближений, теории экстремальных задач, абстрактного гармонического анализа и теории представления классических групп, теории задачи Штурма-Лиувилля и операторов обобщенного сдвига.
Для доказательства точных неравенств Джексона в пространствах Lp при 1 р 2 используются положительная определенность зональных сферических функций и положительные ядра типа Бомана-Коровкина по таким функциям, имеющие экстремальные характер. Поиск оптимальных аргументов в неравенствах Джексона опирается на решение экстремальных задач дельсартовского типа.
При решении экстремальных задач для целых функций многих переменных экспоненциального сферического типа используются метод I усреднения и квадратурные формулы гауссовского и марковского типов на полуоси со степенным весом. Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем. Вычислены точные константы Джексона в пространствах Lp при 1 р 2 на компактных римановых симметрических многообразиях ранга 1, в пространстве L i на многомерном гиперболоиде и полуоси с весом для приближений частичными интегралами Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Для степенного веса и пространства Жп найдены оптимальные аргументы в точном неравенстве Джексона. Решены экстремальные задачи Черныха-Логана, Турана, Дельсарта для целых функций многих переменных экспоненциального сферического типа. Для отдельных значений параметров решены экстремальные задачи Турана, Конягина для функций одной переменной с малым носителем. Улучшены оценки (С, і)-констант Никольского. Доказана неулучшаемость некоторых известных оценок характеристик кодов, дизайнов, упаковок и покрытий в однородных пространствах, полученных при решении экстремальных задач. Решена в одном случае экстремальная задача Монтгомери, связанная с множествами ван дер Корпута в теории чисел. Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Развита схема получения точных констант Джексона в пространствах Lp при 1 р 2 на однородных пространствах, не являющихся абелевыми группами. Разработана методика решения экстремальных задач для целых функций многих переменных экспоненциального типа. Установлена взаимосвязь экстремальных задач из разных областей математики. Полученные результаты могут быть использованы при решении новых экстремальных задач в теории функций, теории приближений, дискретной математике, теории чисел. Публикации. Основные результаты опубликованы в 10 статьях в центральной печати [21, 25, 27-29, 31, 33, 36, 109, 115], в 8 статьях в журнале «Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информа J тика», входящем в перечень ВАК РФ ведущих научных журналов и изданий [19, 20, 22, 23, 26, ЗО, 34, 35], в двух статьях в трудах международных конференций [24, 32] и трех электронных препринтах, размещенных на цитируемом ресурсе Интернет [110-112]. В совместной работе [31] В. И. Иванову принадлежит утверждение б теоремы 3. В работе [115] автору принадлежат результаты относительно задачи Монтгомери. В работе [33] А. С. Маношиной частично принадлежат лемма 2 и случай р = 3 в теореме 3. В работе [36] С. А. Странковскому принадлежат одномерные результаты. В работе [34] М. С. Пискоржу в доказательстве теоремы принадлежит оценка снизу. В работе [35] О. С. Столяровой осуществлены компьютерные вычисления. Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж (1997, 2005); школа-конференция «Алгебра и анализ», посвященная 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева, Казань (1997); 9-я Саратовская зимняя математическая школа, Саратов (1998); Международная конференция «Теория приближений и гармонический анализ», Тула (1998); XII Международная конференция «Проблемы теоретической кибернетики», Нижний Новгород (1999); Международная школа СБ. Стечки-на по теории функций, Миасс Челябинской обл., (1998, 1999, 2001, 2004); Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», Тула (2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005); Международная конференция «Теория приближений функций и операторов», Екатеринбург (2000); Международная конференции «Колмогоров и современная математика», Москва, (2003); Международный семинар «Дискретная математика и ее приложения», Москва (2004); Международная конференция «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященная столетию СМ. Никольского, Москва (2005); Тезисы докладов, указанных конференций, опубликованы. Также результаты диссертации докладывались на научных семи нарах: под руководством академика РАН П. Л. Ульянова и члена корреспондента РАН Б. С. Кашина в МГУ им. М.В. Ломоносова; под руководством профессора С. В. Конягина в МГУ им. М. В. Ломоносова; под руководством профессора В. М. Сидельникова в МГУ им. М. В. Ло моносова; под руководством профессора С. А. Теляковского в МИ им. В. А. Стеклова РАН; под руководством члена-корреспондента РАН Ю. Н. Субботина и профессора Н. И. Черныха в ИММ УрО РАН; под руководством профессора В. И. Иванова в ТулГУ.
Экстремальные задачи типа Черныха-Логана
Из теоремы 1.2.2 вытекает новое доказательство леммы 1.1.4 для меры da(t) = с(1 - t2)A ей, Л = —— —п (п = 2,3,...), которой соот ветствуют многочлены Якоби РгЛ Л( )/Р/Л,Л(1), называемые в этом случае многочленами Гегенбауэра или ультрасферическими многочленами. В завершении оценки сверху константы Джексона (2.5) необходимо использовать весовую функцию v(t) = va,f3,s(t) из работы [9], которая обладает свойствами:
Здесь Pi(t) = laj3 — многочлены Якоби, da — мера Якоби (формула (5) из введения), ts = cosrs, rs = га /з(5), а, (3 — параметры КРОСП. Для этой весовой функции, аналогично тому, как это было сделано в п. 1.1.1, показывается, что Vl Pl(ts)vQ {1 = 0,1,...,3-1). При этом используется неравенство справедливое для многочленов Якоби при а /3 —1/2 [69]. В случае параметров КРОСП а, (3 данное неравенство также вытекает из положительной определенности зональных сферических функций. Многочлен us(t) (2.9) обладает аналогичным многочлену к из леммы 1.1.4 экстремальным свойством: среди всех неотрицательных многочленов u(t) степени 2s — 2 у многочлена us(t) наибольшее отношение первого коэффициента Фурье в разложении по многочленам Pi к нулевому коэффициенту, равное )- = Pi(ts). Оценка сверху щ P\{ts)uQ для любого неотрицательного многочлена u(t) степени 2s - 2 вытекает из квадратурной формулы Гаусса справедливой для любого алгебраического многочлена степени 2s -— 1. Применяя ее к многочлену u(t)(P\(ta) — P\{t)) степени 2s - 1, и используя положительность весов 7sfc. неотрицательность многочлена u(t) и разностей P\(ts) — Правильная оценка снизу получается на многочлене, имеющем в узлах tsk двойные нули, т.е. на многочлене us(t). Теоремы 1.2.1 и 1.2.2 обобщены на случай дискретных пространств и связанных с ними системами дискретных ортогональных многочленов (см. 1.3, [45]). Схема, с помощью которой была установлена оценка сверху констант Джексона в пространстве Lp на КРОСП, а ранее для тора Тп [39, 82], работает и для других однородных пространств, в частности, дискретного пространства Хэмминга Z. Здесь возникают нюансы, связанные с дискретностью. Так потребуется модифицировать ключевую теорему 1.2.2. Пусть п, q Є N, q 2, ZJ = {x = (x0,...,xn-i): Xi = 0,1,-..,9- 1} — конечная абелева группа с операцией покоординатного сложения по modq и метрикой d(x,y) — \х — у\, где \х\ = 1 — вес Хэм минга элемента х Є Z (ж = 0,1,... , п); их = UQXQ + ... + vn-\xn-\ (и,х Є ZJ) и хЛх) = ехР ( ) f — система характеров на ZJ; f(x) d/i(x) = — 2 fix) — инвариантный нормированный интеграл ц q Ц на Z и для р ОчеВИДНО, ЧТО lp{%g) = h{%q), Т. Є. Любая фуНКЦИЯ / Є Jp(Zj) принадлежит также и (Z ). Так как система характеров является ортонормированной, то для функции f(x) справедливо разложение в ряд Фурье — множество тригонометрических полиномов порядка R - 1 по харак терам группы Z"; для функции / Є /P(Z") л(/Д)р=тт/-% (3.2) — величина наилучшего приближения / полиномами порядка R, (см. (3.1), (3.2), (3.3)), поэтому константа Джексона D(5,R,Zq)p изучается как функция переменных 5,R= 1,..., п. Получим оценку сверху константы Джексона D(S,R,Zq)p при 1 Р 2. Пусть I = 0, ... ,71, Vt = } v(x) = Y CvXAx) -cveC\ — инвариантные подпространства [43]. Тогда Нормированные многочлены Кравчука Pi(t) для l,t = 0,...,n обладают следующими свойствами [43, 53]: (положительная определенность); 6) Pi{t)Pj(t) = J2 dkcijkPk{t) = J2 dkCijkPk{t), где k=\i-j\ к с к 0, c k = 0 (A; i - j, A; і + j). В свойстве 6 коэффициенты Сф не зависят от перестановки индек х.. СОВ І, j, к, djo = -jf И J2 dmCijmCklm = 2 dmCikmCjim (см. 1.2). 1 т т Из свойства 6 следует, что для многочленов Кравчука выполнено условие Крейна.
Экстремальная задача Конягина для периодических функций
Элементы гармонического анализа на евклидовом пространстве Rn приведены в книге [73]. Теория целых функций экспоненциального сферического типа изложена в книге [62].
Пусть для 1 р со C(Rn) — множество непрерывных функций /: Rn — С с равномерной нормой /с = 11/Цоо = — прямое и обратное преобразования Фурье функции / Є Li(Rn). Если /, / Є C(Rn) nLi(Rn), то / = /, / = / (сходимость равномерная). Многие экстремальные задачи, рассматриваемые далее, ставятся для положительно определенных функций [78, 80]. Непрерывная функция /: Rn — R называется положительно определенной, если Из этого определения следует, что такая функция / обязательно четная (f(-x) = f{x)) и ограниченная \f(x)\ ДО) (я: Є Rn), /(0) $ 0. Функция / Є C(Rn)nLi(Rn) положительно определенная тогда и только тогда, когда ее преобразование Фурье неотрицательно [78]. Целой функцией экспоненциального типа [5, гл. IV] называется целая функция /, для которой \f(z)\ AeBW (Vz Є С), где постоянная А О зависит только от числа Б 0. Типом функции / называется число а 0, являющееся нижней гранью чисел Б. Пусть Еа — множество всех целых функций экспоненциального типа, не большего а О, Е(а) = Е2па, Е% — подмножество четных действительных функций из Еа, Ео(а) = Е а . Одним из многомерных вариантов класса Еа является класс En,R целых функций /: Сп —» С экспоненциального сферического типа, не большего R 0: Положим При p 1 справедливо включение Ef(r) С Б (г) [62]. Класс Б (г) допускает следующее описание. По теореме Пэли-Винера V/ Є E(r) (г 0) преобразование Фурье f(y) непрерывно и имеет носитель в шаре Б" (supp/ С Б"). При этом /(я) = f{y)e(xy)dy= f(x). в? Обратно, из принадлежности функции / Є Ь\(Ш.п)Г\С(Жп) и условия supp/ С Б вытекает, что / Є Б"(г). Таким образом, класс Ef(r) совпадает с классом функций / Є Li(Rn)nC(Rn), носитель преобра-зования Фурье которых содержится в шаре Б": supp/ С Б". В гармоническом анализе в Кп большую роль играет нормированная функция Бесселя (см. пример 3 из п. 1.5.3) В многомерных задачах порядок а принимает значение а=тг-1 (neN). (1.3) Особая роль нормированной функции Бесселя обусловлена тем, что она является радиальной собственной функцией оператора Лапласа і в Rn, а также с помощью нее выражаются зональные сферические функции для пространства Rn, рассматриваемого как однородное пространство I0(Rn)/SO{n) [18]. Приведем некоторые свойства нормированной функции Бесселя ja. Она является четной целой функцией экспоненциального типа 1 (ja Є Є EQ) С произведением Вейерштрасса и при z -» оо, Re 2; 0, имеет асимптотическое представление Для порядка а, задаваемого равенством (1.3), справедлива интегральная формула ja{2irs\x\) = — [ e{sx) d {seC, хе Rn). (1.9) 5n-i Функция f(x) (x Є Rn) называется радиальной, если она зависит только от длины вектора х: f(x) = fo(\x\). Отметим, что если /о Є EQ, то функция f(x) = fo(\x\) Є En R. Для радиальных функций преобразование Фурье выражается через интегральное преобразование Ганкеля Из формулы (1.9) следует, что нормированная функция Бесселя ja(27rsa;) (s Є К) является действительной положительно определенной функцией. Следовательно, если преобразование Фурье-Ганкеля радиальной функции / Є L\(Rn) неотрицательно, то / является действительной положительно определенной функцией. Верно и обратное утверждение. Особенностью рассматриваемых задач является то, что допустимые функции в них после операции усреднения по сферам с центром в нуле остаются допустимыми, а исследуемый функционал для усредненной функции не изменяется (с точностью до умножения на постоянную). Это позволяет сводить исследуемые задачи к задачам для радиальных функций, т. е. в итоге к одномерным задачам.
Экстремальные задачи, связанные с оценками мощности кодов и дизайнов
Важной проблемой математики является задача о вычислении максимальной плотности упаковки Ап евклидова пространства Rn шарами.
Величина Ап может быть определена равенством [48, 68, 129] где NJI — максимальное количество единичных шаров Вп, которые можно расположить внутри куба [-R, R]n с ребром длины 2R. Множество центров шаров, на котором достигается предел (4.1), называется экстремальной упаковкой.
Наряду с общей задачей Ап рассматривают задачу Д, в которой центры шаров должны образовывать решетку. Точное значение величины Ап известно при п= 1,2 (Aj = 1/2, А2 = тг/\/Т2 = 0,90689...) В 1998 г. Т. Hales [114] анонсировал решение задачи Кеплера. Точное значение величины А известно при п = 1,2,...,8 [68] и п = 24. В размерности п = 2 ее вычислили Ж. Л. Лагранж и К. Ф. Гаусс, в размерности п = 3 — К. Ф. Гаусс, в размерностях 4, 5 — А. Н. Коркин и Е. И. Золотарев, в размерностях 6-8 — Блих-фельдт [94], в размерности 24 — Н. Cohn и A. Kumar [99-101]. Много усилий сосредоточенно на получении более точных границ величины Ап для общих размерностей п. При п 1 наилучшая на сегодняшний день оценка снизу величины Дп была найдена еще в 1905 г. неконструктивно Минковским В 1958 г. К. Роджерс доказал универсальную оценку сверху Дп ап = Ап 2--5 Л+0С1)) (п _ оо), где величина сгп равна отношению объема части правильного симплекса в Жп с ребром 2, покрытой шарами радиуса 1 с центрами в вершинах симплекса, к объему симплекса. Оценка Роджерса точна при п= 1,2, а при п 3 теперь улучшена. Заметим, что асимптотическая оценка Ап 2-0 5(п+М) была получена еще в 1929 г. Блихфельдом [93]. Первая верхняя асимптотическая оценка Ап, лучшая асимптотической границы Блихфельда-Роджерса была получена в 1973 г. В.М. Си-дельниковым. На сегодняшний день (2004) наилучшая асимптотическая оценка сверху была доказана в 1978 г. В. И. Левенштейном и Г. А. Каба-тянским Они вывели ее из неравенства Яглома An (sin0/2)M(n + 1,0) и результатов по оценке сверху максимальной мощности Л(п-\- 1,0) сферических 0-кодов на единичной сфере Sn пространства Rn+1 [53]. Неравенство Яглома и оценки А(п 4- 1,0) для разных 0 позволили, начиная с размерности п = 43, улучшить границу Роджерса [48]. В 1979 г. Левенштейн предложил еще одну универсальную оценку При п 1 она уступает оценкам, получаемым из неравенства Яглома, но лучше оценки Роджерса. В 1989 г. для приложений к упаковкам шарами тора и куба оценка Левенштейна была передоказана В. А. Юдиным [84]. Варианты экстремальной задачи Дельсарта для разложений по ортогональным многочленам интенсивно используются в задачах об оценке мощности кодов и дизайнов на евклидовой сфере и других компактных римановых симметрических пространствах ранга 1, дис- кретного пространства Хэмминга F и других компактных однородных пространствах (см., например [3, 37, 53, 70, 88, 123]). В 2001 г. Н. Cohn и N. Elkies [98] на пути решения общей интегральной задачи Дельсарта получили новые оценки плотности Ап, которые при 4 n 36 лучше оценок Роджерса. При этом в размерностях п = 8,24 они вплотную подошли к известным нижним границам. Далее решается интегральная задача Дельсарта для целых функций экспоненциального сферического типа. Независимо она также была решена Н. Cohn [97]. 2.4.2. Оценка Ап и интегральная задача Дельсарта. Зафиксируем некоторое число г 0 и введем класс Кп{г) с Е?(г) функций /, обладающих свойствами: Поскольку Yn(x) 0 при ж 2, то функция Уп удовлетворяет свойствам (4.3)-(4.5) при г = гп, поэтому Yn 6 Кп(гп). Конструкция функции ya(t), из которой очевидным образом следуют все свойства функции Yn, приводится далее в п. 2.4.4. Очевидно, что для г г класс Кп{т ) содержит класс Кп(г). Поэтому Yn Є Кп(г) и при г гп. Приступим к оценке плотности Дп. Пусть R 1 и — произвольный набор точек, удовлетворяющих условиям \Х{ — Xj\ 2 Vz, j (г ф j). Очевидно, что шары радиуса 1 с центрами в точках Х{ не пересекаются и образуют упаковку куба [—R,R]n. Получим оценку числа шаров N, используя функции из класса Кп(г). Пусть / — произвольная функция из класса Кп{г). Рассмотрим ее 2Я-периодизацию [73]
