Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Неравенства для модулей колец
1. Предварительные сведения 13
2. Обобщения задач Греча и Тейхмюллера 15
3. Принцип частичной симметризации 19
Глава II. Теоремы покрытия и искажения
1. Неравенства для однолистных функций 24
2. Приведенный модуль и двуточечные теоремы искажения 30
3. Теоремы искажения с п-кратной симметрией 39
Глава III. Задача об экстремальном разбиении круга
1. Необходимые условия экстремума 46
2. Построение вспомогательной функции 49
3. Исследование на экстремум 50
Литература 62
Приложение : 66
- Обобщения задач Греча и Тейхмюллера
- Приведенный модуль и двуточечные теоремы искажения
- Теоремы искажения с п-кратной симметрией
- Построение вспомогательной функции
Введение к работе
Результаты, содержащие оценки разного рода функционалов, играют ключевую роль в теории однолистных функций - основополагающем разделе геометрической теории функций. На протяжении XX-го века исследованием экстремального поведения объектов в рамках данной теории занимались: П.Кебе, Л.Бибербах, К.Левнер, Х.Греч, И. Е. Базилевич, Г. М.Голузин, В. К.Хейман, И.М. Милин, Н.А.Лебедев, Дж. А.Джен-кинс и многие другие математики.
Одним из актуальных направлений исследования в теории однолистных функций являются неравенства, связывающие модули функций-представителей заданных классов, их производные и значения аргумента (теоремы покрытия и искажения). В ходе развития теории был разработан ряд специальных методов, применяемых при доказательстве теорем покрытия и искажения: параметрический метод, вариационный метод, метод экстремальных метрик, метод симметризации и другие. Значительный прогресс в этом направлении за последние десять-пятнадцать лет связан с развитием метода экстремальных метрик и теории емкостей конденсаторов, включая исследования асимптотического поведения конденсаторов общего вида. При этом был разработан аппарат приведенного модуля, построены новые симметризационыые преобразования, изучена связь емкости и модуля семейств кривых. Результаты теории находят многочисленные применения во многих разделах математики, особенно -в математической физике и теории потенциала.
Другим направлением исследования в теории однолистных функций являются задачи об экстремальном разбиении. Под этим названием объединены задачи нахождения верхней грани сумм вида a-yMi + a-2iV/2 + \-апМп, где afc -заданные положительные числа, а Мд,. - модули или приведенные модули попарно неналегающпх областей, удовлетворяющих определенным условиям. На сегодняшний день задачи об экстремальном разбиении имеют богатую историю, началом же направления считается известная теорема М.А.Лаврентьева о произведении конформных радиусов неналегающих областей. Пути дальнейшего развития этого направления обозначены целой серией нерешенных проблем, в числе которых до недавнего времени оставалась задача Г. В. Кузьминой об экстремальном разбиении круга на три неналегающие области.
Среди современных исследований в области экстремальных задач теории однолистных функций отметим работы П.Дюрена, Г. В. Кузьминой, Д. В. Прохорова, Д. Минды, А. 10. Солынина, В. Н. Дубинина, А. Ю. Васильева.
Целью диссертационной работы является получение новых неравенств для модулей колец общего вида, новых теорем покрытия и искажения, а также доказательство гипотезы Г. В. Кузьминой об экстремальном разбиении круга на три неналегающие области.
В первой главе изучаются неравенства для модулей колец (под кольцом мы понимаем произвольную двусвязную область). Каждое из таких неравенств влечет за собой оценки искажения при отображении кольцевых областей регулярными функциями, поскольку любую двусвязную область с невырожденными граничными компонентами можно интерпретировать как образ кругового кольца при некотором однолистном отображении. Примеры подобных приложений имеются в работах Дж. А. Дженкинса, Т. Кубо, Н. А. Лебедева, Г. В. Кузьминой, В. А. Шлыка.
Первый параграф главы носит вспомогательный характер. Здесь собраны сведения из теории емкостей конденсаторов, необходимые для дальнейшего изложения.
В начале второго параграфа сформулированы классические результаты Греча и Тейхмюллера для модулей кольцевых областей, а затем доказаны их обобщения в терминах емкости конденсатора. Дадим, предварительно, необходимые определения.
Определение 1.1.1. Конденсатором на сфере Сг называется всякая упорядоченная пара С = (Ео,Е\) непересекающихся непустых замкнутых множеств Eq и Е\. Открытое множество С2 \ [Ео U Е\) называется 'полем, а сами множества Ео, Е\ - пластинами конденсатора С. Емкостью конденсатора С называется величина cap С — inf / / |Vu(z)|2 dx dy, где точная нижняя грань берется по всевозможным функциям v(z). равным нулю на Е0, единице на Е\ и удовлетворяющим условию Липшица иа С2 (функция v(z) удовлетворяет условию Липшица па Cz, если она непрерывна в точке оо и существует постоянная К, такая, что для любых конечных точек z и .-' выполняется неравенство \v(z) — v{z')\ ^. K\z — z'\). Модулем, конденсатора С называется величина modC= (cap С)-1.
Введем обозначения: w = dt(z) = (z — t)/(z + t) - дробно-лппеііпая функция, t - комплексный параметр, Ret > 0; d^1(w) - функция, обрат ная к ги = dt(z); Dk — {z — rel9 : 0
Лемма 1.2.1. Пусть a, Ь, г и R как и выше, и пусть конденсатор (Eo,Ei) удовлетворяет, следующим условиям: пластина Eg содержит круг \z\ < г и соединяет точку а с точкой —а, а пластина Е\ содержит множество \z\ > R и соединяет тючки Ъ и —Ъ. Тогда для любого t, Het > О, справедливо неравенство mod(E0,Ei) ^ mod G{t,r,a,b,R). (1.2.1)
Если, дополнительно, поле G конденсатора (Eq,E\), является кольцом, то равенство в (1.2.1) достигается только при совпадении G с кольцом G(, г, а, Ь, Л), с точностью, бить может, до сдвига вдоль мнимой оси.
Лемма 1.2.2. Пуст,ь О < г < |Ь| ^ R ^ оо, ReЬ > 0. Если дополнение к пластине Eq конденсатора {Eq.E\) не содержит, точек ~i, Z2, связанных равенством z\~2 = г~, а пластина Е\ содержит множест.во \z\ > R и соединяет точки Ь и —Ъ, то справедливо неравенство mod(E0,Ei) ^ mod Hx(r,b,R). (1.2.2)
Если, дополнительно, поле G конденсатора (Eq,Ei), является кольцом, то равенство в (1.2.2) достигаетхя только при совпадении G с H\(r,b, R).
Доказательство этих лемм основано на снмметризациоипых преобразованиях и свойствах емкости конденсатора. В свою очередь, использование модуля конденсатора вместо модуля кольца позволяет применить разделяющее преобразование конденсаторов совместно с леммами 1.2.1 и 1.2.2 для доказательства основного результата первой главы - теоремы 1.2.3, с которой начинается третий параграф.
Теорема 1.2.3. Пусть G - двусвязная область на сфере С2, и пусть Ео, Ei - компоненты дополнения этой области,. Предположим, что для каждого к — 1,..,п (п ^ 2) область G удовлетворяет по крайней мере одному из следующих условий: (1) При некоторых rk, ак,Ък и Rk, 0 ^ гк < Rk ^ оо, ак,Ък Є Dk П {z : rk ^. \z\ ^ Rk}, одна компонента дополнения G', например Eq, содержит сектор {~ : |-;| < г^}ПЙ^. и соединяет точку ак с границей Dkl а другая {Е\) содержит сектор {z : \z\ > Rk} П-Dfc и соеди.пяст. точку bk с границей Dk.
При некоторых гк, Ьк и Rk, 0 < rk < Rk ^ оо, Ък Є Dk П {z : rk < \z\ ^ Rk), одна из компонент дополнения G, допустим Е\. содержат сектор {z : \z\ > Rk) П Dk и соединяет точку bk с границей Dk. Множество (GU E\)V\Dk не содержит точек zi,Z2, связанных равенством z\Z2 = г^егАк^'п.
При некоторых rk: ak uRk, О ^ rk < Rk < оо, ak Є Dk П {z : rk ^ \z\ < Rk), одна из компонент дополнения G, допустим Eq, содержит сектор {z : \z\ < гк) П Dk и соединяет тючку ак с гратщсй Dk. Множество (GUEq) C\Dk не содержит, точек z\,Z2, связанных равенством ~i~2 — R2e'4kK'"
Тогда справедливо неравенство modG^U^lmodG*,.)-1^ , (1-2.3) где кольца Gk, к = 1,..,п, определены, следующим образом: если при дам-ном к область G удовлетворяет условию _ (1), то Gk = {z : zn>2 Є G{t,r^' ,а^ ,fr)! ,Rk )}, где t- любое комплексное число с Ret > 0; если же исходная область удовлетворяет условию (2), то Gk имеет вид {z : zn>2 Є Hi(r^' , &' ,R^' )}, а в случае, когда при данном к обла.стъ G удовлетворяет условию (3), Gk = {z : znl2 Е Яг(г^' ,а^' , R^J )}.
Равенство в (1.2.3) имеет место только для п-кратно симметричного кольца G, совпадающего с одним из Gk, 1 ^ k ^ п, где, в случае выполнения условия (1), параметр t выбирается действительным и удовлетворяющим, неравенству |а | ^ t <С |Ь^ \.
В ряде частных случаев модуль кольца G(t,r,a,b,R) нетрудно посчитать с использованием эллиптических интегралов. К одному из примеров применения этих результатов мы обратимся позднее. Здесь же в третьем параграфе сформулирован принцип частичной симметризации Хэ [39] (см. также [10, стр.42]), к которому в идейном плане восходит теорема 1.2.3.
Вторая глава разбита на три параграфа, объединяющих теоремы покрытия и искажения по методу их получения (см. [2], [4-10], [37-45]).
В первом параграфе рассматриваются теоремы покрытия и искажения, вытекающие из решения известной задачи Тейхмюллера о модуле двусвязной области. В частности, для мероморфных и однолистных в единичном круге функций, с нормировкой /(0) = 0, доказаны неравенства: r2(i-ri): /Ы /7(ri) (2.1-7) /('2)
ДЫ V/M J ri('*i - 7*2)(! - rlr2)
ГДЄ ТОЧКИ ?'1, 1'2 отличны от полюсов, 0 < /*2 < /"і < 1 или —1 < У2 < С) < 'і < 1, и
2(1 -Ы: f'(ri) (2.1.7а) /Ы /7М /(»"2) V/(r2) 'J »'і(г2-Гі)(1-ГіГ2)
0 < гі < r2 < 1. Равенство в (2.1.7) и (2.1.7а) достигается для суперпозиций функции Кебе и функции h(w) = aw/(w — Ь) при всех а,Ь ф 0, Ь ф к (г к), к = 1,2. Эти неравенства связаны с известной задачей Мокаиу [45] и были получены ранее А.Ю.Васильевым и Г.Н. Камышовой для регулярных и однолистных в единичном круге функций с нормировкой /(0) = 0, /'(0) = 1, и вещественными коэффициентами разложения в ряд (класс Sr). Следующее неравенство справедливо для регулярных и однолистных в единичном круге функций с нормировкой /(0) = 0: (1+Г!)(1-Г2)2 /ы (2.1.10) (l-ri)(l + r2)^ г2(1-п)3
Г2(1 + Г!)3 где 0 < г і < г\ < 1. В случае —1 < 7-і < ?-2 < 0 знаки неравенств в (2.1.10) меняются иа противоположные. Равенство в правой части (2.1.10) достигается для функций az{\ — z) , а в левой - для az(\ + z) любом а ф 0. Правая часть неравенства (2.1.10) для 0 < г2 < >'\ < 1 и функций класса Sr была также получена ранее А. Ю. Васильевым и
Г. Н. Камышовой (см. [5], также [16]). Пусть Л"(гі,Г2,7*з,т\і) = {z : \z\ <
1} \ {[-1,П] U [Г2,Г3] U [Г4,1]}, ГДЄ -1 <С П < 7-2 < '"З < 7'4 ^ 1= (о.Ь.Г.г/) ангармоническое отношение четырех точек а, Ь, с и d на сфере Cs [33]. Неравенства (2.1.7), (2.1.7а), (2.1.10) и ряд других оценок содержатся в следующем утверждении:
Теорема 2.1.1. Пусть функция, w = f(z) мероморфна и однолистна в единичном круге \z\ < 1, и пусть —1 ^ ?'i < г2 < гз < ?'4 ^ 1. ПустьW2, и>з - произвольные различные тючки на кривой /([7'2,?*з]); а wi иг/74 - различные точки на другой компоненте дополнения образа кольцаЛ"(гі,7*2,гз,7*4) при отюбражении iv — f(z). Тогда справедливы, неравен ства - ..
1(703,7/^,702,7(-4)1 ^ ЧМЫ, %1),'Ф'2), ^Ы), (2.1.1) |(70з,702,70Ь704Ж (Цг3), Цг2), Цг^, к{г4)), (2.1.2) где k(z) := ~(1 + z)~2 - функция Кебе. Равенство в каждом из (2.1.1) и (2.1.2) имеет место тюлько для, суперпозиций функции k(z) и произвольного дробно-линейного отображения, и для точек w^, являющихся образами тючек г^, или rs-k , k = 1,2,3,4, соответ,ст,венно.
Аналогичный результат имеет место для функций, заданных в кольце.
Второй параграф второй главы содержит двуточечные теоремы искажения, полученные с помощью техники приведенного модуля [11-13]. Среди них - теорема 2.2.6, связывающая два известных инварианта: выражение f'(zi)f'(z2)/(f(zi) — /())2 и производную Шварца: Sj(z) — f'"(z)/f'(z)-(3/2)(f"(z)/f'(z))2.
Теорема 2.2.6. Если функция f(z) мероморфна. и однолистна, в круге \z\ < 1, и /(db") ф оо, 0 < г < 1, то имеют м,есгпо неравенства Sf{r) + bf( г) l-(/(r)_/(_r))2 + r2
48r2 < (ЇТ*)ї. <2'2'4) Sf(r) + Sf(-r) + (l + r2)2 f'(r)f'(-r)
3(6r2 - r4 - 1)
12 Re (f(r)-f(-r))2} ~* г2(1-Г2)2 (2'2-5)
Равенство в (2.2.4) u (2.2.5) достигает.ся для суперпозиций функции Кебе и произвольного дробно-линейного автоморфизма сфери.
В третьем параграфе второй главы с применением частного случая первого пункта теоремы 1.2.3 доказана теорема искажения, в которой экстремальная функция обладает гс-кратной симметрией.
Теорема 2.3.1. Пусть функция ги = f(z) мероморфна и однолистна в круге \z\ < 1, и пуст,ь zk- - произвольные точки, удовлетворяющие условиям: \zk\ = г, 0 < г < 1, и /(-а,-) Є Dk, к — 1,.., л (п ^ 2). Тогда \1П \ fc=i (2.3.1) r--\zk)r{zk) r(l + г») RefJ(zk)
Равенство имеет место для функций вида f(z) = c(k(zn))1/n и т.очек Zk = гег2кп'п, к = 1,..,?г, где с - произвольная положительная, постоянная.
Неравенство (2.3.1) было получено ранее В. Н. Дубининым при дополнительном условии: arg f(zk) = 2пк/п, к = 1,.., п [10, с. 59]. В этом случае левая часть (2.3.1) иеет вид ?/ JJ \f'(zk)/f(zk)\. V fc=i Третья глава целиком посвящена решению задачи Г.В.Кузьминой об экстремальном разбиении круга на три неиалегающие области [27] (см. также [28-30]). В терминах внутренних радиусов эта задача формулируется следующим образом: показать, что максимум произведения внутренних радиусов трех односвязных попарно непересекающихся областей, принадлежащих кругу \z\ < 1, достигается в случае трех равных секторов. С другой стороны, в силу эквивалентности для односвязных областей понятий внутреннего и конформного радиуса, эта задача заклю- з чается в исследовании на максимум выражения FJ 1/((0)1, где функции w = fk{z) конформно и однолистно отображают круг \z\ < 1 на непересекающиеся области Dk, принадлежащие кругу \w\ < 1. Виутрспииіі радиус r(Dfc, Д.(0)) области Dk относительно точки Д(0) равен |/(.(0)|. Аналогичная проблема для двух функций, однолистно отображающих круг на непересекающиеся области в плоскости Сги, была решена в 1934 г. М. А. Лаврентьевым: |/((0)/2(0)| ^|а1-а2|2, где ак = fk(0)eBk = fk{{z : |z|
В 1950г. П.П.Куфарев решил задачу об экстремальном разбиении круга на две неналегающие области [31]. Вопрос об экстремальном разбиении круга тремя областями до недавнего времени оставался открытым1. Ответ дает следующая теорема:
Теорема 3.3.4. Для любых попарно непересекающихся односвязных областей Dk С {- : \z\ <1} и точек zk Є Dk, k — 1,2,3, верна оценка:
П r(Dk,zk) ^ Ц(223 - 70у/Ї0). (3.3.7)
Равенство в (3.3.7) достигается только для сектюров раствора 27г/3, и точек z^ , |z. I = у а/Ї0 — 3 , лежащих на их биссектрисах.
Доказательство теоремы основано на построении конформного отображения специального вида с последующим применением неравенства (3.2.1). Техническая часть исследования включает в себя вычисления на ЭВМ. Текст основного программного модуля на языке Pascal вынесен в конец работы в виде приложения.
Вскоре после публикации препринта [19] автор получил оттиск статьи Г. В. Кузьминой [30] с принципиально иным подходом к решению той же задачи.
Подводя итоги, перечислим основные результаты диссертационной работы:
Получены новые неравенства для модулей колец общего вида, содержащие в виде частных случаев обобщения классических неравенств Греча, Тейхмюллера и принципа частичной симметризации Хэ.
Доказаны новые теоремы покрытия и искажения. В частности, по- , лучены распространения двуточечных теорем искажения А. Ю. Васильева и Г. Н. Камышовой на более широкие классы функций. Дано обобщение теоремы В.Н.Дубинина об искажении с ?г-кратно симметричной экстремальной функцией.
Решена задача Г.В.Кузьминой об экстремальном разбиении круга на три неналегающпе области.
По теме диссертации опубликовано 12 работ [14]—[15], [17]-[26].
Результаты диссертации по мере их получения докладывались на Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1997-2000), на Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е. В. Золотова (Владивосток, 1997, 1999, 2000), на семинарах по геометрической теории функций Института прикладной математики (руководитель д.ф.-м.п. В. Н. Дубинин), на семинаре кафедры теории функций и функционального анализа ДВГУ (руководитель д.ф.-м.н. Н.Н.Фролов), на научных семинарах Института прикладной математики ДВО РАН (руководитель чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецов).
Обобщения задач Греча и Тейхмюллера
Здесь приводятся двуточечные теоремы искажения, при доказательстве которых помимо симметризации применяется техника обобщенных приведенных модулей [11, 13]. Введем сперва понятие приведенного модуля и рассмотрим некоторые его свойства. Пусть В - область на сфере Сг, дополнение которой EQ = Cz\ В имеет положительную гармоническую меру [7]. Пусть zi, / = 1,.., m, - различные точки множества В; 5;, / = 1,..,ш, - произвольные отличные от нуля вещественные числа, и пусть ті, щ, I = 1,.., ш, - произвольные положительные числа. Примем следующие обозначения: Z = {zi}, А = {5/}, Ф = {Фі}, ф1 = фі(г) = щгиі, 1 = 1,.., m; E(zo, r) = {z : \z — ZQ\ SC г} в случае конечной точки ZQ И E(zQ,r) = {z : \z\ 1/r}, в случае ZQ = со, г 0. Здесь и ниже, если не оговорено противное, символы { }, Y1 п П означают соответственно совокупность, суммирование и произведение по всевозможным индексам, указанным в контексте, за исключением тех, при которых слагаемое в 2 лп бо равно со, либо неопределено, а сомножитель в произведении равен либо нулю, либо оо. При достаточно малом г 0 определим обобщенный конденсатор как упорядоченную совокупность обычным конденсатором, модулем конденсатора С (г, В, Z, А, Ф) называется величина где верхняя грань берется по всем вещественнозначным функциям v(z), непрерывным на С2, удовлетворяющим условию Липшица в некоторой окрестности каждой конечной точки и таким, что v(z) = 0 в окрестности множества EQ и v(z) = Si на E(zi,ipi(r)), 1 = 1,..,m (здесь 1/0 = +оо). Приведенным модулем множества В относительно совокупностей 2, А и Ф называется предел где v = { 8fu l) . В случае ipi(r) = г, / = 1,.., га,-вместо M(B,Z, А,Ф) будем писать M(B,Z, А). Указанный предел всегда существует и конечен [11].
Приведенный модуль обладает свойством монотонности: для любых Z — {zi}, z\ Є В С -В , / = 1,.., га, и любых А, Ф. . Важным распространением понятия приведенного модуля "сохраняющим свойство монотонности, является приведенный модуль комплексной сферы [13]. Так называется предел где конденсатор С(г;,Д,Ф) = {(гь-0і(г)), . . . ,Е(гт,фт(г))}] Z, А, Ф, z/ те же, что и выше, и выполняются условия: YH i/ui) — О, Yl f Ф 0. Пусть ZQ Є В. Обозначим через gs(z, ZQ) наименьшую ИЗ неотрицательных гармонических в В\ {ZQ} функций, доопределенных нулем во внешности В и имеющих в окрестности точки ZQ разложение Функция дв{г, ZQ) называется функцией Грима области В с полюсом в точке ZQ, а входящая в разложение величина r(B,zo) - внутренним радиусом В относительно ТОЧКИ ZQ. Формулы для вычисления приведенных модулей области В и сферы Сг, а также взаимосвязь этих объектов приведем в виде следующих лемм. Лемма 2.2.1. Пусть В, Z, Д, Ф, v - те же, что и выше. Тогда, Лемма 2.2.2. Пусть Z, А, Ф, v - те же, что и выше, и выполняются условия: ( / /) = 0, ]С 27 0. Тогда, Лемма 2.2.3. В условиях леммы 2.2.2 имеет место равенство гдеВ(а) = [z : №М) log \z - z, # «} Изучено также поведение приведенного модуля при регулярном и однолистном отображении. Пусть В и D - области, расположенные соответственно на сферах С2 и Cw и такие, что дополнения Cz \ В, Cw \ D имеют положительную гармоническую меру. Пусть функция w = f(z) конформно и однолистно отображает область В на D. Для любых различных точек Z = {zi} области В и любых отличных от нуля чисел Д = {5i} определен приведенный модуль М(В, Z, Д). Обозначим W = {/(г;)}. В силу леммы 2.2.1 имеем Пусть w = R(z) - рациональная функция степени, р 1, и в окрестностях точек Zf-i, прообразов wi при отображении w — R(z), имеют, местю разложения: где Yl Pki = p, I = 1, ... ,m (в случае zk\ = oo (wi = oo) величину z — fc=i zki(R(z) — wi) необходимо заменить на 1/z (1/R(z))). Тогда где ZR = {zki}, Ад = {Ski}, hi = $1, k = 1, ... ,mj; I"= l, ... , m, Фл = {/ fcir"fc }, № = (/ i/K-i)1/pfc Vki = vi/Pki, k = 1, ... ,mj; / = 1, ...,m. Техника приведенного модуля позволяет доказать серию двуточечных теорем искажения, как для функций однолистных в круге, так и в кольце или кольцевой области удовлетворяющей определенным условиям. Начнем с одной теоремы достаточно общего характера. Пусть G - область комплексной сферы С2, симметричная относительно действительной оси L и такая, что (С2 \ G) U L связно; Обозначим через w = l{z) одну из функций, конформно -и однолистно отображающих область G в сферу С так, что точки действительной оси и граничные точки переходят в точки на действительной оси. По принципу симметрии Римана-Шварца, функция w = l(z) переводит точки, симметричные относительно действительной оси в точки, симметричные относительно действительной оси, т. е. она обладает 2- кратной симметрией. Теорема 2.2.5. Если функция w = f(z) мероморфна и однолистна в области G, то для любых различных точек а и Ь, отличных от полюса f(z) и лежащих на G П L, справедливо неравенство а для любых различных точек а и Ъ области G, отличных от полюса и симметричных относительно действительной оси L, выполняется неравенство в другую сторону: Равенство в (2.2.2) и (2.2.3) достигается для суперпозиций вида sol, где s - произвольный конформный автоморфизм комплексной сферы Cw на себя. Доказательство. Выражение, стоящее в левой части неравенств (2.2.2) и (2.2.3) является хорошо известным дробно-линейным инвариантом. Поэтому для суперпозиций s о I действительно имеет место равенство. Рассмотрим неравенство (2.2.2). В этом случае можно считать, что а Ь. Пусть Д.г- О настолько мало, что точки а = а + Ах и Ъ " = Ъ + Д.г- тоже принадлежат области G, а множество С = G \ ([—со, a] U [a ,b] U [Ь , +со]) представляет собой двусвязную область. Введем обозначение и пусть (f(G )) есть результат круговой симметризации области f{G ) относительно отрицательной полуоси.
Дополнительные континуумы в определении симметризации выберем так, чтобы область (f(G )) принадлежала кольцу ?(/) = Сц, \ {[—1,0]U [/(Ь ),+оо]}. Из конформной инвариантности модуля двусвязной области и принципа круговой симметризации следует Заменяя функцию f(z) на l(z), имеем Деля обе части этого неравенства на (Ах)2 и переходя к пределу при Ах —V О, получим (2.2.2). Для доказательства неравенства (2.2.3) сравним приведенные модули при отображениях iv = f(z) и ги = l(z). Положим Z = {а,Ь}, А = { + 1,-1}, ф = {г,г), W = {f(a),f(b)}. Из свойств приведенных модулей следует Для функции ги = /(г) в данной цепочке имеет место равенство (лемма 2.2.3). Что и требовалось доказать. Рассмотрим частный случай неравенства (2.2.2), когда область G есть круг U = {z : \z\ 1}. Обозначим через 1:/(21,22) = arth ( i — 22)/(1 — "S"i —з) гиперболическое расстояние между различными точками z\ и Z2 круга U: а через ( = ((z) = (zel9 + 21)/(1 + zel6z i)- дробно-линейное отображение круга U на себя, которое при подходящем вещественном 9 переводит точки О и th.d(zi,Z2) в точки соответственно z\ и 22- Применяя неравенство (2.2.2) к функциям f(((z)), l(z) = k(z) = 2(1 + z) 2, f(z) Є 9Л и точкам 0, thf/(2i, 22), f(zk) фсо, к = 1,2, получим Данное неравенство эквивалентно упоминавшемуся ранее неравенству Фана [38] (см. также [40, 41, 44]). Рассмотрим неравенство (2.2.3). Пусть G = U, / Є ЯЯ и z\, 22 - произвольные различные точки круга U, отличные от полюса функции f(z). Обозначим через ( = ((г) - дробно-линейное отображении круга U на себя, переводящее симметричные точки ±г с, с 0, в точки 2i и 22- Очевидно 2с/(1 + с2) = ihd(zi,Z2). Записывая неравенство (2.2.3) для функций f(((z)) и l{z) = k(z) после несложных преобразований получим Последнее неравенство вытекает также из известной теоремы Лаврентьева о неналегающих областях, хотя в литературе, по-видимому не встречалось. Обратимся теперь к неравенствам, включающих, помимо инвариантного относительно мебиусовых автоморфизмов сферы выражения f (zi)f (z2)/ if{zi)—f(z2))2, другой известный инвариант - производную Шварца: S/{z) = f" (z)/f (z)-(3/2)(f"(z)/f (z)) .
Приведенный модуль и двуточечные теоремы искажения
В имеет положительную гармоническую меру [7]. Пусть zi, / = 1,.., m, - различные точки множества В; 5;, / = 1,..,ш, - произвольные отличные от нуля вещественные числа, и пусть ті, щ, I = 1,.., ш, - произвольные положительные числа. Примем следующие обозначения: Z = {zi}, А = {5/}, Ф = {Фі}, ф1 = фі(г) = щгиі, 1 = 1,.., m; E(zo, r) = {z : \z — ZQ\ SC г} в случае конечной точки ZQ И E(zQ,r) = {z : \z\ 1/r}, в случае ZQ = со, г 0. Здесь и ниже, если не оговорено противное, символы { }, Y1 п П означают соответственно совокупность, суммирование и произведение по всевозможным индексам, указанным в контексте, за исключением тех, при которых слагаемое в 2 лп бо равно со, либо неопределено, а сомножитель в произведении равен либо нулю, либо оо. При достаточно малом г 0 определим обобщенный конденсатор как упорядоченную совокупность обычным конденсатором, модулем конденсатора С (г, В, Z, А, Ф) называется величина где верхняя грань берется по всем вещественнозначным функциям v(z), непрерывным на С2, удовлетворяющим условию Липшица в некоторой окрестности каждой конечной точки и таким, что v(z) = 0 в окрестности множества EQ и v(z) = Si на E(zi,ipi(r)), 1 = 1,..,m (здесь 1/0 = +оо). Приведенным модулем множества В относительно совокупностей 2, А и Ф называется предел где v = { 8fu l) . В случае ipi(r) = г, / = 1,.., га,-вместо M(B,Z, А,Ф) будем писать M(B,Z, А). Указанный предел всегда существует и конечен [11].
Приведенный модуль обладает свойством монотонности: для любых Z — {zi}, z\ Є В С -В , / = 1,.., га, и любых А, Ф. . Важным распространением понятия приведенного модуля "сохраняющим свойство монотонности, является приведенный модуль комплексной сферы [13]. Так называется предел где конденсатор С(г;,Д,Ф) = {(гь-0і(г)), . . . ,Е(гт,фт(г))}] Z, А, Ф, z/ те же, что и выше, и выполняются условия: YH i/ui) — О, Yl f Ф 0. Пусть ZQ Є В. Обозначим через gs(z, ZQ) наименьшую ИЗ неотрицательных гармонических в В\ {ZQ} функций, доопределенных нулем во внешности В и имеющих в окрестности точки ZQ разложение Функция дв{г, ZQ) называется функцией Грима области В с полюсом в точке ZQ, а входящая в разложение величина r(B,zo) - внутренним радиусом В относительно ТОЧКИ ZQ. Формулы для вычисления приведенных модулей области В и сферы Сг, а также взаимосвязь этих объектов приведем в виде следующих лемм. Лемма 2.2.1. Пусть В, Z, Д, Ф, v - те же, что и выше. Тогда, Лемма 2.2.2. Пусть Z, А, Ф, v - те же, что и выше, и выполняются условия: ( / /) = 0, ]С 27 0. Тогда, Лемма 2.2.3. В условиях леммы 2.2.2 имеет место равенство гдеВ(а) = [z : №М) log \z - z, # «} Изучено также поведение приведенного модуля при регулярном и однолистном отображении. Пусть В и D - области, расположенные соответственно на сферах С2 и Cw и такие, что дополнения Cz \ В, Cw \ D имеют положительную гармоническую меру. Пусть функция w = f(z) конформно и однолистно отображает область В на D. Для любых различных точек Z = {zi} области В и любых отличных от нуля чисел Д = {5i} определен приведенный модуль М(В, Z, Д).
Обозначим W = {/(г;)}. В силу леммы 2.2.1 имеем Пусть w = R(z) - рациональная функция степени, р 1, и в окрестностях точек Zf-i, прообразов wi при отображении w — R(z), имеют, местю разложения: где Yl Pki = p, I = 1, ... ,m (в случае zk\ = oo (wi = oo) величину z — fc=i zki(R(z) — wi) необходимо заменить на 1/z (1/R(z))). Тогда Техника приведенного модуля позволяет доказать серию двуточечных теорем искажения, как для функций однолистных в круге, так и в кольце или кольцевой области удовлетворяющей определенным условиям. Начнем с одной теоремы достаточно общего характера. Пусть G - область комплексной сферы С2, симметричная относительно действительной оси L и такая, что (С2 \ G) U L связно; Обозначим через w = l{z) одну из функций, конформно -и однолистно отображающих область G в сферу С так, что точки действительной оси и граничные точки переходят в точки на действительной оси. По принципу симметрии Римана-Шварца, функция w = l(z) переводит точки, симметричные относительно действительной оси в точки, симметричные относительно действительной оси, т. е. она обладает 2- кратной симметрией. Теорема 2.2.5. Если функция w = f(z) мероморфна и однолистна в области G, то для любых различных точек а и Ь, отличных от полюса f(z) и лежащих на G П L, справедливо неравенство а для любых различных точек а и Ъ области G, отличных от полюса и симметричных относительно действительной оси L, выполняется неравенство в другую сторону: Равенство в (2.2.2) и (2.2.3) достигается для суперпозиций вида sol, где s - произвольный конформный автоморфизм комплексной сферы Cw на себя. Доказательство. Выражение, стоящее в левой части неравенств (2.2.2) и (2.2.3) является хорошо известным дробно-линейным инвариантом. Поэтому для суперпозиций s о I действительно имеет место равенство. Рассмотрим неравенство (2.2.2). В этом случае можно считать, что а Ь. Пусть Д.г- О настолько мало, что точки а = а + Ах и Ъ " = Ъ + Д.г- тоже принадлежат области G, а множество С = G \ ([—со, a] U [a ,b] U [Ь , +со]) представляет собой двусвязную область.
Введем обозначение и пусть (f(G )) есть результат круговой симметризации области f{G ) относительно отрицательной полуоси. Дополнительные континуумы в определении симметризации выберем так, чтобы область (f(G )) принадлежала кольцу ?(/) = Сц, \ {[—1,0]U [/(Ь ),+оо]}. Из конформной инвариантности модуля двусвязной области и принципа круговой симметризации следует Заменяя функцию f(z) на l(z), имеем Деля обе части этого неравенства на (Ах)2 и переходя к пределу при Ах —V О, получим (2.2.2). Для доказательства неравенства (2.2.3) сравним приведенные модули при отображениях iv = f(z) и ги = l(z). Положим Z = {а,Ь}, А = { + 1,-1}, ф = {г,г), W = {f(a),f(b)}. Из свойств приведенных модулей следует Для функции ги = /(г) в данной цепочке имеет место равенство (лемма 2.2.3). Что и требовалось доказать. Рассмотрим частный случай неравенства (2.2.2), когда область G есть круг U = {z : \z\ 1}. Обозначим через 1:/(21,22) = arth ( i — 22)/(1 — "S"i —з) гиперболическое расстояние между различными точками z\ и Z2 круга U: а через ( = ((z) = (zel9 + 21)/(1 + zel6z i)- дробно-линейное отображение круга U на себя, которое при подходящем вещественном 9 переводит точки О и th.d(zi,Z2) в точки соответственно z\ и 22- Применяя неравенство (2.2.2) к функциям f(((z)), l(z) = k(z) = 2(1 + z) 2, f(z) Є 9Л и точкам 0, thf/(2i, 22), f(zk) фсо, к = 1,2, получим Данное неравенство эквивалентно упоминавшемуся ранее неравенству Фана [38] (см. также [40, 41, 44]). Рассмотрим неравенство (2.2.3). Пусть G = U, / Є ЯЯ и z\, 22 - произвольные различные точки круга U, отличные от полюса функции f(z). Обозначим через ( = ((г) - дробно-линейное отображении круга U на себя, переводящее симметричные точки ±г с, с 0, в точки 2i и 22- Очевидно 2с/(1 + с2) = ihd(zi,Z2). Записывая неравенство (2.2.3) для функций f(((z)) и l{z) = k(z) после несложных преобразований получим Последнее неравенство вытекает также из известной теоремы Лаврентьева о неналегающих областях, хотя в литературе, по-видимому не встречалось. Обратимся теперь к неравенствам, включающих, помимо инвариантного относительно мебиусовых автоморфизмов сферы выражения f (zi)f (z2)/ if{zi)—f(z2))2, другой известный инвариант - производную Шварца: S/{z) = f" (z)/f (z)-(3/2)(f"(z)/f (z)) . Теорема 2.2.6. Если функция f(z) принадлежит классу Ж и /(±г) ф со, О г 1, то имеют место неравенства Равенство в (2.2.4) и (2.2.5) достигается для суперпозиций функции Кебе и произвольного дробно-линейного автоморфизма сферы. Доказательство. При достаточно малом р 0 положим z\ — г + регір, z2 = r- ре , z3 = -г + pew, z4 = -r- реів, W = {/(гі), f(z2), f(z3), /( )), A == {1,—1,1,—1), Ф = {r,r,r,r}. Из монотонности приведенного модуля
Теоремы искажения с п-кратной симметрией
Одной из экстремальных функции в классе $Л является функция kn(z) — (k(zn))1 n, конформно и однолистно отображающая круг U = {z : \z\ 1} на w- плоскость с разрезами по лучам arg(wn) = 0, \ги\ л Л/4. Ее п-кратная симметрия существенна для следующего результата: Теорема 2.3.1. Пусть функция w = f(z) принадлежит классу 9Л, и пусть Zk - произвольные- точки, удовлетворяющие условиям: \zk\ = г, 0 г 1, и f(zk) Є Dk, k = 1,..,n (n 2). Тогда Равенство имеет место для функций вида f(z) = ckn(z) и точек zk гег2ктт/п д. _ і Пі) 2де с - произвольная положительная постоянная.
Доказательство. Рассмотрим два конденсатора где положительное число Аг выбрано настолько малым, чтобы точки f( k + zkAr/r) по-прежнему принадлежали секторам Dk. Путем диссимметрпзации [10, с. 33-36] конденсатор С может быть получен из С и, следовательно, для емкостей конденсаторов выполняется неравенство Обозначим через /(С) образ конденсатора С при отображении w = f(z). Согласно следствию 1.2.5, справедлива оценка где qk = l/d l(\dt(fn/2(zk + zkAr/r))\), t = fn/2(zk), Ret 0. Для полного эллиптического интеграла К.(т) имеют место следующие асимптотические разложения [3, с. 116]: Здесь и ниже под о(1) понимается величина, стремящаяся к нулю при Аг — 0. С другой стороны, конденсатор С конформно эквивалентен конденсатор} ({ : 0 zw 1}, {z:zn ZIP}), Подставляя (2.3.5) и (2.3.6) в (2.3.4) и устремляя Аг к нулю, получаем искомое неравенство (2.3.1). Равенство проверяется непосредственно. Теорема доказана. Из теоремы 2.3.1 при каждом п = 2,3,... вытекают оценки коэффициентов в классе S. Возьмем, в качестве примера, неравенство (2.3.1) при п — 2 и получим из него Следствие 2.3.2. Если функция f(z) — z + a\z2 + ci2Z3+ ... регулярна и однолистна в круге U, то Равенство достигается для функции /(г) = z/(l + z2) = z — z3 + z5 — ... Доказательство.
Пусть в неравенстве (2.3.1) z\ — г, z2 = —г, и положительное г выбрано настолько малым, чтобы значения функции / в точках Zk принадлежали секторам D , fc = l,2, соответственно. Имеем: справедливы следующие асимптотические разложения: -Возводя, неравенство (2.3.8) в квадрат и подставляя туда выписанные разложения, получаем: Отсюда, при г —у О, следует неравенство (2.3.7). Экстремальной функцией в классе 9Л(Л) (см. Гл. II, 1) является также п-кратно симметричная функция Греча hn(z) = h(z;n,R) = y/h(zn; Rn), \/ї = 1, конформно и однолистно отображающая кольцо К на область \w\ 1 с разрезами по лучам arg(tt n) = О, Рп \w\n со, где Рп — h{Rn\ Rn). В дополнение к определению класса 9Л(Л) укажем, что по принципу симметрии любая функция w = f(z) этого класса допускает аналитическое продолжение в кольцо К = {z : 1/R \z\ R]. В дальнейшем указанное продолжение будем обозначать той же буквой f(z). Теорема 2.3.3. Если функция w = f(z) принадлежит классу $R(R), то для любых р, 0 р п/п, п 1, и любых р, 1 р Л, выполняется неравенство где Z2j-i = pexp(i(—ip+2nj/n)), z j — pexp(i((p+2irj/n)), j = 1,..,??. Равенство в (2.3.9) достигается для функций w — lim(z) и тех т, при котюрых система точек {z } симметрична относительно лучей ivg(zm) = 0. Доказательство. Положим Z = {zk}, W = {/(г&)}, А = {(—l)fc), Ф = {иьгик}, pk — Vk = 1, Аг = 1,..,In. Применяя последовательно формулу (2.2.1), монотонность приведенного модуля и лемму 2.2.2, получаем М{К\ Z, А, Ф) = М(/(/Г), W, А, Ф) - Ц Т los 1/ ЫК
Построение вспомогательной функции
В основе дальнейших рассуждений лежит следующий известный результат Г. М. Голузина [7, с. 156-165]: Теорема 3.2.1. Для функций fk(z), к = 1,2.3, однолистно отображающих круг \z\ 1 на неналегающие друг на друга области, имеет местю точная оценка: Равенство в (3.2.1) достигается только для функций w — fk{z), конформно и однолистно отображающихкруг\г\ 1 на углы раствора 2ТТ/3 с вершиной в точке w = 0, биссектрисы которых проходят через точки /fc(0), /fc(0) = 1, и для функций, получаемых из них посредством любого, но одного и того же дробно-линейного преобразования. Следствие 3.2.2. Для непересекающихся односвязных областей D С {z : \z\ 1}; точек Zk Є Dk и функции w = f(z), регулярной и однолистной в круге \z\ 1, имеет место оценка: Для равенства в (3.2.2) необходимо, чтобы экстремальное разбиение плоскости Си, областями f(Dk) совпадало с экстремальным разбиением в теореме 3.2.1 при некотором дробно-линейном преобразовании. Для доказательства следствия 3.2.2 достаточно применить неравенство (3.2.1) к суперпозициям Д.(С) = /( 7fc(0), где gk(Q - функции, конформно и однолистно отображающие круг ( 1 на области Dk, соответственно, причем дк(0) = zk, к = 1,2,3. Положим теперь в неравенстве (3.2.2) ветви корней зафиксированы произвольно. Внутри каждого из Clj все фк непрерывно зависят как от arg(zfc), так и от \zk\. Доопределим их по непрерывности на те участки границ flj , где они еще не определены. Такоіі выбор фк неоднозначен в Г2 для некоторых zk на окружности z = 0.34.
Поэтому, говоря о множестве Г2, условимся рассматривать поочередно Г2і, П2 и Г2з. Функция (3.2.3) является частным случаем отображения Лахтина [32, с. 181-182]. Она реализует конформное и однолистное отображение единичного круга на внешность "звезды" с тремя лучами, выходящими под равными углами из начала координат. Длины лучей зависят от расположения точек zk. Ее производная: oz \z — ai z — a,2 z — аз/ Правую часть неравенства (3.2.2), где в качестве w = f(z) выбрана функция (3.2.3), обозначим через Hf({zk}) Покажем, что для любых точек zk, удовлетворяющих условиям (3.1.4), справедливо: причем для равенства в (3.3.1) необходимо и достаточно, чтобы точки zk удовлетворяли условиям: \zk\ = У \/Ш - 3 , arg Zk = 2n(k — 1)/3, к = 1,2,3. Введем обозначения: zk = ркегірк, Функция F(Z) непрерывна в Q,j и непрерывно дифференцируема внутри этих множеств. Ее максимум, предположительно, достигается в точке Р Р /3 Zm — Pi —- , где р= (УЇ0-3)1/3, 2 и равен М= (i j -(223- 70VT0)2 «0.136739 803. Покажем сперва, что вне некоторой окрестности точки Zm выполняется: F{Z) М.
Для произвольной точки ZQ — {х\,х\,]$), принадлежащей множеству Г2, определим кубическую окрестность Uh(Zo) со сторонами длины h: lzi-жіі , І-г-2- К-, b-ySUg 0.005, и построим сетку Ah,j с основным шагом h по каждой переменной и дополнительным h/4. вблизи границы Clj, j = 1,2,3: Ah j := [ftj П {(піЛ, n2h, n3h) }] U Здесь rf(Z, dflj) - расстояние от точки Z до границы Vtj. По формуле конечных приращений, где ,j(Z0) := {Z Є 7h(Zo) : aZ + (1 - a)Z0 Є fy, Va Є [0,1]}, С, - верхняя грань_ модуля_ частных производных первого порядка функции 2 Л F(Z) на множестве Qj. Зададим Л 0 и положим h = - —. Таким образом, если F{ZQ) М—Л, то -F(Z) М для любого Z, принадлежащего множеству Uh,j(Zo). Допустим, F(Zo) Є [-F(Zo)—/ , F(Zo)+/ ] ГДЄ .F(Zo) приближенное значение функции F(Z), найденное с помощью ЭВМ, д 0 — вычислительная погрешность. Далее будем считать, что /і 0.001Л. Отметим, что ПС М I) Uh,j{Zo). Тогда, С целью нахождения постоянных Cj, j = 1,2,3, выпишем последовательно частные производные функции F(Z), а затем рассмотрим три вспомогательных утверждения. (a) (b) (c) ( Доказательство леммы проводится стандартными методами анализа. Из нее нетрудно вывести 17, способом. В неравенствах (к) — (т) мы, дополнительно, пользовались следствием 3.3.2. Оценки производных функции G({zk}) в полярных координатах будут следующими:
