Введение к работе
Актуальность темы. Теория краевых задач для аналитических функций, имеющая длительную и богатую историю, и на сегодняшний день интенсивно развивается в различных направлениях. Начало теории было положено в трудах таких классиков как Б.Риман, Д.Гильберт, А.Пуанкаре и др. Результаты классической теории краевых задач изложены в систематическом в виде известных монографиях Ф.Д. Гахова и Н.И.Мусхелишвили. Этот раздел теорий охватывает случай гладких, кусочно-гладких кривых и конечных систем кривых и гельдеровых коэффициентов. Центральное место в теории краевых задач для аналитических функций занимает теория краевой задачи Римана, которая служит моделью и к которой сводятся многие дру-гие краевые задачи.
Наряду с классической постановкой задачи Римана, как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения прикладных задач, представляет интерес рассмотрение случаев, когда коэффициенты задачи имеют особенности, случаев нарушения гладкости рассматриваемых контуров, а также рассмотрение бесконечных систем контуров.
Настоящая работа посвящена последнему направлению. Имеющиеся в этом направлении результаты относятся в основном к случаю, когда бесконечная система контуров имеет конечное число точек сгущения и изложены в монографии Л.И.Чибриковой. В последние годы появился ряд результатов относительно систем замкнутых контуров, сгущающихся к континууму (работы Л.Г.Салехова, М.Х.Бренермана и др.). В настоящей работе, по-видимому впервые, рассматривается случай бесконечной системы разом-
кнутых кривых, сгущающихся к континууму. Отметим также, что подобная конфигурация системы кривых встречается в прикладных задачах.
Цель работы заключается в построении теории краевой задачи Римана в случае системы гладких разомкнутых кривых, сгущающихся к континууму и применении полученных результатов к характеристическим сингулярным интегральным уравнениям.
Методика исследований. В работе используются методы теории функций комплексного переменного, теории краевых задач для аналитических функций и теории сингулярных интегральных уравнений.
Научная новизна. В работе в случае бесконечной системы разомкнутых контуров, сгущающихся к отрезку, выявлены условия на систему контуров и коэффициенты задачи Римана, при которых удается построить теорию, вполне аналогичную классической. Описана картина разрешимости задачи о скачке, однородной задачи и неоднородной задачи в специально введенных классах кусочно-голоморфных функций; в частности, понятие кусочно-голоморфной функции приспособленно к случаю бесконечной системы разомкнутых кривых, сгущающихся к континууму. Разработана новая методика получения оценок поведения интегралов типа Коши на таких системах. Все полученные в работе результаты являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность проведенного автором исследо-вания состоит в рассмотрении существенно нового типа кофигурации беско-нечной системы разомкнутых кривых, выявлении условий на систему, при которых возможно' построение содержательной теории краевой задачи Римана, в описании картины разрешимости для краевой задачи Римана, в развитии новой методики исследования поведения интегралов типа Коши вблизи концов континуума сгущения.
Результаты диссертации могут быть применены при решении ряда прикладных задач механики, при решении которых используется теория кравевой задачи Римана на бесконечных системах кривых.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре кафедры математического анализа БГУ им. Расул-заде М.Э. 1994 (руководитель член-корр. АН Азербайджана, проф. Бабаев А.А.), на семинаре проф. Р.К.Сейфуллаева (1995), на семинаре отдела математического анализа МММ АН Азербайджана, на конференции молодых ученых и аспирантов, посвященной 75-летию БГУ им. М.Э.Расул-заде (1994), на конференции молодых ученых и аспирантов БГУ (1995).
Структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 100 страницах, состоит из введения, пяти парагафов и библиографии, содержащей 64 наименования.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 статей, список которых приводится в конце автореферата
