Решение краевых задач теории аналитических функций в алгебрах Владимирова и умножение распределений Шелкович Владимир Михайлович

Содержание к диссертации

Стр.

Введение 4

Глава I. ОБОЗНАЧЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ

РЕЗУЛЬТАТЫ 19

Введение 19

1. Обозначения 19

2. Конусы 20

3. Регулярные множества 20

4. Пространства С (iL) и «L (&-) 21

5. Пространства основных и обобщенных функиий . . 22

6. Алгебры Владимирова 28

7. Интегральное представление Бохнера-Владимирова 30

Глава 2. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МНО
ГИХ ПЕРЕМЕННЫХ В АЛГЕБРАХ ВЛАДИМИРОВА И ИНТЕГ
РАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТИПА БОХНЕРА-ВЛАДИМИРОВА 33
Введение 33

8. Постановка задачи Римана для р -конуса и решение задачи о скачке для р -конуса 36

9. Решение задачи о скачке для октантов 46

10. Решение одной задачи Римана для плоского биконуса 47

11. Решение задачи Римана для конуса 52

12. Решение задачи Шварца 55

13. Постановка задачи Гильберта и сведение ее к

задаче Римана 57

7. Задача Гильберта, сводящаяся к задаче Шварпа. . 60

8. Интегральное представление типа Бохнера-Владимирова 61

Глава 3. УШОЖЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ШДЛЕННОГО _Стр<

РОСТА И ГИПЕРРАСПРЕДЕЛЕНИЯ В.К.ИВАНОВА 75

Введение 75

1. Пространство аналитических представлений распределений 78

2. Алгебра Ж* 81

3.3. Пространство гиперраспределений J> 87

3.4. Умножение распределений и его корректность ... 89

3.5. Примеры ( h=Z ) 93

Глава 4. ОДНА АЛГЕБРА ГИПЕРРАСПРЕДЕЛЕНИЙ В.К.ИВАНОВА,

СВЯЗАННЫХ СО СВЕТОВЫМ КОНУСОМ 96

Введение 96

3. Распределения, связанные со световым конусом . . 98

4. Аналитические представления распределений из ко . 100

5. Алгебра гиперраспределений ь$ 104

.с

4.4. Тождества для элементов Ці 107

Глава 5. АЛГЕБРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ И ВЕКТОР-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ . . 112

Введение 112

6. Алгебра л и пространство В 114

7. Умножение вектор-распределений 119

8. Преобразование Фурье 123

9. Первообразная 124

10. Значение в точке 125

11. Свертка и несобственный интеграл 128

12. Случай конечного точечного сингулярного носителя. 131

13. Об оптической теореме теории рассеяния 136

14. Нелинейные дифференциальные уравнения 137

5.10. О регуляризации Наканиши 139

Литература 142

Введение к работе

В диссертации исследуются аналоги классических краевых задач теории аналитических функций многих комплексных переменных для распределений (обобщенных функций), находятся условия их разрешимости и даются общие решения jb явном виде в замкнутой форме с помощью построенного интегрального представления типа Бохнера-Владимирова. Кроме того, рассматриваются вопросы, связанные с умножением распределений, строятся ассоциативно-коммутативные алгебры распределений. Для всех решаемых в диссертации задач используется общая методика и математический аппарат, связанный с алгебрами Владимирова; для них получены законченные результаты.

Многие задачи математической физики приводят к решению классических краевых задач Римаяа, Гильберта, Шварца. Эти задачи и их приложения подробно исследованы [45] . В последние двадцать лет появились работы, рассматривающие эти задачи в различных классах распределений. Такие задачи также имеют приложения, например, в квантовой теории поля [8; гл. УJ . Так,, задача Рима-на, исрледованная В.С.Владимировым в [9] , является в некотором смысле' обобщением знаменитой теоремы об "острие клина" Н.Н. Боголюбова ( см. [8.1 ). Первая постановка задачи Римана в классе распределений принадлежит О.С.Парасюку. Дальнейшее развитие задача Римана получила в работах Ю.И.Черского [58] и B.C. Рогожина [47] . Все эти работы исследовали одномерный ( *г= I) случай. Близкая задача о представлении произвольного распределения в ваде суммы 2^ граничных значений функции,голоморфной в (C'\pjy\ рассмотрена при кь? 2 Тильманом [92] - [94] (см.обзор в [9; 2] ). Многомерная задача Римаяа для трубчатых радиальных об- ластей Т * ~ кҐ * IС , где G - выпуклый острый конус, впервые поставлена и решена В.С.Владимировым в [9] (постановку см. в 2.4.1.). В [9] было найдено необходимое и достаточное условие разрешимости [9; (53)] ( см. (2.58) ) и дано общее решение в неявной форме (в виде преобразования Фурье-Лапласа некоторых мер Радона ) [9;(54),(39)] (см. замечание 3 к разделу 2.4.2.). Решение было неявным в том смысле, что не было конструктивного способа построения этих мер по заданным распределениям j-(x) , ксх.) в S' задачи; оно принадлежало алгебрам Владимирова XlC*) (см. [8] - [13] , 1.6.). Позднее О.Д. Ал-газин [2] нашёл условия разрешимости и общее решение в неявной форме через меры Радона задачи Шварца; он решил эту задачу сведением к задаче Римана из [9] .

Поскольку краевые задачи имеют широкие приложения, особую актуальность приобретает нахождение их решения в явном виде в замкнутой форме. И так же, как в "классическом" случае, решение дается интегралом типа Коши, в случае распределений эту роль должно играть интегральное представление, определённое на множестве распределений. Такое представление для множества ( алгебры) распределений N С- S' , являющихся предельными значениями функций из Ж[С) , построено В.С.Владимировым в [II]-[12] (см.1.6.-7.). Однако для нахождения в замкнутой форме решения, например, задачи Римана, требуется интегральное представление, определённое на множестве распределений N+ + M- С- S^l , не являющемся алгеброй, где М+ = &т. ^ШС*). В [33] эти воп-росы были решены: найдены общие решения ( в алгебрах Владимирова) в замкнутой форме с помощью построенного интегрального представления типа Бохнера-Владимирова краевых задач Римана, Гиль- берта и Шварца (см.2.4.-7.), являющиеся обобщением на случай распределений соответствующих классических задач [45.] . Так же найдено условие разрешимости задачи Гильберта ( условия разрешимости задач Римана и Шварца были найдены в [9] и [2.] соответственно ).

Далее, в [34] нами была поставлена в алгебрах Владимирова краевая задача Римана для р-конуса - прямого произведения выпуклых острых конусов, которая является обобщением задачи Римана из [9] и краевой задачи Тильмана [92]-[94] (см.2Д.1.).Там же были найдены условия разрешимости и даны в замкнутой форме с помощью построенного интегрального представления типа Бохне-ра-Владимирова общие решения её частных случаев - краевых за-дач: о скачке для р-конуса (см.2.1,1.), Тильмана для октантов (см.2.2.) и задачи Римана для плоского биконуса (см.2.3.),обобщающей на случай распределений результаты В.А.Какичева [30.] . (Задача Тильмана была решена нами ранее в [32; теоремы I и 2J ).

Известно, что интегральные представления играют большую роль в различных областях математической физики и приложениях (см., например, [8] ) и их построение является актуальной задачей. Поэтому построенное в [32] - [34] интегральное представление имеет самостоятельное значение. ( В частности с его помощью как уже сказано, были найдены в замкнутой форме решения ряда краевых задач).

Сравним интегральное представление типа Бохнера-Владимиро-ва из [32]- L34] с другими интегральными представлениями для распределений. Для случая октантов и распределений из Ъ^С- 6"' аналогичное представление впервые было построено Тильманом [93; теорема 15j . Используя представление Кони с весом &кр(4/+"'+і*) для октантов, подобный результат для распределений из 5 получил Бремерман [7; 13.10J . Однако предельные значения представления были определены только на основных функциях из $^с5 . В [II]-[12] В.С.Владимиров построил интегральное представление Коши-Бохнера для распределений из M^CS" с весом I '""С*} , lex) -допустимый полином (см. 1.7.). В [32]-134} было получено интегральное представление типа Бохнера-Владимирова, обобщающее результаты [II] - [12J на различные множества распределений из S¹ ( см.2.8.). С помощью представления Коши с весом P~'te) , Р(*) -полином, в случае Уь- I и в случае октантов представление, подобное [32] , позднее вывел Р.Л.Кармайкл [76]-[77] .

Теперь перейдем к кругу вопросов, связанных с умножением распределений. Определение умножения распределений приводит к ряду серьёзных математических затруднений. Так, хорошо известно, что на множестве распределений нельзя ввести умножение о: Е ^х Е ~> Е , где - линейное подпространство какого-либо пространства распределений, обладающее всеми свойствами поточечного умножения функций: для всех j , а , к : ( однозначность ) j с о = о ; ( коммутативность ) ^с - j ї ( ассоциативность ) C{^c)^'^s і(.$<-'Ці ( однородность) произведение двух однородных распределений является распределением, степень однородности которого есть сумма степеней однородности сомножителей; ( чётность ) ( і С}) (-х) = і (-*) * a (-х) ;

6) ( ЛеЙбНИЦеВОСТЬ ) (j "б)¹ = ^ ' с Q -+. j с а ''

7) ( локализация ) j\sl

10) (согласованность с умножением обычных функций) j-^=-j4 . если f . # - обычные функции.

Еще Л.Шварц показал (см. [13; 1,10J , [90;с.П9] ),что не существует умножения со свойствами 2), 3), 9). Однако, кроме чисто математического интереса, проблема умножения распределений имеет важные приложения локальной квантовой теории поля (см. [4; гл. УІ-УП] , [6; гл.1, доп.Б] , [68]-[70J ) и при нахождении обобщенных решении нелинейных дифференциальных уравнений [423-[43.] , [73]-[74] . Этим объясняется актуальность проблемы умножения распределений и большое число публикаций, появившихся в последние годы по этой тематике. Рассмотрим различные подходы к этой задаче (см. также [18; i] , [19; введение] ). Приводимое разбиение является достаточно условным.

К первому направлению можно отнести теории, произведение в которых неоднозначно и зависит от произвольных постоянных; многие свойства 1)-10) для него не справедливы. Так, в [7; дополнение ] : S*8'~OA*i)S^ff+c_eff + c,&' ; в [81] : Ес?сл"⁴)^-Ъ^с8 . Ясно, что для такого рода умножения не справедливы свойства I), 4)-6) и оно будет нарушать симметрию физической модели; это затрудняет его применение в физике. К этому направлению отнесём теории, использующие теорему Хана-Банаха [8; 29.7] . На этом принципе основана Z -операция теории поля (5; 29-30.] . В [8; 29.7] получено: S¹ = с$ . Ясно, что здесь не выполняется 4) и, как показано в [95; И J , 3) и 6) одновременно не имеют места.

Ко второму направлению отнесём теории общего характера, в которых класс умножаемых распределений в принципе не |иксирует-ся я в которых, согласно идее Я. Минусинского, распределения ^oj рассматривают как некоторый предел обычных функций f_h(x): 1^ j^ (*)-

И~* юга = j-Сх) , и произведение двух распределений j , j определяют как распределение -J*-e - &*, j^ g_H , где }_Л , ^ - соответ-ствующие аппроксимирующие функции. В рамках этого подхода было построено много одномерных теорий умножения, например, Хирата и Огата [82] , Г.Бремермана и Л.Дюрана, Г.Тильмана [94] , Я.Мику-синского (см. [3] ). Во всех этих теориях предел последовательности j^ а^ не всегда сходится к распределению и, следовательно, умножение не определено на всём пространстве распределений. Как показал Итано [83] , перенесение этих теорий на многомерный случай, приводит к умножению, для которого не выполняются свойства I) и 8).

К третьему направлению отнесём теории умножения, обобщающие идеи второго направления и связанные с гиперраспределениями В.К. Иванова. В [19]- [21] В.К. Ивановым была построена одномерная бинарная теория, умножение которой было корректным: то есть определено на всём пространстве $' , однозначно, согласовано с умножением на мультипликаторы и обычным умножением. Это умножение удовлетворяло свойствам I), 2), 4)-10). Однако в общем случае произведение двух распределений не являлось распределением из S' , а принадлежало более широкому классу гиперраспределений S*^>S⁽.

Близость умножения [19]-[21] к обычному послужила причиной использования многими авторами схемы этих работ для многомерного обобщения. Так, впервые (одновременно), используя одномерную схему В.К.Иванова, были построены корректные многомерные теории умножения: В.И.Шарина [60] для пространства распределений, связанных со световым конусом S₀ ^S'CP^) ; В.К.Иванова и Т.А. Вержбалович [14] , [15] ,[22] ; Л.А.Айзенберга и А.М.Кытманова [I] , [38] для пространства Уі^) и В.А.Какичева и В.М. Шел-ковича [32] для S'(d^K) (см. гл.З). В работе М.К.Коршунова [35] эта схема обобщается на случай гиперфункций М.Сато. Как и в одномерной теории [19] - [2l], произведение двух распределений (гиперфункций) в общем случае - гиперраспределение. Это умножение всюду определено и для него справедливы свойства I), 2), 4)-10). Однако в этих теориях (как и при = I) нельзя однозначно перемножать более двух распределений, а также гиперраспределения, так как пространства гиперраспределений не являются алгебрами. Отметим, что [32] - единственная работа, где строится корректное умножение для S (& ^HJ , к 2 .

Как уже было сказано, задача умножения распределений возникает в квантовой теории поля. Там используются распределения, связанные со световым конусом [5, гл. Ш] . Поэтому алгебры таких распределений могут найти в квантовой теории поля приложения и построение их представляет интерес. В [61] , L⁶⁴]»f⁶⁶J» ^на основе подхода В.К.Иванова и его учеников [14] ,[23],[бі], строятся ассоциативные алгебры гяперраспределений, связанные со све-вым конусом и включающие в себя распределения, используемые в квантовой теории поля. В отличие от [66] , алгебра в [64] не является лейбяицевой и не включает присоединённых распределений.

К четвертому направлению отнесём теории умножения, результат которого остаётся распределением и которое определено на некоторых подпространствах пространства распределений. Для та- - II - кого умножения не выполняются какие-то свойства I)-10). В |8; 29.7] вводится алгебра распределений с умножением (I.14),обладающим свойствами 1)-7), 9)-10). Однако в эту алгебру не входят такие простейшие распределения, как S^{"~1 OJ , P^""*) . В [18] с помощью регуляризации вводят алгебру распределений x~!j! , S(M0) , т=о,±4,,.. ; Yi-o, \,... ; для нее не справедливы 3) и 6). В [24] , [26] -[27] произведение определялось с помощью мультипликативной регуляризации. При этом в [24] и [27] таблица умножения становится тривиальной: 8<п,~'*(х) с $ih~1i(x)= о, Pcx-'-Jc/YjfJ = = Р(г"^'и), n\w=v,... » то есть главные значения умножаются как степени, а типичная гиперсингулярность В{Ы~4У(*) S(*~4) с*) обращается в нуль. Эта же алгебра построена в Г63] . В [26] (см. также [8; 29.7] ) отказываясь от свойства 4), получают 8г(*~)~ = С*Ь(х) , но такое умножение [95; П.] не может иметь одновременно свойства 3) и 6). В алгебре [25] не выполняется 3).}

В [46; IX.10] произведение определяется с помощью теории волновых фронтов. Однако такие простые распределения,как & "" (*) и Рсх'"'] , умножать нельзя.

Сюда же можно отнести работы [62] , [78]- [80], [87]- [88.], [96], в которых для некоторых произведений распределений выводятся тождества.

К пятому типу можно отнести аксиоматические теории. В [84] для построения алгебр используются многие из аксиом 1)-10). В серии работ Ю.М.Широкова и его учеников [68]-[70] , [48]-[49] на аксиоматической основе построены некоммутативные алгебря простейших распределений; в пространстве основных функций включены распределения рассматриваемого класса. В работах М.К.Коршунова [Зб]-[37] построены алгебры распределений, порождённые х> ,(*),

6и,/*-І , S⁽*"^f)(*J, Pt*~*') . Из этих работ получаются как следствия многие соотношения [24]-[26], [63], [68]-[70] .В [36]-[37] не выполняется 5).

К шестому направлению отнесём появившиеся в последние годы теории, связанные с идеями нестандартного анализа и которые можно назвать асимптотическими. Общая идея этого направления такова: произведение распределений j-(x) и (я) находится как асимптотика , Ц -*>-+0 , произведения аппроксимирующих функций. Таким образом, расходящиеся члены произведения сохраняются, и выявляется их структура.

Одни из первых работ в этом направлении принадлежат Я.Б.Ляв-чаку [39]-[41] . Он вводит бинарное умножение распределений,которое является элементом векторной структуры "бесконечно больших", например, в [41; 4.4,] : где Г - некоторый предел, и "бесконечно большая" величина Г&т *,-=>$ с о) - значение &(*-) в нуле. На элементах век-торной структуры определяются значение в точке я многие линейные операции. В работах Хр.Я.Христова и Б.П.Дамянова [51]-[57] вводится класс асимптотических функций, включающий в себя бесконечно дифференцируемые функции и распределения $>^(іл)(*) , tn = = 0,1,.., . На этих функциях определяются операции умножения, деления я ряд линейных операций: сложение, интегрирование, преобразование Фурье. Однако, асимптотические функции неоднозначны, так, распределение S^(tn (*) имеет бесконечное множество асимптотических аналогов [54; 3_] , В работах Ли-Банг-Хе [85] и В.К.Иванова [28]-[29] произведения определяются на более широких классах распределений. - ІЗ -

Выделяя общие черты этих работ, можно сказать, что произ-ведение j(*)~ &,$*(*) распределений j_k(*) Ь, k=/,,.., »ь заданного класса распределений Б , определяется как асимптотика г ЦП. ~^ (]*(*,#> ft*) <** , # -*+0, (0.1) для всех основных функций Vfa) , где _к {*,%) - аппроксимирующие функции распределений }*(*), к = <,,.., m. . Асимптотика (0.1) имеет вид (см. [28] - [29] , [39J - [41] , [51] - [57] ,[85] ): ^^xJ*g,f^J^elrt(*) +0(^), у-^+0, (0.2) где fn(x)6 . (В [5І]-Ґ57] коэффициенты (0.2) сохраняются в форме j»(^v^) . Ясно, что аппроксимирующие функции перемножаемых распределений определены с точностью до полиномов вида п(х,и\~ % Cyjx.H-) и^к , где Uv 6kC*,#j ~с_к(х)б Е , и потому из-за "взаимодействия" отрицательных степеней и в (0.2) и положительных в у(*,у) , умножение (0.1)-(0.2) определено с точностью до произвольного распределения и неассоциативно. Заметим, что в работах В.К.Иванова [28] -[29] аппроксимирующие функции единственны и указанная неопределенность не возникает. Для перечисленных работ, исключая работы В.К.Иванова [28]-[29] , умножение которых существенно бинарно, переход от произведения ;f*o) к асимптотике в (0.2) не мультипликативен в смысле определения 2 из [27] . Действительно, согласно ( 3.29) и (0.1) ( см. [85; с.579J ; ср. [28;пример 3j ):

8¹Сх) ^(ЛКу.у¹$(ч.) , ц-^+о, (0.3)

8^гСх)'$&) = Q*yy¹S^z(*) ~игу.Г^г$(х), -* + 0 . (0.4)

Аналогично, в рамках подхода [28] , [85] можно получить: что противоречит (0.4). Таким образом, умножение (0.2) неассоциативно, и понятие степени выше второй не имеет смысла.

Немультипликативность (0.2) приводит к некорректности умножения Тильмана [94] , что было показано в [14; 1.2 J , [27; с.734 ] . Однако, с помощью мультипликативной регуляризации ге^_е из 5.1.-2. это умножение можно сделать корректным.

Возможность введения различных операций над произведениями распределений делает асимптотический подход весьма перспективным, однако, указанная неоднозначность умножения ограничивает возможности приложений. Поэтому возникает задача построения асимптотических ассоциативных алгебр распределений с однозначным умножением. Эта задача была решена в заметке [65,] (кратко излагающей результаты, описанные в гл.5), где построены алгебры простейших распределений со свойствами 1)-8), 10). На произведениях определены многие операции: преобразование Фурье, первообразная, несобственный интеграл, значение в точке. (Соответствующие операции в [51]-[57] неоднозначны). Одна из алгебр применяется для решения полиномиально-нелинейных дифференциальных уравнений ( нахождения обобщенных решений ). Кроме того (см.гл. 5), этот формализм применяется для обоснования оптической теоремы квантовой теории рассеяния и для вычисления некоторых произведений инвариантных дельта-функций квантовой теории поля.

Материалы диссертации докладывались и обсуждались: в 1975 г. в Минске на 1J республиканской конференции математиков Белорус- сии [34] ; на семинаре кафедры математического анализа УрГУ (руководитель - член-корреспондент АН СССР,профессор В.К. Иванов) в 1979 г. и в 1982 г. и на семинаре кафедры высшей математики в Таганрогском радиотехническом институте (руководитель -доцент В.А.Какичев) в 1983 г.

Большая часть результатов глав 2 и 3 была получена в дипломной работе автора, выполненной под руководством В.А.Какичева в 1973 г. в Ростовском-на-Дону госуниверситете. По теме диссертации опубликовано 7 работ: [31]-[34] , [64]-J66]. Статьи [31]-[34] написаны в соавторстве с научным руководителем В.А.Какиче-вым. В этих работах постановка задач и схема их решения принадлежат В.А.Какичеву, а фактическое решение В.М.Шелковичу.

Теперь кратко остановимся на содержании диссертации. Подробное содержание глав излагается во введениях к ним. Диссертация состоит из Введения и 5 глав. Библиография содержит 96 названий. В главе I приводятся обозначения и результаты, используемые в основном тексте (главах 2-5). Формулировки и доказательства лемм I.I и 1.2 принадлежат автору. Лемма 1.2, имеющая самостоятельный интерес, переносит результат Л.Шварца [90; Ш, 10.2] для 2) на случай пространства S' .

Похожие диссертации на Решение краевых задач теории аналитических функций в алгебрах Владимирова и умножение распределений

Приближенное решение краевых задач теории аналитических функций и их приложенийТихоненко, Николай Яковлевич

Приложения теории краевых и угловых особенностей гладких функций к анализу бифуркаций решений вариационных задач с круговой симметриейЛадыкина Екатерина Владимировна

Решение экстремальных задач теории приближений в комплексной плоскостиТышкевич, Сергей Викторович

Классические области в операторном проективном пространстве (теория ПАР) и решение интерполяционных задач вида: ..........Хассан, Недал

Экстремальные задачи теории функций и теории приближений и их приложенияГорбачев Дмитрий Викторович

Экстремальные задачи теории однолистных функцийКостюченко Евгений Викторович

Исследование некоторых краевых задач теории аналитических функций и связанных с ними сингулярных интегральных уравненийГусейнова, Хатира Маил Гызы

Некоторые экстремальные задачи теории приближения функций сплайнами Шумейко Александр Алексеевич

Краевые задачи теории аналитических функций в классах ЕШевила, Татьяна Александровна

Некоторые экстремальные задачи геометрической теории функцийКузнецов, Владимир Олегович