Содержание к диссертации
Введение
1 Фредгольмовы вариационные уравнения 22
1.1 Элементы анализа фредгольмовых функционалов . 22
1.1.1 Фредгольмовы операторы 22
1.1.2 Фредгольмовы функционалы 23
1.1.3 Локальный анализ фредгольмовых функционалов 26
1.2 Функционалы с групповой симметрией и угловые особенности 29
1.2.1 Бифуркационые диаграммы функционалов . 31
1.2.2 Об угловых особенностях 33
1.2.3 Моды бифуркации угловой особенности 36
1.3 Функционалы, инвариатные относительно гладкого действия группы Ли 38
1.4 Приближенное вычисление ключевой функции 44
2 Фредгольмовы функционалы со слабо гладкой круговой симметрией . 48
2.1 Элементы теории G—пространств в условиях слабо гладкой круговой симметрии 48
2.1.1 Предварительные замечания 48
2.1.2 Версалыгые деформации, каустики и ключевые функции 50
2.1.3 Функционалы со слабо гладкой симметрией 52
2.2 Случай резонанса 1:2 60
2.2.1 Структура ключевой функции в условиях слабой круговой симметрии и резонанса 1:2 60
2.2.2 Анализ главной части ключевой функции 63
2.3 Случаи других резонансов 65
2.3.1 Резонанс 0:1 65
2.3.2 Резонанс 1:3 66
2.3.3 Резонанс p:q, \р\ + |д| > 5 68
3.1 2—модовые бифуркации периодических волновых движений упругой балки на упругом основании 69
3.1.1 Вводные замечания 69
3.1.2 Редукция функционала энергии к функции четырех переменных 70
3.1.3 Критические орбиты функционала энергии 73
3.1.4 Анализ главной части ключевой функции 77
3.1.5 Случай четного функционала энергии 81
3.2 Двухмодовые бифуркации периодических волновых решений Соболевского уравнения 2-го порядка 86
3.2.1 Вводные замечания 86
3.2.2 Построение ключевой функции 87
3.2.3 Критические орбиты функционала энергии в случае резонанса 1:2 89
3.2.4 Анализ главной части ключевой функции 93
3.2.5 Случай четного функционала энергии 96
3.2.6 Случаи других резонансов 99
Литература 102
- Локальный анализ фредгольмовых функционалов
- Функционалы, инвариатные относительно гладкого действия группы Ли
- Структура ключевой функции в условиях слабой круговой симметрии и резонанса 1:2
- Редукция функционала энергии к функции четырех переменных
Введение к работе
В теории упругих систем, теории фазовых переходов, теории нелинейных волн и других разделах современного естествознания естественным образом возникает вариационная задача вида:
Уд(і)—Hnf, (1) в которой V\(x) — гладкое семейство гладких функционалов с круговой симметрией, заданное на банаховом пространстве Е, то есть симметричное (инвариантное) относительно линейного действия Тд (не всегда непрерывного по д) группы Ли G = SO(2) на Е: Vx(Tgx) = Vx(x) УхвЕ, де 50(2), (2)
А — параметр со значениями в некотором банаховом пространстве L (конечномерном или бесконечномерном). В диссертации рассмотрена вариационная задача (1) с круговой симметрией (2) при следующих дополнительных условиях: функционал V(x) — фредгольмов индекса нуль; действие группы 50(2) задано гомоморфизмом д н> Тд из 50(2) в группу 0(H) (линейных ортогональных преобразований Н), где Н — некоторое гильбертово пространство, в которое непрерывно и плотно вложено Е; сужение представления Тд на каждое инвариантное конечномерное подпространство N в Е является гладким гомоморфизмом ( д i-)- Tg\N из 50(2) в SO(N) является гладким отображением).
Групповое действие, подчиненное условию 3, будем называть слабо гладким.
Фредгольмовость функционала V означает, что — (x)h=(f(x),h), (3) где / : Е —У F — гладкое фредгольмово отображение нулевого индекса банаховых пространств, {-,-) — скалярное произведение в некотором гильбертовом пространстве Я, содержащем Е и F как непрерывно и плотно вложенные подпространства. Предполагается также, что Е непрерывно вложено в F. В этом случае говорят, что функционал V обладает градиентной реализацией в тройке пространств {E,F,H} и используются обозначения / = gradV — V V.
При изучении бифуркаций решений вариационных задач, содержащих параметры, достаточно хорошо зарекомендовал себя метод конечномерной редукции [43], [61], который использован и в настоящей диссертации.
Вопросам анализа уравнений с групповой симметрией посвящена обширная литература (например, монографии и статьи Л.В.Овсянникова, Н.Х.Ибрагимова, П.Олвера, А.М.Виноградова с соавторами, В.Ф.Зайцева, А.Т.Фоменко, В.А.Трсногина, Б.В.Логинова, 3.И.Балашова и др. [28] - [32], [38], [46], [47], [53], [54], [66], [68] [69, 70])
Ряд аспектов теории функционалов с групповой симметрией развивался также при непосредственном воздействии эквивариантной теории Морса (А.Т.Фоменко, В.В.Шарко [69, 70] и др.) и теории ветвления решений нелинейных вариационных эквивариантных уравнений (Н.А.Бобылев, Б.В.Логинов, В.А.Треногин и др. [5], [7], [И], [46], [44], [68]).
Уравнения с круговой и бикруговой симметриями изучались в работах Б.В.Логинова [46], В.Г.Звягина [36, 37], В.Кравцевича [42] и др. В работах А.В.Гнездилова [12, 13] изучались уравнения с поликруговой симметрией.
Используемый в диссертации подход к анализу инвариантных функционалов идейно опирается, с одной стороны, на теорию Ботта [79] (о критических многообразиях) с ее развитием в виде теории Морса для боттовских интегралов (А.Т.Фоменко и др., [56], [69], [85, 86] ) и, с другой стороны, на теорию эквивариаптных особенностей гладких функций ( В.И.Арнольд, С.М.Гусейн-Заде, В.Поэнару, СТ.С.Уолл, Д.Сирсмаидр., [1], [3], [88], [91]).
Известно, что многие вопросы бифуркационного анализа вариаци онных задач в условиях симметрии могут быть сведены к соответству ющим вопросам теории миниверсальных разверток краевых и угловых особенностей гладких функций, развитой В.И. Арнольдом, С.Т.С. Уол- лом, Д. Сирсмой, Д. Питом, Т. Постоном и др., [2], [89]. В рамках тео рии фредгольмовых функционалов на банаховых многообразиях срав нительно недавно был получен ряд новых результатов, связанных с анализом бифуркаций вблизи краевых и угловых особых точек гра ницы банахова многообразия (Ю.И.Сапроновым, А.В.Гнездиловым, О.Ю.Даниловой, О.В.Швыревой, М.А. Хуссаипом и А.В. Белоглазо- вым, [58] - [59], [14], [15] - [18], [75] - [77]). В частности, были изучены ' бифуркации экстремалей из омбилической особой точки гиперболиче- ского типа, расположенной на вершинной грани угла.
Основные результаты настоящей диссертации получены при изучении бифуркаций экстремалей параметрических семейств гладких фредгольмовых функционалов в случае круговой симметрии при условии четырехмерного вырождения с сильными резонансами (0 : 1, 1 : 2, и 1 : 3) и произвольными слабыми резонансами.
Все исследования в диссертации проведены посредством использования специально разработанной для таких задач модификации редуцирующей схемы Ляпунова - Шмидта.
Основную задачу диссертации можно представить в виде следую щих двух тесно связанных компонент; ' 1) описание геометрической структуры дискриминантного множества (каустики);
2) классификации раскладов бифурцирующих экстремалей (bif—раскладов), отвечающих всевозможным регуляризирующим гладким возмущениям функционала (для заданного типа особенности). В диссертации рассмотрены также два приложения: к задаче о зарождении и распространении периодических волн в упругой балке на упругом основании и к задаче о бифуркации периодических волновых решений нелинейного Соболевского уравнения 2-го порядка.
Цель работы. Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация теоретической схемы изучения бифуркаций критических орбит экстремалей фредгольмова функционала в условиях круговой симметрии.
Методика исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления, теории групп Ли и теории гладких функций многих переменных. Основу развитой в диссертации схемы анализа составляют модифицированный метод Ляпунова - Шмидта и теория угловых особенностей гладких функций.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
Развита новая схема анализа бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала из конечнократной критической точки, приспособленная к условиям круговой симметрии.
Изучены плоские сечения каустики и получена классификация раскладов бифурцирующих критических орбит в случае 50(2)—инвариантного фредгольмова функционала при условии четырехмерного вырождения с резонансами 0 : 1, 1 : 2, 1 : 3 и всеми резонансами порядков, больших 4.
Получено приложение к задаче о зарождении и распространении периодических волн в упругой балке на упругом основании.
Получено приложение к задаче о бифуркации периодических волновых решений нелинейного Соболевского уравнения 2-го порядка.
Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование и развитие методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении и, в частности, дают обоснование и развитие методу конечномерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей в условиях круговой и более общей групповой симметрии.
Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом и симметрийным анализом краевых задач.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Нелинейный анализ и функционально - дифференциальные уравнения" (г.Воронеж, 2000 г.), на международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (г. Челябинск, 2002 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических системам (г. Суздаль, 2002 г.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (г. С-Петербург, 2004 г.), па конференции "Образование, наука, производство и управление в XXI веке" (г. Ст.Оскол, 2004 г.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф. Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 8 работах [92) - [99].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 9 параграфов, и списка цитируемой литературы из 99 наименований. Общий объем диссертации — 114 стр.
Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (5 рисунков), выполненной в среде Maple и посредством визуализатора СМ. Семенова.
Краткое содержание работы
Первая глава содержит краткое изложение известных результатов, адаптированное к рассматриваемой в диссертации ситуации. Изложены основы бифуркационного анализа нелинейных краевых задач методами функционального анализа и теории особенностей гладких функций, дано определение класса фредгольмовых уравнений и описание основных свойств уравнений из этого класса, изложена редуцирующая схема Ляпунова - Шмидта и ее обобщения, приведен алгоритм вычисления главной части ключевой функции, а также основные сведения из теории угловых особенностей гладких функций. Дан краткий обзор близких результатов других авторов.
Во второй главе приведены результаты исследования бифуркаций экстремалей из особой точки для абстрактного фредгольмова функционала в условиях слабо гладкой круговой симметрии. Для рассмотренных в диссертации случаев дано описание геометрического строения каустики и перечислены расклады бифурцирующих экстремалей.
Рассмотрена связная компактная группа Ли G и зафиксирован слабо гладкий гомоморфизм
Г :G~^r О(Н) из этой группы в группу ортогональных линейных преобразований гильбертова пространства Н, Гомоморфизм Т задает ортогональное действие на пространстве Н: GxH — Н, (д,х)^у = Тд(х) V(g,x) eGxH.
Предполагается, что Е, Р и V инвариантны относительно данного действия:
Тд(Е) С Е, T9(F) С F, V(Tg(-)) = V(.) Чд Є G.
Из инвариантности функционала V следует эквивариантность его первого и второго дифференциалов (кодифференциалов). Индексом Морса морсовской гладкой критической орбиты функционала называется, как и в случае обычных функционалов, максимальная размерность подпространства в Е, на котором отрицательно определен его второй кодифференциал. Если размерность гладкой критической орбиты G—инвариантного функционала V положительна, то принадлежащие ей точки не являются морсовскими. В этом случае целесообразно использовать подход, предложенный Bottom, при котором орбиты характеризуются сужениями функционала на локальные трансверса-ли к орбитам.
Каустика — это совокупность тех значений А, при которых V(-, А) имеет вырожденную критическую орбиту (в достаточно малой окрестности нуля). Геометрическая структура этого множества не изменяется после перехода к ключевой функции W(i,5)= inf V(x,\) (4) (здесь р — редуцирующая субмерсия).
Теорема 1. Пусть гладкий фредголъмов функционал V инвариантен относительно слабо гладкого действия группы G и допускает эквивариантиую конечномерную редукцию (Ляпунова - Шмидта). Тогда ключевая функция W() также инвариантна относительно (гладкого) действия данной группы G, то есть
МШ) = ЩО ,VtEncE,geG, (5) где Rg — соответствующее матричное представление группы G в пространстве ключевых параметров Еп ~ Шп, Е — банахово пространство.
Имеет место следующее обобщение теоремы А.В.Гнездилова [12], [13]:
Теорема 2. Пусть функционал V : 0{а) С Е -> R (Е — банахово пространство) обладает слабой т—круговой сішмет-рией в окрестности О (а) некоторой неподвижной относительно действия тора Тт критической точки а Е функционала V. Тогда его ключевая функция W : О{0) CR2m^R в некоторых координатах имеет следующий вид ^1,.-.,^) = ^(^-1+^) +
Е * (&-i+Ф (&-1+&) + (м4)- (б) j,k=l
В диссертации рассматривается слабо гладкое действие SO (2) на Н с условием инвариантности Е, F и V: TS(E)GE, Tg(F)cF, V{T9(.)) = V(-) Уд Є 50(2).
Всюду предполагается эквивариантность редуцирующего отображения р (что влечет инвариантность ключевой функции). Предполагается также, что индуцированное действие S1 на R" полусвободно (следовательно, п четно: п = 2т).
Отождествив вектор Є К"- с комплексным вектором z ~ (z\, ... , zn (z Є Cm), запишем инвариантность ключевой функции W в виде соотношения W(z) = W(z), где z = (exp(ipis)zi, ... ,exp(ipms)zm)T (инвариантность относительно действия окружности: {exp(is), z] н- (ехр(г>!5)гь ... , exp(zpms)2rm)T. (7)
Множество ненулевых критических точек представляют собой набор одномерных подмногообразий (критических орбит действия (7), см. [54]), диффеоморфных окружностям.
Теорема 3. Пусть т = 2, z\ = i + &h zi — 3 + ^4^ u Pi = 1, p2 = 2. Тогда ключевая функция W допускает представление в виде ~2 (aiA + «2І2) + j (^і'? + ^2/1 + 2S/i/2) +
2 j-2 Г2 +<ЗД + C2/4 + 2V + D2hh + o(/f, /|, ІІ, /3/4), (8)
Д = Й + Й, h=U + & (полная система инвариантов действия группы 30(2)) а\ = 5\ — 50 — 62, а2 = AS і — 50 — 16S2,
2тг 2тг
1 Г з і г
Лі = А2 = — / e?d:r = 2 > В=2^ e*e*dx = 3' о о Cj, Dk — вычисляемые константы (их точные значения в данный момент не важны).
Отсюда вытекает следующее утверждение
Теорема 4. В случае 4—мерного вырооюдеиия с резопансолі 1 : 2 ключевая функция W в полярных координатах
6і = П cos(^i), > = П sin(ipi), 6з = Г2 cos(^2), 4 = r2 sm(^2), допускает представление (после деления на нормирующую константу) в виде + &$) + \{г\ + т\ + 4г2г2) + ст\г2 соз(ф + В)+ (9) Щг2ъг\) + г\г2д(г\,гъф)} где с,9 — вычисляемые константы, ф = ip2 — 2ірі, і?, q — некоторые гладкие функции, соответственно, двух и трех переменных, для которых %i^) = 0(||6), д&г2,ф) = 0(\ї\2).
Условие стационарности орбиты по фазе ф = 2ip\ — <р2 дает следующие критические значения фазы: ^ = 0 + 0(|б|2), тг+ 0(|Є|2).
Изучение условий стационарности по амплитудам п, г2 приводит к задаче о бифуркации критических точек из сложной критической точки с особенностью параболической омбилики [57]: 62 + i&- Функция V(61,62) — І2 + 6i& симметрична по переменной 6i: V(—61,62) ~ ^(^1) 6г)- Рассмотрим ограниченную миниверсальную развертку особенности этой функции в нуле (в классе четных по 6i функций): mtu е2) - й+&ь + *ібі2+ы1+А62.
Стандартная замена $ = и, и > 0, приводит к эквивалентной задаче изучения бифуркаций экстремалей из краевой особой точки [3] для развертки
Щ% Ь) = Й + и& + siu + 62& + ХЬ, и > 0.
Переход к краевой особенности не отражается на каустике, которая представляет собой следующее объединение множеств:
Е — 0 U 0 U ^, где Eq1*, |ff — подмножества (компонентві) каустики, отвечающие за вырождение краевых особенностей вдоль края и, соответственно, по нормали, a Ej^—компонента, отвечающая за вырождение внутренних (некраевых) критических точек.
Нетрудно проверить, что в данной задаче компонента Е^п^ является пустой, построение параметризации каустики сводится к параметризации лишь ее "краевых" компонент.
Теорема 5. В случае 3—мерного выроо/сдеиия со стандартным действием группы SO(2) на пространстве ключевых переменных ключевая функция W допускает представление (после масштабирования и деления на нормирующую константу) в виде: tfo + \ («!$ + а2г2) + 1 (A&r2 + Ml) + (Щ где г2 — ^ + ^2) 5> аь а2, А, /?2, 7 ~~ некоторые функции от исходного параметра 8 (их точный вид в данный момент не важен). Если /Зі ф 0 и / Ф 0 при (5 = 0, то анализ поведения ключевой функции сводится к анализу в полуплоскости и > 0 семейства полиномов W$(u, v) = v3 + uv + <5iu + 62V.
В случае резонанса 1 : 3 при отождествлении вектора Є К4 с комплексным вектором z = (zi, z2)T Є С2 условие инвариантности ключевой функции W записывается в виде W(z) = W(z), z = (ехр(г (p)zu ехр(г 3(p)z2)r.
Следовательно, функция W допускает представление -i (aih + а212) + і (Лі/f + A2l\ + 2Bhh + ОД + C4/4) + o(|K||4), /і = Й + Й> '2 = Й + й, /з = (Є? + 3іЙ)з - (ЗЙЄ2 + $)4, /4 - (ЗЙ6 + Й)Є4 + (Й + 3і2% — инварианты относительно действия {ехр(г^),.г} Н- (ехр(г ^)^, ехр(г 3tp)z2)T группы 5(9(2).
Таким образом, в случае 4—мерного вырождения с резонансом 1 : 3 ключевая функция W допускает в полярных координатах представление (после масштабирования и деления на нормирующую константу) в виде: -\{Pir\ + fori) + \(r\ + т\ + 2ат\т\ + ст\т2 cos(^))+ (11) +її{г\А) + r'ir2g{rlr2, ф), где с = с(5) — вычисляемая константа, ф = <р2 — 3(/?i + const, -&, д — некоторые гладкие функции, соответственно, двух и трех переменных, для которых $(гЬг1) = 0№% д(г1г2,ф) = 0(№).
В результате редукции по фазовой переменной и линейной замены координат анализ ключевой функции (11) сводится к анализу функции вида:
1 1 ~ ~2 (7іИі + ^и1 + 2тз«і«2) + j(«i + "г + 2aufu^).
Дискриминантпый анализ бифуркаций критических точек этого семейства функции недавно осуществил Ф.А. Белых,
В случае слабого резонанса р : q, \р\ + \q\ > 5, ключевая функция W допускает представление: -\ Mi + а2І2) + і (AJ2 + Л2/22 + 2ЗД/2) + о(||||4). (12)
Таким образом, в случае 4—мерного вырождения со слабым резонансом ключевая функция W допускает представление в полярных координатах (после масштабирования и деления на нормирующую константу) в виде: -\(fr\ + fori) + \{r\ + 4 + 2ar?r22) + +d{r\, r22) + r\r2Q{r\, r2, $), a > -1, где a — a(<5) — вычисляемая константа, ф = p^ — qpi + const, $, Q — некоторые гладкие функции, соответственно, двух и трех переменных, для которых
0(г?,г!) = О(К|6), д(г1гьф) = 0№2).
После редукции по фазовой переменной анализ этой функции сводится к анализу функции ~2 (Wi + 72и1) + 4^1 + u2 + 2аи\и\), аналогичной возникающей в случае резонанса 0 : 1. Ее анализ эквивалентен анализу функции — (71^1 + 72) + \{vi + v\ + 22^) в положительной четверти координатной плоскости.
В третьей главе изучены на основе результатов второй главы 2—мо-довые бифуркации периодических волновых движений упругой балки на упругом основании: описаны условия возникновения периодических волновых движений упругой балки на упругом основании в условиях взаимодействия пары волновых мод с резонансами 0:1, 1:2, 1:3 и р : q, \р\ + \q\ > 5 и, в частности, исследованы случаи устойчивости бифурцирующих волн на основе принципа наименьшего действия (наименьшего значения интеграла энергии).
Колебания и волновые движения упругой балки на упругом основании ранее изучали Митропольский Ю.А., Моссенков Б.И., Thompson J.M.T., Stewart Н.В., Бардин Б.С., Фурта С.Д. и др. [4], [50]. Простейшая нелинейная модель движений балки описывается уравнением d2w d4w d2w _ п где w — прогиб балки (поле смещений точек средней линии упругой балки, заданное па оси х).
В данной главе проведена редукция функционала энергии к функции четырех переменных, для которой найдена главная часть.
Потенциальная энергия деформации балки определяется интегралом ^/(?()Ч^2Н"' (із) где и — некоторая гладкая функция, u{w) = o(w2).
Заметим, что аналогичный интеграл энергии используется в теории сегнетоэлектрических кристаллов, испытывающих (в соответствующих условиях) фазовый переход из высокотемпературной парафазы в несоразмерную фазу, характеризуемую стационарной периодической зависимостью w = ги(х), [39], [65], [82].
Уравнение равновесия, полученное из условия равенства нулю первой вариации (первого дифференциала) этого функционала, имеет следующий вид: dAw d2w ,, , «2^4 + Kl-^2 + K^W + U Н = -
Очевидно, что данное уравнение имеет тривиальное решение w(x) = О при всех значениях параметров. При больших значениях к$ это решение является устойчивым. Потеря устойчивости происходит при переходе через наименьшее собственное значение дифференциального оператора (в линейной части исходного уравнения): «2^ + ^і^з + ко-Рассматривая периодические волны в виде w = w(kx — cot) (14) (v = ^ — скорость распространения волны), получим уравнение, в котором вместо к\ участвует (эффективный) коэффициент к\ = к2к\ + ти2. (15)
Соотношение (15) показывает, что с увеличением частоты увеличивается коэффициент Яі, что приводит к бифуркации бегущих периодических воли.
Таким образом, поиск бифурцирующих волн приводит к построению периодического решения уравнения d^w _ d2w _ . «2^4 + ^1^2 +^0^ + ^ (w) = 0, определяющего экстремали функционала (энергии) ^/(?(S)4(f) Ч*2^))- о ч /
Такие волны допускают представление w(x, t) = гі sin{py + tpi) + r2 sin{qy + ip2) + o(ru r2), у — к х — ш t, р, q Є Z, НОД (р, q) = 1, в пределах которого реализуется значительное разнообразие профилей и "скоростных" свойств бифурцирующих волн.
Поиск волн указанного вида сводится к изучению экстремалей функционала U на пространстве периодических функций некоторого фиксированного периода. Очевидно, что этот функционал инвариантен относительно действия группы 0(2), порожденного оператором сдвига аргумента функции.
Изучение (вблизи нуля) экстремалей [/можно осуществить на основе конечномерной редукции Ляпунова - Шмидта, перейдя к ключевой функции, заданной формулой W(fl:= inf V{w)\ =(6, ---,6^, я:р(ц;)= k — (w, ek), где {е&} — набор мод бифуркации. Ниже рассмотрен случай п = 4. Редуцирующая субмерсия р:ш^(, = (ь 2, з, 4)7 Є Ж4, является при этом "снятием" четырех коэффициентов Фурье: * — (и>,е*), где ei — \/2соз(з;),Є2 = \/2sin(x), Є3 — \/2cos(2a;), Є4 = \/2sin(2x).
Ключевая функция И'" является гладкой и она наследует свойства исходного функционала U (при соответствующей локализации параметров).
Рассмотрим слабо гладкий гомоморфизм Т : G —> 0(H) компактной группы Ли G = 50(2) в группу ортогональных линейных преобразований гильбертова пространства Я, заданный соотношением: Tg(w)(x) = ги(х + <р) {(р — каноническая координата элемента д Є SO(2), д — (gij),
9п ~ #22 — cos(^), 521 — —Я\г — sin(<^)) и определяющий гладкое ортогональное действие: GxH —> Я, (g,w)<—>y = Tg(w) %, w) Є G х Я.
Пространства Е, F п функционал энергии С/ инвариантны относительно данного действия:
Тд(Е)сЕ, Tg(F)cF, U(Tg(-)) = 0(-), наряду с эквивариантностыо редуцирующей субмерсии р. Имеет место также инвариантность ключевой функции W [74]. Заметим, что индуцированное действие SO(2) на Е4 полусвободно (начало координат — единственная неподвижная точка).
Если отождествить вектор ^Й4с комплексным вектором z = (zi, Z2)T Є С2, z\ — 1 + i%2, ^2 — ^3 + г'^4) то условие инвариант-ности W можно записать в виде соотношения: W(z) = W(z), z — (ехр(г^)гі,ехр(2г^)г2)т (инвариантность относительно действия (exp(zV), z} -> (oxp(itp)zu exp(2i
Множество ненулевых критических точек представляют собой набор одномерных подмногообразий (критических орбит действия (16), см. [54]), диффеоморфиых окружности.
Основные результаты проведенного исследования данной задачи — утверждения о канонической структуре ключевой функции (теоремы 6,7).
Здесь же описаны условия возникновения периодических волновых решений уравнения 2-го порядка типа С.Л. Соболева при резонансном взаимодействии пары волновых мод (рассмотрены случаи резонансов 0:1, 1:2, 1:3и р:?,И + |д|>5).
Теория уравнений типа С.Л. Соболева (или, более кратко, Соболевских уравнений), начало которой заложено в [67], развивалась в трудах многочисленной группы российских и зарубежных математиков. С некоторыми аспектами современного состояния этой теории можно ознакомиться по монографиям [63], [27]. Начально - краевые задачи для соболевских уравнений второго и более высокого порядков изучалась методами функционального анализа в работах [33], [34], [64].
В данной диссертации рассмотрено нелинейное соболевское уравнение второго порядка дАи д2и д2и г, -і / „\ m^ + aiW + a^ + eu + u=0' (17) для которого изучены условия зарождения "малых" волновых решений в ситуации резонансного взаимодействия двух волновых мод.
Основные результаты анализа данного уравнения — утверждения о канонической структуре ключевой функции (теоремы 8, 9).
Все основные результаты, изложенные в данной работе, в значительной мере опираются на функционально - аналитическую конструкцию, разработанную в [95] - [97]. Центральным звеном этой конструкции является переход к абстрактной задаче о бифуркации критических орбит фредгольмова функционала, обладающего круговой симметрией, с последующей редукцией к задаче о бифуркации критических точек функции четырех переменных (по модифицированной схеме Ляпунова- Шмидта [61]). Условия существования тех или иных решений (с теми или иными свойствами) могут быть сформулированы в терминах структурных констант ключевой функции.
Автор искренне благодарит профессора Ю. И. Сапронова за научное руководство, внимание и поддержку, А.А. Белоглазова, М.А. Хус-саина, Е.В.Чсмсрзину и О.В. Швыреву за обсуждение материала диссертации и замечания.
Локальный анализ фредгольмовых функционалов
Известно, что многие вопросы бифуркационного анализа вариаци онных задач в условиях симметрии могут быть сведены к соответству ющим вопросам теории миниверсальных разверток краевых и угловых особенностей гладких функций, развитой В.И. Арнольдом, С.Т.С. Уол лом, Д. Сирсмой, Д. Питом, Т. Постоном и др., [2], [89]. В рамках тео рии фредгольмовых функционалов на банаховых многообразиях срав нительно недавно был получен ряд новых результатов, связанных с анализом бифуркаций вблизи краевых и угловых особых точек гра ницы банахова многообразия (Ю.И.Сапроновым, А.В.Гнездиловым, О.Ю.Даниловой, О.В.Швыревой, М.А. Хуссаипом и А.В. Белоглазо вым, [58] - [59], [14], [15] - [18], [75] - [77]). В частности, были изучены бифуркации экстремалей из омбилической особой точки гиперболиче ского типа, расположенной на вершинной грани угла. Основные результаты настоящей диссертации получены при изучении бифуркаций экстремалей параметрических семейств гладких фредгольмовых функционалов в случае круговой симметрии при условии четырехмерного вырождения с сильными резонансами (0 : 1, 1 : 2, и 1 : 3) и произвольными слабыми резонансами. Все исследования в диссертации проведены посредством использования специально разработанной для таких задач модификации редуцирующей схемы Ляпунова - Шмидта. Основную задачу диссертации можно представить в виде следую щих двух тесно связанных компонент; 1) описание геометрической структуры дискриминантного множества (каустики); 2) классификации раскладов бифурцирующих экстремалей (bif—раскладов), отвечающих всевозможным регуляризирующим гладким возмущениям функционала (для заданного типа особенности). В диссертации рассмотрены также два приложения: 1) к задаче о зарождении и распространении периодических волн в упругой балке на упругом основании и 2) к задаче о бифуркации периодических волновых решений нелинейного Соболевского уравнения 2-го порядка. Цель работы. Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация теоретической схемы изучения бифуркаций критических орбит экстремалей фредгольмова функционала в условиях круговой симметрии. Методика исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления, теории групп Ли и теории гладких функций многих переменных. Основу развитой в диссертации схемы анализа составляют модифицированный метод Ляпунова - Шмидта и теория угловых особенностей гладких функций. Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми. 1. Развита новая схема анализа бифуркаций экстремалей фредгольмова функционала из конечнократной критической точки, приспособленная к условиям круговой симметрии. 2. Изучены плоские сечения каустики и получена классификация раскладов бифурцирующих критических орбит в случае 50(2)—инвариантного фредгольмова функционала при условии четырехмерного вырождения с резонансами 0 : 1, 1 : 2, 1 : 3 и всеми резонансами порядков, больших 4. 3. Получено приложение к задаче о зарождении и распространении периодических волн в упругой балке на упругом основании. 4. Получено приложение к задаче о бифуркации периодических волновых решений нелинейного Соболевского уравнения 2-го порядка. Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование и развитие методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении и, в частности, дают обоснование и развитие методу конечномерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей в условиях круговой и более общей групповой симметрии. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом и симметрийным анализом краевых задач.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Нелинейный анализ и функционально - дифференциальные уравнения" (г.Воронеж, 2000 г.), на международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (г. Челябинск, 2002 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических системам (г. Суздаль, 2002 г.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (г. С-Петербург, 2004 г.), па конференции "Образование, наука, производство и управление в XXI веке" (г. Ст.Оскол, 2004 г.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф. Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ) Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 9 параграфов, и списка цитируемой литературы из 99 наименований. Общий объем диссертации — 114 стр. Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (5 рисунков), выполненной в среде Maple и посредством визуализатора СМ. Семенова.
Функционалы, инвариатные относительно гладкого действия группы Ли
Выше были изложены основы теории особенностей фредгольмовых отображений, теории локальных и нелокальных конечномерных редукций. В общем случае при построении ключевой функции (а в нелокальном случае даже при доказательстве возможности ее построения) возникают значительные сложности. В некоторых случаях задача упрощается, если исходный функционал инвариантен относительно действия некоторой группы. Настоящий параграф посвящен понятиям и результатам, связанным с редукцией инвариантных функционалов и с теорией особенностей в условиях инвариантности. В нем переформулируются определения и понятия, введенные выше, на случай инвариантности функционала относительно гладкого действия группы Ли (критические орбиты, индексы Морса критических орбит и т.д.), а также для случая, когда функционал задан на области с кусочно -линейным краем (условно критические точки, индекс Морса условно критической точки и т.д.).
Пусть G — некоторая группа, % — гильбертово пространство, 0{Ji) — группа ортогональных преобразований пространства пространства Ті. Рассмотрим гладкое ортогональное представление группы G на Н, то есть гомоморфизм R : G - О (7i) ( R : д Н Rg ) является гладким отображением. Если Rg — представление элемента д Є G в группе О(71), то отображение Rg : Ті — Ті задает действие группы G на Ті: Rg : h н- Rgh. Пусть X — линейное подпространство в Ti} такое что Rgx Є X, \/х Є Х,д G. В этом случае определено ортогональное представление R : G —ї О (Л ), которое называют подпредставлением Л, а подпространство X называется устойчивым относительно группы G. Если dimX со, то подпредетавление называют конечномерным. Если X = Span{e\,..., еп}, где {е }!?=1 — ортонормированный набор в Ті, то dim X — п оо и существует матричное представление G в X, тогда R : G ч- О(тг), где О (те) - группа ортогональных матриц п х п. Матрица Ёд имеет вид: Пусть, как и ранее, функционал V : Е — Е, / : Е — F, f = grad% V, где Е1, F — вещественные банаховы пространства, Е непрерывно вложено в F, Е и F оба непрерывно и плотно вложены в гильбертово пространство И, ind f — 0. Определение 4. Функционал V называется инвариантным Предложение 11. Пусть функционал V и отобраоїсение f с указанными ранее свойствами ( V — потенциал / ). Тогда отображение f эквивариантно относительно действия группы G в том и только в толі случае, когда функционал V инвариантен относительно действия данной группы G. Орбитой группы G, проходящей через данную точку хо Е, называется множество всех х Є Е, для которых существует такое до є G, что х &д0Щ- Обозначим данное множество через G{XQ). Точку #о Є Е, такую что G(XQ) — {XQ}, называют неподвижной точкой относительно действия группы G. Пусть f(x) = gradj{V(x), V(x) инвариантен относительно действия группы G, О — неподвижная точка данной группы и XQ — критическая точка функционала V, не являющаяся неподвижной относительно действия данной группы G. Тогда G(XQ)\{XQ} ф 0. Пусть х\ — произвольная точка G(XQ), тогда существует go G такой, что а это означает, что а;і будет также критической точкой функционала V. Таким образом, если некоторая точка х$ является критической для функционала V, то и вся орбита G(x0) состоит из критических точек. Орбиту функционала V, состоящую из его критических точек, назовем критической орбитой функционала V. Замечание 2. Заметим, что если критическая точка х$ ие является неподвижной точкой относительно действия группы Ли G полооюительной размерности и если при этом орбиты являются подмногообразиями (это заведомо так при гладком действии), то XQ не будет изолированной критической точкой, а значит не будет и морсовской (в классическом смысле), то есть будет выроо/сденной. Пусть #0 — вырожденная (неморсовская) критическая точка функционала V. Определим обобщенный индекс Морса функционала V в точке XQ, как максимальную размерность подпространства, на котором второй дифференциал 4 (XQ) функционала V в точке XQ отрицательно определен (обозначение оставим то же: Ind(V, XQ).) Степенью вырождения функционала V в точке XQ (обозначим ddeg(V, XQ)) назовем размерность подпространства, на котором т (#о) обращается в нуль, то есть Пусть G(XQ) — критическая орбита функционала V, тогда определим индекс Морса данной критической орбиты следующим образом:
Так как критические точки функционала V, лежащие на критических орбитах, не являются изолированными и, в силу этого, не обладают морсовостыо, то их степень вырождения не будет нулевой. Однако можно определить критическую орбиту (критическое многообразие) как морсовскую (в обобщенном смысле), если вырожденность критических точек, лежащих на ней, является только проявлением их неизолированности, и в случае сужения функционала V на траисверсаль к многообразию G(XQ), такие критические точки являются морсовскими критическими точками данного сужения.
Пусть G(xo) — критическая орбита функционала V, инвариантного относительно действия группы G, проходящая через точку XQ, И G(XQ) — многообразие. Тогда критическую орбиту G(XQ) назовем морсовской (невырожденной), если
Структура ключевой функции в условиях слабой круговой симметрии и резонанса 1:2
В данном разделе описаны условия возникновения периодических волновых движений упругой балки на упругом основании в условиях взаимодействия пары волновых мод с резонансами 0:1, и, в частности, исследованы случаи устойчивости бифурцирующих волн на основе принципа наименьшего действия (наименьшего значения интеграла энергии).
Колебания и волновые движения упругой балки на упругом основании изучали Митроиольский Ю.А., Мосеенков Б.И., Thompson J.M.T., Stewart Н.В., Бардин Б.С, Фурта С.Д. и др. [50],[4]. Простейшая нелинейная модель движений балки описывается уравнением где w — прогиб балки (поле смещений точек средней линии упругой балки, заданное на оси х),ф — малый функциональный параметр иесовершенства. Как известно, первый шаг в изучении такой задачи — отыскание равновесных (стационарных) состояний, определяемых уравнением Если рассмотреть стандартные краевые условия то полученная граничная задача может допускать 2—мерные вырождения, порождающие 2—модовые бифуркации с интересными геометрическими и физическими эффектами [22] - [25]. Ее полное решение сводится (конечномерной редукцией) к описанию экстремалей 3—параметрического семейства полиномов от двух переменных [22]. В настоящей работе описаны условия возникновения периодических волновых движений упругой балки на упругом основании в условиях взаимодействия пары волновых мод с резонансами и, в частности, исследованы случаи устойчивости бифурциругощих волн на основе принципа наименьшего действия (наименьшего значения интеграла энергии). Итак, пусть задана упругая балка, для которой потенциальная энергия деформации определяется интегралом где и — некоторая гладкая функция, u(w) = o(w2). Заметим, что аналогичный интеграл энергии используется в теории сегнетоэлектрических кристаллов, испытывающих (в соответствующих условиях) фазовый переход из высокотемпературной парафазы в несоразмерную фазу, характеризуемую стационарной периодической зависимостью w = w(x), см. [39], [65], [82]. Уравнение равновесия, полученное из условия равенства нулю первой вариации (первого дифференциала) функционала (3.3), имеет следующий вид: Очевидно, что данное уравнение имеет тривиальное решение w(x) О при всех значениях параметров. При больших значениях KQ это решение является устойчивым. Потеря устойчивости происходит при переходе через наименьшее собственное значение дифференциального оператора (в линейной части уравнения (3.4)) (v = j — скорость распространения волны) и, соответственно, подставляя (3,8) в (3.7), получим уравнение (3.4), в котором вместо ACJ участвует (эффективный) коэффициент Соотношение (3.9) показывает, что с увеличением частоты увеличивается коэффициент «і, а это приводит к бифуркации бегущих периодических волн. Таким образом, поиск бифурцирующих волн приводит к построению периодического решения уравнения у — k х — и) t, p, q Z, НОД (p, q) 1, в пределах которого реализуется значительное разнообразие профилей и "скоростных" свойств бифурцирующих волн. Поиск волн указанного вида сводится к изучению экстремалей функционала (3.6) на пространстве периодических функций некоторого фиксированного периода. Очевидно, что этот функционал инвариантен относительно действия группы 50(2), порожденного оператором сдвига аргумента функции.
Редукция функционала энергии к функции четырех переменных
Пересечение всех компонент представляет собой прямую Pi = / = 0. Третья и четвертая компоненты пересекаются по полупрямой 0з = l,0i = / 0 и обе они содержат разные "половины" прямой 03 = — 1, /Зі + /Зг = 0. Первая с третьей и вторая с четвертой пересекаются по полупрямым /Зі — 03) 02 0 и 02 — 03) 01 0. Кау-стика S расслаивается над стратом 0i = 02 = 0 (посредством ортогонального проецирования) с особыми слоями, содержащими точки с 0з = -1, 0, 1.
При обходе плоскости "управляющих" параметров Е против часовой стрелки вокруг нуля, начиная с начальной зоны UJQ (с единственной критической точкой), соответствующие метаморфозы линий уровней функции
Как известно из теории Морса, каждую гладкую функцию W на конечномерном многообразии М, имеющую лишь морсовские критические точки, можно изобразить клеточным комлексом, каждая клетка которого взаимно однозначно соответствует критической точке функции W. Размерность клетки равна индексу Морса соответствующей критической точки, а примыкания клеток в комплексе соответствуют взаимным примыканиям критических точек (как особых точек динамической системы = —gradW()). Причем гомотопический тип изображающего комплекса совпадает с гомотопическим типом многообразия М. Из этого подхода вытекает, в частности, что наборы стационарных точек функций на плоскости и в трехмерном пространстве можно изображать графами (одномерными остовами изображающих клеточных комплексов). Если функция W коэрцитивна, то изображающий ее комплекс гомотопически тривиален (гомотопен точке). Следовательно, изображающий граф (одномерный остов изображающего комплекса) в случае коэрцитивной функции связен,
В случае плоскости изображающий клеточный комплекс полностью определяется своим изображающим графом, вершины которого взаимно однозначно соответствуют точкам минимумов, а ребра — седлам индекса 1. При этом две вершины соединяются ребром, если существует кривая, соединяющая соответствующую им пару точек минимумов, составленная из пары линий кратчайшего спуска (интегральных кривых поля градиентов), связывающих пары "седло - минимум" (малым шевелением функции или метрики можно добиться того, чтобы любая интегральная кривая, вытекающая из седла, втекала в точку локального минимума). Двумерные грани соответствуют точкам максимума. За счет изменения метрики в областях вида {с\ W сг}, не содержащих критических точек, можно переносить финальные точки сепаратрис из одних локальных минимумов на другие (то есть сепаратрисы будут втекать в другие точки локальных минимумов). За счет таких переключений можно получать разнообразные соединения ребрами вершин в пределах одного расклада стационарных точек (переключениям сепаратрис соответствуют гомологические перестройки графа [20]).
Постбифуркационные метаморфозы в рассмотренном выше случае можно представить в виде следующей последовательности графов: Замечание 4. Анализ функции -5(/ 1+/ 2) + 4 1 2 + 17 сводится к анализу функции — {/3\Vi + /) + 5( 1 + v\ + 4 ) б положительной четверти координатной плоскости.
В настоящем параграфе описаны условия возникновения периодических волновых решений уравнения 2-го порядка типа С.Л. Соболева при резонансном взаимодействии нары волновых мод (рассмотрены случаи резонансов 0:1, 1:2, 1 : 3 и р : q, \р\ + \q\ 5). Использованы методы нелинейного функционального анализа, в том числе и вариационная модификация метода Ляпунова - Шмидта.
Известно [63], что теория уравнений типа С.Л. Соболева (или, более кратко, соболевских уравнений), начало которой заложено в [67], развивалась в трудах многочисленной группы российских и зарубежных математиков. С некоторыми аспектами современного состояния этой теории можно ознакомиться по монографиям [27], [63]. Начально - краевые задачи для соболевских уравнений второго и более высокого порядков изучалась методами функционального анализа в работах [331J34], [64].
В настоящей работе рассмотрено нелинейное соболевское уравнение второго порядка для которого изучены условия зарождение "малых" волновых решений в ситуации резонансного взаимодействия двух волновых мод. Изложенные ниже результаты опираются на функционально - аналитическую конструкцию, разработанную в [95] - [97], центральным звеном которой является переход к абстрактной задаче о бифуркации критических орбит фредгольмова функционала, обладающего круговой симметрией, с последующей редукцией к задаче о бифуркации критических точек функции четырех переменных (по модифицированной схеме Ляпунова - Шмидта [61]).
