Введение к работе
Актуальность темы. Развитие дескриптивной теории множеств, функционального анализа, теории структур, топологических методов в теории меры привело к появлению в математике конструктивно сложных объектов (аналитические и проективные множества, псевдотопологии, пространства обобщенных функций, различные классы векторных пространств со сходимостью, пространства М.Де Вилъде и т.д.), нашедших разнообразные плодотворные приложения. Так, проблема мощности бо-релевских множеств была решена П.С.Александровым в 1916 г. путем введения /\ -операции над промєя/тками, впоследстпи" приведшей к появлению аналитических множеств. Последние же привели к понятию oS -операции, введенной в дескриптивную теорию множеств Ф.Хаусдорфом и А.Н.Колмогоровым. Исследованиями в этом направлении на протяжении многих,лет занимались Н.Н.Лузин, М.Л.Суслин, П.С.Новик'л, А.А.Ляпунов, и другие математики Московской школы. В то же время.в последние десятилетия наблюдается бурное развитие теории тополо-гаческих модулей, в частности, проблема А.Гротендика о построении классов локально выпуклых пространств обладающих теоремой о замкнутом графике и широкими свойствами перманентности, получила полоп'тельное решение в работах Л.Шварца, 3.Словикоэского, Д.А.Райкова, М.Де Вильде, П.П.Забрейкс, З.И.Смирнова и многих других. Ряд результатов в этом направлении был получен автором, который изучил для категории то-клогических векторных пространств аналог' /\ -операции. Ісевдотопологии оке-, ались полезні т при построении дифферен-;иального исчисления в неііетризуемнх вектор пах пр ?г~>анствох,' \ также при описании сходимости почти всюду в пространстве D ( А , оО , пч-") , где X - измеримое пространство с конеч-ю'Л мерой <п\, .
После появления работы А.Гротендика^ возникла проблема построения класг.эв "j топологических векторных пространств, содержащих все полные метрические векторные пространства (ЫВП), и обладающих следующими двумя свойствами:
1. Для любого МВП второй\ категории д и любого пространства \ ;э справедлива теорема о замкнутом графике для линейных операторов, действующих из X в \ .
2. Класс ij эамкнут относительно операций образования произведений, проективных и индуктивных пределов счетного числа пространств.
Таким образом, расширение классов функциональных пространств с помощью прямых и обратных пределов является классическим направлением функционального анализа со времен Ж.Дьедонне и А.Гротендака.
Существенно используя конструкции 8.Словиковского, эту проблему впервые решил Д.А.Райков ' , который ввел класс пространств, допускающих так называемые *)„ -представления. Позднее, близкие и более просто описываемые классы были введены Де Вильде, Накамурой, П,П.Забрейко-S.И.Смирновым и другими авторами. Важные результаты были получены Л.Швар-цеы- и А.Мартино; Т.А.Ефимовой были научены взаимосвязи между различными классами пространств.
В диссертации вводится и изучается класс локально выпуклых пространств ( Н -пространства), наиболее широкий из всех известных з настоящее время классов пространств, с аналогичными свойствами 1) и 2) в категории TLl- , содержа:^'- также прос-оанства основных и обобщенных функций *Дд)
открытое множество К . Кроме.того, для И -пространств справедлив усиленный вариент теоремы . о замкну: м графике-
Основная цель работы - широкое обобщение понятия прямо
го и обратного спектров объектов аддитивной полуабелевой
категории j - понятие хаусдорфова спектра, аналогичное
os -операции в дескриптивной теории множеств, путем разви-
тия формализма итерированных прямых и обратных пределов.
Эта идея характерна для алгебраической топологии, общей ал
гебры, теории категорий, теории обобщенных функций. Постро
ение категории хаусдорфовых спектров X = \ Xs , э , *вЧ J
достигается последовательным стандартным расширением малой
категории . Категории з\ хаусдорфовых спектров ока-
зывается при подходящем определен"!! отображения спектров аддитивной и полуабелевой. В частности, 3UTLC) содержит категорию В.П.Паламодова ' счетных обратньи спектров со значениями в категории Т1Х локально выпуклых пространств.^ Оригинальный метод трансформации индексов позволяет строить хаусдорфовы спектры в категориях Ои.5
других. Хаусдорфов спектр со значениями в категории хаусдор
фовых спектров порождает хаусдорфов спектр
со значениями в категории . Анализ, приведенный ав
тором категории функторов хаус эрфавых спектров 3i(,M ,
где контравариантный функтор может быть поле
зен в теории интерполяции функциональных пространств. Серия
оригинальных призеров хаусдорфовых спектров позволяет усть-
ноеить естественные взаимосвязи с теорией функция в ч_ ,
теорией пучков, векторных решеток и обобщенных функция.
Для широкого спектра категорий (множеств thus' , век
торных пространств Li , топологических векторных групп
1LG , локально выпуклых пространств , полуабеле-
вых подкатегорий о прямыми суммами и произнедер-чями J с '«) автор пост оил категории;! Н -предел хаусдорфова спектра
'X - 1XS JT, V\j.f "У , определяемый, вообще говоря,
не единственным образом (о точностью до изоморфизма катего
рии). Для j с ТС; определен аддитивный ковариалтный
Функтор Н -предела с; теоре-
тико-множественной точки зрения Н -предел хаусдорфова спектри vC для случая счетного 1 \ и бес. энечных IF\ (Fe j) представляет собой результат о$ -операции о базой ^ , однако с топологическими ограничениями на. базу іл сам результат os -операции. Частными случаями ка~ тегсрного Н -предела івляются понятия проективного и индуктивного пределов над категорией j .Существенным вкладом б функциональный анализ является результат о замкнутости категории п -пространств относительно операции регулярного Н -предела.
Новые методы, развитые в диссертации, нашли приложение к классическим вопросам функционального анализа - теореме ' о замкнутом графике и принципам равномерной ограниченности неотрицательных функционалов на тоиаяягической группе. В основе обоих приложений лежат теоремы об «нфрааддитивных и счетно-полуадА-'Тивных, регулярных фуиащиоиаяах, доказанные в диссертации. Класс инфрааддитивных ч&уиивционалов, введенный в рассмотрение Е.И.Смирновым и П.П.'За'фёйко обобщает понятие полуаддитивности функционала и применим к различным вопросам функционального анализа, теории меры, комплексного анализа. Автору удалось усилить известные результаты С.Б,Стеч-кина, Витали-Хана-Сакса, Фитспатрика, й.А.Лифшица, Гарнака, отно іщиеся к вопросам непрерывности и ограниченности функционалов. Аппарат кваэинорм ассоциированный с И -пространством ( ( к> ^О - представление) позволяет установить р&иномер'ую корректность д»ца"И гС^'ии для 1И'1'''>еренцпи ьного
уравнения *. (tj -а /\-зс с замкнутым линейным оператором К в Н -пространствах. Эти результаты дополняют исследования Ю. М. Вувуникяна о квазиэкспоненциальных полу-груп ах эндоморфизмов.
Осуществляется продвижение в применении гомологических
методов в теории п -пространств и хаусдогфовых спектров.
Для полуабелевых категорий у и 31 определяется ад
дитивный и ковариантный функтор HcuuS .причем
в случае j = L, функтор HcujS имеет инъективный тип,
а е категории tHj/TlX) оказываете много инъзктивных
объектов. Устанавливаются необходи: ло и достаточные условия
обращения в нуль производного функтора HcujS (_ ОС^ = О ,
а естественные для приложения достаточные условия обращения
в нуль производного функтора pOjuS обобщают в случае
обратного спектра и пространств Фреше результаты В.П.Пала-
модова и В.С.Ретаха. Проводится анализ свободных хаусдорфо-
V)
еых спектров, применение' и развитие метода Нобелинча вычисления производных функторов и построения канонической резольвенты хаусдорфова спектра.
Научьая новизна. Все основне результаты диссертации новы, в полной мере научно обоснованы и оформлены в виде строгих математических доказательств.
Приложения. Работа носит фундаментальный характер, разработаны новые теоретические положения, существенно рапБЧра--ющ-*е классические результаты. Результаты могут быть использованы:
в теории производных функторов хаусдорфова пропела и их реализации в когомологиях топологического пространства индексов с коэффициентами в пучках,
в теор..и обобщенных рєшенчл грзкичных задач диъгзрен-
циальных уравнений в частных производных,
в теории категорий и пучков,
в теория интерполяции функциональных пространств,
в теории топологических модулей,
П.
апробация. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах (1982, 1988, 1989), на семинаре по функциональному анализу в №У О.Г.Смолянова (1982, 1988, 1989), на семинаре кафедры алгебры ЯГПИ (А.С.Тихомиров, В.В.Шокуров), в отделе алгебры МИАН (М.М.Капранов), в отделе функционального анализа СО АН СССР (В.И.Кузьминов, С.С.Кутателадзе), на семинарах П.П.Забрейко и Я. В.Радыно в Белорусском госуниверситете.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [XI - [10], список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти глав. В главах 1 и П изучаются хаусдорфовы спектры, порождающие их функторы и Н -предел хаусдорфовых спектров в полуабелевой категории. Глава Ш посвящена категории хаусдорфовых спектров -Н и исследованию точности функтора хаусдорфова предела. В главе 1У проводится анализ и приложения инфрааддитивных функционалов к принципам равномерной ограншеннос. і, теории меры, комплексному анализу в
