Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Функции жпергеометрического типа нескольких переменных и их дифференциальные уравнения
1. Общая Н-функция нескольких переменных 10
2. Общая Gr-функция двух переменных 17
3. Размерность многообразия решений системы дифференциальных уравнений для Gr- функции нескольких переменных 27
4. Регулярные решения некоторых уравнений в частных производных для От -функции нескольких переменных 39
5. Гамма функция и базисные дифференциальные уравнения базисных гипергеометрических рядов 44
ГЛАВА II. Функции двух переменных горна
6. Преобразования функций Горна 52
7. Интегральные представления функций Горна 60
8. Применение теории представления групп к установлению теорем умножения для функций Ft и F2 66
ГЛАВА III. Интегральные уравнения больтерра первого года с функциям горна в ядрах
9. Элементы общей теории одномерных интегральных уравнений, содержащих в ядрах специальные функции 74
10. Интегральные уравнения, включающие функцию F± 78
11. Двумерные интегральные уравнения, содержащие в ядрах функции Т и Hs 81
12. Двумерные интегральные уравнения с функциями F в ядрах 90
13. Замечание о многомерном аналоге уравнения Абеля 94
Литература 99
- Размерность многообразия решений системы дифференциальных уравнений для Gr- функции нескольких переменных
- Гамма функция и базисные дифференциальные уравнения базисных гипергеометрических рядов
- Применение теории представления групп к установлению теорем умножения для функций Ft и F2
- Элементы общей теории одномерных интегральных уравнений, содержащих в ядрах специальные функции
Введение к работе
Теория общих-; функций гипергеометрического типа одной переменной, начала систематически развиваться после цикла работ Мейера (см,* библиографию из [і, 125] ) и работы. Фокса [Т8І . К настоящему времени она в значительной степени сформировалась и нашла отражение не только в многочисленных статьях, но и в монографиях (например, в [і, 25» 125-126, 162, 174])» Интерес к этому направлению обусловлен его многочисленными приложениями в физике, статистике, механике и других областях [35, 125-126, 174].
Центральное место в теории функций гипергеометрического типа занимают функции, введенные Мейером ( &-фуякция)и Фоксом ( Н-функция), которые впоследствии были названы именами эшихс математиков. Указанные функции обладают исключительно высокой степенью общности и включает весьма частными случаями практически все специальные функции, имеющие сложившиеся наименования* Так, почти все функции из первых двух томов трехтомника [і] получаются при частных значениях параметров из G-функции Мейера ([і], ф-ла 5.3.1)
m п
і= і v -^ і= і
— z
лг(^5)пга-гз)
&$,
27ТІ
ч/
Рс,
L i=tl+ 'i=-m+l
а сама Gr-функция является частным случаем Н-функции Фокса.
Иначе дело обстоит с функциями гипергеометрического типа многих^переменных* После классических работ [42-43, 114J , результаты которых были собраны в известной монографии [44 ] » только спустя полвека вышла вторая монография [74J Это случилось не из-за слабого развития теории, по которой накопилась обширная библиография (см. списки литературы из [44, 74, 174,
— 5 — 175J ). Главной причиной, по-видимому, здесь было отсутствие; общепринятой удобной для работы и простой терминологии» которая т сложилась ввиду чрезвычайной громоздкости объектов исследования, содержащих большое число групп параметров Гі74І» Более того, ни одна из введенных функций не была столь общей, чтобы в неё входили при частных наборах параметров все. другие, подобные функции Так, пожалуй, наиболее общие из имеющихся функции п- переменных Сриваставы и Шнди [l77] при п=2 даже не содержат все двойные ряды Горна [l, 90-92], являющиеся базовыми в списке функции, гипергеометрического типа; многих переменных.
Настоящая диссертация посвящена исследованию, общих функций, гипергеометрического типа нескольких переменных, а также их основных частных случаев - функций Горна. В работе рассматриваются связанные с этими функциями системы дифференциальных уравнений в частных производных (обычные и базисные), а также некоторые, преобразования и интегральные представления для функций. Горна1. В качестве приложений изучается ряд интегральных уравнений Вольтерра первого рода (одномерных и двумерных), содержащих в ядрах функции Горна F± , F2 , &2 , Н^ и Н5 «,
В первой главе излагаются некоторые аспекты современного общего подхода-к теории функций гипергеометрического типа нескольких переменных % В I вводятся Н~ и G--функции многих переменных, которые являются, самыми: общими из всех известных функций гипергеометрического типа. Здесь обсуждаются их обозначения, вопросы существования и некоторые свойства, а также выводится система дифференциальных уравнений в частных производных, которой, удовлетворяет G -функция. В 2 более подробно рассматривается важная для приложений (х-функция
~ 6 -
двух переменных. Последующие 3 и 4 посвящены изучению системы дифференциальных уравнений, которой удовлетворяет G -функций двух переменных. Такие уравнения, но для некоторых конкретных, гипергеометрических рядов, рассматривались ранее многими авторами [42-44, 50-51, 65, 89-93, 131 ]» но только в элюй, работе они исследуются в достаточно общем: виде. В 5 впервые в литературе на русском языке отражаются некоторые воц-росы смежного направления- — теории базисных гипергеометричес— ких функций и связанной с нею а -гамма функции [77, 9б]#
Вторая глава посвящена изучению наиболее распространенных в приложениях гипергеометрических функций, двух переменных -так называемых функций из списка Горна [і, 90]» Эти 34 функции являются естественными обобщениями гипергеометрической функции Гаусса и её вырожденных случаев (Куммера и Бесселя), В 6 и 7 содержатся: обширные таблицы новых: преобразований-И интегральных представлений для функций Горна, С помощью формул из этих таблиц нетрудно получить различные соотношения для аналитического продолжения функций Горна на более широкие области изменения аргументов, а также их асимптотические разложения в окрестностях особых линий и точек. Многие другие формулы такого типа, а также формулы приведения функций Горна при определенных условиях на параметры к гипергеометрической функции одной переменной были получены ранее, в частности, в работах [ 18-20, 44, 46, 52-53, 55, 59, 66-67, 85, 87, 94, 98, 112, 120-122, 152, 156, 169-170, 183, 193] В 8 с помощью теории представлений групп установлены две так называемые теоремы умножения для функций Горна F± и F2 , приводящие к значениям двух' интегралов, содержащих эям функции, Такие интегралы было бы трудно вычислить с помощью обычных аналитических методов;,
_ 7 -например, с помощью метода из Г25І-
В третьей главе исследуются интегральные уравнения Вольтерра первого рода (одномерные и двумерные) с функциями Горна F± ,
"2 » ^2 ' % » ^5 в яДР^э разрешимые в замкнутом виде. Начало этого направления положила работа 1*184] В последующих: работах [22-24, 31-32, 48-49, 63, 69, 84, 86, 99, 102-104, II5-II9, 135, 142-143, 145-148, I60-I6I, 172, 178-182, 190 ] осуществлялся, активный, поиск одномерных уравнений с функциями Лежандра, Лагерра, Якоби, Чебышева, Гегенбауэра» Бейтмена, Куммера, Гаусса, Фокса, с обобщенной, гипергеометрической функцией: 4F5 и другими, разрешимых в: замкнутом виде с помощью интегральных преобразований или операторов дробного интегрирования. Наиболее полный перечень этих исследований до 1975 г, содержится в монографии [і73], где приведены более 200 таких уравнений, и ихгрешений. Иначе дело обстоит с функциями многих, переменных* До недавнего времени были известны лишь: отдельные интегральные уравнения, содержащие в ядрах функции Горна Fj ,
$і * % > % * % » S2 [21, 144, 173] и все ати уравнения, были одномерными и обобщающими классическое уравнение Абеля. Для одномерных-уравнений с ядрами общего вида, включающих частным случаем уравнение Абеля., в 9 доказывается.теорема, позволяющая получить необходимые и достаточные условия, существования и единственности решений уравнений в классе функций Q<, , интегрируемых на интервале ( 0 , d) с весом х" . Этот результат в конце параграфа применяется к исследованию известных уравнений. [21, 115, 142], что приводит к более общим утверждениям* В 10 получаются решения 4-х одномерных уравнений с функцией ?± в ядрах, а в II-J.2 рассматриваются ещё 12 двумерных уравнений с функциями % , Н& , R, и (т2 в ядрах. Показано, что все
~ 8 -эти уравнения обобщают классическое уравнение. Абеля в одно- и двумерных вариантах и, более того, уравнения из 10 и 12 являются композициями нескольких уравнений Абеля со степенными мультипликаторами. Такая- их структура аналогична композиционной структуре ставшего классическим одномерного уравнения Лава с функцией. Гаусса в ядре [ііб]. Заключительный 13 содержит; обобщение, оператора Римана-Лиувилля (уравнения Абеля) на многомерный случай для пирамидальной области» Обращение этого оператора получено в работе, выполненной совместно с АЛт Килбасом [197].
Краткое изложение истории вопросов, изучаемых в диссертации, также имеется вначале каждого параграфа.
Отдельные части диссертации докладовались на студенческой научной, конференции Киевского государственного университета (апрель 1983), на XX Всесоюзной, студенческой, конференции в Новосибирске (апрель 1982), на республиканской конференции " Преподавание курса дифференциальных уравнений: в педагогических институтах " в Ленинграде (сентябрь 1981), на II Международной, конференции по комплексному анализу и его приложениям в Варне (май.1983) и, неоднократно, на Минском городском семинаре по краевым задачам им» академика АН БССР Ф..Д. Гахова в Белгос-университете им. В.ИЛенина (руководитель, профессор Э.И. Зверович}. Основная: часть результатов диссертации опубликована в, 12 работах [і94, 196-20б] , причем работы [l94, 196, 200-201, 205 ] были выполнены совместно с научным руководителем в период обучения- на механико-математическом факультета Белгос-университета им. В.И. Ленина.
Считаю приятным долгом выразить глубокую признательность, и благодарность своему научному руководителю, доценту Олегу
_ 9 -Игоревичу Маричеву за постановки задач, обсуждение результатов и помощь при выполнении и оформлении работы»
- ю -
Размерность многообразия решений системы дифференциальных уравнений для Gr- функции нескольких переменных
Такие уравнения, но для некоторых конкретных, гипергеометрических рядов, рассматривались ранее многими авторами [42-44, 50-51, 65, 89-93, 131 ]» но только в элюй, работе они исследуются в достаточно общем: виде. В 5 впервые в литературе на русском языке отражаются некоторые воц-росы смежного направления- — теории базисных гипергеометричес— ких функций и связанной с нею а -гамма функции [77, 9б]#
Вторая глава посвящена изучению наиболее распространенных в приложениях гипергеометрических функций, двух переменных -так называемых функций из списка Горна [і, 90]» Эти 34 функции являются естественными обобщениями гипергеометрической функции Гаусса и её вырожденных случаев (Куммера и Бесселя), В 6 и 7 содержатся: обширные таблицы новых: преобразований-И интегральных представлений для функций Горна, С помощью формул из этих таблиц нетрудно получить различные соотношения для аналитического продолжения функций Горна на более широкие области изменения аргументов, а также их асимптотические разложения в окрестностях особых линий и точек. Многие другие формулы такого типа, а также формулы приведения функций Горна при определенных условиях на параметры к гипергеометрической функции одной переменной были получены ранее, в частности, в работах [ 18-20, 44, 46, 52-53, 55, 59, 66-67, 85, 87, 94, 98, 112, 120-122, 152, 156, 169-170, 183, 193] В 8 с помощью теории представлений групп установлены две так называемые теоремы умножения для функций Горна F± и F2 , приводящие к значениям двух интегралов, содержащих эям функции, Такие интегралы было бы трудно вычислить с помощью обычных аналитических методов; например, с помощью метода из Г25І В третьей главе исследуются интегральные уравнения Вольтерра первого рода (одномерные и двумерные) с функциями Горна F± , в яДР э разрешимые в замкнутом виде. Начало этого направления положила работа 1 184] В последующих: работах [22-24, 31-32, 48-49, 63, 69, 84, 86, 99, 102-104, II5-II9, 135, 142-143, 145-148, I60-I6I, 172, 178-182, 190 ] осуществлялся, активный, поиск одномерных уравнений с функциями Лежандра, Лагерра, Якоби, Чебышева, Гегенбауэра» Бейтмена, Куммера, Гаусса, Фокса, с обобщенной, гипергеометрической функцией: 4F5 и другими, разрешимых в: замкнутом виде с помощью интегральных преобразований или операторов дробного интегрирования. Наиболее полный перечень этих исследований до 1975 г, содержится в монографии [і73], где приведены более 200 таких уравнений, и ихгрешений. Иначе дело обстоит с функциями многих, переменных До недавнего времени были известны лишь: отдельные интегральные уравнения, содержащие в ядрах функции Горна Fj , и все ати уравнения, были одномерными и обобщающими классическое уравнение Абеля. Для одномерных-уравнений с ядрами общего вида, включающих частным случаем уравнение Абеля., в 9 доказывается.теорема, позволяющая получить необходимые и достаточные условия, существования и единственности решений уравнений в классе функций Q , , интегрируемых на интервале ( 0 , d) с весом х" . Этот результат в конце параграфа применяется к исследованию известных уравнений. [21, 115, 142], что приводит к более общим утверждениям В 10 получаются решения 4-х одномерных уравнений с функцией ± в ядрах, а в II-J.2 рассматриваются ещё 12 двумерных уравнений с функциями % , Н& , R, и (т2 в ядрах. Показано, что все эти уравнения обобщают классическое уравнение. Абеля в одно- и двумерных вариантах и, более того, уравнения из 10 и 12 являются композициями нескольких уравнений Абеля со степенными мультипликаторами. Такая- их структура аналогична композиционной структуре ставшего классическим одномерного уравнения Лава с функцией. Гаусса в ядре [ііб]. Заключительный 13 содержит; обобщение, оператора Римана-Лиувилля (уравнения Абеля) на многомерный случай для пирамидальной области» Обращение этого оператора получено в работе, выполненной совместно с АЛт Килбасом [197].
Краткое изложение истории вопросов, изучаемых в диссертации, также имеется вначале каждого параграфа.
Отдельные части диссертации докладовались на студенческой научной, конференции Киевского государственного университета (апрель 1983), на XX Всесоюзной, студенческой, конференции в Новосибирске (апрель 1982), на республиканской конференции " Преподавание курса дифференциальных уравнений: в педагогических институтах " в Ленинграде (сентябрь 1981), на II Международной, конференции по комплексному анализу и его приложениям в Варне (май.1983) и, неоднократно, на Минском городском семинаре по краевым задачам им» академика АН БССР Ф..Д. Гахова в Белгос-университете им. В.ИЛенина (руководитель, профессор Э.И. Зверович}. Основная: часть результатов диссертации опубликована в, 12 работах [і94, 196-20б] , причем работы [l94, 196, 200-201, 205 ] были выполнены совместно с научным руководителем в период обучения- на механико-математическом факультета Белгос-университета им. В.И. Ленина.
Гамма функция и базисные дифференциальные уравнения базисных гипергеометрических рядов
Нужно доказать, что для любого (п2+1) -ого решения этой, системы существуют постоянные С , i=i;n2+i f не все равные нулю и такие, что в окрестности точки (ос0,а0) выпол няются, соотношения п2+ Эти соотношения- можно рассматривать как систему из п2 уравнений относительно іг2+1 неизвестных аналитических функций С (ее, и,), С\ос, и) »... t С (х; и) . Так как и. ,..., a линейно неза висимы, то по лемме 3.2 определитель U- р q=-o i в точке (cco,u-0) , а поэтому и в некоторой окрестности этой точки не обращается в нуль. Поэтому система (3.7) имеет нетривиальное аналитическое решение С1,(ее, a) , 1=1,-пЧ± t в окрестности точки (oco,u-0) . Делением функций из них, которая не обращается в ноль, можно добиться, чтобы в некоторой окрестности точки QCQ, %) одна функция (пусть ЭЛЮ будет С (jx.,\) ) тождественно равнялась единице. Продифференцировав уравнения системы (3,7) в окрестности (OCQ, ty0) , получим, равенства Но производные ар+і,а » ap q-»-i ш леше 3 можно линейно выразить через п2 производных ulp , p, n . Поэтому, приняв во внимание (3.7), несложно получить, что вторая сумма правой, части (3.8) обращается в. нуль, а значит, обращается в. нуль и первая сумма Из (3 7), (3.9) следует, что С t L=i, rA-i f и dCL 1= і,гь2+і являются решениями системы (3.7), а ранг матрицы коэффициентов порядка (nx(n+i)) равен п Следовательно в окрестности точки (ос0, О , и следовательно, С ,..,,С являются постоянными в этой окрестности, причем С ф 0 и имеет место тождество (3.7). Теорема 3.1 доказана. Теорема 3.1 может быть обобщена на систему п уравнений п переменных порядка rn . При этом можно доказать аналогичную теорему о том, что такая система в окрестности некоторой точки (о,...? oz ) имеет не более mn линейно независимых решений, если там не обращаются в нуль некоторые определители, составленные из коэффициентов при производных наивышего -порядка m . Эти теоремы обобщают результаты Аппеля и Лауричеллы [44]. для систем уравнений, связанных с кратныгли гипергеометрическими рядами, носящими имена Аппеля и Лауричеллы [42, 114] Замечание ЗЛ» Если все коэффициенты ак , &к , ак &к 2 к п » тождественно равны нулю, то условие А выполняется и система (3,1) имеет ровно п,2 линейно независимых решений хки , О кД гг. # Замечание 3,2 Примером системы, для которой условие Д невыполняется, является следующая система где 6 , Ф определены в (2.9), a F , F , G- , G многочлены двух переменных, имеющие соответственно степени р , р » Я Я/ и такие, что - 34 -и первое уравнение содержит производную ип 0 , но не содержит производной. а0 п , а второе уравнение содержит uQ , но не содержит un 0 Из доказанной теоремы для системы (3.12) выводится Следствие 3.1. Система (3.12) имеет не более п2 линейно независимых решений в окрестностях любых регулярных точек, т.е. точек, в которых выполняются условия вида (3.2). Система (3.12) при некоторых ограничениях на многочлены F , F , G- , G является общей системой уравнений в частных производных для гипергеометрических рядов, двух переменных и включает частным случаем систему (2.9). Поэтому для (2.9) справедливо следствие 3.1 Аналогичный результат можно установить и для системы (1.5). 3.2. Система уравнений типа (1.5) может содержать дополнительные уравнения, что и влияет на число её линейно независимых решений. Проиллюстрируем это замечание на примере некоторых уравнений Горна. Известно, что системы дифференциальных уравнений в частных производньх, связанные с восемью рядами имеют литі три линейно независимых решения, в. то же время как остальные 26 систем обладают четырьмя линейно независимыми решениями каждая ([і]і см. также замечание 3.3). Оказывается, что это происходит из-за того, что системы уравнений для рядов (3.14) скрытно содержат в себе третье дополнительное уравнение, что было показано различными: авторами [44, 199] а системы трех уравнений такого типа, как доказывается ниже, имеют не более трех независимых решений. Для остальных: 26 рядов оказывается, что некоторые из них удовлетворяют, кроме своих систем иа двух уравнений,, ещё и третьему независимому уравнению.
Применение теории представления групп к установлению теорем умножения для функций Ft и F2
Начиная с I960 г. опубликовано значительное число работ» посвященных решению интегральных уравнений Вольтерра, содержащих в ядрах специальные функции (см. библиографию из [23-24, 173]). Такие уравнения имеют важное значение при исследовании краевых задач для уравнений в частных производных [21, 102]. Они решаются различными методами, главным образом с помощью интегральных преобразований и операторов комплексного интегро-дифференцирования [їЗ, III]. Как показывается в работах [21, 115] , при использовании аппарата комплексного интеградифферен-цирования могут возникать трудности, обусловленные сложением особенностей, функции и ядра на конце промежутка интегрирования. В настоящем параграфе устанавливаются обще теоремы, которые позволяют более успешно преодолевать эти сложности. Доказанные теоремы, в частности, применяются для изучения интегральных уравнений,, содержащих в ядрах функции Куммера ± [142 J , Гаусса „F, [ііб] , Аппеля F- [2lJ и приводят к более общим, чем известные, результатами.
Все исследованные в [23-24, 17з] интегральные уравнения первого рода со специальными функциями гипергеометрического типа с конечной начальной точкой после замен переменных сводятся к следующему виду где ftQx.) - заданная, ftx) - искомая функции, а ядро ft(pc}fy является аналитической функцией, причем у.(ос,зс)фО Функция $(сс) ищется в классе функций, интегрируемых на интервале (Ъ, d.) со степенным весом сс , с[ R , т.е. требуется, чтобы oc feo в L(b,cL) = L . Следуя [Пб], обозначим этот класс функций через do ( ( = L ) Через L обозначим пространство всех функций {Qc)G L , для. которых 1( )= $%)сЦ. также принадлежит L , а через I (м) - образ некоторого пространства И после действия оператором дробного интегрирования Римана-Лиувилля I = I [ill ]. Основное внимание уделим случаям, когда М = L і М = L или М =. GL , cj 0 . Описание пространства I (J-) имеется в [із], а описание пространств І (Т) , ItPq) через IXL) несложно получить с помощью теорем 5, 6 из [115]. Вначале рассмотрим интегральное соотношениеСправедлива следующая теорема, где через [а] обозначена целая часть действительного числа а . Теорема 9.1. Пусть у.(х-Л) - L ec + J - раз дифференцируемая по переменной ос функция, причем все эти её частные производные непрерывны в области O is х d ,а (Ъс,ос.)фО. Тогда для существования решения cc)L (соответственно V(?c) L ) уравнения (9.2) при заданном (Ьс) (соответственно q(x.) ) необходимо и достаточно, чтобы ty"(=с) є L ( Щ с)є\- ), причем эти решения единственны. Доказательство следует из теории уравнений Вольтерра второго рода с ограниченным ядром в классе L ([26], с. 42), т.к. (9.2), например, при заданной VQ&) эквивалентно следующему интеграль-Ядра этих уравнений J 2 L , с помощью формул 2.10.(2), 2.10.(7) из [і] и соответствующих представлений из [21] ВЫражаЮТСЯ В ВИДЄ Q-) Ц(х.,±) Ш [О, d] , ГДЄ J ac,!) удовлетворяет условиям теоремы 9.1, а х принимает соответственно значения 0 , -min Hea, deer)- ,гггтфеа;К.с&-ДеС -л- 9/ - ( 0 - произвольное). Воспользовавшись произвольной малостью г , из теоремы 9.2 получим следующие следствия Теорема 9.3. Интегральное уравнение (9 8) имеет решение Я в &а , 0 . тогда и только тогда, когда а I (6Ц) При этом его решение единственно. Теорема 9.4. а) Необходимым и достаточным условием для того, чтобы интегральное уравнение (9.9) имело решение \(pz)GCLr ГДЄ a ;m.m (been, ймЦ, ЯВЛЯЄТСЯ условие OC aQ=c) I (J.) , При этом решение единственно. б) Пусть a - вещественное и a «=; Не (г Тогда в утверждении а) ВМеСТО УСЛОВИЯ С ;-mCn H&a, Re«y можно ВЗЯТЬ oj «с a в) Если в утверждении а) доіюльнительно предположить, ЧТО С} 0 , то вместо x ofx) є ICLj) можно указать эквивалентные усло вия зсЛ о, - 78 -Теорема 9.5. а) Интегральное уравнение (9.10) имеет решение 4\рс)Є &q » \ .w( faa., fle«r, ti.z(c.-a. -&tyt ТОГДа И ТОЛЬКО тогда, когда ос фс) є IC(L) , при этом указанное решение единственно. Если, кроме того, q о , то условие oc%(rc)Lc(L) можно заменить на х%(х.) 1СО или aQc) є Iе 0) б) Пусть а (соответственно c-af-& ) - вещественное и а R&Jrf Не.(с-а-# (соответственно с-а-& Неа, Re$- ). Тогда утверждение а) теоремы остается в силе, если q а ( j с-а/Л ). Замечание 9.2. Условие а(сс)І (JL) утверждения, в) теоремы 9.4 совпадает с необходимым условием существования решения уравнения (9.9), указанны?./! в [П5] (теорема 7). Достаточное условие существования решения (9.9) в теореме 8 из [lI5] является более жестким, чем в теореме 9.4в) настоящего параграфа (там допольнительно требуется, чтобы таос еаДе ) 0). Теорема 9.5 аналогичным образом обобщает соответствующие результаты для уравнения (9.10) из работы [21]. Замечание 9.3. Конкретные формулы решений уравнений (9.8), (9.9), (9.10) через операторы комплексного интегродифференцирования при соответствую дих ограничениях на параметры имеются соответственно в работах Гі42, 115, 2l].
Элементы общей теории одномерных интегральных уравнений, содержащих в ядрах специальные функции
Основным оператором, с помощью которого изучаются интегральные уравнения Вольтерра в предыдущих параграфах, является оператор комплексного интегродифференцирования Римана-Лиувилля. Обращение этого оператора строится с помощью решения уравнения Абеля. Поэтому для решения многомерных уравнений Вольтерра в более сложных областях, подобных уравнениям из 12, необходимо уметь решать многомерные аналоги уравнения Абеля в соответствующих областях. Настоящий параграф посвящен одному из таких уравнений, рассматриваемому в ограниченной области интегрировашя шрашідрального вида. Частные случаи такого типа уравнений рассматривались в работах [9, 16, 2б].
Пусть R - n-мерное действительное евклидово пространство, R = і ос = ( ,.., осп) є Rn : ocn = О I } (L&- dxt±... cLocn, a A = a.Kl ,( aKl K1 ) -матрица порядка n x n , причем A = cLeA ф 0 и aK= (aK1,..v a.Kri) - вектор-строка матрицы A . Введем обозначения где a = ( ,..., xn) t хкє К , к=,п (см. І). Через Л(ос) обозначим п -мерную ограниченную в R пирамиду A(oa) = [ Є R? : AoQ t) 0 j (I3#2) ( oc » О означает, что cc± 0,..., ac 0 ). Справедлива следующая Демма ІЗ.I. Пусть А" = -Kt ( - матрица, обратная к матрице А , а &п = (іпі,-,4п) ее n H строка. Для того, чтобы пирамида (13.2) была ограничена в R , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Хг 0 . Доказательство следует из того, что при линейном невырожденном преобразовании t- А і , ас- А ос , ограниченная пирамида Д(рс) переходит в ограниченную пирамиду А (ос) : Л )= {Rn: ac t, SOK 0] (13.3) Рассмотрим интегральное уравнение типа Абеля С MiL- = #«;, 0 = і, (13.4) где Ц(л) - заданная функвдя на конечном прямоугольном параллелепипеде П з Д(ас) , имеющая непрерывные частные производные - 96 -до порядка n . Для решения уравнения (13.4) применим методы, аналогичные [26] . Заменив в уравнении (13.4) t на г , ос на t , умножив обе части полученного равенства на (Ao(ocj) bit , проинтегрировав его по пирамиде Л (ос) и изменив порядок интегрирования, получим \J 4 (r)dx U (A0(oc--fcj)0t"1(AoC-bri)OC =- tfx), (13.5) A(x) 6Qc,r) где б-(ссд) = [t Rn : Ао Г === Ao == Aofl&J , 6) Д(х) Введя для вычисления внутреиного интеграла в (13.5) новые переменные SK= a (cc- )/aK,(oc-r) , к= L,n , и учтя равенства l-sK= ah,(- r)/aK,C0 1 /u » установим, что n где используется обозначение лтсхтг = П л іпа.кіг . тогда формула (13.5) примет вид \ і?(і)(ІЇ = ЛІ7ґ П/ьтсх7Т j(oc). (13.8) Д(ос) Совершим в (13.8) замену переменных Тогда в силу леммы ІЗ.I уравнение (13.8) запишется в форме S ад = frQt) цз.ю) где обозначено Продифференцировав это равенство последовательно по а ,..., tu, L , получим Отсюда, учтя (13.6), (13.9), (13.12), найдем, что единственное решение уравнения (13.8) имеет вид Уравнения (13.4) и (13.8) равносильны, т.к. соответствующее (13.2) однородное уравнение не имеет отличных с от нуля решений1. Й6І Поэтому формула (13.14) доставляет решение исходного уравнения (13.4). Отсюда следует Теорема 13.1. Интегральное уравнение типа Абеля (13.4) имеет единственное решение, представимое по формуле (13.14). В частности, при п. - і , А 1 , из (13.14) получается известное решение уравнения Абеля [іб], а при п-2_ , /\-\\ , ос, = ос. - 1/2. - решение уравнения, встретившегося при исследовании отражения волн от прямолинейной границы [2б]. Обоз на чим через 3 цас) частную производную функции fee) с мультииядексом ]&=.(! «.) , f\ .0 , и пусть j3 = +-+ ) . ЕСЛИ дополнительно предположить, что свободный член для Любого j2 , 0 1 г-1 , удовлетворяет условиям.
