Введение к работе
Актуальность темы.
В оптимальном управлении, теории упругих систем, теории фазовых переходов и других разделах современного естествознания рассматриваются нелинейные вариационные задачи вида
V(z)—> inf, дк{х)>0, х Є М, к = 1,2, ... ,т
(с полуограничениями), где V{x), gk{%) ~ гладкие функционалы на гладком банаховом многообразии М. Такие задачи приводят, в частности, к вопросу о бифуркациях экстремалей вблизи угловой точки края банахова многообразия.
Бифуркации экстремалей в классической ситуации (без полуограничений) достаточно хорошо изучены на основе метода конечномерной редукции 1,2.
В теории особенностей гладких функций на конечномерных многообразиях получил развитие анализ так называемых краевых и угловых особенностей (В.И. Арнольд, С.Т.С. Уолл, Д. Сирсма, Д. Пит. Т. Постои и др.).
В рамках теории фредгольмовых функционалов на банаховых многообразиях и ее приложений сравнительно недавно Ю.И. Сапроновым. А.В. Гнездиловым, О.Ю. Даниловой и О.В. Швыревой был получен ряд результатов, связанных с анализом бифуркаций экстремалей из угловых точек края банахова многообразия и приложениями к нелинейным краевым задачам математической физики. В задаче о бифуркации минимальных поверхностей с ограничениями новые результаты
1 Красноселвский М.А.. Бобвглев НА , Мухамадиев Э.М Об одной схеме исследования ввіро-
жденнвіх экстремалей функционалов классического вариационною исчисления'/ Докладві АН
СССР, 1978 Т.240, вып.З.- С.530-533.
2 Сапронов Ю И. Конечномернвіе редукции в гладких экстремалвнвгх задачах// Успехи ма-
тем. наук. - 1996 - Т.51, ввш 1. - С 101-132
были получены Л.В. Стенюхиным. Вместе с тем оставалась практически неизученной задача о бифуркации экстремалей в случаях согласованного наложения элементарных симметрии, полуограничений и двумерного вырождения (например, по типу омбилической особенности).
В настоящей диссертации рассмотрены бифуркации экстремалей параметрического семейства гладких функционалов в условиях действия следующих двух факторов: 1) двумерного вырождения функционала (порождающего) с омбилической особенностью гиперболического типа, 2) угловой особенности функционала, инспирированной наличием двух симметричных полуограничений.
Опознание возникающих типов особенностей и изучение соответствующих раскладов бифурцирующих морсовских экстремалей проведены на основе модифицированной схемы редукции к ключевой функции от двух (ключевых) переменных.
Цель работы. Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация метода изучения бифуркаций экстремалей фрел-гольмова функционала в угловой особой точке с двумерным вырождением и разработка приложений к нелинейным задачам математической физики.
Методика исследования. В диссертации использованы методы нелинейного функционального анализа, общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления и современной теории гладких функций многих переменных.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
1. Развит метод изучения бифуркаций экстремалей фредгольмова
функционала в критической точке с двумерным вырождением и при наличии двух полуограничений.
-
Получена полная классификация раскладов морсовских экстремалей, бифурцирующих из омбилической критической точки гиперболического типа при наличии симметрии и двух полуограничений.
-
Вычислена нормальная форма ключевой функции от двух переменных в задаче о двухмодовых бифуркациях форм равновесия упругой балки на упругом основании при наличии двух полуограничений на изгиб.
-
Разработана новая численно- аналитическая процедура описания двухмодовых бифуркаций (с резонансом 1:2) периодических волн в бесконечной упругой балке на упругом основании в случае четного потенциала.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на
Воронежской зимней математической школе (2004 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических системам (г. Суздаль, 2004 г.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф Костина В.А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в семи работах [1] - [7]. Из работ [3], [4], [7] в диссертацию включены лишь результаты, полученные автором диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения 3 глав, разбитых на 17 параграфов, и списка цитируемой литературы из 118 наименований. Общий объем диссертации — 114 стр.
