Введение к работе
Актуальность работы. Диссертация посвящена некоторым избранным вопросам спектральной теории функций и ее приложениям к изучению асимптотического поведения ограниченных полугрупп операторов.
Впервые термин "спектр функции" начал использовать Н. Винер в своей монографии, изданной в 1933 году1, объясняя введенное понятие аналогичным термином, используемым в физике. В 1945 году была опубликована статья А.Берлинга2, в которой было дано определение спектра существенно ограниченной на вещественной оси К. функции как совокупность тех вещественных А Є Ж. , для которых функция t н-> etXt : К. —> С принадлежит Ь1(М)-замыканию линейных комбинаций сдвигов рассматриваемой функции. Затем Карлеманом было дано свое определение спектра функции, использующее ее преобразование Лапласа3.
Начиная с работ А.Г. Баскакова4 5 6, спектральная теория функций стала систематически применяться в вопросах изучения качественных свойств ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Основное внимание было уделено спектральным критериям почти периодичности ограниченных решений, определенных на всей оси Ш. Для случая полуоси Ш+ = [0, +оо) наиболее возможным свойством поведения на бесконечности решений дифференциальных уравнений яв-
xWiener N. The Fourier Integral and Certain of Its Applications / N. Wiener // Cambridge, England:
the University Press. - 1933. - 201 p.
2Beurling A. Un theoreme sur les fonctions borness et uniformement continues sur l'axe reel /
A. Beurling If Acta Math. - 1945. - № 77. - P. 127-136.
3Данфорд H. Линейные операторы / H. Данфорд, Дж. Т. Шварц// - М.: Мир. - 1974. - Т.З. - 663 с.
4Баскаков А.Г. Некоторые вопросы теории векторных почти периодических функций / А.Г. Баскаков // Дис. канд. физ.-мат. наук. - Воронеж: ВГУ. - 1973.
5Баскаков А.Г. Спектральные критерии почти периодичности решений функциональных уравнений
/ А.Г. Баскаков // Мат. заметки.- 1978.- Т.24.- №2.- С.195-206.
6Баскаков А.Г. Гармонический анализ косинусной и экспоненциальной операторных функций / А.
Г. Баскаков // Матем. сб. - 1984. - Т.124(166). - №1(5). - С. 68-95.
ляется их почти периодичность, включающая их возможное убывание, а также их стабилизацию на бесконечности.
Одними из первых работ в исследованиях по качественной теории уравнений параболического типа стали работы А.Н. Тихонова, А.Н. Колмогорова, И.Г. Петровского и Н.С. Пискунова. В статьях В.Д. Репникова и С.Д. Эйдельмана7, В.Н. Денисова и В.В. Жикова8, А. К. Гущина, В.П. Михайлова и Ю.А. Михайлова9, Ф.Х. Мукминова10 изучались вопросы стабилизации решений при t —> оо (поточечной и равномерной) параболических уравнений.
Результаты о стабилизации решений, как правило, были получены при условии существования равномерного среднего у начальной функции. Актуальной является проблема описания асимптотического поведения решений без наличия этого условия. Именно этой проблеме посвящены многие результаты из глав 2 и 3 диссертации. Заменой свойства стабилизации является медленное изменение на бесконечности решения рассматриваемого параболического уравнения.
Для изучения медленно меняющихся на бесконечности функций возникает потребность использования спектральной теории функций.
В статье А. Берлинга 1945 года был получен результат относительно спектральных свойств равномерно непрерывных ограниченных на веще-
7Репников В. Д. Новое доказательство теоремы о стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности / В. Д. Репников, С. Д. Эйдельман // Матем. сб. - 1967. - Т.115. - №1. - С.
155-159.
8Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений / В.Н. Денисов, В.В. Жиков // Мат. заметки. - 1985. - Т.37. - №6. - С. 834-850.
9Гущин А.К. О равномерной стабилизации решения второй смешанной задачи для параболического
уравнения второго порядка / А. К. Гущин, В. П. Михайлов, Ю. А. Михайлов // Матем. сб. - 1985. - Т.
170. - № 2 (10). - С. 147-168.
10Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения
второго порядка / Ф. X. Мукминов // Матем. сб. - 1980. - Т.153. - №4. - С. 503-521.
ственной оси функций. Далее последовала попытка С. Годемана доказать теорему Берлинга для существенно ограниченных комплексных функций, но в 1966 году в статье12 П. Кусис установил ошибочность утверждения С. Годемана, а также заметил, что теорема Берлинга перестает быть верной для непрерывных ограниченных функций, и указал схему построения соответствующего примера. Обобщение теоремы Берлинга на функционалы из сопряженных пространств к некоторым классам полупростых коммутативных банаховых алгебр было получено Н. Домаром13. Им же было введено понятие "узкого"спектра функционалов. Исследования диссертации тесно связаны с вопросом обобщения теоремы Берлинга на более широкий класс функций. В частности, одним из результатов диссертации, полученном в главе 2, является теорема 2.2, которая обобщает теорему Берлинга на функции из однородного пространства, обладающие непустым существенным спектром. Таким образом, тема диссертации является вполне актуальной.
Цель работы состоит в получении обобщения теоремы Берлинга для функций из однородных пространств, имеющих непустой существенный спектр. Также целью является приложение полученных результатов к стабилизации решений параболических уравнений.
Методы исследования. Основными методами исследования в диссертации являются методы гармонического анализа, спектральной теории операторов, теории функций.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые резуль-
nGodement S. Theorems tauberiens et theorie spectrale / S. Godement // Annales de l'Ecole Normal
Superieure. - 1947. - № 64. - P. 119-138.
12Koosis P. On the spectral analysis of bounded functions / P. Koosis // Amer. Math. Soc- 1966. - № 16.
- P. 121-128.
13Domar Y. Some results on norrow spectral analysis / Y. Domar // Math. Scand. - 1967. - № 20. - P.
5-18.
таты:
-
Доказано совпадение различных определений спектра и изучена взаимосвязь между различными подходами к определению спектра функции.
-
Обобщение теоремы Берлинга для специального класса функций из однородных пространств, заданных на локально компактной абелевой группе. Установлено, что если непрерывный унитарный характер (экспонента, если группа совпадает с группой вещественных чисел Ж) является существенной точкой спектра функции, то характер является с-пределом линейных комбинаций сдвигов рассматриваемой функции.
-
При исследовании асимптотического поведения полугрупп операторов вводится специальный класс функций, называемых медленно меняющимися на бесконечности функциями. Изучены свойства таких функций и получено приложение к теории стабилизации слабых решений параболических уравнений.
-
Изучены качественные свойства слабых решений задачи Коши уравнения теплопроводности, а также слабых решений задачи Неймана для уравнения теплопроводности.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Представленные в диссертации результаты могут быть использованы для изучения качественных свойств решений параболических уравнений, а также асимптотического поведения полугрупп операторов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2010, 2011, 2013, на весенней математической школе «Понтрягинские чтения XXI»
2010, на Крымских осенних математических школах 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, а также на научных сессиях ВГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1 -17]. Из совместных работ [1,2] в диссертацию вошли результаты, полученные лично автором. Работы [1, 9, 15] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Ми-нобрнауки РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии, включающей 68 наименований. Общий объем диссертации 91 страница.
