Метод подобных операторов в спектральном анализе операторов Дирака и дифференциальных операторов, определенных интегральными краевыми условиями Дербушев, Алексей Валерьевич

Введение к работе

Актуальность темы. Основой многих направлений исследований в современнном анализе служат спектральные теории, связанные с тем или иным понятием спектра, а также функциональным исчислением для дифференциальных замкнутых операторов. Здесь нужно подчеркнуть особо важную роль, которую играет понятие спектра в проблеме гармонического анализа векторов из гильбертовых пространства, в котором действует некоторая группа операторов.

В диссертационной работе рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств некоторых классов дифференциальных операторов и оператора Дирака. К таким относятся дифференциальные операторы, определяемые нелокальными краевыми условиями, например, при изучении процессов диффузии в химической кинетике. Интерес к исследованию дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями был проявлен давно (А.Л.Скубачевский¹ , В.В. Власов², Л.С.Пулькина³, Ю.Т.Сильченко⁴). При данном существенно используется теория представлений однопараметрических групп операторов.

Изучение оператора Дирака осуществлялось рядом авторов, особенно отметим статью П.Джакова, Б.С.Митягина⁵.

¹ Скубачевский А.Л. О спектре дифференциальных операторов с областью определения, не плотной в L₂(0;1) / А.Л. Скубачевский, Г.М. Стеблов // Докл. АН СССР. - 1991. - Т.321, №6. -

С. 1158-1163.

²Власов В.В. О некоторых спекральных вопросах, возникающих в теории дифференциально-разностных операторов / В.В. Власов // Успехи матем. наук. - 1998. - Т. 53, №4. - С. 217-218.

³Пулькина Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для квазилинейного

гиперболического уравнения / Л.С. Пулькина // Матем. заметки. - 2001. - Т.70, №1. - С. 88-95. ⁴Сильченко Ю.Т. Резольвента оператора дифференцирования второго порядка с параметром в

нелокальных условиях. / Ю.Т. Сильченко // Труды математического факультета ВГУ. - 2005. -Т.9.

- С.51-56.

⁵Джаков П., Митягин B.C. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов

При попытке исследования оператора Дирака L^_r общими методами теории возмущений возникает несколько затруднений, связанных с наличием таких свойств как:

1. расстояние между собственными значениями невозмущенного оператора L^Q_dir не уходит в бесконечность;

2. возмущение (оператор умножения на потенциал v) не является ограниченным оператором.

Одним из самых распространенных методов исследования в теории возмущений линейных операторов является резольвентный метод, основанный на представлении проекторов Рисса возмущеных операторов с помощью интегральной формулы Коши. Однако изучаемые операторы не всегда удовлетворяют условиям, необходимым для применения данного метода. В качестве метода исследования в диссертации выбран метод подобных операторов, который берет свое начало с метода Пуанкаре нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений и тесно связан с методом Ляпунова кинематического подобия дифференциальных операторов, абстрактным вариантом замены Крылова - Боголюбова. Основная идея метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого оператора А — В к другому, подобному ему оператору А — Bq] где Bq имеет несложную по отношению к А структуру. Впервые метод подобных операторов был изложен Фридрихсом К.О.⁶ для возмущенных самосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром. Р. Тернером⁷ для возмущенных нормальных вполне непрерывных операторов была получена теорема о возможности их преобразования к диагональному

Шрёдингера и Дирака./П. Джаков , Б.С. Митягин // УМН. - 2006. - Т.61. - №4. - С.77-182.

⁸Фридрихе К.О. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве / К.О.

Фридрихе.// М. : Мир, 1969. - 232 с.

⁷Turner R.E. Perturbations of compact spectral operators / R.E. Turner // Communications on pure

and appeied mathematics. // 1965. - V. 18. - P. 519-541.

оператору в базисе невозмущенного оператора. Дальнейшее свое развитие метод подобных операторов получил в работах А.Г. Баскакова и его учеников, который стал использовать технику абстрактного гармонического анализа линейных операторов. Цель работы.

1. Получение оценок собственных значений и спектральных проекторов для дифференциальных оператора с нелокальными краевыми условиями ;

2. Построение оператора преобразования оператора Дирака к оператору с блочно-диагональной матрицей ;

3. Доказательство спектральности по Данфорду оператора Дирака;

4. Получение оценок собственных значений и проекторов Рисса для оператора Дирака;

5. Получение формулы регуляризованных следов для оператора Дирака.

Методика исследований. Основным методом исследования рассматриваемых классов диффиренциальных операторов и оператора Дирака являются метод подобных операторов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

6. Получены оценки собственных значений и спектральных проекторов для одного класса дифференциальных оператора с нелокальными краевыми условиями ;

7. Установлено подобие оператора Дирака оператору, матрица которого имеет блочно-диагональный вид;

3. Доказана спектральность по Данфорду оператора Дирака;

4. Получены оценки собственных значений и проекторов Рисса для оператора Дирака;

5. Получена формула регуляризованных следов для оператора Дирака.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и может быть использована при дальнейшем развитии спектральной теории оператов и метода подобных операторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции "Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна"(г. Воронеж, 2008 г.), "Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна"(г. Воронеж, 2010 г.) "Воронежская весенняя математическая школа Понтрягинские чтения" (г. Воронеж, 2010 г.) на "21 Крымской осенней математической школе-симпозиуме"(г. Севастополь, 2010 г.), и на ежегодных научных сессиях факультета прикладной математики, информатики и механики.

Публикации работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[10]. Работы [1],[7],[10] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ. Из совместной публикации [10] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на параграфы, и списка цитируемой литературы, содержащего 69 источника. Общий объем диссертации - 98 страниц.

Похожие диссертации на Метод подобных операторов в спектральном анализе операторов Дирака и дифференциальных операторов, определенных интегральными краевыми условиями

Метод подобных операторов в спектральном анализе операторов Дирака и Штурма-ЛиувилляЩербаков, Александр Олегович

Применение методов спектрального анализа оператор-функций в задаче о колебаниях маятника с полостью заполненной жидкостьюВадиаа, Али

Метод подобных операторов в спектральном анализе возмущенных линейных операторов и некоторых классов дифференциальных операторовПыркова Мария Сергеевна

Метод подобных операторов в спектральном анализе некоторых классов линейных операторовГаркавенко Галина Валериевна

Анализ линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории линейных операторов и отношенийМарюшенков, Станислав Владимирович

Спектральный анализ операторов иррационального поворота с весом в пространстве L2 ( )Громов, Андрей Львович

Спектральный анализ операторов, близких к спектральным и их приложенияАхмедов, Али Мустафа оглы

Дифференциальные операторы и анализ Фурье: теоремы вложения с предельным показателем и их приложенияСтоляров Дмитрий Михайлович

Проблемы конструктивного комплексного анализа и спектральный анализ несимметричных операторовКалягин, Валерий Александрович

Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторовАзарнова, Татьяна Васильевна