Введение к работе
Актуальность іеш. Основные результаты данной диссертацион-юй работы допускают две параллельных интерпретации . В каждой из мтерпретаций данные результаты имеют самостоятельную историю шбигия и являются самостоятельным источником приложений.С точки Фения, более связанной с внутренними методами исследования . порученные результаты представляют собой некоторые обобщения извес-'ной теоремы Винера об абсолютно сходящихся рядах Фурье . Речь [дет о наполненности в алгебре End х і алгебра линейных ограничении операторов, действующих в бесконечномерном комплексном бана-:овом пространства х > некоторых классов линейных ограниченных >ператоров. ряд Фурье которых . рассматриваемый как ряд Фурье не-соторой сильно непрерывной периодической операторозначной функции >діШп * end х в точке t=o. имеет определенную скорость абсолютной іходимости. Классификация осуществляется на основе оценок скорос-.'и сходимости ряда Фурье, выраженных в терминах некоторых весовых функций а: 2П * Ш+. Наполненность доказывается путем получения сонкрегных оценок для коэффициентов Фурье обратного оператора.выраженных в терминах числа обусловленности оператора и в терминах гесовых функций, определяющих класс операторов . Методы получения сонкрегных оценок являются обобщением и развитием методов получе-гая асимптотических и конкретных оценок, разработанных в работах Заскакова А-Г.. Асимптотические оценки получаются путем исполь-ювания теории банаховых алгебр t в частности, теорем Аллана и зохнера - Филлипса) и с успехом применяются к разнообразным клас-:ам операторов.Например, для оценок скорости абсолютной сходимости ряда в представлении разностных операторов, действующих в . (G.E) ( н - локально компактная абелева группа, є - сепарабель-юе банахово пространство )
(йф)(д) = а ( g )(pt g+9n ) ( »п Є L^l G.End Є ).
Для получения конкретных оценок б данной работе теория банановых алгебр не используется.
Особенно наглядно значение конкретных оценок проявляется с гочки зрения второй - матричной интерпретации полученных в работе результатов. Вводя матрицу оператора, как некоторую функцию из
_ 4 _
sxs в End x ( s - счетное подмножество из 2П) и устанавливая взаимосвязь между оценками коэффициентов Фурье оператора и оценками элементов матрицы оператора, все полученные результаты мокно рассматривать, как оценки скорости убывания внедиагональных элементов матрицы.-Конкретный , а не асимптотический характер оценок скорости убывания внедиагональных элементов обратных матриц играет существенную роль в вычислительной математике. Применение конкретных оценок к вопросам, связанным с модификациями итерационных алгоритмов вычислительной математики можно найти в работах С.А.Сандера, Р. Конкуса, Г.Н. Голуба, Г. Мэуранта, Елатова И.А-, с. Демко, В. Мосса. П. Смита .
Б работах Курбатова В.Г. рассматривается приложение асимптотических оценок элементов обратных матриц к теории интегральных операторов.Они касаются доказательства наполненности в пространствах l ( б,є ) (а - локально компактная абелева группа, е - конечномерное пространство > подалгебр операторов вида в = аі + « (Ъ^оьгде й - интегральный оператор с определенным типом убывания "внедиагональных" элементов ядра.В данной работе исследуется распространение этих методов на новые классы интегральных операторов, причем в результате получаются конкретные оценки для ядер интегральной части обратного оператора.
Наряду с приложениями к интегральным операторам, в работе получены приложения конкретных оценок элементов обратных матриц к теории функций и к спектральной теории линейных ограниченных самосопряженных операторов, действующих в пространстве l(Q) < Q -замкнутая область ненулевой меры в Кп ).
Из вышеизлокенного вытекает актуальность вопросов, рассмот -ренных в диссертации.
Цель, работы.Изучение подалгебр алгебры End х , выделенных на основе оценок скорости абсолютной сходимости рядов Фурье операторов из этих подалгебр или, с точки зрения матричной интерпретации на основе скорости убывания внедиагональных элементов матриц операторов. Доказательство наполненности этих подалгебр путем получения конкретных оценок элементов обратных матриц , выраженных в терминах числа обусловленности оператора и в терминах весовых функций, определяющих подалгебру операторов. Доказательство, методами, базирущемися на конкретных оценках элементов обратных матриц, следующих фактов из теории интегральных операторов,спек-
ральной теории линейных операторов и теории функций
- НаПОЛНеННОСТИ В алгебрах End L (G,EHO < р < і - локально компактная абелева группа, е - конечномерное простине тво ) некоторых подалгебр операторов вида в = Ад + а (А.?»), \це а - интегральный оператор с определенным типом убывания "вне-іиагональннх" элементов ядраї - теоремы об оценках убывания коэффициентов Фурье (относите- ШХ Ограниченных СаМОСОПрЯНеННЫХ операторов ИЗ End l2(Q) ( Q - іамкнутая область ненулевой меры в Ш" >s - теоремы об оценках спектральных компонент для некоторых Методика исследования. В работе используются методы комплексного анализа, функционального анализа,теории обобщенных функций, функционального исчисления линейных операторов, теории интеграль-гах операторов. Паузная шшша, теоретическая и практическая ценность- Все толученные е диссертации результаты являются новыми. Диссертация гасит теоретический характер. Ее результаты и метода могут найти пжменение в теории линейных операторов, теории функций и в методах вычислений. Апробация рлйсны-Результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах ( 1994,1995 г. ) , на и лендународной конференции ненщин-матемагиков (Пущино,і994 г.), на :п международной конференции ненщин-математиков<Воронеж 199э г.), іа международном научном конгрессе студентов, аспирантов и молодых /ченых " Молодежь и наука - и і тысячелетие " ( Москва , январь .996 г. ), на семинаре проф. Азизова Т.Я- в институте математики ЗГУ , на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Кубанского государственного университета ( рук. проф. Цалюк З.Б. ь на семи-гарах проф. Баскакова А.Г. в ВГУ. Публикации. По теме диссертации опубликованы работы с 1-5]. Совместных работ нет. Структура и объем работа- Диссертация содержит ХХ7 страниц машинописного текста и состоит из введения , двух глав и списка титературы, включающего >з наименования.
іьно некоторого ортонормированного базиса ) собственных функций,
)твечающих изолированному простому собственному значению линей-
слассов непрерывных ограниченных на DP функций ( некоторый аналог
?еоремы Винера об абсолютно сходящихся рядах Фурье ).Похожие диссертации на Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов
