Введение к работе
Актуальность темы. Одним из самых распространенных методов исследования спектральных свойств возмущенных линейных операторов является резольвентный метод, в основе которого лежит интегральное представление Копій проекторов Рисса. Такой метод лежит в основе исследований, проводимых в известных монографиях Т. Като, Н. Данфорда и Дж. Т. Шварца, М.А. Наймарка. Однако резольвентный метод имеет определенные недостатки, связанные с выбором системы контуров интегрирования и оценок резольвенты оператора на этой системе контуров.
Другим методом исследования возмущенных операторов является метод подобных операторов. Основная идея метода подобных операторов состоит в
преобразовании исследуемого оператора А- В к оператору А- В0, подобному исходному, но имеющему более простую структуру.
Метод подобных операторов берет свое начало с работ А.Пуанкаре, A.M. Ляпунова, Н.М. Крылова, Н.Н.Боголюбова, К.О.Фридрихса и получил свое дальнейшее развитие в работах Р. Тернера, А.Г. Баскакова и др.
Метод подобных операторов находит широкое применение в исследовании разнообразных классов возмущенных операторов и, в частности, дифференциальных.
До сих пор этот метод не применялся при исследовании обратных задач спектрального анализа. Вопросам исследования решения обратных задач спектрального анализа посвящено достаточно большое число работ. Особый интерес к этим задачам вызван их практической значимостью.
Под обратными задачами спектрального анализа принято понимать задачи построения (восстановления) линейного оператора по тем или иным его спектральным характеристикам.
Первый существенный результат теории обратных задач, был получен в 1929 г. В.А.Амбарцумяном. Обратные задачи исследовались в работах
В.А.Марченко, М.Г.Гасымова. Б.М.Левитана, Ю.М.Березанского, Ф.С.Рофе-Бекетова, И.Г.Хачатряна, В.А.Садовничего, В.В.Дубровского и других.
Применительно к возмущенным операторам данный метод позволяет упростить исследование операторов в совокупности их спектральных свойств, что вызывает необходимость дальнейшего развития метода подобных операторов.
В диссертационной работе рассматривается задачи дальнейшего развития метода подобных операторов, его применения к вопросу единственности решения обратных задач спектрального анализа, его применения к исследованию спектральных свойств некоторых новых классов операторов с неограниченными возмущениями. При этом исследование проводится в трех направлениях: усиление некоторых известных результатов (теоремы Хинкканена; глава 1), применение метода к задачам, где он ранее не использовался (обратные задачи спектрального анализа; глава 2), и расширение класса допустимых возмущений (глава 3).
Цель работы. Дальнейшего развитие метода подобных операторов, его применение к вопросу единственности решения обратных задач спектрального анализа, его применение к исследованию спектральных свойств некоторых классов операторов с неограниченными возмущениями.
Методика исследования. В работе используются методы спектральной теории линейных операторов, методы теории функций, методы абстрактного гармонического анализа, а так же некоторые результаты из теории обыкновенных дифференциальных операторов.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно отметить следующие:
і. Получены теоремы о диагонализации возмущенной диагональной матрицы, усиливающие соответствующие результаты Хинкканена.
2. Метод подобных операторов применен к исследованию единственности решения обратной задачи спектрального анализа.
з. Построены допустимые тройки для самосопряженного оператора с дискретным спектром с допустимым пространством неограниченных возмущений. Получены теоремы о подобии операторов рассматриваемого класса операторам более простой структуры. Получена асимптотика собственных значений возмущенных операторов. Получены приложения к дифференциальным операторам.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в спектральной теории линейных операторов, исследовании обратных задач спектрального анализа, теории дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на кафедре математических методов исследования операций Воронежского госуниверситета, на Воронежской зимней математической школе (1994), на международной конференции «Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения» (Воронеж 2000), на международной конференции «Современны проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений» (Воронеж 2003), семинарах под руководством проф. Баскакова А.Г.
Публикации автора. По теме диссертации опубликовано 8 работ, которые отражают её основное содержание. Совместных работ нет.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, списка условных обозначений, трех глав, разделённых на 10 параграфов и списка литературы из 62 наименований. Общий объем диссертации составляет 102 страниц. Нумерация приводимых в автореферате теорем, определений и формул совпадает с нумерацией, принятой в диссертационной работе.
