Введение к работе
Актуальность работы. Рассматриваются линейные дифференциальные уравнения
-^ = A(t)x, tel (1)
^ = A(t)x + f(t),tel (2)
где J Є {М,М+}, A(t) : D(A(t)) : X —> X, t Є J, - семейство линейных замкнутых операторов, действующих в комплексном банаховом пространстве X.
Многие свойства решений дифференциального уравнения, такие, как ограниченность, устойчивость, асимптотическое поведение, тесно связаны с соответствующими свойствами дифференциального оператора, определяющего дифференциальное уравнение и действующего в соответствующем функциональном пространстве. М.Г. Крейн, отправляясь от идей и результатов Ляпунова, в статье1 заметил, что многие факты теории устойчивости решений можно получить, используя теорию операторов, действующих в банаховых пространствах.
Изучение этих проблем в терминах экспоненциальной дихотомии решений одним из первых осуществил О. Перрон. Он в 1930г. исследовал дифференциальный оператор L = — ——V A(t) в пространстве непрерывных функций Сь(М,Х), где X конечномерное пространство.
Случай ограниченных операторов A(t), t Є К, действующих в банаховых пространствах, исследовался в известных монографиях X. Л. Массера, X. X. Шеффера и Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крейна. Экспоненциальная дихотомия решений характеризовались в терминах сюръективности оператора
1 Крейн М.Г. О некоторых вопросах, связанных с кругом идей Ляпунова в теории устойчивости М.Г. Крейн. // Успехи мат. наук. - 1948. - Т. 3. - № 3. - С.166-169.
L и условия замкнутости и дополняемости подпространства векторов из X, являющиеся начальными условиями для ограниченных на Ш+ решений дифференциального уравнения. Важнейшим шагом в данных работах стал отказ от матричного анализа в конечномерном пространстве, что сделало более прозрачными и простыми многие доказательства и конструкции.
В связи с приложениями к параболическим дифференциальным уравнениям в частных производных очень остро стоял вопрос об исследовании качественных свойств решений с неограниченными операторными коэффи-цинетами. Ю.Л. Далецкий и М.Г. Крейн в монографии2 писали: "Авторы отчетливо осознают, что арена бесконечномерных пространств требует присутствия неограниченных операторов, без которых, невозможна настоящая теория устойчивости систем с бесконечным числом степеней свободы".
Отметим монографию3 Д. Хенри, в которой строилась геометрическая
теория параболических уравнений, использующая свойство обратимости
оператора L = —— + A(t) в пространстве Сь(М,Х), в предположении, что
A(t),t Є К,- секториальные операторы.
Современное состояние рассматриваемых проблем тесно связано с использованием методов спектральной теории замкнутых операторов, линейных отношений, разностных операторов и отношений, полугрупп операторов.
Следует отметить важность работ Ю. Латушкина в развитии новых подходов. В монографии 4 приведен подробный обзор состояния качественной теории дифференциальных операторов до 1999 года.
2Далецкий Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве /
Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. - М.: Наука, 1970. - 536 с.
3Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. — М.: Мир,
1985. - 376 с.
4СЫсопе С. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone, Yu.
Latushkin // Amer. Math. Soc. - 1999. - 361 p.
Также необходимо упомянуть о большом значении работ Р. Шнаубельта, Р. Нагеля в развитии качественной теории дифференциальных уравнений.
Для изучения свойств дифференциальных операторов в работах А.Г. Баскакова стала существенно использоваться спектральная теория разностных операторов и линейных отношений. Свойства разностных операторов в весовых пространствах изучались в работах М.С. Бичегкуева. Исследованию дифференциальных уравнений с помощью линейных отношений посвящены многие статьи В.М. Брука.
Отметим, что изучение линейных дифференциальных уравнений не только имеет самостоятельное значение, но и служит базой для изучения нелинейных уравнений. При этом очень важное место занимают оценки норм обратных операторов. Этому направлению исследования посвящен цикл работ А.И. Перова для обыкновенных дифференциальных уравнений (операторов) и статья А.Г. Баскакова и Ю.Н. Синтяева5.
Таким образом, тема диссертации, посвященной изучению линейных дифференциальных уравнений с помощью разностных операторов и линейных отношений, является вполне актуальной.
Цель работы состоит в нахождении условий обратимости дифференциальных операторов и получении оценок норм решений дифференциальных уравнений (как с ограниченными, так и неограниченными операторными коэффициентами) в функциональных пространствах на бесконечных промежутках.
Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с использованием методов функционального анализа, методов спектральной теории замкнутых операторов, теории линейных отношений, разност-
5Баскаков А. Г. Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов; оценки решений / А.Г. Баскаков, Ю.Н. Синтяев // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46. - № 2. -С. 210-219.
ных операторов и отношений, теории полугрупп операторов.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
-
Условия обратимости дифференциальных операторов, действующих в функциональных пространствах на полуоси.
-
Оценки нормы обратного к дифференциальному оператору с неограниченными операторными коэффициентами, действующему в функциональных пространствах на полуоси, через норму обратного в другом функциональном пространстве.
-
Оценки нормы обратного к дифференциальному оператору с ограниченными операторными коэффициентами, действующему в пространстве Loo(IR+,X), через норму обратного оператора, действующего в пространстве L2(K+,X).
-
Условия обратимости и оценка нормы обратного к одному классу несамосопряженных операторов, действующих из подпространсва гильбертова пространства в данное гильбертово пространство.
-
Приложения оценок норм обратного к исследуемому классу несамосопряженных операторов к оценкам норм обратных к дифференциальным операторам, действующим в функциональных пространствах на всей оси вещественных чисел.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Представленные в диссертации результаты могут быть использованы для оценки норм решений линейных дифференциальных уравнений и применены для исследования ограниченных решений нелинейных уравнений.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2010, 2012, на весенней математической школе «Понтрягинские чтения XXI», на Крымских осенних математических школах 2008, 2009, 2011, 2012, а также на научных сессиях ВГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1 -11]. Из совместной работы [1] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работы [5, 10, 11] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии, включающей 84 наименования. Общий объем диссертации 88 страниц.
