Введение к работе
Актуальность темы. Нелокальные функционально-дифференциальные уравнения и,
і частности, функциональные уравнения давно привлекают внимание исследователей.
Гакне уравнения рассматривались еще а работах Ж.. Д'Аламбера ('. D'Alembert), Л.
дилера (L. Euler), К. Гаусса (С. Gauss), О. Коши (A.L. Cauchy), Н. Абеля (N.H. Abel) и
фугих выдающихся математиков прошлого. В последние десятилетия наблюдается
взрастание интереса к изучению данного класса уравнений и порожденных ими
іператоров. Этот интерес объясняется с одной стороны обнаруженными новыми
приложениями таких операторов, а с другой стороны их связями с задачами из
іазличньїх областей математики. Различным аспектам теории нелокальньк
зункцнонально-дифферешиальных уравнений посзяшены работы Н.В. Азбелева, А.Б.
^тоневнча, А.Б. Батхина, Р. Беллмана, К. Кука (R. Bellman, К. Coofcei, А. Беттчера,
>. Сильберманна (A. Bottcher, В. Silbeirnann), В.В. Бреннера, Я.С. Бродского, А.К.
Глнпенко, О.П. Германовича, Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко, Ю.И. Карловича, В.Г.
Сравченко, В.Б. Колмановского, Ю.И. Носова, В.Г. Курбатова, М.Кучмы (М.
luczma), Ю.Д. Латушкчна, AM. Стетша, Г.С. Литвинчука, Ю.Л. Майстренко, Е.Ю. 'оманенко, А.А. Миролюбова, М.А. Солдатова, B.C. Мокейчева, А.Д. Мышкнса, Г.П. Іелюха, А.Н. Шарковского, Д. Пршеворской-Ролевич (D. Prze\vorska-Ro!e\vicz), B.C. 'абиновича, В. И, Семенюты, АЛ. Скуба'чевского, Д.С. Тханя, А.Б. Хевелева. Дж. Хейла Г. Hale), А.Л. Шилдса (A.L. Shields) и др.
Одним из качественно новых свойств функционально-дифференциальных ператоров с частными производными по сравнению с чисто дифференциальными jlth севдодифференциалъными операторами является сложность построения объектов, грающих роль символа для таких операторов. Так как в теории дифференцихчькых равнений с частными производными в формулировки основных теорем входят условия а характеристический многочлен, то есть символ соответствующих операторов, не ызывает сомнений важность построения аналога символа для развития теории эсобенно фредгольмовой теории) функционально-дифференциальных уравнений, [сследования последних лет показали, что основным математическим аппаратом,
необходимым хтя построения символического нечисленні
фчтчшионально-дифференциальных операторов являются методы С-алгебр порожденных динамическими системами (группами автоморфизмов).
Взаимовсвязи между различными проблемами теории нелокальных функционально
дифференциальных уравнений и исследованием операторно-алгеораических структу]
были отмечены многими учеными. Наиболее близким» к теме данной джсерташ
являются работы Д. Пршеворской-Ролевич, Г.С. Литвинчука, А.Б. Антоневнча, В.Е
Бреннера, Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко. Ю.И. Карловича, В.Г. Кравченко, КЦ
Латушкина, A.M. Степина, Д.С. Тханя, А.Б. Батхнна, А. Беттчера, Б.Сильбермана. Кроме того применение С"-алгебраических методов начинает играть все большуі роль и непосредственно в теории псевдодифференциальных операторов, особенно в те случаях, когда последние обладают различными особенностями в символах, частности, описанию С-алгебры псевдодифференииальных операторов с кусочн< непрерывными коэффициентами посвящена монография Б.А. Пламеневского.1
Начало исследованиям С*-алгебр, порожденных динамическими системами был
положено в работах Ф.Ж. Мюррея и Дж. Фон Неймана (F.J. Murray, J. Von Neumanr
изучением таких алгебр и их приложений занимались многие математики, в чис
которых У.Б. Арвесон, К.Б. Джозефсон (W.B. Arveson, К.В. Josephson), М.ДеБрабанті
(М. De Brabanter), Д.П. О'Донован (D.P. O'Donovan), A.M Вершик, В.Я. Голоде
Д. Олесен, Г.К. Педерсен fD. Olesen, G.K. PedersevL) и другие. В этом направлені
получен ряд фундаментальных результатов. Однако при приложении теории С-алгес
порожденных динамическими системами к функционхтьно-дзіфференшіальнь
уравнениям возникают вопросы теории таких алгебр, которые ранее не бы
разработаны в должной мере. В частности это касается методов вычисления услов:
обратимости конкретных элементов этих алгебр в случае, когда динамические систе>.
заданы бесконечными группами. Описание ряда таких методов для алге
функционально-дифференциальных операторов, порожденн
псевдодифференциальными операторами с непрерывными коэффициентами допустимыми группами замен переменных дано в монографии А.Б. Антоневнча. Кро того исследованиям в этом направлешш посвяшены работы В.В. Бреннера, В Семеюоты, А.Б. Хевелеза, Ю.Д. Латушкина, A.J>f. Степина, В.Г. Курбато Ю.И. Карловича, А.Б. Батхина, В.Г. Кравченко, Г.С. Литвинчука и др, в котор
1 Пламтевский Б.А. Алгебры псгаюдиффгрснииа-'и'Ных операторов. - М.: Наука. 19S6. -256 с.
ественно различными методами вычислены условия обратимости в ряде
тсретных
раторно-алгебраических ситуаций. Однако разработка обших С*-алгебраических
струкций и методов вычисления условий обратимости элементов из С*-алгебр,
юисденных динамическими системами еще далека от своего завершення.
Таким образом актуальными проблемами являются конструкция и описание алгебраических структур, лежащих в основе символического исчисления окальных функцонально-дифференциальных операторов и получение общих С*-одов вычисления условий обратимости построенных символов.
Связь работы с крупными научными темами. Исследования проводились в рамках бюджетных научных тем "'Операторные уравнения в функциональных хггранствах"
31860060981-27.39 и "Линейные и нелинейные проблемы анализа и теории ^заторных уравнений и их приложения в теории управления и математической томике" 01920010104, 19941353-27.39 Белгосуниверситета.
Цель и задачи исследования. Конструкция и описание С*-алгебраических структур и іработка С'-методов решения проблем фредгольмовости нелокальных нкционально-дифференциальных операторов. Построение с помощью развитых >уктур и методов символического исчисления для G-псевдодифференциальных граторов. Вычисление условий обратимости построенных символов и получение на эй основе условий фредгольмовости изучаемых операторов.
Научная новизна. В работе развит новый обший С*-алгебраичесхнй метод следования проблем фредгольмовости функционально-дифференциальных ераторов. Впервые получено описание структуры С-алгебр, порожденных намическими системами общего вида, в частности, доказана Теорема об аморфизме, описывающая предельно возможные условия (на группу и действие томорфизмов), при которых рассматриваемые алгебры полностью определяются йствнем заданных автоморфизмов. Описаны условия наличия (отсуствия) мпактных элементов в С-алгебрах. На основе этих условий и полученного описания руктуры С-алгебр, порожденных динамическими системами вычислены критерии впадения условий" фредгольмовости и обратимости исследуемых операторов.
4 С помощью развитого нового С*- аппарата построено символи1
исчисление для функционально-псевдодифференциальных операторов с непрерыв
и кусочно-непрерывными коэффициентами. До исследований диссертанта ан;
такого исчисления были получены при значительно более жестких условіи
особенности коэффициентов и группы замен переменных, порождающие нелокаль
рассматриваемых операторов.
Описаны три общих С*-метода (гиперболический, аппроксимашюнн
траекторный) вычисления условий обратимости символов (которые соответсл
служат методами вычисления условий фредгольмовости исследуемых функциона
дифференциальных операторов). Эти методы (качественно отличаясь друг от д
могут применяться в зависимости от ситуации. Ранее их аналоги были получены тс
для частных случаев С*- алгебр и действий групп и для доказательства изложе.
в диссертации С*-методов потребовалась разработка ряда качественно новы)
алгебраических и . операторных идей, существенно использующих построеі
диссертантом С-аппарат.
Практическая значимость, ^feтoды и результаты диссертации могут использованы при изучении нелокальных функшюнально-дифференциал) уравнений, сингулярных иктегро-функциональных уравнений, уравниний типа све с осциллирующими коэффициентами, нелокальных краевых задач и в других вопрі Построенный С*-аппарат может быть применен для исследования структуры С*-алі порожденных динамическими системами и спектральных свойств их элементов.
Некоторые идеи, методы и результаты диссертации уже нашли отражен монографиях '-3 и использованы в отдельных работах по теории функционал дифференциальных операторов и спектральной теории динамических систем.
1 Актонгвич А.Б. Линейные функциональные уравнения: Операторный прояхоа.- Мн.:Уннверснтег
19Я.-23ЇС
1 Momvich А.В.. LibeikvA.V. Functional differential equations; I. C'-theory. - London; Longman Scienti
Tectorial. 1994. - 500 p.
3 Rtaichenko I'.C. Lirvinchuk G.S. Introduction to the theory of singular integral operators with shift. - Dord
Kbwer Academic Publishers. 1994. - 283 p.
5 Основные положения, выносимые на зашиту. На зашиту выносятся
тедуюшие основные результаты.
-
Описание структуры С-алгебр, порожденных динамическмнм системами.
-
Описание условии наличия (отсуствия) компактных элементов в рассматриваемых алгебрах, и критериев совпадения условий фредгольмовости и обратимости исследуемых операторов.
-
Конструкция символа для нелокальных функционально-псевдодифференциальных операторов с непрерывными и кусочно-непрерывными коэффициентами.
-
Описание С'-методов вычисления условий обратимости построенных символов.
Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на ряде научных онференций, школ и семинаров, в том числе на Всесоюзных школах по теории 'Ператоров в функциональных пространствах (1982 - 1990), конференции Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" (Черноголовка, 1985), >ританском Математическом Конгрессе (Великобритания, Экзетер, 1988), в Крымской іатематической школе (1994), конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992), на 10 :онференшш "Проблемы и методы математической физики" (Германия, Хемниц,1993), sa конференции "Некоторые аспекты дифференцируемое. П." (Польша, Варшава, 995), на 5 Международном семинаре "Нелинейные явления в сложных системах" Минск, 1996), Международной конференции "Краевые задачи, специальные функшш и іробное исчисление" (Минск, 1996), на семинарах: проф. Н.К. Никольского(ЛОМИ); іроф. Е.А. Горина (МГУ); проф. Д.В. Аносова, проф. А.М. Степина (МГУ); проф. A.M. кришка (ЛГУ), проф. А.Б. Антоневнча, проф. П.П. Забреіїко, проф. Я.В. Радьгао БГУ), на семинаре Белорусского математического общества (руководитель - академик ШБ И.В. Гайшун), на математических семинарах в университетах Великобритании Кембридж, Эдинбург, Ньюкастл-апон-Тайн. Лидс, Йорк) н Германии (Бохум, Потсдам. <емшщ).
Опубликованность результатов и личный вклад. Основные результаты лтубликованы в работахУн"монографтаУРезультаты раббтУ^ыполненных в соавторстве : А.Б. Антоневичем, принадлежат авторам в равной мере. Результаты, опубликованные 5 монофафии и включенные в диссертацию принадлежат диссертанту (что отмечено в комментариях к соответствующим разделам монографии).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, общей характерні работ, четырех глав, включающих 12 разделов, выводов и списка нспользова источников. Объем диссертации - 237 страниц. Список использованных источь содержит 217 наименований.
