Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена нелинейной теории потенциала субэллиптических уравнений второго порядка
(1) -divA{r,Vcu)=0
и исследованию основных понятий этой теории во внутренней геометрии области П.
Нсюрия теории потенциала насчитывает Гюлее 10!) лет. За последние 20 лет развилась ветвь теории потенциала, называемая нелинейной теорией. Она возникла при решении трудных задач теории нелинейных уравнений с частными производными, теории функциональных пространств и других вопросов.
В классической теории потенциала известна знаменитая теорема Ф. Рисса, согласно которой всякая супергармоническая функция локально представима в виде суммы потенциала и некоторой гармонической функции. Благодаря этой связи изучение поведения супергармонических и гармонических функций и свойств потенциала, фактически, является одной и той же задачей. Теорема о представлении для гармонических функций позволяет дать определение супергармонической функции, как функции, значение которой в центре шара не меньше среднего значения по шару. Кроме того, ввиду линейности оператора Лапласа, его решения, а следовательно, и супергармонические функции, образуют линейное пространство. s
Решения уравнения (1) имеют много общего с гармоническими функциями. Самое основное — это порядковое свойство: если и vs. v — два решения задачи Дирихле в ограниченной области fl С R" такие, что и < v на границе области ГІ, то это неравенство сохраняется и внутри области. Именно порядковое свойство позволило развить нелинейную теорию потенциала при отсутствии линейности пространства решений. Супергармоническая функция определяется посредством сравнения с непрерывными решениями данного
нелинейного уравнения. '
При изучении свойств решений и суперрешений нелинейных уравнений с частными производными развился аналитический аппарат, базирующийся на таких положениях как принцип сравнения для субрешений и суперрешений, неравенство Гарнака' для гармонических функций, теоремы сходимости монотонных последовательностей и др.
Позднее было доказано, что локально ограниченная сверху супергармоническая функция является суперрешением соответствующего нелинейного уравнения. Такая связь позволила применить разработанный для исследования 'суперрешений мощный аппарат теории дифференциальных уравнений к изучению свойств и поведения супергармонических функций в нелинейной теории.
Параллельно с развитием теории супергармонических функций как основы теории потенциала предпринимаются попытки сформулировать и изучить основные понятия классической теории потенциала: выметание, барьер, решение Перррна, гармонические меры, полярные- множества и другие, применительно к нелинейной теории.
В книге Килпелайнена, Мартио и Хейнонена "Нелинейная теория потенциала вырождающихся эллиптических уравнений" подробно и наиболее полно изложена весовая нелинейная теория потенциала, развитая в связи с решениями квазилинейного уравнения второго порядка.
В работе С. К. Водопьянова "Весовые пространства Соболева и граничное поведение решений вырождающихся ги-поэллиптических уравнений", опубликованной во втором номере "Сибирского математического журнала", введено понятие несобственной границы как результата пополнения по Хаусдорфу метрического пространства Пі = (fi,cfo) по внутренней метрике d.Q. В связи с этим возникла задача осмысления понятий нелинейной теории потенциала с точки зрения внутренней геометрии области П.
Цель работы. Цель представленной диссертации состоит в исследовании граничного поведения, контролируемого вну-
тім'нной метрикой, гармонических и супергармонических функций, определяемых субэллиптичоским уравнением второго порядка
-div^(j,Vu) = 0.
где субградиент Vc« = (A'iu... . ,Л\.и) определяется воктор-ными полями, удовлетворяющими условию гипоэллиптич-ности Хёрмандера.
Методика исследования. В диссертационной работе исполь-эуютсп мстить; иссовой н<*ликрйигіЯ теорий поіенциала, теории вырождающихся субэллиптических уравнений и теории пространств Соболева.
Научная новизна. Поскольку теоретико-потенциальные свойства решений нелинейных субэллиптических уравнений изучаются впервые, а вопросы регулярности граничных значений с точки зрения внутренней метрики, по-видимому, систематически ранее не изучались, то все главные результаты являются новыми. Их можно объединить в следующие основные группы:
-
Совпадение определения регулярности в смысле Соболева и в терминах верхнего решения Перрона.
-
Критерий регулярности граничных точек области в терминах выметаний.
-
Условие полярности множеств, расположенных на несобственной границе области.
-
Устранимые множества для решений субэллиптических уравнений общей природы.
Теоретическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер." Ее результаты могут применяться в теории нелинейных субэллиптических уравнений, теории отображений с ограниченным искажением на группах Карно и объектах более общей природы и др. вопросах.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН под руководством Ю. Г. Решетняка, на Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике
памяти Л. В. Канторовича (Новосибирск, август 1994), на конференции группы в анализе и геометрии (Омск, август 1995). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 4].
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав и списка литературы, занимает &0 страниц, обработанных издательской системой Лд^-ТцХ. Библиография включает 68 наименований.
