Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Об интегральных свойствах гиперкомплексных функций, моногенных в смысле В.С.Фёдорова .
1.1. Об одном обобщении формулы Коши для гипер-комплексных Г-моногенных функций 17
1.2. Об одном аналоге интегральной формулы Коши для аналитической функции двух комплексных переменных 23
1.3. Об одном аналоге интеграла типа Коши 26
1.4. Об интегральном представлении рнаоногенных гиперкомплексных функций 31
ГЛАВА 2. Метода функций, моногенных в смысле В.С.Фёдорова, в теории дифференциальных уравнений .
2.1. Моногенные двойные функции 37
2.2. Решение одной системы дифференциальных уравнений в частных производных с помощью Г-моногенных двойных функций 43
2.3. Матричные Г-моногенные функции и их применение к решению систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами 56
2.4. О преобразовании системы дифференциальных уравнений в частных производных 61
2.5. Решение специальных систем дифференциальных уравнений в формальных производных 68
2.6. Об одном способе исследования систем дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка с помощью моногенных гиперкомплексных функций 74
2.7. Общий вид юногенных матричных дуальных функций 83
2.8. Об одной гиперкомплексной системе дифференциальных уравнений в частных производных 87
2.9. Об интегральном представлении решений одной системы дифференциальных уравнений в частных производных 90
2.10.Моногенность Г и некоторое обобщение полигармонических функций 95
2.11.Решение одной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
2.12. Об одном обобщении системы дифференциальных уравнений - условий моногенности в смысле В.С.Федорова 104
ГЛАВА 3. Об интегральном представлении решений некоторых систем дифференциальных уравнений в частных производных ,
3.1. Об интегральном представлении функционально-инвариантных решений системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля в; пустоте
3.2. Об интегральном представлении функционально- инвариантных решений системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля в пустоте 113
3.3. Структура функционально-инвариантных решений 116
3,4. Об интегральном представлении функционально-инвариантных вектор-аналитических функций 118
3.5. О некоторых гиперкомплексных интегральных уравнениях І22
Литература 134
- Об одном аналоге интегральной формулы Коши для аналитической функции двух комплексных переменных
- Решение специальных систем дифференциальных уравнений в формальных производных
- Об одном обобщении системы дифференциальных уравнений - условий моногенности в смысле В.С.Федорова
- Об интегральном представлении функционально- инвариантных решений системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля в пустоте
Об одном аналоге интегральной формулы Коши для аналитической функции двух комплексных переменных
Укажем также на работы В.С.Фёдорова 15,8,9,10], М.Рошкулеца. [15], В.А.Гусева[25,261, Н.Т.Стельмашука[27,28,29], Д.Паскали [18]о приложениях функций, моногенных в смысле В.С.Федорова, к нахождению решений дифференциальных уравнений в частных производных и систем дифференциальных уравнений в частных производных.
Так, например, Д.Паскали доказал [18], что класс всех комп лексных функций ИДХЧ)Єі(І)Д)» моногенных в смысле В.С.Фёдо рова по кзс, )Є СаСЗ)Д)» (СХСД) - шас Функций от ОС,(J непрерывно дифференцируемых в области 2) и удовлетворяющих условию Гельдера с показателем JL ) совпадает с классом реше ний известного уравнения Бельтрами. VL если рассматривать все решения уравнения Бельтрами, найденные К.Н.Векуа[32]. Укажем также на работы М.Б.Балка [33,34] об отображениях с помгощью так называемых бианалитических функций,тесно связанных с одним частным видом F-моногенных функций[35,36].
F-моногенные функции применяются также и в некоторых других физических исследованиях, например, в работе В.Ю.Ломоносова [37]. Широко использовались функции, моногенные в смысле В.С.Фёдорова, Н.Т.Стельмашуком [ 38,39,40,4Цдля нахождения функционально-инвариантных решений системы известных уравнений Максвелла для электромагнитного поля в пустоте.
В настоящей работе автор изучает свойства некоторых видов F -моногенных функций и дает приложения этих функций для изучения и построения решений систем дифференциальных уравнений в частных производных, включая и известную систему уравнений Максвелла. Диссертация посвящена исследованию следующих задач: 1. Изучение интегральных свойств F -моногенных гиперкомплексных функций. 2. Изучение и построение решений некоторых систем дифференциальных уравнений в частных производных с комплексными и кватер-нионными коэффициентами с помощью Г -моногенных функций. 3. Построение интегральных представлений решений отдельных систем дифференциальных уравнений в частных производных. В первой главе излагаются результаты, полученные при рассмотрении первой задачи. Получен новый, отличный от ранее известных [7,42], аналог формулы Коши для гиперкомплексных функций, шногенных в смысле В.С.Фёдорова по отношению к двум другим таким функциям. Построено интегральное представление для F -моногенных гиперкомплексных функций относительно трех таких функций. Получен новый аналог интегральной формулы Коши для аналитической функции двух комплексных переменных, а также аналитической функции трех комплексных переменных. Вторая глава посвящена рассмотрению второй задачи. Исследования проводятся при поющи некоторых специальных "формальных производных", введенных В.А.Гусевым [25]. В 2 главы второй исследуется система дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка функции U+ei/Ce24, a-UC3C,y),U=17(3C,y) ) по двойной переменной «2+еУ Для исследования этой системы применяются двойные функции, то есть функции вида Ц+еи , где Ц,1/ -действительные или комплексные функции, заданные в некоторой области 2) плоскости a,U , і,С - база алгебры двойных чисел, причем С = і . Поэтому в I главы второй изучаются F -моногенные двойные функции, установлена структура двойных функций, моногенных в смысле В.С.Фёдорова. Во втором параграфе с помощью двойных р-моногенных функций получены формулы общего решения системы (5) с использованием некоторых интегральных операторов в случае, когда искомые функции lKl,tj),t70C,ij) и известные функции CLc(X,y ,CLCX,t)С t UZ ) і- аналитические функции от действительных переменных JC,U в области D . Рассматривается также случай, когда коэффициенты в системе (5) постоянные. Параграф 3 главы второй посвящен решению системы вида (5), но с кватернион-ными неизвестными функциями и кватернионными коэффициентами. В 4-5 второй главы дается приложение Г -моногенных функций к исследованию системы дифференциальных уравнений в частных производных вида.
Решение специальных систем дифференциальных уравнений в формальных производных
В работе [38] найдены функционально-инвариантные решения системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля в пустоте , показано, что гиперкомплексная функция b-U + AU + yttf (комплексный вектор TNI U,U7U/} ) является функционально-инвариантным решением системы Максвелла, если где Г= const , SK (К 1,.2, з , 4 ) - произвольные постоян ные, а а.,, а , а3, й , определяются по формулам В настоящем параграфе изучается структура гиперкомплексных функций f -моногенных по Ь , которые сами являются функционально-инвариантными решениями системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля в пустоте (закон умножения в алгебре определяется условием Л3Н ). Пусть 3) - некоторая область действительного евклидова пространства Е С 2,, Хх , хъ , X ,) . Как известно, функция называется Р чяоногенной в области X) по функции Ь - tl + Діг -+ AlW » если найдется однозначная функция ч/ со следующим свойством: для любой фиксированной точки JU D всякому ЧУ 0 соответствует такое (7ЛО 0 , что модуль каждой компоненты разности ( hj=UJl )- j(Ji) и т.п.) будет меньше j ( =./ll Ji l ) для всех векторов MJX при условии Р (,ЛО ). Свойство разности (I) будем записывать в виде: Обозначим 4 s 5ь Теорема. Функция =Q + д k + /ИЗ F- шногенная в области 3) по функции b = u+)V + У ЫТ ( /5 =0 тогда и только тогда, когда - комплекснознач-ные функции точки области 3) моногенные по функциям U,tW в области 2) ; Доказательство Необходимость. Пусть X - любая функция, Г -мо но генная по функции b в области Ъ . Тогда получим Откуда Следовательно, имеем (3) и (4). Достаточность. Пусть в области ф имеет место формула (3). Тогда Тогда из (5) и (4) имеем т.е. -( - моногенная функция по b-U + Mf + A1 в области ) . Теорема доказана. 3.4. Об интегральном представлении функционально-инвариантнык вектор-аналитических функций Следуя Рейниху [58], называем вектор-функцию tf«(ll,i7,w} вектор-аналитической, если cUt/34),i0t?-O. (I) Компоненты 11,17", Uf - комплекснозначные дважды непрерывно-дифференцируемые функции от координат ос,и,Ъ в некоторой области 3) . Обозначим через А ассоциативно-коммутативную алгебру с единицей над полем комплесных чисел и ранга 3. Если ,.,, л - база данной алгебры, тогда полагая 6=[Л+\ТЬЛ -+ U7&1, , назовем 6 функционально-инвариантной вектор-аналитической функцией, если всякая функция -С , Г -моногенная по 6 , будучи записана в виде также определяет вектор-аналитическую функцию j lb JJ т.е. div Q,tvt =0, (2) 119 Функционально-инвариантные вектор-аналитические функции изучались Н.Т.Стельмашуком [59,60]. Ш найдены функционально-инвариантные вектор-аналитические функции и получены необходимые и достаточные условия, при которых вектор-функция б=[и,17,ш]-будет функционально-инвариантным решением системы (І), в случае алгебры А , в которой Д , л = Л , причем Д3= і или ;\3 н В настоящем параграфе получено интегральное представление данных функционально-инвариантных вектор-аналитических функций. Рассмотрим алгебру А , в которой Л, z = дг » причем Л3 \ . Доказано [59], что вектор-аналитическая
Об одном обобщении системы дифференциальных уравнений - условий моногенности в смысле В.С.Федорова
Также Т -параболическая по А.А.Дезину система дифференциальных уравнений с формальными производными = = ( -+1 -) и у- = Мту " l frj ) и бикомплексными известными и неизвестными функциям = (ЭС,у)м (Х,и) (аналогично для а,5 ); j2-4,L =4,J i ; 6K,4K,ifK(KM,2) принадлежат классу CX2),JO » рассматривается в девятом параграфе данной главы. С помощью функций, моногенных в смысле В.С.Фёдорова, получено гиперкомшіексяое интегральное уравнение, эквивалентное системе (12). Доказана фред-гольмовость этого уравнения для некоторых видов коэффициентов.
В 10 исследуется уравнение где 2 = U - JQI ; Ь,Я ( О - известные (искомая) действительные функции двух действительных переменных Х,ц класса С "CD Ю » которое, очевидно, обобщает уравнение вида: где Д = J 2 + у-г - оператор Лапласа. Найдены формулы общего решения уравнения В II главы второй изучается система дифференциальных уравнений в формальных производных =( w i-STj) и где Л, В, Л , Ьі - константы действительные или комплекс ные; л , 1р - искомые функции действительных переменных ОС, Ц класса CCD,X). Найдены решения данной системы (13) с использованием р-моногенных функций. В третьей главе излагаются результаты, которые были получены: при рассмотрении задачи 3. В 1-2 главы третьей получено интегральное представление функционально-инвариантных решений системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля в пустоте. В 4 построено интегральное представление функционально-инвариантных вектор-аналитических функций. В 5 третьей главы; объектом исследования являются следую 15 щие две канонические системы дифференциальных уравнений: где -f; - t( X,M ) - заданная действительная или комплекс- С помощью F-моногенных функций получены гиперкомплексные интегральные уравнения, эквивалентные системам (14) и (14 ) соответственно, доказана фредгольмовость этих уравнений для некоторых видов коэффициентов С1кЛк Ск( К = 0,1,2). На защиту выносятся следующие основные результаты: 1. Аналог формулы Коши для гиперкомплексных функций, моногенных в смысле В.С.Фёдорова по отношению к двум другим таким функциям. 2. Структура двойных функций, моногенных в смысле В.С.Фёдорова. 3. Формулы общего решения системы дифференциальных уравнений в частных производных (5) в случае, когда искомые и известные функции - аналитические функции от действительных переменных X, и области В . 4. Построение решений системы вида (5) с кватернионными неизвестными функциями и кватернионными коэффициентами. 5. Интегральное представление функционально-инвариантных решений системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля в пустоте и интегральное представление функционально-инвариантных вектор-аналитических функций.
Об интегральном представлении функционально- инвариантных решений системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля в пустоте
В данном параграфе изучаются некоторые интегральные свойства гиперкомплексных функций, моногенных в смысле В.С.Фёдорова ( Р-мэногенных) 16,8] по отношению к трем другим таким функциям, а также выводятся некоторые интегральные соотношения для аналитических функций трех комплексных переменных с помощью теории бикомплексных функций, моногенных в смысле В.С.Фёдорова [45,46].
Пусть j 5\ $z 53 - функции действительных переменных ХЛ7...,хп (И з) в некоторой области ) евклидова пространства (зс17... , эс„.) со значениями из какой-«ибудь ассоциативной и коммутативной алгебры с единицей и конечного ранга над полем комплексных чисел. Предполагаем, что функция непрерывно дифференцируемая, а функции 1»5 »53 дважды непрерывно дифференцируемые в области ) , и в Ф существует (5У , где 8 есть определитель вида
Определение. Гиперкомплексная функция называется моногенной в смысле В.С.Фёдорова ( Г -моногенной) по трем гиперкомплексным функциям \5%$3 в области Яд , если существуют три такие функции 81,8 ,8 » что во всех точках этой области выполняется условие Обозначим гиперкомплексные функции 8i,0z 83 через ff , й Ms соответственно и назовем г -производными функции у по функциям S1, 5 и 53 . Пусть Q, - всякая fl -мерная ограниченная область с кусочно-гладкой границей Q , что Q Ъ . Для указанной функции j и для всякой точки Лі(хл9,... , а) » не принадлежащей Й , полагаем где о(1, ... ,oln. - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности Q в ее текущей точке Р (зСі,... ,0Ск) . При условиях теоремы I для любой точки Лі внутри области Q имеем откуда, очевидно, следует формула (3). Теорема 2 доказана. Пусть в области 3) действительного евклидова пространства ( Xuxt, хъ,Хн,х т , Хс ) заданы однозначные комплексные функции Полагаем, что функции If, - непрерывно дифференцируемые в области ) . Рассмотрим случай алгебры бикомплексных чисел с базой e ,ez и следующим законом умножения: Докажем, что 1 будет F-моногенной по 5\ Sz и 5 в области D в том и только том случае, если f, f - аналитические функции комплексных переменных J},6 t в области Ъ . В самом деле, условие моногенности -у по 51, S1 и 5і в области iD имеет [45] вид 0(КЧ,5;6); т.е. пришли к известным условиям аналитичности функций up та. трех комплексных переменных Ь, , t . Заметим, также,что для взятых функций 5 , 5Z, выполняются условия (2,1),(2,2) теоремы; I. Таким образом, для всякой функции ft% + {fQz » F-моноген-ной по 5\$\ Въ в области Ъ и удовлетворяющей условию (2,3), формула (3) примет вид:
