Содержание к диссертации
Введение
1 Кратные степенные ряды и разностные уравнения с постоянными коэффициентами 29
1.1 Структурная теорема о решениях многомерного разностного уравнения 30
1.2 Задача Коши и фундаментальные решения для многомерного разностного уравнения 39
1.3 Многомерные разностные уравнения с матричными коэффициентами 46
1.4 Многомерные разностные уравнения и амеба характеристического многочлена 51
2 Асимптотика многомерных разностных уравнений и амебы алгебраических гиперповерхностей 57
2.1 Вычеты Гротепдика и системы разностных и дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 01
2.2 Асимптотика системы многомерных разностных уравнений с переменными коэффициентами 66
2.3 Асимптотика скалярного разностного уравнения с постоянными коэффициентами 72
2.4 Ассоциированная система и се связь с многомерной теоремой Пуанкаре 81
3 Композиция Адамара и теоремы об умножении особенностей 85
3.1 Композиции Адамара типа «диагонали» кратного степенного ряда 01
3.2 Суммы с линейными ограничениями на индексы суммирования 98
3.3 Композиция Адамара с «весом» 103
3.4 Угловые и хорошо достижимые особые точки композиции Адамара 112
4 Когомологическое приведение периодов рациональных дифференциальных форм 118
4.1 Разложение рациональной функции многих переменных на простейшие дроби 121
4.2 Когомологическое приведение периодов в С" 132
4.3 Понижение порядка полюсов и когомологическое приведение периодов в СРп 135
4.4 Оценка размерности n-мерной группы когомо-логий дополнения алгебраической гиперповерхности в С 142
Выводы
Заключение
- Задача Коши и фундаментальные решения для многомерного разностного уравнения
- Асимптотика системы многомерных разностных уравнений с переменными коэффициентами
- Суммы с линейными ограничениями на индексы суммирования
- Понижение порядка полюсов и когомологическое приведение периодов в СРп
Введение к работе
Представления функций рядами, а затем и интегралами, возникли на ранних стадиях развития теории фуикциіі и математического анализа и целом, как удобный аппарат для обозримого представления аналитических решении разностных и дифференциальных уравнении, исследования их асимптотики и их аналитического продолжения. Создание общей теории аналитического продолжения функции (Всйерштрасе, Рп-мап) позволило попять сущность явления многозначности аналитических функций, которое было основным источником ошибок при неумелых попытках аналитического продолжения, однако не отменило использование многочисленных специальных методов аналитического продолжения, в том числе и представления функции интегралами, зависящими от параметров. Эго объясняется малой эффективностью общего аппарата аналитического продолжения при решении конкретных задач.
Риды и интегралы являются мощным инструментом математического анализа, нашедшим самые разнообразные применения при решении математических и прикладных задач. Один из первых примеров такого рода — введенная в обращение Л. Эйлером гамма-функция, которая позволила распространить факториал с целочисленного переменного на действительное и, используя полученное Эйлером интегральное представление, получить асимптотическую формулу для гамма-функцнн (формулу Стирлинга). Эйлер же решил и задачу суммирования функций, получив формулу Эйлсра-Ыаклорепа, частным случаем которой является формула Стирлинга.
С задачей суммирования функций теснейшим образом связана теория решения конечно-разностных уравнений. К числу первых результатов здесь можно отнести утверждение Муавра о возвратных степенных рядах, т.е. рядах, коэффициенты которых являются решениями разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Оказалось, что такие ряды представляют рациональные функции.
Одномерная теория конечно-разностных уравнений [54] развивалась параллельно с теорией обыкновенных дифференциальных уравнении и в случае линейных уравнений имеет вполне законченны]! вид. Одной из наиболее тонких и глубоких теорем анализа является теорема Пуанкаре об асимптотическом поведении решений разностного уравнения с предельно-постоянными коэффициентами. Перрон уточнил теорему Пуанкаре при дополнительном условии невырожденности разностного уравнения. Теорема Пуанкаре-Перрона в векторной формулировке уточнялась в [53] в связи с доказательством гипотезы Гончара о возможности расиространппня теоремы Фабри об отношении коэффициентов степенного ряда па случай m-ой строки таблицы многоточечных аппроксимаций Паде.
В отличие от одномерного случая теория многомерных линейных раз-постных уравнений была мало исследована до недавнего времени. Так, в [31] были рассмотрены частные виды уравнений с двумя неременными, а в работе Даффина [14] был построен дискретный аналог теории гармонических функций двух переменных.
Далее, в [8] в связи с решением некоторых комбинаторных задач о числе путей в целочисленной решетке, приводящих к линейным рекуррентным соотношениям, ставится задача Копій и доказывается существование и единственность ее решения. Другой важный и естественный с точки зрения комбинаторного анализа вопрос, решаемый в этой работе, состоит в том, как производящая функция (г-преобразовапие решения разностного уравнения), соответствующая решению, зависит от производящих функций начальных данных.
Многомерные разностные уравнения естественным образом возникают в теории цифровой обработки многомерных сигналов. Важнейшей характеристикой цифрового рекурсивного фильтра является его импульсный отклик, обеспечивающий устойчивость фильтра. С точки зрения анализа речь идет о сходимости ряда из модулей коэффициентов Тейлора рациональной функции. В случае двух переменных проблема устойчивости цифрового рекурсивного фильтра решена Цихом (1091) в |98].
В [7] интегральные представления фундаментальных решений разностного уравнения применялись для получения асимптотических оценок, которые нашли свое применение в некоторых задачах интерполяции (cardinal interpolation). Совсем недавно была обнаружена связь асимптотической теории разностных уравнений с бпоипформатнкой (2005, ра- боты Штурмфельса и его соавторов [2-1]), а также с теорией днмеров (Кешюн, Окуньков |27], 2003),
Проблема продолжения степенного ряда за пределы круга сходимости и исследование особых точек этого ряда относится к числу грудных уже для функции одной переменной. Представление функции интегралами, зависящими от параметров, и силу своей обозримости зачастую предпочтительнее ее представления с помощью ряда. Яіжіш примером такого типа является одна из красивых теорем и теории распределения особенностей аналитических функции - теорема Лдамара об умножении особенностей (см. [52)) дня степенного ряда, коэффициенты которого являются произведением коэффициентов двух заданных рядов. Для крат-пых степенных рядов конструкции, обобщающие произведение Лдамара рядов, появились в связи с решением некоторых задач теории чисел [35] и комбинаторного анализа [12], [61]. Одна из этих конструкций - «диагональные» композиции Лдамара двойного ряда восходит еще к Пуанкаре [88]. В [98] диагонали двойного ряда изучались в связи с проблемой устойчивости цифровых рекурсивных фильтров. Отметим еще, что идея «разделения особенностей» подынтегрального выражения, использованная в доказательстве теоремы Лдамара об умножении особенностей, успешно применялась при исследовании интегралов, зависящих от параметра, гомологическими методами (см., например, [93], (97[).
В 50-60 годы прошлого века Лерс [30] (в связи с исследованиями в теории линейных гиперболичеких уравнений с помощью обобщенного преобразования Лапласа) создал аппарат интегрирования по комплексному многообразию дифференциальных форм с особенностями — теорию вычетов Лерс. Постороепие одного из основных объектов этой теории — формы-вычета Лерс приводит к необходимости отыскания в данном классе когомологий дифференциальной формы с полюсами первого порядка, т. е. к задаче когомологического приведения периодов. Общая конструкция когомологического приведения периодов использует разбиение единицы и не сохраняет рациональности исходной дифференциальной формы, Гриффите в [19], исследуя периоды рациональных дифференциальных форм в п-мерпом проективном пространстве, предложил метод понижения порядка полюсов, не выводящий из класса рациональных дифференциальных форм. Когомологическое исследование рациональных форм было продолжено в статьях Батырсва н Кокса ([5] 1995) с точки зрения торической геометрии, а конструирование формы-вычета с сингулярными полярными множествами и их связь со связностью Гаусса-
Машнга изучались Александровым ([1] 2005).
С теорией многомерных вычетов и их применениями тесно связан вопрос о разделении особенностей голоморфных функций її форм, іі частности вопрос о разложении рациональных функций многих переменных па иростеі'шше дроби. Случай линейных особенностей полностью решен в работах Южакова (см. [104]) и нашел свое применение при исследовании интегралои, зависящих от параметров.
Характеризуя диссертационную работу в целом, можно сказать, что она посвящена развитию и применению интегральных методов в решении некоторых проблем теории степенных рядов и разностных уравнений, при этом основным инструментом исследования является представление изучаемых объектов интегралами, зависящими от параметров.
Цель данной работы - развитие техники кратных рядов и интегралов и ее применение для: описании пространства решений линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами; исследования асимптотик решений разностных уравнений и поиска многомерной версии теоремы Пуанкаре; исследования различных конструкций, обобщающих произведение Лдамара степенных рядов, доказательства многомерных аналогов теоремы об умножении особенностей;
А) когомологического приведения периодов рациональных дифференциальных форм.
Прежде чем давать точные формулировки задач, решению которых посвящены соответствующие главы, мы кратко описываем одномерную ситуацию, выделяя те моменты теории, которые представляются существенными при их распространении на многомерный случаіі и подчеркивая при этом принципиальные отличия от одномерной ситуации. В гл. 1 исследуются многомерные разностные уравнения.
Одномерное однородное линейное разностное уравнение относительно неизвестной функции f : Ъу —> С с постоянными коэффициентами имеет вид
0.0.1) f{x + т) + am^f(x + т-!) + + a0f(x) = 0,х Є Z + .
Если известны корни Zj его характеристического уравнения (0.0.2) 1\г) := zm + ат^гт~1 + + а0 = 0, и «о ф 0) то всякое решение разностного уравнении представляется а виде (0.0.3) /(x) = ^Cj{x)^,arGZ+, где Cj(x) — многочлен относительно х, степень которого пс превосходит кратности корня Zj. В одномерной ситуации формула (0.0.3) дает полное описание пространства решений уравнения (0.0.1), однако на многомерный случаи она не переносится, поэтому отмстим, что из теоремы о полной сумме вычетов легко следует справедливость двух других представлении решения (0,0,3) разностного уравнения (0.0.1): (0,.4) m = ±f9Mf± = res9i^,x^, где Q(z) — многочлен, степень которого ниже степени т характеристического многочлена P(z), а цикл Г = {z Є С : \z\ = 11} — окружность радиуса R такого, что все корни характеристического уравнения лежат внутри Г.
Для произвольной функции целочисленного аргумента / : Z+ —> С ее ^-преобразование (производящая функция) определяется следующим образом:
Формула (0.0,4) означает, в частности, что f(x) является решением разностного уравнения (0.0.1) тогда и только тогда, когда ее z-преоб\>азоиание является рационаліїной функцией F(z) = Q(z)/P(z), причем степень числителя Q[z) меньше порядка т уравнения (0.0.1).
Последнее замечание можно интерпретировать как утверждение о разрешимости нрн п = 1 следующей задачи аналитического продолжения: найти функцию F{z), определенную стеленным рядом (0.0.5), если коэффициенты f(x) этого ряда удовлетворяют условиям (0.0.1).
Отметим, что для дифференциального уравнения с тем же характеристическим многочленом P{z) (0.O.G) P{D)u := Dmu + am-iDm~lu+ + a0u = 0 формулы для общего решения, соответствующие (0.0.3) и (0.0.1) имеют вид: (0.0.7) u(t) = ^(^,
1 Г Q(z)elzdz п Q[z)ctz
0.0.8 u{t) = 1Г-. / і, s = Res ^%tV'
2тгг J,- Р(г) г=оо р(г) и, кроме того, решение u(t) дифференциального уравнения (0.0.С) является преобразованием Бореля (см. [52]) г-нреобразования (0.0.5) решения разностного уравнения (0.0.1): (0.0.9) u(t) = ^.
В одномерном случае представляется очевидным, что решение (неоднородного) разностного уравнения (0.0.10) f{x + т) + am-xf{x + т - 1) + + mf{x) = д(х),х Є Z , полностью определяется своими значениями фх в т «начальных» точках (0.0.11) !(х) = фх,х = 0,1,...,т-1- иными словами задача Кошн: найти функцию f : Z+ —\ С, удовлетворяющую уравнению (0.0.10) и начальним условиям (0.0.11) всегда имеет решение, причем единственное.
Функция V : Z -> С называется фундаментальным решением разностного уравнения (0.0.10), если т(0.0.12) J>J>(* + ") =
2тгг У,. очевидным образом определяет фундаментальное решение (при любом цикле Г, охватывающем начало координат, и не проходящем через нули характеристического многочлена).
Если известно фундаментальное решение V{x), то решение неоднородного разностного уравнения (0.0.10) определяется формулой (0.0.Ы) /(х)=^Т{х-у)д{у) и естественным образом возникает вопрос о сходимости ряда (0.0.11). Отметим, что конструкцию сверточпого типа, аналогичную правой части формулы (0.0.14), можно описать в терминах композиции Адамара степенных рядов (см. ниже, формула (0,0.30)),
Обозначим через Z = Z х х Z — n-мерную решетку. Пусті» Ъ\ — подмножество этой решетки, состоящее из точек с целыми неотрицательными компонентами, Л = {а} С Ъ\ — некоторое фиксированное конечное множество таких точек.
Разностным уравнением (относительно неизвестной функции / : Z" Ч- С) назовем соотношение вида (0.0.15) ^flJ(i + a) = 0,iZ^
Характеристическим многочленом для разностного уравнения (0.0.15) назовем многочлен
Г(г):=5>агв, гдр ^ = rf1 ---^-,^= (гі,.-.,) є Cn.
Характеристическим множеством для разностного уравнения (0.0.15) назовем множество нулей характеристического многочлена V = {z С" : P(z) = 0}. Иногда мы будем исследовать уравнение (0.0.15) па всей решетке Z" пли па произвольном конусе этой решетки, в этом случае естественно характеристическое множество рассматривать в комплексном торе, т.е. полагать V = {z Є (С \ 0)" : P(z) ~ 0}.
Если z Є V, то также как и в случае п = 1, функция f(x) — const zx является решением уравнения (0.0.15), однако, в отличие от одномерной ситуации, представить любое решение ([юрмулоіі вида (0.0.3) пли даже «непрерывным» аналогом этой формулы; f(x) — fv zx dji(z) (с некоторой мерой dji{z), сосредоточенно!! на характеристическом множестве V) не представляется возможным. Действительно, для простейшего двумерного разностного уравнения f{x\ + 1,) ~ /(^1,) = 0 решением является произвольная функция от Жг, и возможность ее «экспоненциального» представления (V = {(21,) Є С2 : z\ = 1})
С{Х2) = / z\xzT^d^{zuz2) = / Z%3d{l(l,Z2) Jv J с означала бы разрешимость следующей (неразрешимой!) проблемы моментов: для любой последовательности с{х2) комплексних чисел существует мера dfi(z) такая, что с{хї) = J"c zT'2 dfi(z).
Этот же пример говорит и о невозможности представить любое решение j(x) интегралом вида (0.0.4), так как в этом случае оно будет удовлетворять неравенству вида \f[x)\ < const 1^1, следовательно, не может быть произвольной функцией.
Таким образом, при п > 1 для решения проблемы описания про странства решений уравнения (0.0,15) остается лишь поиск в виде f(x) —Res ру* многомерного аналога правой части формулы (0.0.4). Соот ветствующий результат излагается в 1.1. Для его формулировки нам потребуются некоторые известные понятия.
Многогранником Ньютона Np многочлена Р называется выпуклая оболочка в Шп элементов множества А (напомним, что /1 — набор показателей мономов для Р).
Если v — вершина многогранника NF, то рациональная функция 1/Р(г) разлагается в ряд Лорана вида v ' arc АН* где Kv — конус, построенный на векторах v — cv, а є Л. Отмстим, что этот ряд имеет непустую область сходимости и, кроме того, для его коэффициентов справедлива интегральная формула (0.0.17) Vlf{x) = -}—f^.tXz\ {2Щп,]Г P{z) где Г — вещественный тг-мсрный тор (остов) [\zi\ = Ri,...:\zn\ = Rn), лежащніі в области сходимости. ІІа множестве рядов Лорана F(z) = ^2xezna{x)zx определим (функционал Res следующим образом: ResF{z) = a(-l),I = (1,...,1).
Пусть Z" — а — сдвиг конуса Z на вектор (—а). Определим для конечного набора Л = {а} множество Z2 = UoeA(Z-a)\Z и обозначим через цд липеііпое пространство рядов Лорана вида
Отметим, что сходимость этих рядов, вообще говоря, не предполагается.
В предложениин 1.1.4 доказывается, что для вершин v многогранника Np с условием (0.0,18) (Нш(6\,ГШ';.)=л, где Си — двойственный конус к Np в точке г/, произведения ряда (0.0.1С) на ряды М(г) Є \ід алгебраически определены, т.е. выражаются через конечные процедуры, при этом очевидно, что всегда существует хотя бы одна вершина v многогранника Np с условием (0.0.18). Следующая теорема дает описание пространства всех репісиий уравнения (0.0.15). Ее можно рассматривать как дискретную версию известного в теории дифференциальных операторов с частными производными (фундаментального принципа.
Теорема 0.0.1 (1.1.1). Всякое решение разностного уравнения (0.0.15) моо/сио представить в виде (0.0.19) f(x) = Re8{j—M{z)z% х Щ, где выражение под знаком Res понимается как произведение ряда Лорана (0.0,16) для \jP{z) и (формального) ряда M(z) /(д.
Если ряд M{z) сходящийся и его область сходимости имеет непустое пересечение с областью сходимости ряда {0.0.1G), то решение можно представить интегралом по подходящему остову IV и, следовательно, такое решение допускает экспоненциальную оценку \f{x)\ ^ constе1".
Условие (0.0.18), обеспечивающее корректность умножения рядов в теореме 0.0.1, напрямую связано с возможностью корректной постановки задачи Коши для уравнения (0.0.20) Yl aj(x + а) = д{х), z Є Ъ\,
В отличие от одномерной задачи (0.0.10)-(0.0.11) вопрос о множествах, па которых можно задавать «начальные» данные задачи Коши и требовать выполнения соотношения (0.0.20), уже не является очевидным, и его решение дано в 1.2.
Фиксируем т Є NFnZn и обозначим Z. = {у Є Ъ\ : 0 < щ < mj-1}. Далее U"=1Z . = Ъпт и пусть ф : Щ1п -) С — заданная функция.
Сформулируем задачу: найти функцию / : Z" -> С, удовлетворяющую уравнению (0.0.20) и совпадающую иа Zj^ с функцией ф(х): (0.0.21) /(х) = ф(х),хе1&.
Решение сформулированной задачи (0.0.20)-(0.0.21) существует и единственно не для всякого т Є Np П Z". При п = 1 это будет справедливо только для т = degP(z). Пример для п = 2 приведен к 1.2.
Фундаментальное решеииеТ{х) разностного уравнения (0.0.20) определяется также, как и для и = 1 (см. формулу (0.0.12)): где 6Xiq — 0 для всех х Є Z" таких, что х ф 0 и <5о,о = 1-
Каждоіі вершине т многогранника Ньютона соответствует фундаментальное решение Vm(x), определенное формулой (0.0.17). Если известно фундаментальное решение V(x), то решение уравнения (0.0.20) дается формулой f(x) = 5^j,ezn "Pfa; ~ у)(Лу) ПРИ условии, что правая часть определена корректно. Построим решение задач» (0.0.20)-(0.0.21) в конусе Z+, предполагая вначале, что д{у) = 0 для у Z" , т.е. расемот-|нш однородную задачу Кошп.
Определим функцию ф : Z" —у С, полагая
5 = {і Є Z" : существует а Є /1 такое, что х + аЄ Z",}
Введем множества S+ = SГ\Щ и S- = S\ S+ и обозначим функцию, определенную на Ъп и такую, что fi(x) — 0 для х Є Щ.. Носитель функции V : Z" -У С будем обозначать SuppV.
Теорема 0.0.2 (1.2.1). .Если существует фундаментальное решение разностного уравнения, удовлетворяющее пиоісеследуюь^им условиям: (і) для любого х %\ множества SuppV Г) (х - 5_) состоит из конечного числа точек; (ІІ) для любого х Є Z( множество SuppV П(х — S+) = 0, то функция (0.0.22) /0О = ?(я-уШ явллется решением задачи (0.0.20)-(0,0.21), щдпелс сумма, стояищя в правой части (0.0.21), конечна.
Из того, что вершина т многогранника Ньютона, удовлетворяет условию (0.0.18) (пли (1.2.3)), обеспечивающему существование и единственность решения задачи Коши, еще не следует, что она удовлетворяет условиям (і),(іі) теореми 0.0.2 (соответствующий пример приведен в конце 1.2).
Теорема 0.0.3 (1.2.2), Если вершина гп многогранника Ньютона Np удовлетворяет одному из двух следующих условий: пц = т-г = = mj-i = rrij |! = = mn = 0, ,, nij > oij для всех а Є NF D Zn, а фт\ '
Щ > acj,j = 1,...,n для всех а Є W^nZ", (**) то однородная задача (0,0.20)-(0.0.21) имеет единственное решение и его можно найти по формуле (0.0.22).
Для неоднородного уравнения (0.0.20) формула f(x) — 2»ez" ^(х ~ у)у(у) даст его частное решение, причем для х Є Ъ'^ имеем f(x) — 0 її и случаях (*) л (**) сумма, определяющая решение / конечна. Поэтому решение задачи (0.0.20)-(0.0.21) для неоднородного ураішешш имеет вид /(x)+/(.t), где f(x) — решение задачи Кошп для однородного уравнения. Глава 2 посвящена асимптотике многомерных разностных уравнений. Если одномерное разностное уравнение (0.0.1) имеет переменные коэффициенты а„(х), то формул для его решений вида (0.0.3) или (0.0.4) нет, однако, при некоторых естественных ограничениях па коэффициенты, его решения f{x) ведут себя асимптотически также, как решения уравнения с постоянными коэффициентами. Это следует из теоремы Пуанкаре ([54, 38]), которая утверждает, что если
1) существуют конечные пределы коэффициентов разностного урав нения Hm аа(х) = аа;
2) корни Zj характеристического много'члена P(z) предельного урав нения ікізлични по модулю, тогда для любого решения f(x) разностного уравнения с переменными коэффициентами либо f(x) — 0 для х > Хц, либо найдется j такое, WIO ІІШ^сс ^±р = Zj.
При дополнительном услошш невырожденности разностного уравпе-ішя (аа(х) ф 0) Перрон ([37]) доказал, что для любого корпя Zj найдется решение f(x) такое, что Игл ут~ = Zj.
При попытках перенести на многомерный случай теорему Пуанкаре возникают трудности припциппалыюго характера, связанные с тем, что многомерное разностное уравнение имеет «слишком много* решений, среди которых есть и решения с неконтролируемым асимптотическим поведением. Например, решением простейшего уравнения f(xi +1,) -f{x\,X2) = 0 является произвольная функция от X2-. /(хі,х-2) = с(х?).
Ситуация несколько улучшается для переопределенной системы разностных уравнении (0.0.23) <Ш& + а) = 0, j = 1,..., ті относительно одпоіі неизвестной функции f : Z -> С, где Aj — конечные множества из Z".
Так, в случае постоянных коэффициентов иЦх) — « при усло-іши, что соответствующая характеристическая система полиномиальных уравнений (0.0.21) Pj(z) := J2 <z" = 0, j = 1, -.., н имеет конечное число простых корней A(j) = {A(j)i,...,A(j)„) Є С", j = 1,..., к, всякое решение системы разностных уравнений (0.0.23) можно представить в виде (следствие 2.1.1, стр. G3): (0.0.25) /(я) = с'Ай)- ;=1 где с,- — некоторые константы.
Здесь важно отметить, что в случае, когда координата А^ корня Ау) равна нулю, под \ХЛ мы понимаем функцию переменного х^ Є Z+, ])авпую 1 при х,( = 0 и пулю для остальных значений х1&.
Если и качестве многомерного аналога отношении f(x+l)/f{x) будем рассматривать вектор Горна Н(х) := ( jm > > /ы ) (1! чссть математика, впервые применившего его в определении общего гипергеометрического ряда в 1889 г.), то при произвольном стремлении х -> со предел вектора Горна для решений (0.0.25) уравнения (0.0.23) по-прежпему не существует. Однако, на «лучах» х = [a +pl], при / — +со он существует и ранен одному из корней Х^ предельной характеристической системы (0.0.2-1) в случае, если все эти корни имеют различные модули в направлении р: |AL| > > |А^,|. Здесь а,р Є Z" — произвольные фиксированные векторы.
Прежде чем сформулировать обобщение теоремы Пуанкаре дли системы (2.0.1), отмстим следующее. Формально is одномерной теореме Пуанкаре есть только два условия: сходимость коэффициентов и несовпадение модулей корней. По в действительности требуется также нормирование коэффициента при старшей степени, и возможность такой нормировки отражает тот факт, что корпи характеристического многочлена P{x,z) не «исчезают» па бесконечность при х —У сю. В многомерном случае соответствующее условие следующее: проекция (0.0.2G) тг: {{x,z) е2;х С"; P1(x,z) = ... = Pn{x,z) = 0} -> Ц. должна быть собственным отображением в том смысле, что число прообразов 7г_1(х) конечно, и не зависит от х. Например, такому условию удовлетворяют многочлени Pj(x,z), у которых однородные составляющие старшей степени по z не зависят от х и обращаются одновременно в нуль лишь при z — 0.
Теорема 0.0.4 (2.2.1). Предположим, что проекция {0.0.2G) собственная, и что для данного направления q Є Z" \ {0} каоюдый из коэффициентов системы (0.0.23) стремится к конечному пределу при х -> оо вдоль последовательностей вида {a+ql\ I N}, где а Є %п. Потребуем тикоісе. чтобы для корней A(i),..., \k) предельной характеристической системы, соответствующей (0.0.23), мономы А?(,,..., Al, были все различны, по абсолютной величине. Тогда для любого ненулевого решения f(x) системы (0.0.23) предел вектора Горна Иш ,7(я + єі) f{x + cn) |-»Д f{x) '"' f(x) x=a-iql существует и равен одному из характеристических корней А(Р) предельной системы.
В отличие от системы (0.0.23) скалярное уравнение (0.0.15) даже для постоянных коэффициентов не только допускает решения с произвольным ростом, но и в случае экспоненциального роста решения f(x) вектор Горна может не иметь предела вдоль бесконечного числа направлений. Например, ;уія уравнения f{xx + 1,2) + /(^1, + 2)- /(24,2) =
0 реПіеПШШІІ будут фуіІКЦНН /(2^,2) = (2)^( 2 )ї2{Сі + i{~^f2) С произвольными константами с\ и с2- Если cic2 7^ 0, то отношение J ,Л ^, ' = а (с +с f-іЦ) ІІС нмеет предела вдоль любого направления (х1,х?) — l(pt,l),1h Є 2. В данном примере вместе с любой точкой (^1, zi) ^ V — {zi + Z2 - 1 — 0} характеристическому множеству V принадлежит н точка (^1,-) и эти точки имеют одинаковые по модулю координаты. Таким образом, формулировка аналога теоремы Пуанкаре для скалярного разностного уравнения должна содержать многомерный аналог условия условия о различных но модулю корнях характеристического уравнения, а также описание класса решений, для которых справедлива теорема Пуанкаре.
В качестве такого класса решений уравнения (0.0.15) будем рассматривать интегралы вида (0.0.27) f{x) = Jzxu(z), xeZn, где (j 6 f2n-1(V) ~ голоморфные формы па V па — (п — 1)-цнклы на regK, т.е. на регулярной части V. Отметим, что в данном случае характеристическое множество V расматривается в (С\0)".
Амебой многочлена Лорана Р, или, эквивалентно, алгебраической гиперповерхности V = {z Є (С \ {0})"; P(z) = 0}, называется образ V при логарифмическом проектировании Log: (zi,...,z„) і-» (log|zi|,...,log|«„|).
Будем обозначать амебу через Av-
Число компонент дополнения Rn \Лу не меньше числа вершин многогранника Np и не больше числа целых точек Np, ем. [17]: #YatNP<#{E}<#{ZnnNP}.
Мы рассматриваем амебы, которые имеют максимальное число #{Z"njVp} связных компонент. В одномерной ситуации это случаіі, когда все корни попарно различны.
Теорема 0.0.5 (2.3.1). Пусть п = 2. Предположим, что амеба Лу характеристического мпооїсества уравнения имеет максимальное число компонент дополнения и что граница OAv гладкая. Тогда для любого ненулевого допустимого решения и для почти любого из направлений q Є QPi, на которых f не общипается в ноль, предел (І(х + Єі) f(x + e2) существует и равен точке z Є V.
В Главе 3 изучаются различные конструкции кратных степенных рядов, обобщающие классическую адамаровскую композицию.
Одним из ярких примеров применения интегрального представления для аналитического продолжения степенного ряда является теорема Адамара об умножении особенностей.
Если даны два степенных ряда (0.0.28) F(z) =>&)**, {0.0.29) G(z) = Y,e(y)*, то их композицией Лдамара называется степенной ряд вида (см. [52]) (0.0.30) Я(2) = b(y)5(yK.
Отметим, что если 6(у) = Т(х ~ у) и степенной ряд (0.0.30) сходится при z — 1, то Я(1) в соответствии с формулой (0.0.1-1) есть решение разностного уравнения (0,0.10).
В исследовании вопроса об аналитическом продолжении композиции H(z) решающую роль играет интегральное представление композиции где контур Г выбирается таким образом, чтобы он «разделял» особые точки функций F{Q и G(f) соответственно. В общем случае вопрос об аналитическом продолжении интеграла (0.0.31) далеко не простої! даже в случае функций одной переменной и ответ на пего дает теорема Лдамара об умножении особенностей (в терминах композиции главных звезд функций F и G). Если же функции F и G регулярны в нуле и имеют конечное число изолированных особенностей (фактически этот случай и рассматривал сам Адамар), то процедура аналитического продолжения становится наглядной и довольно простой.
Пусть {о-;}, {/} — особые точки функций F(0 и G(Q соответственно, тогда у функции С(|) особыми будут точки # и при z достаточно малых найдется такая окрестность Г, что все особые точки функции G{~) будут расположены внутри этой окружности, а особые точки функции F{) — вне Г. Очевидно, что при таком выборе z и контура Г интеграл (0.0.31) определяет аналитическую функцию H(z). Изменяя z и деформируя контур Г так, чтобы он не попадал на особые точки подынтегрального выражения, видим, что особыми точками функции H(z) могут быть лишь точки z такие, что 4- = е^, т.е, z = a$j — «особенности перемножаются*.
Отметим еще, что если F и G — рациональные функции, то прямые вычисления (с использованием теоремы о разложении па простеііпше дроби, например) показывают, что композиция H(z) будет рациональной функцией.
Приведем дне конструкции, которые обобщают на многомерный случай классическую адамаровскую композицию степенных рядов (0.0.30).
Пусть даны два степенных ряда кратности п и т соответственно: (0.0.32) no = Y, ЙНС (0.0.33) С{ц) = Y, K0)rf и дано лшісїіііое отображение L : Z"1 —У 2" с матрицей, которую будем обозначать той же буквой (0.0.3-1) i = ||rfij[Un,^eZ+.
Определим композицию рядов F() и G(j/) следующим об])азоы: (0.0.35) Я„(г) = Yl a{PL + (t)b(0)z?, где (і Є Ъп — фиксированный вектор, а. р L — произведение вектора р1 на матрицу L. Классическая адамаровскаи композиция степенных рядов получается при т = п — 1, сіц = 1, /її = 0. Выбирая подходящим образом матриц)' L и вектор ц можно получить композиции степенных рядов, изучавшихся в работах [35, 12, G1J.
Также, как и для одномерного случая, решающую роль при решении задачи аналитического продолжения функции ll^z) играет интегральное представление этой функции.
Теорема 0.0.G (3.2.1). Пусть функция (0.0.32) голоморфна в замкнутом полицилиндре U — { Сп : j^j < rj,j = 1,..,, п}, а функция (0.0.33) — в замкнутом полицилиндре V ~ {т; Є С" : \щ\ < Я;, г —
1,..., т], тогда их композиция Адамара (0.0.35) голоморфна в полицилиндре W = {z Є Cm : \ъ < pi, і = 1,..., m), где pi = lUrfl -rfi», і = 1,..., т/г и для z є \V справедливо интегральное представление (0.0.36) ВД = {2ш)^ J F(OG(z/e)^r, где і1 = (^---^,...,^--^-),7 = {І Є С» : fo| = 7>j -1,...,n},1 = (1,. ..,1).
Звездой в комплексной плоскости С будем называть звездную по отношению к началу координат область.
Композицией звезд U, V С С называется [52, с. 30] множество [7oV = (U'V'Y, где ' означает дополнение множества в комплексной плоскости, aUY' = {uV:u'ey',u'GK'}-
В [52| показано, что композиция двух звезд снова звезда и Ї7 о V = V о и.
Область U = U\ х х [4 С Ск назовем k-звездной, если Uj — звезда, j = l,...,fc.
Пользуясь интегральным представлением (0.0.30) можно осуществить аналитическое продолжение композиции (0.0,35).
Теорема 0.0.7 (3.2.2). Если функция (0.0.32) голоморфна в п-звездиой области U — U\ х х Un, функция (0.0.33) голоморф>иа в т-звездиой области V = VI х х Vn) тогда (функция (0.0.35) голоморфна в т-звездиой области II — Пі х х IIш, где Hi = Ufn о - о U%in о Уи І = \,. ..,771.
Точку i.dU назовем угловой точкой звезды U С С, если it; U для всех 0 < і < 1.
Точку Є dU назовем хорошо достиоісимой точкой звезды U С С, если tfw U для всех 0 < і < 1 и некоторого комплексного числа и такого, что Rew > 0, а Itnw ф 0.
Точку = (fi,... ,„) назовем угловой (хорошо достижимой) точкой 77-звездной области U = Ui,...,Un если j — угловая (хорошо достижимая) точка звезды Uj для всех j = 1,., . ,п.
Теорема 0.0.8 (3.4.1). Среди угловых и хорошо достижимых точек т-звездной области II особыми точками композиции (0.0.35) могут быть лишь те точки, которые принадлежат множеству где ф — (фу,..., фп) — особые точки функции (0.0.32), лежащие па остове 0U\ х х dUn, аїр — ()/>ъ .Фт) — особые точки функции (0.0.33), лежащие па остове OVi х х dVm.
Другое обобщение композиции Лдамара па многомерный случаіі получится в том случае, когда для представления и аналитического продолжения композиции // используем интегральные представления, в которых интегрирование ведется по (2п - 1)-мерным циклам (границам областсіі к С"). Пусть z — (zi, ...,zn), = (&,. --,60 ~~ точки n-мсрпого пространства С" и = (i,...,6j), где fj — сопряженное к Cj, J = 1,- --,п, \z\2 = |г,|2 + + \zn\2 и Е = {z Є Сп : \zj\ < \,j = 1,. ..,ті} -единичный полпкруг. Обозначим через V полную ?г-круговую область с центром в начале координат, Vr = rV — гомотетию области V н Pp(z) = inf{r : * Є T>,r > 0} — функционал Мппковского области V. Фиксируем область РсБ такую, что Т>Г Е для г > 1.
Обозначим S{V) границу Шилова области V и [5(1))1 — образ области S{V) при отображении z = (zi,.. .,z„) —> (\zi\,..., \zn\) 11 \0V\ — образ границы 0V при этом же отображении. Мера Л (конечная) на \дТ>\ называется массивной па границе Шилова, если для всякого М С \дТ>\ пулевоіі меры А имеет место включение \DV\ \ М э \S(V)\. Коэффициенты Тейлора сп ядра Cere области V, соответствующие мерс (і/і, определяются следующим образом [50, G, llj: сь = [[ ІбГ \Ц2а"с1ц}-1 = {[ |6Г Ы1о"<Щ-\ JQV J\OD\ где d/t = {2тгг)-"[А х & Л Л &l. Для двух кратных степенных рядов (0.0.37) l\z) = J2 a(a)z" и G(z) = К»)*" определим их композицию Лдамара следующим образом: (0.0.38) H(z) = F{z)oG{z) = ^2 a(a)b(a)c-]zn
Отметим, что для п = 1 область V — единичный круг, и все коэффициенты са = 1, поэтому (0.0.38) — классическая композиция Лдамара.
В одномерной ситуации важную роль при аналитическом продолжении интеграла, представляющего композицию Лдамара, играют свойства отображения | : Cj —> С^, многомерным аналогом которого является отображение Фг : С? -> С, зависящее от параметров z Є Сг, у которого
КОМНОПСП'Га ИМееТ ВИД Zjj/f>v{)t J = І,---, 7Ї-
Звездой назовем всякую область из С1, звездную по отношению к началу координат.
Композицией звезд U и V назовем множество U V V = {z Є С" : Фг(и') П V = Щ, где U' = С \ г/, V = Сп \ F.
Определенная таким образом композиция звезд является звездой и дня п = 1 получаем классическое определение композиции звезд. Вместе с тем есть и различия. Например, в отличие от одномерного случая, композиция звезд не коммутативна.
Предложение 0.0.1 (3.3.1). Пусть степенные ряди (0.0.37) сходятся в областях Т>Г1 и Т>Г2 соответственно. Тогда их композиция (0.0.38) сходится в области Vnr2 и для z Є VTiri справедливо иитегралгшое представление где -г*тт — (44^,...,-1^) и г выбрано так, чтобы ^~ < г < Г\.
Рт}\А) Cult) Pj>\Sl '2
Данное интегральное представление позволяет осуществить аналитическое представление композиции H(z).
Главной звездой функции называется максимальная звездная область, в которую эта функция аналитически продолжается.
Теорема 0.0.9 (3.3.2). Пусть U, V, W — главные заезды функций F, G, II соответственно, тогда U VV С ТГ.
Пусть U С С" — звезда. Точку Є U' назовем угловой точкой звезды U, если ft; є U для всех t Є [0,1). Точку (е [/' назовем хорошо достижимой, если она хорошо достижима (см. ]52]) в сечении звезды U комплексной прямой г; г Є С}.
Теорема 0.0.10 (3.4.2). Среди угловых и хорошо достижимых точек звезды U V V особыми точками композиции II могут быть лишь точки, припадлеоісащие множеству {хєСп:Фг(О0)С\У0фЩ, где UQ — множество особых точек функции F па границе главной звезды, U, a Vq — множество особых точек функции G па границе главной звезды V.
Отмстим, что для п — 1, теоремы 0.0.9 и 0.0.10 дают в точности теорему Адамара об умножении особенностей {в изложении Бибсрбаха).
Конструкцию композиции Лдамара кратных степенных рядов, определяемую формулой (0.0.38) можно также интеіші)ети]ювать следующим образом. Так как а Є Щ. и /? Є Z+, то композицию Hti(z) можно рассматривать как сумму с линейными ограничениями на индексы суммирования: (о.о.зо) вд= Y, «(/? +/ОадЛ где неравенство /? > 0 означает, что ft > 0 для всех ft > 0, і = 1,..., m. Такого рода суммы встречаются в различных задачах перечислительного комбинаторного анализа и один из возникающих при этом вопросов состоит в отыскании производящей функции п-мерной последовательности {Нп(г)}^п, т.е. функции
ПМ=ВД<"-
Теорема 0.0.11 (3.2.3). Если производящие фупщии (0.0.32),(0.0.33) голоморфны в замкнутых полицилиндрах U = { Є С" : |j| < Tj,j = 1,...,п} u V = {V Є Cm : |fj| < Rj,j — 1,..., m} соответственно, то для (t; г) U х (f/L 0 К) справедливо интегральное представление (0.0,10) ПМ = (2т)-» J F{i)G[zie)j^-c где 7 = { Є Cu : fo| = гл-, j = 1,... ,n} ы f - = (fi - іь - .6. - '..)
Если все элементы матрицы L отрицательны /^ ~ ~4ijt4ij ^ 0, то система линейных неравенств {3L + /j > 0,/? > 0 имеет конечное число решений в Zn, т.е. функция Нр(г) является многочленом, а к интегралу (0.0.40) применима интегральная формула Каши, из которой следует, что
Il(t\z)=F(t)G(ztQ)t
ГДС Q = Hftjllmxn.
Отмстим, что при F = 1, G(v) = (l-i>)~; и г = (1,..., 1) полупім что Я^(/) — это число целочисленных решении системи линейных уравнении I3Q = ц, а для f() = (1-)"', ОД = (1-^)"; и z = (1,..., 1) окажется, что Яд(7) — число решений системы неравенств f)Q < ц в Z".
В монографии Г.П. Егорычова [fil] производящая функция U(t) вычислялась с связи с применениями в теории графов в частном случае ПО = (1 - О"7 п ОД = ln(l + ^ + --- + *„,).
Задача Коши и фундаментальные решения для многомерного разностного уравнения
Представления функций рядами, а затем и интегралами, возникли на ранних стадиях развития теории фуикциіі и математического анализа и целом, как удобный аппарат для обозримого представления аналитических решении разностных и дифференциальных уравнении, исследования их асимптотики и их аналитического продолжения. Создание общей теории аналитического продолжения функции (Всйерштрасе, Рп-мап) позволило попять сущность явления многозначности аналитических функций, которое было основным источником ошибок при неумелых попытках аналитического продолжения, однако не отменило использование многочисленных специальных методов аналитического продолжения, в том числе и представления функции интегралами, зависящими от параметров. Эго объясняется малой эффективностью общего аппарата аналитического продолжения при решении конкретных задач.
Риды и интегралы являются мощным инструментом математического анализа, нашедшим самые разнообразные применения при решении математических и прикладных задач. Один из первых примеров такого рода — введенная в обращение Л. Эйлером гамма-функция, которая позволила распространить факториал с целочисленного переменного на действительное и, используя полученное Эйлером интегральное представление, получить асимптотическую формулу для гамма-функцнн (формулу Стирлинга). Эйлер же решил и задачу суммирования функций, получив формулу Эйлсра-Ыаклорепа, частным случаем которой является формула Стирлинга.
С задачей суммирования функций теснейшим образом связана теория решения конечно-разностных уравнений. К числу первых результатов здесь можно отнести утверждение Муавра о возвратных степенных рядах, т.е. рядах, коэффициенты которых являются решениями разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Оказалось, что такие ряды представляют рациональные функции.
Одномерная теория конечно-разностных уравнений [54] развивалась параллельно с теорией обыкновенных дифференциальных уравнении и в случае линейных уравнений имеет вполне законченны]! вид. Одной из наиболее тонких и глубоких теорем анализа является теорема Пуанкаре об асимптотическом поведении решений разностного уравнения с предельно-постоянными коэффициентами. Перрон уточнил теорему Пуанкаре при дополнительном условии невырожденности разностного уравнения. Теорема Пуанкаре-Перрона в векторной формулировке уточнялась в [53] в связи с доказательством гипотезы Гончара о возможности расиространппня теоремы Фабри об отношении коэффициентов степенного ряда па случай m-ой строки таблицы многоточечных аппроксимаций Паде.
В отличие от одномерного случая теория многомерных линейных раз-постных уравнений была мало исследована до недавнего времени. Так, в [31] были рассмотрены частные виды уравнений с двумя неременными, а в работе Даффина [14] был построен дискретный аналог теории гармонических функций двух переменных.
Далее, в [8] в связи с решением некоторых комбинаторных задач о числе путей в целочисленной решетке, приводящих к линейным рекуррентным соотношениям, ставится задача Копій и доказывается существование и единственность ее решения. Другой важный и естественный с точки зрения комбинаторного анализа вопрос, решаемый в этой работе, состоит в том, как производящая функция (г-преобразовапие решения разностного уравнения), соответствующая решению, зависит от производящих функций начальных данных.
Многомерные разностные уравнения естественным образом возникают в теории цифровой обработки многомерных сигналов. Важнейшей характеристикой цифрового рекурсивного фильтра является его импульсный отклик, обеспечивающий устойчивость фильтра. С точки зрения анализа речь идет о сходимости ряда из модулей коэффициентов Тейлора рациональной функции. В случае двух переменных проблема устойчивости цифрового рекурсивного фильтра решена Цихом (1091) в 98].
В [7] интегральные представления фундаментальных решений разностного уравнения применялись для получения асимптотических оценок, которые нашли свое применение в некоторых задачах интерполяции (cardinal interpolation). Совсем недавно была обнаружена связь асимптотической теории разностных уравнений с бпоипформатнкой (2005, ра боты Штурмфельса и его соавторов [2-1]), а также с теорией днмеров (Кешюн, Окуньков 27], 2003),
Проблема продолжения степенного ряда за пределы круга сходимости и исследование особых точек этого ряда относится к числу грудных уже для функции одной переменной. Представление функции интегралами, зависящими от параметров, и силу своей обозримости зачастую предпочтительнее ее представления с помощью ряда. ЯІЖІШ примером такого типа является одна из красивых теорем и теории распределения особенностей аналитических функции - теорема Лдамара об умножении особенностей (см. [52)) дня степенного ряда, коэффициенты которого являются произведением коэффициентов двух заданных рядов. Для крат-пых степенных рядов конструкции, обобщающие произведение Лдамара рядов, появились в связи с решением некоторых задач теории чисел [35] и комбинаторного анализа [12], [61]. Одна из этих конструкций - «диагональные» композиции Лдамара двойного ряда восходит еще к Пуанкаре [88]. В [98] диагонали двойного ряда изучались в связи с проблемой устойчивости цифровых рекурсивных фильтров. Отметим еще, что идея «разделения особенностей» подынтегрального выражения, использованная в доказательстве теоремы Лдамара об умножении особенностей, успешно применялась при исследовании интегралов, зависящих от параметра, гомологическими методами (см., например, [93], (97[).
В 50-60 годы прошлого века Лерс [30] (в связи с исследованиями в теории линейных гиперболичеких уравнений с помощью обобщенного преобразования Лапласа) создал аппарат интегрирования по комплексному многообразию дифференциальных форм с особенностями — теорию вычетов Лерс. Постороепие одного из основных объектов этой теории — формы-вычета Лерс приводит к необходимости отыскания в данном классе когомологий дифференциальной формы с полюсами первого порядка, т. е. к задаче когомологического приведения периодов. Общая конструкция когомологического приведения периодов использует разбиение единицы и не сохраняет рациональности исходной дифференциальной формы, Гриффите в [19], исследуя периоды рациональных дифференциальных форм в п-мерпом проективном пространстве, предложил метод понижения порядка полюсов, не выводящий из класса рациональных дифференциальных форм.
Асимптотика системы многомерных разностных уравнений с переменными коэффициентами
В 50-60 годы прошлого века Лерс [30] (в связи с исследованиями в теории линейных гиперболичеких уравнений с помощью обобщенного преобразования Лапласа) создал аппарат интегрирования по комплексному многообразию дифференциальных форм с особенностями — теорию вычетов Лерс. Постороепие одного из основных объектов этой теории — формы-вычета Лерс приводит к необходимости отыскания в данном классе когомологий дифференциальной формы с полюсами первого порядка, т. е. к задаче когомологического приведения периодов. Общая конструкция когомологического приведения периодов использует разбиение единицы и не сохраняет рациональности исходной дифференциальной формы, Гриффите в [19], исследуя периоды рациональных дифференциальных форм в п-мерпом проективном пространстве, предложил метод понижения порядка полюсов, не выводящий из класса рациональных дифференциальных форм. Когомологическое исследование рациональных форм было продолжено в статьях Батырсва н Кокса ([5] 1995) с точки зрения торической геометрии, а конструирование формы-вычета с сингулярными полярными множествами и их связь со связностью Гаусса-Машнга изучались Александровым ([1] 2005).
С теорией многомерных вычетов и их применениями тесно связан вопрос о разделении особенностей голоморфных функций її форм, іі частности вопрос о разложении рациональных функций многих переменных па иростеі шше дроби. Случай линейных особенностей полностью решен в работах Южакова (см. [104]) и нашел свое применение при исследовании интегралои, зависящих от параметров.
Характеризуя диссертационную работу в целом, можно сказать, что она посвящена развитию и применению интегральных методов в решении некоторых проблем теории степенных рядов и разностных уравнений, при этом основным инструментом исследования является представление изучаемых объектов интегралами, зависящими от параметров.
Цель данной работы - развитие техники кратных рядов и интегралов и ее применение для: 1) описании пространства решений линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами; 2) исследования асимптотик решений разностных уравнений и поиска многомерной версии теоремы Пуанкаре; 3) исследования различных конструкций, обобщающих произведение Лдамара степенных рядов, доказательства многомерных аналогов теоремы об умножении особенностей; А) когомологического приведения периодов рациональных дифференциальных форм. Прежде чем давать точные формулировки задач, решению которых посвящены соответствующие главы, мы кратко описываем одномерную ситуацию, выделяя те моменты теории, которые представляются существенными при их распространении на многомерный случаіі и подчеркивая при этом принципиальные отличия от одномерной ситуации. В гл. 1 исследуются многомерные разностные уравнения. Одномерное однородное линейное разностное уравнение относительно неизвестной функции f : Ъу — С с постоянными коэффициентами имеет вид Если известны корни Zj его характеристического уравнения и «о ф 0) то всякое решение разностного уравнении представляется а виде где Cj(x) — многочлен относительно х, степень которого пс превосходит кратности корня Zj. В одномерной ситуации формула (0.0.3) дает полное описание пространства решений уравнения (0.0.1), однако на многомерный случаи она не переносится, поэтому отмстим, что из теоремы о полной сумме вычетов легко следует справедливость двух других представлении решения (0,0,3) разностного уравнения (0.0.1): (0,.4) m = ±f9Mf± = res9i ,x , где Q(z) — многочлен, степень которого ниже степени т характеристического многочлена P(z), а цикл Г = {z Є С : \z\ = 11} — окружность радиуса R такого, что все корни характеристического уравнения лежат внутри Г. Для произвольной функции целочисленного аргумента / : Z+ — С ее -преобразование (производящая функция) определяется следующим образом: Формула (0.0,4) означает, в частности, что f(x) является решением разностного уравнения (0.0.1) тогда и только тогда, когда ее z-преоб\ азоиание является рационаліїной функцией F(z) = Q(z)/P(z), причем степень числителя Q[z) меньше порядка т уравнения (0.0.1). Последнее замечание можно интерпретировать как утверждение о разрешимости нрн п = 1 следующей задачи аналитического продолжения: найти функцию F{z), определенную стеленным рядом (0.0.5), если коэффициенты f(x) этого ряда удовлетворяют условиям (0.0.1). Отметим, что для дифференциального уравнения с тем же характеристическим многочленом P{z)
Суммы с линейными ограничениями на индексы суммирования
Здесь важно отметить, что в случае, когда координата А корня Ау) равна нулю, под \ХЛ мы понимаем функцию переменного х Є Z+, ])авпую 1 при х,( = 0 и пулю для остальных значений.
Если и качестве многомерного аналога отношении f(x+l)/f{x) будем рассматривать вектор Горна Н(х) := чссть математика, впервые применившего его в определении общего гипергеометрического ряда в 1889 г.), то при произвольном стремлении х - со предел вектора Горна для решений (0.0.25) уравнения (0.0.23) по-прежпему не существует. Однако, на «лучах» х = [a +pl], при / — +со он существует и ранен одному из корней Х предельной характеристической системы (0.0.2-1) в случае, если все эти корни имеют различные модули в направлении р: AL А ,. Здесь а,р Є Z" — произвольные фиксированные векторы.
Прежде чем сформулировать обобщение теоремы Пуанкаре дли системы (2.0.1), отмстим следующее. Формально is одномерной теореме Пуанкаре есть только два условия: сходимость коэффициентов и несовпадение модулей корней. По в действительности требуется также нормирование коэффициента при старшей степени, и возможность такой нормировки отражает тот факт, что корпи характеристического многочлена P{x,z) не «исчезают» па бесконечность при х —У сю. В многомерном случае соответствующее условие следующее: проекция должна быть собственным отображением в том смысле, что число прообразов 7г_1(х) конечно, и не зависит от х. Например, такому условию удовлетворяют многочлени Pj(x,z), у которых однородные составляющие старшей степени по z не зависят от х и обращаются одновременно в нуль лишь при z — 0.
Теорема 0.0.4 (2.2.1). Предположим, что проекция {0.0.2G) собственная, и что для данного направления q Є Z" \ {0} каоюдый из коэффициентов системы (0.0.23) стремится к конечному пределу при х - оо вдоль последовательностей вида {a+ql\ I N}, где а %п. Потребуем тикоісе. чтобы для корней A(i),..., \k) предельной характеристической системы, соответствующей (0.0.23), мономы А?(,,..., Al, были все различны, по абсолютной величине. Тогда для любого ненулевого решения f(x) системы (0.0.23) предел вектора Горна существует и равен одному из характеристических корней А(Р) предельной системы.
В отличие от системы (0.0.23) скалярное уравнение (0.0.15) даже для постоянных коэффициентов не только допускает решения с произвольным ростом, но и в случае экспоненциального роста решения f(x) вектор Горна может не иметь предела вдоль бесконечного числа направлений. Например, ;уія уравнения f{xx + 1,2) + /( 1, + 2)- /(24,2) произвольными константами с\ и с2- Если cic2 7 0, то отношение J ,Л , = а (с +с f-іЦ) ІІС нмеет предела вдоль любого направления (х1,х?) — l(pt,l),1h Є 2. В данном примере вместе с любой точкой ( 1, zi) V — {zi + Z2 - 1 — 0} характеристическому множеству V принадлежит н точка ( 1,-) и эти точки имеют одинаковые по модулю координаты. Таким образом, формулировка аналога теоремы Пуанкаре для скалярного разностного уравнения должна содержать многомерный аналог условия условия о различных но модулю корнях характеристического уравнения, а также описание класса решений, для которых справедлива теорема Пуанкаре. В качестве такого класса решений уравнения (0.0.15) будем рассматривать интегралы вида где (j 6 f2n-1(V) голоморфные формы па V па — (п — 1)-цнклы на regK, т.е. на регулярной части V. Отметим, что в данном случае характеристическое множество V расматривается в (С\0)".
Амебой многочлена Лорана Р, или, эквивалентно, алгебраической гиперповерхности V = {z Є (С \ {0})"; P(z) = 0}, называется образ V при логарифмическом проектировании Будем обозначать амебу через Av Число компонент дополнения Rn \Лу не меньше числа вершин многогранника Np и не больше числа целых точек Np, ем. [17]: Мы рассматриваем амебы, которые имеют максимальное число #{Z"njVp} связных компонент. В одномерной ситуации это случаіі, когда все корни попарно различны. Теорема 0.0.5 (2.3.1). Пусть п = 2. Предположим, что амеба Лу характеристического мпооїсества уравнения имеет максимальное число компонент дополнения и что граница OAv гладкая. Тогда для любого ненулевого допустимого решения и для почти любого из направлений q Є QPi, на которых f не общипается в ноль, предел (І(х + Єі) f(x + e2) существует и равен точке z Є V. В Главе 3 изучаются различные конструкции кратных степенных рядов, обобщающие классическую адамаровскую композицию. Одним из ярких примеров применения интегрального представления для аналитического продолжения степенного ряда является теорема Адамара об умножении особенностей.
Понижение порядка полюсов и когомологическое приведение периодов в СРп
В 2.3 изучаются решения уравнения (2.0.2) с постоянными коэффициентами. Для формулировки соответствующего многомерного варианта используется понятие амебы (см. [18], [17]) характеристического многочлена Р(г), т.е. образ множества нулей P[z) = 0 при логарифмическом проектировании. С использованием определения амебы формулируется многомерный аналог условия несовпадения абсолютных величии корней полинома, и в теореме 2.3.1 дается соответствующий многомерный вариант теоремы Пуанкаре. Интересно отметить, что в двумерном случае этим условиям па абсолютные величины корней удовлетворяют так называемые кривые Гарнака (см. [33] и [34]).
Будем рассматривать следующие скалярные разностные уравнения с постоянными коэффициентами:
Здесь мы предполагаем, что А произвольное конечное подмножество целочисленной решетки Zn, т.е. характеристический многочлен P(z) = Хіоє/t a z может быть многочленом Лорана. В отличие от системы (2.0,1), уравнение (2.3.1) допускает решения, которые имеют произвольный рост п такое хаотическое поведение, что невозможно описать их асимптотическое поведение. Например, общее решение уравнения имеет вид f(xi,Xi) = (р(х\) + ф(х2), где ip и ф произвольные функции.
Если говорить о свойствах вектора Горна решения f(x), т.е. формулировать теорему Пуанкаре, то как и в одномерном случае она не будет выполняться даже для решений экспоненциального роста, если не требовать дополнительных ограничений иа предельное характеристическое множество. Например, для экспоненциального решения уравнения где с\ и cj произвольные константы, мы получим для С\С2 ф 0, что отношение не имеет предела вдоль любого направления {хл,х2) = /(((1,) с q2 = 1. Причина состоит в том, что для любой точки ( ,) характеристического множества Z\ + z\ - 1 — 0 найдется точка (21,-.)) принадлежащая этому множеству, с теми же абсолютными величинами обеих координат. Другими словами, на этом множестве нарушается условие ииъективностн проекции характеристического множества па пространство модулей координат, а это условие существенно уже в одномерной теореме Пуанкаре. Отметим, что в действительности эта проекция (zi,..., zn) Н- {\z\\,..., \zn\) не является инъектпвной в многомерном сиу-чае (п 2). Для того, чтобы сформулировать многомерный аналог условия, что корпи полинома имеют различные абсолютные значения, удобно использовать понятие амебы (см. [18], [17]). Определение 2.3.1. Амебой многочлена Лорана Р, или, эквивалент но, алгебраической гиперповерхности V — {z Є (С \ {()}}" ; P(z) = ()}, называется обра;} V при логарифмическом проектировании Будем обозначать амебу через Ар или Ау. Отмстим необходимые общие факты, касающиеся амеб: 1) Дополнение Ш1 \Ар состоит из конечного числа связных компонент {Щ, каждая го которых открыта и выпукла, и каждый прообраз Log l(E) есть область сходимости соответствующего ряда Лорана для рациональной функции 1/Р, см. [18], 2) Существует инъективное отображение такое, что нормальный конус С„(Е) многогранника Ньютона Np в точке v{E) совпадает с конусом рецессии компоненты Е. Цслочпстлениын вектор i/(E) называется порядком компоненты Е. Число компонент К"\.4у не менее числа вершин многогранника NP и не более числа целых точек NP, см. [17: Если нижняя граница достигается, т.е. если число компонент дополнения К" \ Ар минимально, то амеба называется солидной. Для одномерного случая (/і = 1) солидность амебы означает, что все корни многочлена имеют одинаковые абсолютные величины. Пас интересует другой крайний случай: амебы, которые имеют максимальное число #{Zn( ]Np} связных компонент. Ясно, что в одномерной ситуации это случаіі, когда все корпи попарно различны. Под экспоненциальным решением уравнения (2.3.1) мы будем (в случае, когда характеристический многочлен P(z) не имеет кратных множителей) понимать интеграл вида где d{i — мера с носителем на характеристическом множестве V = {P(z) — 0}. При наличии кратных множителей следует ввести под знак интеграла подходящий дифференциальный оператор V. (см. [41]),
Для того, чтобы была возможность контролировать асимптотическое поведение интеграла (2.3.2) с помощью хорошо известных методов, мы ограничимся мерами dpi, которые представляются голоморфными (ГІ—1)-формами ш на V. Таким образом, класс допустимых решений уравнения (2.3.1), который мы будем рассматривать, дается интегралами где ш Є 0я-1 (V) голоморфные формы на У, а с (п — 1)-цикл на rcgK. В случае негладкой гиперповерхности V иод голоморфной (п — 1)-формой понимается абелев дифференциал, т.е. голоморфная форма на регулярных точках V, «не имеющая вычетов относительно сингулярности» ([6, 1С]). Заметим, что в данном случае, характеристическое множество V рассматривается в (С \ ())". Отметим также, что некоторые циклы с на V определяются как поднятия на V относительных 1-циклов на амебе Лу (см. левую часть Рис. 2.1).
