Содержание к диссертации
Введение
Глава П. Операция 23
1. Определения 23
2. Параметрическое представление для операции 25
3. М и М -операции 36
4. Эквивалентность R и Ry -операций 48
5. Лоренцева инвариантность операции Я- 50
Глава Ш. Оценки параметрических интегралов 53
1. Основная процедура 53
2. Оценка интегралов, возникающих при К Г -операции 61
3. М -операции 67
Глава ІУ. Модифицированная процедура Эпштейна и Глазера и случай нулевых масс 77
1. Модифицированный индуктивный прием Эпштейна и Глазера и аналог с операцией 77
2. Случай нулевых масс 95
Список литературы 98
- Параметрическое представление для операции
- Оценка интегралов, возникающих при К Г -операции
- Модифицированный индуктивный прием Эпштейна и Глазера и аналог с операцией
Параметрическое представление для операции
Вклад от любой связной диаграммы б с Я(6) вершинами зависит, как легко понять, ровно от (п(&)— І.) независимей разности типа Х( — Ад, Л / кв {,2}...}п{б) ]) , которые можно выбирать, вообще говоря, не единственным образом.
Для таких независимых разностей сделаем замену и назовем линию с номером S независимой.
Разделим все б,- 6 } на классы по следующим правилам (ср. І2Л). В первый класс входят все те G: {G] t которые не содержат расходящихся внутренних частей, а в К -тый класс входят все диаграммы S: Є {&} , содержащие в качестве поддиаграмм диаграммы не выше К - 1го класса, а сами а него не входят. Все диаграммы va первого класса обозначим через G- -Во всех этих (з: проделаем требуемую замену независимым обра зом, так как любая пара с?- . 6. не имеет общих линий.
Оценка интегралов, возникающих при К Г -операции
В настоящем пункте будем показать, что свойства выражения С3.5 ) обеспечивают сходимость параметрических интегралов по параметрам t . Заметим на этом месте, что все предыдущие конструкции без труда обобщаются на .любые поля с взаимодействием потенциального типа. При доказательстве сходимости с целью технической наглядности снова ограничимся моделью Я: Q (x):, но само доказательство без существенных изменений обобщение на другие модели не допускает. Итак, поступим к делу. Сначала докажем вспомогательное утверждение.
Лемма. Если В GXi 6 е {G]} CL С &z) и (а u#J то Т /которое соответствует GL / в ехр(-) в (УS ) не входит.
Доказательство. В силу всех предположений без ограничения общности считаем, что (J(GX)S 2, &{&i) = 0 % т.е. С± имеет 2 внешних линий, которые не должны иметь общих вершин. Но тогда из всех выше указанных преобразований X- U выберим такое, что эти внешние линии считаются независимыми. Но тогда в нашу диаграмму G вообще не входят линии типа (±Ц; )ЗГ/ Ст) » где линейная комбинация содержит независимые разности Ц", , входящие в UJL , и такие Чу , входящие в /Q
Выполнив дифференцирования по Т , из (bS) получим учитывая, что Т =Г только входит в /г) ($=it2r..,h-l) t и если для некоторой Gj 3 6j : G: С Q: U U (Qj) (&}.) то " = 0. # обозначают константы. Легко теперь проверяется, что ф г la) J (у) где jtp - равномерно ограниченные и дифференцируемые по и и Т функции; yw- полиномы переменных U5 , где младшая степень, с которой входят Us , является U&—-7 /целая часть/.
Модифицированный индуктивный прием Эпштейна и Глазера и аналог с операцией
В начале 70ых годов CERN /Европейский центр нуклеарных исследований/ опубликовал ряд препринтов в кото рых авторы Эпштейн и Глазер предлагали новый метод обработки расходимостей в квантовой теории поля с помощью формального индуктивного процесса. Предлагаемые авторами конструкции не связаны с никакими заглаживаниями или обрезаниями и фейнман-овские амплитуды не являются прямым объектом рассмотрения.
Следуя И?] получим следующее: Оператор рассеяния построим, как обычно, в зависимости от А - интенсивности взаимодействия - как ограниченный оператор, так что определенности. Операторозначные распределения Т и 71 0 построим индуктивным путем. При этом заметим следующее: Нетрудно видеть, что введенные Этптейном и Глазером выражения X. у и 7 ) совпадают с хронологическими и антихронологическими поизведениями (ср. [11) , которые будем обозначать соответственно через Ть - и 7
Требования причинности и унитарности на S налагают определенные условия на Th - и Th « , которые легко проверяются. Во всех порядках ряда теории возмущений получим.
Для реализации индуктивного процесса введем три вспомогательных операторозначных функционала. Оказывается, что эти функционалы обладают "добрым" свойством относительно их носителей.
Определение: По (J.i.1 называем выражения «, опережающим Advanced /, а 1 Л« запаздающим /retarded /. Основы этих названий найдем в свойствах носителей коэффициентных функций этих функционалов, к исследованию которых мы перейдем. Имеет место (ср.Г1?1) следующее Утверждение:
