Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. О ПОСТРОЕНИИ ДОСТАТОЧНЫХ МНОЖЕСТВ
I.1. Достаточное множество для пространства 29
1.2. Задача Л.Эренпрайса 42
I.S. Достаточное множество для пространства 43
1.4 Достаточное множество для пространства 51
1.5. "Универсальное" достаточное множество 65
ГЛАВА 2. О РАЗЛОЖЕНИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ОБОБЩЕННЫЕ РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ
2.1. Разложение функций, аналитических в Q -выпуклой области, в ряды по системе 76
2.2. Универсальная абсолютно-представляющая система 83
2.3. Разложение функций из пространства 85
2.4. Разложение функций из пространства в ряды экспонент 95
ЛИТЕРАТУРА 98
- Достаточное множество для пространства
- Задача Л.Эренпрайса
- Разложение функций, аналитических в Q -выпуклой области, в ряды по системе
Достаточное множество для пространства
Лемма 1,1.1, Пусть 0( - уточненный порядок, J - целое , Я/ - периодическая функция п Є \о . Существуют регулярное при показателе j() множество и целая функция U вполне регулярного роста такие, что для множества Л справедливо условие вида (0.3), равномерно по в , если 2 - со вне ]/($№,$ ,d), КЖ(Є), (І.І.І) где S =А UA е . Множество /\ можно выбрать так, что tH будут лежать вне заданного множества нулевой относительной меры. Доказательство. Действительно, Іп/2, Є \q Следовательно существует требуемое множество /\ , каноническая функция т. которого является целой функцией вполне регулярного роста и равномерно по в если Z- oo вне V( 0,A9d) (см. [зз] , с.39, 78). Константы д и 6/\ определяются условием вида (0.2). функция =fA(2 ) является целой функцией вполне регулярного роста и равномерно по -зо если Z - о вне является искомой. Справедливость оценки (I.I.I) следует из регулярности множеств Л и Ае№/? (ом. [гг] , с.255). Лемма доказана.
Теорема I.I.I. Для любой функции такой, что, существует достаточное для пространства [i,H) множество Ь являющееся регулярным при показателе I и такое, что Пс - П . Множество Ь можно выбрать так, что Ц, будут лежать вне заданного множества нулевой относительной меры Родственный результат получил также Г.М.Пасечник ЕСЛИ q(i)ss или %сг)Ф ? - нецелое, то существует регулярное при показателе 0) множество О » tyK U % такое, что каноническая функция jc является целой функцией вполне регулярного роста уточненного порядка и име ет место (0.3) (см. [зз] , с.79). В случае ( )ф- целое дополнительно предположим, что Н является Vf - периодической функцией и за множество S примем множество Л иЛ Є из леммы І.І.І. Множество О можно выбрать так, что L будут лежать вне заданного множества нулевой относительной меры.
Задача Л.Эренпрайса
Заметим, что решетка / / удовлетворяет условию (L ) при показателе 2 ( и и -i/ft ) и не является регулярным (в употребляемом в диссертации узком смысле) множеством при показателе 2. Она также не является достаточным множеством для пространства 1/ 7 Д-J так как не является множеством единственности для этого пространства. По этой же причине любое правильно распределенное при показателе 2 множество S такое, что не является достаточным множеством для пространства 12,,/2/ .
Положим 0х и /С такими, что & ft = / , Тогда согласно утверждению Ю.Ф.Коробейника, следующему после теоремы 0.7 и следствия из нее, получаем, что система Тдп является абсолютно-представляющей в НОЛЮ) Отсюда, на основе кри терия Ю.Ф.Коробейника, упомянутого после теоремы 0.6, и пункта (и) теоремы 3.5 Д.М.Шнейдера (см, [75], с.167), следует, что решетка является слабо достаточным для пространства множеством. Ю.Ф.Коробейник показал также, что система 0 2 /7 является абсолютно-представляющей в любом из пространств Н(и(Ю),0 Я т («.fie], с ЛІЗ).
Разложение функций, аналитических в Q -выпуклой области, в ряды по системе
Это условие справедливо для всех множеств, достаточность которых доказывается в первой главе. Множество Ъ можно строить по теореме 1,4,2, При этом плотность множества S будет характеризоваться равенствами (1,4.8-9), В случаях Н о и Г7— о множество Ь можно также строить соответственно по теоремам I.I.2 и 1.3.2, В случаях Q—1 и = /С , п- /к, в качестве множества О можно было бы взять множества из теорем 1,5,3 и 1,2.2 соответственно. Так как Ь - множество единственности для пространства Е (см. 75 ] , с. 163), то отображение 7 : : [D\—- \ip(SH)j устанавливает взаимно-однозначное соответствие пространства t и множества г последовательностей { (Sw)f, Ц) Є tl , Превратим множество г в линейное пространство, отождествляя его с помощью отображения / с линейным пространством t и наделим линейные пространства топологиями, определяемыми соответственно нормами
Согласно (0.1) имеем r U\yi Снабдим пространство г топологией индуктивного предела локально выпуклых пространств г относительно вложений /- -г»№з гомеоморфности пространств t(r/73b/ и ryj и достаточности множества О для пространства ц. следует гомеоморфность пространств Е и Р .
