Содержание к диссертации
Введение 3
Г л а в а I. Банаховы пространства векторнозначных и
операторнозначных функций 15
1. Определения, обозначения, терминология и вспомогатель
ные факты 15
2. Пространство измеримых вектор-функций Zjl ... 20
3. Пространства оператор-йункций Z ґ Z~P-7 и
Z? (f,X) 40
4. Пространства Z^ffJ и ZVf*J .... 52
Г л а в а II. Интегральные операторы в пространствах
измеримых вектор-функций ^
1. Правильные и регулярные операторы ^9
2. Z3 - интегральные операторы . . 78
3. Р - и р* - интегральные операторы 93
4. Представление линейных операторов из Z^ в
/ в интегральном виде Ю9
Указатель обозначений 120
Литература 123
Введение к работе
В диссертационной работе изучается классическая для функционального анализа задача об аналитическом представлении линейных операторов и связанные с ней вопросы теории пространств векторнозначных и операторнозначных функций.
Пространства вектор-функций были введены и активно изучались во второй половине 30-х годов (/~3/J, /~JJj и др). Интерес к этим пространствам возник, в частности, как к пространствам ядер различных классов линейных операторов, допускающих аналитическое представление с помощью вектор-функций
В последние годы интерес к этой тематике снова стал возрастать. Пространства вектор-функций нашли интересные и важные приложения в теории банаховых пространств С /^-7, /~3<Я7), теории вероятностей )(^7 ), в теории дифференциальных и интегральных уравнений в банаховом пространстве" ( Гб7 ,25J,~J?fiJ\/~J?Z7(), оптимальном управлении (/~^ , C5J ). Изучение пространств вектор-функций представляет валеную и самостоятельную задачу, богатую интересными и нетривиальными результатами. Некоторые задачи, поставленные более 15 - 20 лет назад, все еще остаются нерешенными. Это, в основном,- задачи, связанные с исследованием пространств вектор-функций в топологиях более слабых, чем нормированная .
Теория линейных интегральных операторов, действующих в пространствах измеримых функций, представляет собой достаточно разработанный раздел функционального анализа. Большой вклад в создание этой теории внесли советские математики: С.Л.Соболев, Л.В.Канторович, М.А.Красносельский, П.П.Забрей-ко, В.Б.Коротков, Ю.И.Грибанов, А.В.Бухвалов и др. Различные разделы этой теории систематизированы в моногра- фиях f/SJ , [/9] , [231, [24], [25], [44] .
Тем не менее в теории интегральных операторов еще много остается нерешенных задач. Некоторые из них приведены в недавно вышедшей монографии Халмоша и Сандера [44] .
При отыскании общего вида линейного непрерывного оператора, действующего из одного банахова пространства измеримых функций С в другое / , полезным оказался метод, когда одно из пространств Е или г считается произвольным банаховым пространством, а другое фиксированным банаховым пространством функций. При этом оператор 'допускает представление либо в виде билинейной формы с векторнознаиныы ядром, либо в виде векторнозначного интеграла (Бохнерэ, Петтиса и др.). Такой подход потребовал подробного изучения операторов, имеющих данное аналитическое представление.
Операторы, дрпзгскающие представление в виде билинейной формы с векторнозначным ядром, ( С - и С - операторы) были подробно изучены в работах В.Б.Короткова и С.И.Жданова. Представляет интерес задача об изучении линейных операторов, допускающих представление в форме векторнозначных интегралов.
Цель ю диссертационной работы является изучение пространств векторнозначных и операторнозначных функций, которые возникают при исследовании векторнозналных интегральных операторов; нахождение условий представимости линейных операторов, действующих в пространствах измеримых вектор-йункций, в векторнозначном интегральном виде.
Перейдем к обзору содержания работы.
Б первой главе изучаются пространства векторнозначных и операторнозначных функций.
Первый параграф носит вспомогательный характер - в нем собраны основшле используемые в работе определения, обозначения и вспомогательные факты.
Во втором параграфе дается определение пространства измеримых вектор-функций Одним из центральных результатов работы является критерий секвенциальной &{-!, / ^J - полноты простран- ства Z.J? (теорема 1.2.2): пространство //7 секвен циально &Ґ/. ' Z ^J ~ полно тогда и только тогда, когда секвенциально Cfe fj - полно и обладает свойством Радона - Никодима. отот результат является новым уке для пространств Лебега - Бохнера /. (/4^400 ). В третьем параграфе вводятся пространства операгпор- П)ТТ._тт-ІТТЛі,- 1«м н ^ ('*} Принципиальную роль при 'исследовании зтих пространств играет теорема І.З.І , гарантирующая существование в каждом классе предизмеримых предэквивэлентных Функций JC ( или слабо измеримых слабо эквивалентных функций Cfc ) оператор-функции, обладающей рядом "хороших" свойств. Дело в том, что два представителя С?С к Ж одного класса J^T (ши ifc ) могут быть такими, что пли катггом ІЇ и, более того, иушшия &—""C&ffj/f может быть чеизмержтой. Между введенными пространствами оператор-функций имеет место следующее соотношение: Доказано, что пространства /г Ґ X) являются банаховыми. Ґ,М 1 ' ' В четвертом параграфе рассматриваются пространства скалярно и * - скалярно измеримых вєктор-йушщий ^/Г*і7и / " /Zi7 . Пространство Z ^ ZzrLy7 было введено румынскими математиками А.и К.Ионеску Тулча {&ZJ ) для описания пространства, сопряженного к пространству Лебега - Бохнера /^ ( /^р^а о^ о^"^ = ^ ) Определение пространства А^/~~*j? , данное в дис- сертации, отличается от определения, данного А. и К. Ионеску Тулча. Доказано, что пространство /* /~-7 секвеп-циально полно в топологии CffZ~? /~ZI/7f Z t7 J Найден критерий сходимости последовательности элементов из /.* /~/F_7 в 6*(Z -7> ^'~L У - топологии. Замече- но, что если Л - абсолютно непрерывная норма, то простран- ство со сметанной нормой Z J изометрично прост- ранству / \ ,, /~/ _7 Iа Во второй главе изучаются вопросы, связанные с интегральным представлением линейных операторов. В первом параграфе, носящем вспомогательный характер, рассматриваются правильные к регулярные операторы. Линейный оператор А.' Z —— X называется правильным, если существует функция такая, что для всех f 'є / ' //Af//y ±f//fft)// WJjt/M. С I) Через /VZf, X) обозначается пространство всех правильных операторов из / > в X , наделенное нормой //A// = */7f>ff/rJ , где интиьум берется по всем /? , удовлетворяющим (I). Получена следующая характе- ризация правильных операторов: линейный оператор АєР(/.* X) тогда и только тогда, когда А абсолютно непрерывен (т.е. из f* є Z ,//^X-JAA/Z? следует, что //A ^// ~& ) и ///А///<<*> . Здесь ///А///= St//? SI//7 Z/Xtf^Z- J/А . где Jr=/71~f - произвольное конечное разбиение множества 7~ . Двойственным к классу правильных операторов является класс регулярных операторов. Линейный оператор А: X—*- / называется регулярным, если существует супремум A //x/fef,///*/fe/ ' ' Ж* А > где /~:А —- ^С- произвольное отображение, опреде- ляемое тавенством (Г?) = f . Через *fX, I ^) обозначается пространство всех регулярных операторов, наде ленное нормой //A// =Af&> J . Получено обобщение на векторный случа.й известной теоремы Канторовича - Вулиха: пространство &ҐХг Z ) изометрично пространству / CxJ : пюи этом соответствующие А и ^S(X}F) х _^ 0& связаны соотношением Ах= u&(-J Имеется два подхода к изучению интегральных операторов из /;Г в X . Один из них связан с "сильной" теорией интегрирования вектор-функций, а другой - со "слабой". В связи с этими подходами, в работе вводятся три класса интегральных операторов - /3 -,/**- и /* - интегральные операторы. Во втором параграфе изучаются /9 - интегральные операторы. Линейный оператор А:/."——/Ґ называется - интегральным, если существует оператор-функция іЖ-'Г—*-&Ґ,Х) такая, что при любом /^g//7 функция Одним из основных результатов диссертации является теорема II.2.1 об описании класса ядер - интегральных операторов: для того чтобы оператор-функция ijfc; 7~——f,X) была ядром - интегрального оператора, действующего из ' /-* в X , необходимо и достаточно, чтобы OCeZf' , fJ . При этом (7fX)~///A/// Отметим, что доказательство этого факта представляет значительные трудности, связанные с отсутствием измериі.юсти. а. следовательно, и возмога-юсти аппроксит.'ации простыми функциями ядер - интегральных операторов. Показано, что если мера.^У непрерывна, то класс 3 - интегтальных операторов из /_ в X совпадает с j. классом правильных операторов тогда и только тогда, когда X обладает свойством Радона - Никодима. Получено расширение на векторный случай классической теоремы Данфорда -Петтиса - Филлипса {Р-4Z7) о представлении слабо компактных операторов из / в X . Зто расширение было известно при дополнительных ограничениях на область определения оператора {Z2&7). Е третьем параграфе изучаются классы Р* - и Р - интегральных операторов. Линейный оператор Д '- *"" X называется Р - интегральным, если найдется оператор-функция ьЗ/V 7~ ~ f,X*) такая, что при каждых и ХєХ функция ^C^f'Jp(-J Х> интегрируемая *Af, х> =/+ oeftJfW, * >$/№ или, что равносильно, Теорема Данфорда - Петтиса утверждает, что пространство Sf/. X *) изометрично пространству /. * /X/ {147J). А.В.Вухваловнм \2J ) получен аналог этой теоремы, когда / ^ заменяется на /.^ ( /> - абсолютно непрерывная норма) . Этот результат является частным случаем следующей теоремы II.3.2: пространство Pf%-,X*) изометрич- но пространству ?', (Е, X) ? при этом соот- B(,X*J ' ветствующие А и X связаны соотношением (2). - il - Линейный оператор ^' ^-^ —~~^ называется квазиправильным, если существует измеримая функция /7 такая, что при всех /1^/-f имеет место (I). Получен критерий Р* - интегральности линейного операто ра: А'^-с "—""'^ : Для того чтобы// был Р*~- ин- тегральным оператором, необходимо и достаточно, чтобы он был квазиправильным оператором, непрерывным в топологиях Линейный оператор А:/. "~Л называется Р - интегральным, если существует оператор-функция (%: Т '—*~ 3 fp Л) такая, что при любом / 1> (Ъщтщя<5&Р интегрируема по Петтису и Каждый 3 - интегральный оператор является Р - интег-ралы-шм. Обратное утверждение не верно. Найдена (теорема II.3.4) связь между - интегральными и Р - интегральными операторами. Получен следующий критерий Р - интегральности линейного оператора. Пусть X обладает слабым свойством Радона - Никодима. Для того чтобы линейный оператор А.'/.—~~X был Р - интегральным, необходимо и достаточно, чтобы он был квазиправильным оператором, непрерывным в топологиях Показано, что если мера^// непрерывна, то пространство Р(А?,М изометрично пространству тогда и только тогда, когда /Г обладает слабым свойством Радона - Никодима. В четвертом параграфе рассматриваются интегральные операторы, действующие из одного пространства измеримых вектор-оункций в другое. Под интегральным оператором A :/^. —— Z понимается оператор, представимый в виде где С&.'3*Т — (, f) такая оператор-пункция, что при каждом трЄ/.*~_ функция t%(S, 'Jff'J X/ - интег- up—i рируема по Бохнеру при V -почти каждом S Если найдется интегральный оператор СУ С ЯДРОМ / ТаКОЙ, ЧТО При BCeX fe:/.' то А называется вполне интегральным оператором. IlvcTb А : / —"" / „ ~ линейный оператор и пусть У-^* обладает свойством Радона - Никодима. Если существует интегральный оператор С/: А? что при всех г є / то А является вполне интегральным оператором с Vxl/ -птэеиизмелимым яптэом (теотэема II.4.1). - lo - из этой теоремы следует, нто если вполне интегралы-п-тй оператор порожден не предизмеримым ядром, то, при сделанных в тереме предположениях, его ядро могло заіяєнить пред-измериш.-тм. Пусть /7 - абсолютно непрерывная но ома и /-~ обл^ае1свойством Радона - Никодима. Для того чтобы линейный опера тор /4." /.' — /,_ был интегральным оператором с ядром с^Г, удовлетворяющим условию: u&fS -)є< /Гі7 при V - п.в. S , необходимо и достаточно, чтобы существовала измеримая соункция 77 такая, что при всех ^^ /^. для любого конечного разбиения <&=/Ф// множества Т (теорема II.4.2). В заключение параграфа, показано, что каждый вполне интегральный оператор А.'I —~~ L _ непрерывен eral&JJ и fffl*l*CrjJ . в топологиях &(Lrj /.# lJJ и О (/. , / Кратко основные положения диссертации '.южно сформулировать следующим образом. 1. Изучены свойства пространства /' в ff/. /^/ топологии. В частности, найден критерий секвенциальной б* (/-i. , ^- J - полноты пространства /JT 2. Введены пространства оператор-функций /._ KJ /T~J //7 ґ,Х) . Доказана их полнота. 3. Рассмотрены пространства /:LpJ и / *V /~_7 Показано, что пространство /. * P^PJ7 секвенциально полно в топологии Cff/. ?1„ /ГУ\ ^- с J 4. Выделены классы -. Р* - и /7 - интегральных опера торов. Описан класс ядер - интегральных операторов. Найден критерии представимости линейных операторов в /3 - Р* - и Р - интегральном виде. Получены аналоги теорем Дантордз - Петтиса и ДангТюрда - Петтиса - иллипса. 5. Найдены условия представимости линейных опера.торов из г в / в интегральном виде.Похожие диссертации на Пространства векторнозначных и операторозначных функций и их применение к аналитическому представлению операторов
