Содержание к диссертации
Введение
1 Основные определения и вспомогательные результаты 15
1.1. Геометрия пространств с индефинитной метрикой 15
1.2. Классы операторы, действующих в пространствах с индефинитной метрикой 24
1.3. Комментарий к главе 42
2 Симметричные коммутативные алгебры класса D+ 44
2.1. Простейшие свойства операторов класса )+ 44
2.1.1. Спектральное разложение «7-с.с. оператора класса Dt 44
2.1.2. Спектральное разложение коммутативного семейства класса D+ 55
2.2. Неограниченные элементы в банаховом пространстве 64
2.2.1. Основные понятия 64
2.2.2. Случай гильбертова пространства 73
2.3. Функциональная модель J-симметричного семейства класса 78
2.3.1. Предварительные замечания 78
2.3.2. Функциональная модель Е\ (частный случай) 82
2.3.3. Функциональная модель Е\ (общий случай) 92
2.4. Функциональное представление коммутативных WJ алгебр класса D+ 106
2.4.1. Предварительные результаты 106
2.4.2. Моногенные алгебры 113
2.4.3. Алгебры общего вида 120
2.5. Модели дифференциального оператора с сингулярным потенциалом 129
2.Гт 1 Оирпятоп Л — -^--*-b$"(f): исходные положения . 129
2.5.2. Оператор (/ + Л)~1 и его расширения 132
2.6. Комментарий к главе 2 134
3 Структура бикоммутанта некоторых специальных WJ алгебр 137
3.1. Функциональное представление бикоммутанта 137
3.1.1. Предварительные результаты 137
3.1.2. Спектральное разложение бикоммутанта 140
3.2. WJ*— алгебры класса D+ 148
3.2.1. Нильпотентные алгебры 148
3.2.2. Коммутативные алгебры общего вида 160
3.3.Циклические 1У7*-алгебры класса К(Н) 167
3.3.1. Нильпотентные алгебры 167
3.3.2. Коммутативные И^-алгебры 170
3.4. Комментарий к главе 3 180
4 Полуунитарные операторы в пространстве Понтрягина 181
4.1.Определения и вспомогательные предложения 181
4.1.1. Матричное представление 7Г-полуунитарного оператора 181
4.1.2. Связь 7г-полуунитарного оператора с оператором сдвига 184
4.2. Разложение Вольда и смежные вопросы 187
4.2.1. Спектральное разложение 7Г-полуунитарного оператора 187
4.2.2. Проблема единственности разложения Вольда 195
4.3. Модельное представление и функциональное исчисление для операторов класса S+ с точечным спектром на единичной окружности 197
4.3.1. Функциональная модель 7Г-полуунитарного оператора 197
4.3.2. Функциональное исчисление 205
4.4. Модельное представление и функциональное исчисление для операторов класса S+ с точечным спектром вне единичной окружности 219
4.4.1. Инвариантные подпространства 219
4.4.2. Модельное представление оператора U 223
4.5.7г-унитарные операторы 229
4.5.1. Предварительные результаты 229
4.5.2. Функциональное исчисление 234
4.6.7Г-полуунитарные операторы общего вида 247
4.6.1. Функциональная модель 247
4.6.2. 7г-унитарная дилатация и ее модель. Функциональное исчисление 259
4.7. Комментарий к главе 4 264
5 Дефинизируемые операторы 266
5.1. Q-c.c. дефинизируемые операторы 266
5.1.1. Некоторые определения и общие положения 266
5.1.2. Операторы, обладающие с.с.ф.: достаточные условия дефинизируемости 268
5.2. J-c.c. деф. операторы: элементы функционального исчисления 271
5.2.1. Общие результаты 271
5.2.2. Случай полурегулярной спектральной функции . 276
5.3. Операторы со спектральной итерацией 281
5.3.1. Функциональная структура Alg А 281
5.3.2. Матричное представление оператора 285
5.3.3. Функциональная модель уравновешенного «/-положительного оператора 292
5.4. Коментарий к главе 5 298
Литература 300
- Классы операторы, действующих в пространствах с индефинитной метрикой
- Функциональная модель J-симметричного семейства класса
- Модели дифференциального оператора с сингулярным потенциалом
- Коммутативные алгебры общего вида
Введение к работе
Спектральная теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой лишь ненамного моложе общей спектраль ной теории операторов в банаховых и гильбертовых пространствах, частным случаем которой она, очевидно, является. Впервые индефинитная метрика возникла в явном виде в работах физиков-теоретиков в связи с задачами квантовой теории поля (Надь[1]) и с тех пор методы геометрии и теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой регулярно используются при исследовании различных проблем теоретической физики. Первый важный результат в области спектральной теории самосопряженных операторов в таких пространствах, во многом определивший ее дальнейшее развитие, получил Л.С.Понтрягин (Понтрягин [1]), постановка же задачи, решенной в его работе, принадлежит С.Л. Соболеву и порождена некоторыми задачами гидромеханики (см. Соболев [1]). К настоящему времени сформировались многие направления, связанные как с внутренней логикой развития теории операторов и операторных алгебр в пространствах с индефинитной метрикой (см. Азизов, Иохви-дов [1-3], Наймарк, Исмагилов [1], Ando [1], Bognar [1], lohvidov, Krein, Langer [1] - здесь и далее мы ссылаемся преимущественно не на оригинальные статьи, а на имеющиеся по данному кругу вопросов обзорные статьи и монографии) , так и с ее приложениями к ряду проблем операторных уравнений (Далецкий, Крейн [1]), механики (Копачевский, Крейн, Нго Зуй Кан [1]) и примыкающим к ней разделам общей теории систем (R.W. Brockett [1]), теории дифференциальных операторов и полиномиальных операторных пучков (Маркус [1], Шкаликов [1], На-боко [1], Пятков [1]), теории рассеяния (Лакс,Филлипс [1], Агосепа [1], Киселев, Попов [1]), аналитической теории матриц-функций и задачам электротехники (Ефимов ,Потапов [1], Аров [1], Helton [2]), теории управления (Francis, Helton and Zames [1]), теории характеристических функций (А.Кужель [1]), теории функций (de Branges [1]) и т.д. Остановимся на некоторых из перечисленных направлений чуть подробнее. Как хорошо известно, исследование физических систем со многими степенями свободы требует развития спектральной теории наборов операторов. Эта задача даже для коммутативных семейств обычных самосопряженных операторов достаточно трудна (см.,напр., Березанский [2],
Самойленко [1]), исследования же в рамках аксиоматического подхода в квантовой теории ноля дополнительно требуют рассмотрения пространства с индефинитной метрикой и пойствующих в них самосопряженных операторных алгебр (W J -алгебр) (Боголюбов, Логунов, Оксак, Тодо-ров [1], Зюбер, Ициксон [1]). Одним из первых возможных шагов в развитии спектральной теории наборов коммутирующих самосопряженных операторов в пространствах с индефинитной метрикой могли бы быть иследования по модельному представлению таких наборов, связанному с минимальным множеством порождающих это семейство элементов и их модельным представлением (в случае обычных самосопряженных операторов соответствующая проблема решается известной теоремой Дж.фон Неймана). К числу вопросов, нуждающихся здесь в дальнейшем исследовании, относится также проблема описания бикоммутанта WJ - алгебры (Дадашян, Хоружий[1]).
Далее, редукция ряда задач к спектральным задачам для операторов, действующих в индефинитных пространствах (см., напр., Агранович [1]), часто обусловлена тем, что спектральную теорию самосопряженных операторов в пространствах с индефинитной метрикой можно рассматривать как своеобразный раздел теории возмущений обычных самосопряженных операторов, где возмущенный оператор имеет вид (/ + S)A, Л и S самосопряжены в гильбертовом смысле и точка —1 не является собственным значением оператора S. Если оператор S вполне непрерывен, то этот случай сводится к пространствам Пк, если оператор (I + S) ограниченно обратим - то к «/-пространствах, в общей же ситуации - к так называемым ( ,С)-пространствам или, короче, G-пространствам (о сведении произвольного гильбертова пространства с индефинитной метрикой к некоторому стандартному пространству см. Лангер [1] и Штраус [1]). В этом круге вопросов обычно играет существенную роль проблема о спектральном разложении соответствующего оператора и сходимости его интегрального представления (о первом результате такого типа см. Крейн, Лангер [1]). К подобной же проблеме приводят и задачи о регуляризации интегрального представления для тех или иных функций или последовательностей, порождающих соответствующие индефинитные проблемы моментов (М.Г.Крейн, Г.Лангер [2], В.И.Горбачук [1,2]). Интерес к изучению «/-изометрических и «/-унитарных операторов, начатому в работе И. С. Иохвидова (Иохвидов [2]), позже был усилен ра ботой Ч.Дэвиса (Davis [1]), в которой было введено понятие J- унитарной дилатации фактически любого оператора в гильбертовом пространство (напомним, что обычная унитарная дилатация имеет место только для сжимающих операторов), к этому же направлению относятся работы А.Кужсль [2] и Сахнович [1]. Ясно, однако, что последовательное использование этой идеи невозможно без теории J-изометрических и J-унитарных операторов, сравнимой в своем развитии с теорией обычных изометрических и унитарных операторов.
Исследование ряда нерешенных задач в указанных трех направлениях и явилось основным мотивом для написания настоящей работы. Первая задача - это построение функциональной модели для коммутативного семейства J- самосопряженных (J-c.c.) операторов, действующих в пространстве Понтрягина или, при дополнительных условиях, в пространстве Крейна, и приложение этой модели к исследованию проблемы би ком мутанта. Вторая задача - сравнительное изучение вопросов модельного представления и функционального исчисления для 7г-полууни-тарных и 7г-унитарных операторов. Наконец, третья задача - исследование особенностей модельного представления и функционального исчисления для дефинизируемых J-с.с.операторов со спектральной по Дан-форду итерацией.
2. Перейдем к краткому описанию содержания диссертации, состоящей из настоящего введения, пяти глав и списка литературы, включающего свыше 140 наименований.
Гл.1 включает три параграфа и посвящена в основном описанию тех понятий, терминов и известных результатов, относящихся к геометрии пространств с индефинитной метрикой и теории действующих в них операторов, которые используются в последующих главах. Здесь даются, в частности, определения регулярных и псевдорегулярных подпространств, Q-самосопряженных (Q-c.c.) и т.п. операторов, ./-ортогональной спектральной функции (J-орт.сп.ф.) с конечным числом спектральных особенностей и стандартного ./-пространства J-l?3{&). Под последним пространством понимается обычное гильбертово функциональное пространство вектор-функций L(C;), заданных на отрезке [—1; 1] и принимающих значения в гильбертовом пространстве , на котором дополнительно введена структура J-пространства с помощью оператора J/, перестановочного со всеми действующими в Lf ( ) операторами умноже ния на ограниченные измеримые скалярные функции. Термин оператор у нас всегда означает линейный оператор, который, если не оговорено противное, является ограниченным и определенным на всем пространстве. Вводится понятие операторного семейства класса D+ - такого семейства, которое обладает по крайней мере одним максимальными неотрицательным инвариантным подпространством, разлагающимся в прямую сумму равномерно положительного и конечномерного нейтрального подпространств. Заметим, что любое коммутативное семейство 7Г-с.с. операторов в силу известной теоремы М.А.Наймарка (Наймарк [1]) относится к классу D+. Основные библиографические ссылки приведены в §3. Гл. 2 посвящена вопросам модельного описания J-симметричного операторного множества 2) (в частности, Jf ./"-алгебры 21, т.е. слабо замкнутой J- симметричной алгебры с единицей) класса D+, действующего в сепарабельном пространстве Крейна, которое в рамках этой главы всегда предполагаются коммутативными. Основным фактом, приведенным в §1 (он необходим для изложения последующих результатов), является теорема 2.1.23 о существовании у указанного выше множества 2) J-орт.сп.ф. Е\ с конечным множеством спектральных особенностей Л, общей в некотором естественном смысле для всех операторов из 2), в частности, такой, что для любого оператора Аб2) найдется функция (р(Х), связанная с А интегральным представлением АЕ(А) = fA(p(X)dE\ для всякого отрезка Д С R\A. Указанная J-орт.сп.ф. дальше называется собственной спектральной функцией (с.с.ф.) семейства 2). §2 носит вспомогательный характер. В нем по спектральной функции (разложению единицы) вводятся связанные с этой оператор-функцией неограниченные элементы банахова пространства, доказываются некоторые предложения, описывающие действия с неограниченными элементами, показывается, что эти предложения применимы к конкретным функциональным пространствам.
В §3 строится так называемое основное модельное пространство J-орт. сп. ф. Е\, которая предполагается неограниченной. Делается это следующим образом. Пусть множество спектральных особенностей оператор-функции Е\ состоит только из нуля. Положим (С1лп=замкнутая линейная оболочка) ft = CL m{E(A)Sj}, Е\ = Е\\ - Тогда возможны два
случая. В первом из них подпространство 9у является семидефинитным, которое без ограничения общности можно считать неотрицательным. То гда в качестве основного модельного пространства для Е\ берется пространство Щ( )} получающееся присоединением к пространству Ь( ) конечной системы неограниченных элементов {gj(t)}™, которые по определению предполагаются попарно ортогональными, ортогональными к L((S) и нормированными, а связь между Е\ и L( ) описывается теоремой 2.3.5, в которой, в частности, говорится, что найдется такой называемый оператором подобия изометрический оператор W: ( ) что Е\ = WX W l, где Х\ - действующий в Щ( ) оператор умножения на функцию, равную единице на полуинтервале [— 1;А) и нулю вне его, Х% - сопряженный к Х\ оператор. Во втором случае подпространство 9у индефинитно и в качестве основного модельного пространства для Е\ берется пространство J-b {i) (теорема 2.3.17), получающиеся присоединением к пространству J-L"g{ ) аналогичной системы неограниченных элементов { 7j()}i, а связь между Е\ и J-I?s{i) (она того же типа, что и приведенная выше) описывается теоремой 2.3.17. Далее в этом параграфе обсуждается проблема произвола в выборе основного модельного пространства для Е\, итог которому подведен в теореме 2.3.24. Добавим, что основным модельным пространством для J-симметричного семейства 2) называется основное модельное пространство для его с.с.ф. Из приведенных выше результатов следует (см.теорему 2.3.25), что каждому оператору Л Є 2) отвечает действующий в Ь( ) или J-I?s{ ) оператор умножения на некоторую скалярную функцию ip(t), которая называется изображением оператора Л. В заключение параграфа обсуждается вопрос об описании множества изображений для операторов из 2) как с помощью основного модельного пространства, так и непосредственно по Е\. Заметим, что попытки модельного представления операторов в Ик, особенно в Пі, на основе модельного представления для обычных самосопряженных операторов предпринимались и раньше (см. Наймарк [1], Логинов [1], Шульман [1], Jonas, Langer [1], Langer, Textorius [1]), последняя из таких публикаций (Бендерский, Литвинов, Чилин [1]), развивающая модель В.С.Шульмана, появилась сравнительно недавно. Существенное отличие предложенного здесь модельного представления состоит не только в рассмотрении при этом более широкого семейства операторов, чисто функциональной природе модельного пространства, но и в прямой связи между модельным пространством и с.с.ф. операторного семейства.
В §4 детально исследуется связь между функциональным пространством вида LfC\l?v , где неубывающая функция a(t) определяет ограниченную, а кусочно-неубывающая функция u(t) - неограниченную меры Лебега-Стильтьеса, и принадлежащей к D+ (коммутативной) WJ -&n геброй 21. Исследуется также вопрос о минимальном числе порождающих элементов алгебры 21.
В §5 дается приложение некоторых из приведенных ранее конструкций к проблеме корректного определения дифференциального оператора с сингулярным потенциалом вида A = $ + 6(t) как оператора, действующего в некотором пространстве Понтрягина.
В §6 той же главы приведены библиографические и исторические ссылки, затрагивающие проблему авторства приводимых результатов. Гл. 3 посвящена, как это следует из ее названия, проблеме описания бикоммутанта для действующей в сепарабельном пространстве Крейна WJ -ajire6pbi 21 класса +. В §1 доказывается лемма 3.1.9 о спектральном разложении бикоммутанта для коммутативной алгебры St. Оказывается, что с.с.ф. исходной алгебры является таковой и для ее бикоммутанта 31", что, однако, не означает, что 21 = 21" . Приводятся примеры, когда 31 т 21". В §2 исследуется структура коммутанта и бикоммутанта для W/ -алгебры 21 класса Df, при этом рассматривается как коммутативный, так и некоммутативный случаи. Для алгебры, нильпотентная часть которой имеет относительно 21 линейную коразмерность, равную единице, приводится полное описание 21 и 21 , а для коммутативной алгебры общего вида доказывается (теорема 3.2.41) критерий равенства 21 = 21". В качестве следствия (следствие 2.41) этого критерия имеем, что моногенная WJ - алгебра класса D всегда совпадает со своим бикоммутантом. В §3 этой же главы проблема бикоммутанта анализируется для бициклических WV-алгебр 21 класса )+. Приводится пример коммутативной алгебры такого типа, для которой 21 21 и доказывается, что для коммутативной циклической И -алгебры 21 введенного Т.Я.Азизовым класса К(Н), входящего в объединение классов D+ по всем конечным /с, но не тождественного ему, всегда 2t = 21 . Наконец, §4 содержит библиографическую справку по основным вопросам, затронутым в гл. 3.
Гл. 4 посвящена спектральному анализу и модельному представлению действующих в сепарабельном пространстве Понтрягина $у 7г-полууни тарных и 7г-унитарных операторов. §1 носит вводный характер. В нем определяется ряд инвариантных подпространств для 7г-полуунитарного оператора U, в частности, дефектное подпространство =(/із)Ш и подпространство сдвига $j8= CLin {/ }, описывается матричное представление такого оператора, вводятся понятия вполне 7г-неунитарного оператора (определение 4.1.6) и класса S таких 7г-полуунитарных операторов, для которых J?)e С $Э (определение 4.1.7). Показывается, что операторы класса S+ имеют точечный спектр, не пересекающийся с внутренностью единичного круга.
§2 посвящен кругу вопросов, относящихся к разложению Вольда для 7Г-полуунитарных операторов. Известно ( McEnnis [1], [2]), что не для всякого 7Г-полуунитарного оператора U существует непосредственный аналог разложения Вольда, т.е. разложение пространства Понтрягина в 7Г-ортогональную сумму инвариантных относительно U подпространств, на одном из которых U совпадает с обычным оператором сдвига, а на втором действует как 7г-унитарный оператор. Частичным аналогом разложения Вольда для 7г-полуунитарного оператора U является установленная в этом параграфе теорема 4.2.8, в которой, в частности, утверждается, что на единичной окружности Т найдутся две конечные системы точек {Xj} и {/im} и такая коммутативная система 7г-ортопроекторов {Е(А)}, где ACT- любая дуга, граничные точки которой не могут принадлежать множеству {A,} U {/} иДП {Xj} = 0,_что E(A)U = UE(A), оператор U\E(A)SJ 7г-унитарен и с( І(Д)із) С А. Эта теорема используется в §6 для построения модельного пространства произвольного 7г-полууни-тарного оператора.
§3 посвящен модельному представлению оператора U Є S+ в случае, когда точечный спектр этого оператора принадлежит Т, и описанию функциональной структуры AlgU - слабо замкнутой алгебры, порожденной оператором U. В частности (теорема 4.3.8) доказывается существование такой конечной системы регулярных в единичном круге Ю вектор-функций со значениями в St, что действующий на линейной оболочке этой системы и класса Харди Н2() (эта оболочка обозначается Я2()) оператор 1/ : (1/5/)(0 = (ДО - /(0))/6 ДО Є Н2()), по-добен оператору (U\SJ,) - Введенное таким образом пространство Н2() называется основным модельным пространством. С его помощью далее вычисляется скалярная регулярная в D функция С?(), вводится прос транство Щ(с) регулярных в D скалярных функций р(), для которых p()G() Є Н2() устанавливается естественное соответствие между Algf/ и функциональным пространством #Д(С) О Н°°(С) (теоремы 4.3.12, 4.3.21 и 4.3.25).
Содержание §4 близко к содержанию предыдущего параграфа, но он посвящен модельному представлению оператора U Є S+ в случае, когда точечный спектр этого оператора лежит вне Т, и описанию функциональной структуры Algf/. Наложенные на U условия резко упрощают его свойства, делая их в целом аналогичными свойствам обычного оператора сдвига. Укажем, в частности (см. теорему 4.4.9 и следствие 4.4.11), что все пространство распадается в прямую сумму двух инвариантных относительно U подпространств, одно из которых конечномерно, а сужение U на второе подобно оператору сдвига.
В §5 строится основное модельное представление 7г-унитарного оператора U и исследуется функциональная структура Alg U. В силу очевидной связи между свойствами 7г-с.с. и 7г-унитарных операторов мы ограничимся указанием на два возможных варианта в описании Algt/ в зависимости от расположения абсолютно непрерывной части оператора U. Итак, если абсолютно непрерывный спектр U не является множеством полной лебеговой меры, то основным функциональным пространством, связанным с Alg 7, будет пространство Ц? П l?v (см.выше описание §4 гл.2), состоящее теперь из функций, определенных на отрезке [0:27г], в противном случае таким пространством будет уже введенное в гл. 4 пространство Щ{С) П Я°°(С).
В §6 для произвольных 7г-полуунитарных операторов обобщены основные результаты предшествующих трех параграфов, установлена связь между основными модельными пространствами 7г-полуунитарного оператора U и его регулярной 7г-унитарной дилатации {/(л/) (теорема 4.6.14), между алгебрами Alg U и Alg {/( ) (следствие 4.6.20).
Заключительный §7 содержит, как и обычно, библиографическую справку по результатам, вошедшим в гл.4.
Гл. 5 посвящена дефинизируемым (деф.) (Q-с.с.операторам. В первой части §1 изложены без доказательства некоторые результаты, основным из которых является теорема о существовании с.с.ф. у Q-c.c. дефини-зируемого оператора (теорема 5.1.8), вошедшие в кандидатскую диссертацию автора. Во второй части того же параграфа решается обратная задача о дефинизируемости Q-c.c. оператора, обладающего с.с.ф. с конечным множеством критических точек. В §2 исследуется функциональная структура обозначаемого Abs(?\) множества операторов, допускающих слабо безусловно сходящееся представление (см. определение 1.2.13) В = /я p() )dE\, где Е\ - с.с.ф. деф. «7- с.с. оператора А. В случае, когда некоторая степень оператора А оказывается оператором, спектральным по Данфорду, показывается (теоремы 5.2.8 и 5.3.9), что найдется такая положительная и, вообще говоря, неограниченная скалярная функция /з(А), что ip(t) Є АЬЙ(?Л) тогда и только тогда, когда функция p(t) p(t) ограничена. Этот результат интересно сравнить с предложением 2.4.14 и замечанием 2.4.16, где также описывается структура Abs(-E ), но для класса D+. Указанное сопоставление показывает, что хотя в обоих случаях Abs(E\) является по отношению к подходящим образом выбранной норме банаховым идеальным пространством, но структура этого пространства в каждом из рассматриваемых случаев оказывается существенно различной. В этом же параграфе описывается функциональная структура Alg А, где А - указанный выше оператор со спектральной итерацией. Далее рассматривается вопрос о приведении рассматриваемого типа оператора к некоторому стандартному виду. Показано (теорема 5.3.13), что при должном выборе канонической симметрии этот оператор в суще-егвенном описывается вместе с канонической симметрией J следующими матричными представлениями /О W 1 \ л_( О A W-1 \ J \w о ) A-\WAM О J где 9у = S]Q © $Эо , оператор W: $3Q — S)Q изометричен, операторы А и А ) действуют в SyQ+ , перестановочны и самосопряжены. Допускающий такое представление J-c.c. оператор А назван в работе (определение 5.3.15) уравновешенным оператором. В заключение этого параграфа строится функциональная модель уравновешенного «/-положительного оператора со спектральным квадратом. Для этого используется Lg ( ) - гильбертово пространство вектор-функций со значениями в гильбертовом пространстве 5, областью определения [0; а) х [0; 1] (или, точнее, Supp(/x r)) и плоской векторной мерой, порожденной скалярной функцией двух переменных cr(t,r), и гильбер 2 (—\ тово функциональное пространство L ( ), норма в котором вводится по формуле и которое является по отношению к Lg ( ) пространством с негативной нормой (см..Березанский, Ус, Шефтель [1]). Далее по 1?д (() и Ь# (1) вводится пространство Lg ( ) вектор-функций, образованное как линейная оболочка четным (одновременно по і и г) образом продолженных функций из Lj( ) и нечетным - из Lg ( ). Показывается (теорема 5.3.19), что уравновешенный J- положительный оператор А с неограниченной спектральной функцией и спектральным квадратом подобен действующему в пространстве Lg ( ) оператору умножения на независимую переменную t.
Эта функциональная модель используется затем для вычисления норм операторов из AlgA (предложение 5.3.20 и пример 5.3.21). §3 содержит библиографические замечания к гл. 5. 3. Основные научные результаты, изложенные в настоящей работе, заключаются в следующем:
1°. Для описания семейства класса D+ предложено модельное пространство, на котором операторы семейства изображаются операторами умножения на скалярные функции, и дано полное описание таких функций в случае, когда семейство является W./"-алгеброй.
2°. Установлена связь между спектральным разложением коммутативной WJ -алгебры 21 класса D+. и ее бикоммутанта. Показана нетривиальность проблемы бикоммутанта (задачи о равенстве 21 = 21") для указанной алгебры.
3°. Предложено полное описание коммутативной W J - алгебры 21 класса Df и на его основе получен критерий равенства 21 = 21" для такой алгебры. Доказана теорема о равенстве 21 = 21 для коммутативной циклической WJ -&nre6pbi 21 класса К(Н).
4°. Исследована структура спектра 7г-полуунитарных операторов, получено их спектральное разложение, а на основе такого разложения - соответствующее им модельное представление и функциональное исчисление. Показана связь между модельным представлением 7г-полуунитар-ных операторов и их регулярных 7Г-унитарных дилатаций. 5°. Для J-положительного оператора со спектральной итерацией полностью исследована функциональная структура порождаемой им слабозамкнутой алгебры и предложена функциональная модель для описания такого оператора.
4. Основные результаты работы были опубликованы в статьях, заметках и сообщениях Штраус [6-30], Strauss [2, 3, 5]. Они систематически докладывались на Воронежских зимних математических школах, школах по теории операторов в функциональных пространствах, на 12ой Международной конференции по теории операторов в г. Тимишоара (Румыния, 1988 г.), на 20ом Международном семинаре по функциональному анализу в г. Липтовски Ян (Чехословакия, 1989 г.), на Крымских осенних математических школах (КРОМШ-1 - 5, 11), на конференции памяти М.Г. Крейна (г. Одесса) в 1990 г. и на 2ой конференции, посвященной анализу Шура (г.Лейпциг, Германия) в 1992 г., Международной конференции по теории операторов и интерполяционным проблемам в честь 80-летнего юбилея М.Котляра (Каракас, Венесуэла) в 1994 г., на летних Санкт-Петербургских конференциях по математическому анализу (Summer St. Petersburg Meetings in Mathematical Analysis) в 1999 и 2001 гг., на Международном семинаре по теории операторов и ее приложениям (IWOTA-2000, Фару, Португалия) в 2000 г., на семинаре А.Г.Костюченко А.А.Шкаликова (МГУ) в 1986 и 1990 гг., семинарах Ю.М.Березанского и М.Л. Горбачука (Институт математики АН УССР, г.Киев) в 1987 и 1990 гг., семинаре Н.К.Никольского и В.И.Васюнина (ЛОМИ) в 1989 г., в отделе функционального анализа института математики СО АН СССР (г.Новосибирск) и институте математики им. К.Вейерштрасса (г.Берлин, Германия) в 1990 г., семинарах профессора Лоухивара (Свободный берлинский университет, г.Берлин, Германия) и профессора Х.Лангера (Венский технический университет, г.Вена, Австрия) в 1992 г. и т.д.
5. В работе принята обычная символика. Начало доказательства помечается символом , его окончание - , само слово "доказательство" обычно не указывается. Предложения, определения, леммы и т.п. в пределах одного параграфа нумеруются подряд, при этом на первой позиции ставится номер главы, затем - номер параграфа. Перечень цитированной литературы приведен в алфавитном порядке двумя отдельными списками для статей и монографий, опубликованных на русском или иностранных языках соответственно, при библиографических ссылках сначала указывается Фамилия автора (авторов) на языке оригинала, затем - номер работы этого автора.
Классы операторы, действующих в пространствах с индефинитной метрикой
Мы начнем этот параграф с символики и понятий, относящихся к операторам, действующим в банаховом пространстве 35. Заметим, что термин "оператор" тождественен у нас термину "линейный оператор". Символом 2)(Л) обозначается область определения оператора А. Обычно будет предполагаться, что область определения и область значений оператора А лежат в одном и том же пространстве 95 и в этом случае мы ограничимся записью 2)(Л) С 25, вместе с тем запись A: 95i —» 25г указывает на (вообще говоря, различные) пространства, в которых лежат соответственно область определения и область значений оператора А. В работе преимущественно рассматриваются ограниченные операторы и в этом случае для оператора Л будет предполагаться, что 2)(Л)=5Э(Л), если же оператор Л неограничен, то это всегда специально оговаривается. Для (возможно, неограниченного) оператора Л символы а(А), ov(A), ас{А) -это, соответственно, его спектр, точечный спектр, непрерывный спектр , понимаемые так же, как у Данфорда и Шварца [1]. Если Ао Є O-Q(A), то символами EiS\lt(A) и RS\n(A) мы будем обозначать отвечающие Ао собственное и корневое подпространства оператора Л. При Ао = 0 подпространство EiS A-A) обычно называют ядром оператора Л и обозначают КегЛ. Множество регулярных точек оператора Л обозначим р(А), т.е. f)(A)=C\a(A). Резольвенту оператора Л мы будем записывать, как и обычно, в виде R.(A)=(A-I) l. Здесь и далее символом I обозначен тождественный оператор. Если операторы Л и В таковы, что сг(Л) С К и (т(В) С Т, то говорят, что спектр оператора Л вещественен, а спектр оператора В унимодален {унитарен). Два определенных на 23 (ограниченных) оператора Л и В по определению перестановочны или коммутируют между собой, если АВ = ВА, если же операторы Л и В неограничены, то их называют перестановочными тогда, когда р(А) ф 0, р(В) 0 и их резольвенты перестановочны. Далее, операторное семейство 2) называется коммутативным, если коммутируют любые два оператора из этого семейства. Напомним, что алгебра ограниченных операторов, перестановочных со всяким оператором, принадлежащим к операторному семейству 2), называется коммутантом этого семейства и обозначается 2) , а коммутант коммутанта называется также бикоммутантом и обозначается 2)". Символом Alg2) обозначается минимальная алгебра, замкнутая в слабой операторной топологии, которая содержит операторное семейство 2). Если 2) включает единственный оператор Л, то будет использоваться также символ A\gA.
Перейдем теперь к описанию некоторых классов операторов в (23,(2)-пространствах. Пусть Л - действующий в 23 и, возможно, неограниченный оператор с плотной областью определения ( 2 (Л) = 23). Если при некотором у Є 23 найдется такой вектор у# Є 23, что при любом х Є 33(Л) справедливо равенство [Ах, у]=[х, у#\, то полагают у Є 3D(Л#), а оператор Л#, определенный по формуле А у— у#, называют Q-сопряженным к Л. В случае, когда (23, С?)-пространство является .7 -пространством или пространством Понтрягина, то оператор Л# бу дет называться соответственно J-сопряженным или к-сопряженным к оператору А . Это же замечание относится к другим вводимым далее понятиям, например, к понятию Q-изометрии. Как нетрудно видеть, оператор Л# определяется единственным образом, но вместе с тем не во всяком (23, ( -пространстве даже у ограниченного оператора А существует Q-сопряженный оператор с плотной областью определения. Предложение 1.2.1 Для того, чтобы у оператора А, действующего о правильном рефлексивном (23, Q)-пространстве, существовал Q-con-ряжепный плотно заданный оператор, необходимо и достаточно, чтобы оператор А допускал замыкание. Обратно, если у всякого допускающего замыкание (и достаточно даже - у всякого ограниченного) оператора, действующего в некотором (23, Q)-пространстве, существует оператор А с ЗЭ(Л#) = 23, то (23, Q)-пространство рефлексивно и правильно. В силу последнего предложения действующий в «/-пространстве замкнутый оператор А всегда имеет плотно заданный J-сопряженный оператор. Будем называть оператор А, действующий в (23,ф)-пространстве, Q-симметрическим, если А С А& и Q-самосопряженным (Q-c.c), если А = Л . Аналогично, если операторное семейство 2) таково, что из Л Є 2) следует Л Є 2), то его мы также будем называть Q-симметрическим. Спектр Q-c.c. оператора, определенного на правильном рефлексивном (23,ф)-пространстве, симметричен относительно К, для Q-c.c. операторов, действующих в более общих (23, ( -пространствах, это предложение уже будет неверным (Азизов, Иохвидов [2], Штраус [2], [5]). Частным случаем Q-симметрического оператора является ( -неотрицательный (Q-положительный) оператор Л, т.е. такой оператор, что для любого х Є 2)(Л), і О справедливо неравенство Q(x,x) 0 (Q(x,x) 0). Пусть 231 - проекционно полное подпространство в (В, Q)-пространстве, Р - оператор, проектирующий на 231 параллельно 23\ . Такой оператор называется Q-ортогональным проектором (Q-ортопроектором). Заметим, что если Р - Q-ортопроектор, то Р = Р# и, обратно, если некоторый проектор Р, действующий в (23, ф)-пространстве, является Q-c.c. оператором, то он будет и Q-ортопроектором. Заметим, что в (23, ( -пространствах с бесконечным рангом индсфинит-ности существуют неограниченные замкнутые операторы Р со свойствами называют неограниченными Q-ортопроекторами. Если Р - неограниченный Q-ортопроектор и 23i = P1D{P), то оператор U, действующий из одного (2$i,[-, ]i)- пространства в, вообще говоря, другое (ВгіЬ h)- пространство, называется Q-изомет-рическим, если для всех х, у Є 2D(U) верно равенство [Ux, Vy\i = [х, у] і, при этом выполнения условия 2)(/)=2$і не предполагается, более того, оператор U может быть и неплотно задан. Заметим, что Q-изометрический оператор U может иметь нетривиальное ядро, но, если линеал {U) является невырожденным, то Кег U = {0}. Мы будем, в основном, рассматривать тот случай, когда Q-изометричес-кий оператор U действует из (23,(2)-пространства в него же, говоря в этом случае, что оператор U действует в 23. Предложение 1.2.2 Пусть U - Q-изометрический оператор, действующий в { В, Э)-пространстве и ЩП) = 23. Тогда VX {U) С 2)(/#) и U 1 С U . Поскольку Kerf/ = 0, то оператор U l корректно определен, как опе ратор, действующий из 2 ({7_1)=/2 (/) на 5)(tf). Пусть у Є 2 (/-1). Тогда для любого х Є 2)( 7) справедливо [Ux, y]=[Ux, UU ly\=\x, U ly],
Функциональная модель J-симметричного семейства класса
Обсуждаемая в этом параграфе функциональная модель J-симметричного семейства 2) Є D% будет строится с помощью введенной в 2.1 с.с.ф. ?д этого семейства, она будет неполной в том смысле, что описывает действие операторов из 2) не на всем пространстве $), а только на некоторых, но достаточно важных его подпространствах, в частности, на подпространстве # (см. (2.1.28d)). В силу теоремы 2.1.23 ясно, что мы можем ограничиться случаем, когда J-ортогональная спектральная функция (=с/-орт.сп.ф.) Е\ (знак "2J "здесь и далее опускается, т.к. спектральная функция всегда будет одной и той же) имеет единственную спектральную особенность в нуле. Кроме того, случай ограниченной Е\ тривиален, т.к. тогда все операторы, входящие в 2), спектральны в смысле Данфорда и имеют конечномерную нильпотентную часть. Итак, Е\ ниже такова, что На первом этапе дополнительно предположим, что для любого отрезка Д С [-1;0) U (0;1] выполняется условие Введем некоторые обозначения. Пусть Отметим, что в силу условия (2.3.1с) 9у\ ф {0}, а в силу условия (2.3.2) подпространство S$2 является равномерно положительным (напомним, что подпространство S}\ конечномерно). Без ограничения общности можно считать, что на $$2 Перейдем теперь к более детальному анализу строения Е\. Отметим, прежде всего, что для любого д-измеримого множества X, чье замыкание X удовлетворяет условию справедливо равенство достаточно исследовать вид Е(Х) на подпространстве Будем также считать, что каноническое скалярное произведение на S] выбрано так, что CQo-Mh-МЫ 1 - - (- 0+ )1+- )2)- В этом случае подпространство (2.3.6) является, как это уже отмечалось, инвариантным подпространством оператора J. Непосредственная проверка показывает, что при выполнении условия (2.3.5) оператор Е{Х) относительно суммы (2.3.6) имеет матричное представление Множества,для которых выполнено условие вида (2.3.5), обозначим XQ. Если X, Y Є АЬ, то для операторов Е(Х) и E{Y) одновременно имеет место представление вида (2.3.7), а поскольку E(X)E(Y) = E{Y)E(X)= =Е(Х П Y), то Перейдем теперь к вопросу о кратности спектра семейства Е\\ г, которое ниже обозначается Ел. Напомним, что подпространство называется циклическим относительно ЕЛ, если CLin {Е\\ = $Ь. Определение 2.3.1. Минимальная из размерностей циклических подпространств относительно Е\ называется некритической кратностью J-орт.сп.ф. Е\. Замечание 2.3.2 В силу выбора 53 можно считать, что циклическое подпространство -С выбирается так, что С Sj2, поэтому некритическая кратность Е\ совпадает со стандартно понимаемой кратностью (ортогональной) спектральной функции Р2Е\\%2. Предложение 2.3.3 Если выполнены условия (2.Ъ.\), (2.Ъ.2) и некритическая кратность Е\ больше, чем dim i, то существует такое разложение =&1Ч&2\ что55(1)ЩЯ(2), АЯ(1) с &1\ Ех 2) СС .ф 2 при любом А Є [—1;1]\{0}, подпространство S} равномерно положительно, а J-орт.сп.ф. Е\\фщ[ц имеет некритическую кратность, не превосходящую dim . . п
Поскольку, с одной стороны, #i с Sy и, с другой стороны, выполнено условие (2.3.2), то найдется такая последовательность {Xkjf попарно непересекающихся подмножеств, каждое из которых удовлетворяет условию типа (2.3.5), что и =1Хк — [—1;1]\{0} и для любого А; верно равенство Еп{Хк)Ъг= %i- Ясно, что dim(J2(X ).i) = dim i. Пусть {Ujfc)}" - какой-нибудь ортонормированный базис в El2{Xk)S)i, к = 1,2,.... Положим что подпространства являются искомыми. Прежде всего по кажем, что для любого множества X Хо справедливо Действительно (см. (2.3.10)), если у Є $3 , а г Є І5і, то (Е\2(Х)у, z) = Далее, ясно, что S$W - инвариантное подпространство относительно опе раторов вида Е22ІХ), поэтому таковым будет и подпространство Sy -K Следовательно, с учетом (2.3.11) мы имеем, что инвариантно отно сительно Е\. т Замечание 2.3.4 С учетом последнего предложения в целом ряде вопросов можно считать, что некритическая кратность функции Е\ конечна. Вместе с тем это не всегда удобно, поскольку разложение = ftW+SyW определяется неоднозначно и, более того, и, более того, подпространство S$W всегда может быть расширено с сохранением всех перечисленных в предложении 2.3.3 свойств. В связи с этим значение предложения 2.3.3 заключается преимущественно в том, что при иллюстрации особенностей J-орт.сп.ф. рассматриваемого типа можно, как правило, брать функции с конечной некритической кратностью. В дополнение к (2.3.3) положим Пусть теперь Ь() и М$(() некоторые пространства вектор-функций, введенные в соответствии с конструкцией, описанной в 2 гл.1, j\(t), gi{t),..., gk{t) - конечный набор таких функций, что a)u(i)M ( ),j = l,2,...,fc; b) система {gj{t)}j=i является системой неограниченных элементов из L(), линейно независимых по модулю L( ) и согласованных с Ниже L( ) С Мз{ ) - это линейная оболочка, образованная 1/ ( ) и системой { /j()}j=i , причем в соответствии с конструкцией, введенной в предыдущем параграфе, элементы системы {g j(t)}j=l предполагаются нормированными, попарно ортогональными и ортогональными к L((S), т.е. на Lg( ) дополнительно вводится структура гильбертова пространства. Вместе с тем нам иногда будет удобно рассматривать L( 6) просто как линеал из М ( ), но эти случаи будут специально оговариваться.
Модели дифференциального оператора с сингулярным потенциалом
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос об операторной трактовке следующего дифференциального выражения А = — + kS"(t), которое задано первоначально на пространстве гладких функций, область определения которых включает всю вещественную прямую, и отображает его в пространство обобщенных функций. Мы не затрагиваем здесь причин, по которым подобные дифференциальные выражения представляют интерес, отсылая читателя к соответствующей литературе (см., например, Альбеверио, Гестези, Хёэг-Крон, Хольден [1]). Для нас важно, что при их рассмотрении естественно возникают пространства с индефинитной метрикой. Поэтому поводу см., например, Dijksma A., Langer Н., Shondin Yu., Zeinstra Ch. [1] и Dijksma A., Bodenstorfer В., Langer H. [1]. Пусть С - это векторное пространство, образованное множеством гладких функций {f{t)} с компактным носителем, 5-функцией S(t) и ее производными 5 () и S"(t). Для некоторых пар элементов этого пространства можно естественно задать следующую частично определенную билинейную форму [,]: Как хорошо известно из приведенных выше работ, любое расширение [, ] как эрмитово-билинейной формы, заданной на всем С ведет (после соответствующего пополнения) к пространству Понтрягина. В последнем пространстве каждой гладкой функции f(t) с компактным носителем о сопутствует ее "псевдо-гладкий двойник"/ (): Введем теперь стандартным образом преобразование Фурье для (5-фун-кции и ее производных и перейдем к определению преобразования Фурье для гладких функций о f(t) и их псевдо-гладких двойников / (t), при этом ясно, что эти преобразования должны отличаться между собой. Итак, положим Тогда линейная оболочка функций L2(R), {1,ш,ш2} и формальных векторов {ео,с ь ?2} образует пространство Понтрягина. Всюду ниже в пределах данной главы мы будем обозначать это пространство символом U. В соответствии с введенными обозначениями после преобразования Фу-. рье действия оператора (/ + А) приобретают следующий вид где f(u)) - это преобразование Фурье псевдо-гладкого двойника произвольной гладкой функции с компактным носителем. Заменим /(и) на Заметим, что a + jHuj + ш2 Є L2(H) тогда и только тогда, когда а = /3 = 7 = 0, т.е. указанные функции - неограниченные элементы, линейно независимые по модулю L2(R). Используя этот простой факт, мы можем построить последовательности функций { 7п( )} { &)} и {дп(ш)} такие что Є2- Є0 принадлежащие замыканию графика оператора (J 4- А). Итак, этот оператор не допускает замыкания и поэтому не может расширен до 7г-с.с. оператора. Существуют различные пути для преодоления возникшего препятствия. Один из этих путей - переход к рассмотрению обратного оператора. В соответствии с (2.5.3) оператор (/ + Л)-1 является ограниченным, однако его область определения не является плотной в Ті. Расширим (/ + Л)-1 как 7Г-С.С. оператор, заданный на всем 7Ї определяя его значе (1 + )(2-Л) 11 Щ+\У к(к + 1У Рої = Ав = /?і2 = О, А; 0, к ф -1, то расширение (/ + Л)-1 обладает собственным значением Л = - j , которому отвечают два независимых собственных вектора h\ = — 4-7+тк? — f ео+ре2 и /12 = j+р ї — реї. Заметим, что в рамках сделанных допущений вектор h\ отрицателен, поэтому подпространство, натянутое на векторы Лі, е\ и е2 будет максимальным неположительным и указанное расширение оператора (/ + Л)-1 не имеет невещественного спектра.
В то же время, если то соответствующее расширение (7 4- Л)-1 обладает парой однократных невещественных собственных значений Собственные вектора, отвечающие этим значениям, имеют довольно громоздкий вид, поэтому мы приведем их только для к = — 2: Вопрос о классификации расширений вида (2.5.4) должен быть, по видимому, связан с постановками соответствующих физических задач и мы его здесь рассматривать не будем. 1 включен в текст настоящей диссертации для придания изложению относительно замкнутого характера, поскольку доказательство основных результатов, изложенных в данном параграфе, можно найти только в трудно доступных источниках Азизов [2], Штраус [30] и Strauss [4]. Часть результатов, приведенных в 1 п.1, принадлежит Т.Я. Азизову. К ним, в частности, относятся предложения 2.1.2 и 2.1.3 (см. Азизов, Иохвидов [3], гл/V, теор. 5.20 и следствие 5.21). Приведенное в настоящей работе их простое доказательство полезно в том смысле, что непосредственно демонстрирует метод проектора Рисса, который неоднократно используется в дальнейшем. Предложение 2.1.5 было доказано автором в 1983 г., однако вскоре после этого ему из частного сообщения стало известно, что существенно раньше практически тот же результат был получен Т.Я.Азизовым. Формальное отличие теоремы Азизова (опубликована в виде задачи только в монографии Азизов, Иохвидов [3], но использовалась и до этого, напр., при подготовке кратких сообщений Азизов [3] и Азизов, Усвяцова [1]) от предложения 2.1.5 состоит в ином способе определения спектральных особенностей (в терминологии Т.Я.Азизова -критических точек) у Е\, однако их эквивалентность вытекает из принадлежащих автору несложных предложения 2.1.8 и следствия 2.1.10, и замене в теореме Т.Я.Азизова условия (2.1.8а) более слабым условием Е\А = АЕ\. В связи с указанными обстоятельствами предложение 2.1.5 автором долгое время не публиковалось, хотя и использовалось неявным образом при подготовке некоторых сообщений, напр., Штраус [14],[16]. Следствие 2.1.11 сформулировано в такой форме, по-видимому, впервые в Штраус [30], хотя в действительности оно было известно специалистам и раньше, поскольку тесно связано со свойствами J-ортонормированных систем. Поэтому поводу наряду с монографией Азизов, Иохвидов [3] см. заметку А.Гериш, В.Гериш [1]. Пример 7г-с.с. оператора с неограниченной спектральной функцией был приведен, напр., в статье Штраус [6], там же был предложен один из возможных способов регуляризации соответству ющего расходящегося интегрального представления. Укажем также, что Азизовым были получены предложение 2.1.12 и следствие 2.1.15 (Азизов, Иохвидов [3], гл.III, ел.5.5 и гл.1,теор.2.18). Результаты, изложенные в 1 U.2, за исключением предложения 2.1.16, принадлежат автору, при этом основная в этом разделе теорема 2.1.23 была сформулирована в заметке Штраус [26], а ее доказательство приведено в Штраус [30]. Основные результаты 2 принадлежат автору и были опубликованы в заметке Штраус [7]. Отметим, что автору не удалось обнаружить предложение 2.2.7 и замечание 2.2.8 в доступной ему литературе по теории интерполяционных пространств, хотя они и представляются (по оценке Е.М.Семенова) известными соответствующему кругу специалистов. Близкое по структуре предложение, но относящееся к пространству Ll+L, содержится в монографии Берг, Лёфстрем [1] (теор. 5.2.1). Результаты 3 принадлежат автору, при этом теорема 2.3.5 и предшествующие
Коммутативные алгебры общего вида
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос об операторной трактовке следующего дифференциального выражения А = — + kS"(t), которое задано первоначально на пространстве гладких функций, область определения которых включает всю вещественную прямую, и отображает его в пространство обобщенных функций. Мы не затрагиваем здесь причин, по которым подобные дифференциальные выражения представляют интерес, отсылая читателя к соответствующей литературе (см., например, Альбеверио, Гестези, Хёэг-Крон, Хольден [1]). Для нас важно, что при их рассмотрении естественно возникают пространства с индефинитной метрикой. Поэтому поводу см., например, Dijksma A., Langer Н., Shondin Yu., Zeinstra Ch. [1] и Dijksma A., Bodenstorfer В., Langer H. [1]. Пусть С - это векторное пространство, образованное множеством гладких функций {f{t)} с компактным носителем, 5-функцией S(t) и ее производными 5 () и S"(t). Для некоторых пар элементов этого пространства можно естественно задать следующую частично определенную билинейную форму [,]: Как хорошо известно из приведенных выше работ, любое расширение [, ] как эрмитово-билинейной формы, заданной на всем С ведет (после соответствующего пополнения) к пространству Понтрягина. В последнем пространстве каждой гладкой функции f(t) с компактным носителем о сопутствует ее "псевдо-гладкий двойник"/ (): Введем теперь стандартным образом преобразование Фурье для (5-фун-кции и ее производных и перейдем к определению преобразования Фурье для гладких функций о f(t) и их псевдо-гладких двойников / (t), при этом ясно, что эти преобразования должны отличаться между собой. Итак, положим Тогда линейная оболочка функций L2(R), {1,ш,ш2} и формальных векторов {ео,с ь 2} образует пространство Понтрягина. Всюду ниже в пределах данной главы мы будем обозначать это пространство символом U. В соответствии с введенными обозначениями после преобразования Фу-. рье действия оператора (/ + А) приобретают следующий вид где f(u)) - это преобразование Фурье псевдо-гладкого двойника произвольной гладкой функции с компактным носителем. Заменим /(и) на Заметим, что a + jHuj + ш2 Є L2(H) тогда и только тогда, когда а = /3 = 7 = 0, т.е. указанные функции - неограниченные элементы, линейно независимые по модулю L2(R). Используя этот простой факт, мы можем построить последовательности функций { 7п( )} { &)} и {дп(ш)} такие что Є2- Є0 принадлежащие замыканию графика оператора (J 4- А). Итак, этот оператор не допускает замыкания и поэтому не может расширен до 7г-с.с. оператора. Существуют различные пути для преодоления возникшего препятствия. Один из этих путей - переход к рассмотрению обратного оператора. В соответствии с (2.5.3) оператор (/ + Л)-1 является ограниченным, однако его область определения не является плотной в Ті. Расширим (/ + Л)-1 как 7Г-С.С. оператор, заданный на всем 7Ї определяя его значе (1 + )(2-Л) 11 Щ+\У к(к + 1У Рої = Ав = /?і2 = О, А; 0, к ф -1, то расширение (/ + Л)-1 обладает собственным значением Л = - j , которому отвечают два независимых собственных вектора h\ = — 4-7+тк? — f ео+ре2 и /12 = j+р ї — реї. Заметим, что в рамках сделанных допущений вектор h\ отрицателен, поэтому подпространство, натянутое на векторы Лі, е\ и е2 будет максимальным неположительным и указанное расширение оператора (/ + Л)-1 не имеет невещественного спектра.
В то же время, если то соответствующее расширение (7 4- Л)-1 обладает парой однократных невещественных собственных значений Собственные вектора, отвечающие этим значениям, имеют довольно громоздкий вид, поэтому мы приведем их только для к = — 2: Вопрос о классификации расширений вида (2.5.4) должен быть, по видимому, связан с постановками соответствующих физических задач и мы его здесь рассматривать не будем. 1 включен в текст настоящей диссертации для придания изложению относительно замкнутого характера, поскольку доказательство основных результатов, изложенных в данном параграфе, можно найти только в трудно доступных источниках Азизов [2], Штраус [30] и Strauss [4]. Часть результатов, приведенных в 1 п.1, принадлежит Т.Я. Азизову. К ним, в частности, относятся предложения 2.1.2 и 2.1.3 (см. Азизов, Иохвидов [3], гл/V, теор. 5.20 и следствие 5.21). Приведенное в настоящей работе их простое доказательство полезно в том смысле, что непосредственно демонстрирует метод проектора Рисса, который неоднократно используется в дальнейшем. Предложение 2.1.5 было доказано автором в 1983 г., однако вскоре после этого ему из частного сообщения стало известно, что существенно раньше практически тот же результат был получен Т.Я.Азизовым. Формальное отличие теоремы Азизова (опубликована в виде задачи только в монографии Азизов, Иохвидов [3], но использовалась и до этого, напр., при подготовке кратких сообщений Азизов [3] и Азизов, Усвяцова [1]) от предложения 2.1.5 состоит в ином способе определения спектральных особенностей (в терминологии Т.Я.Азизова -критических точек) у Е\, однако их эквивалентность вытекает из принадлежащих автору несложных предложения 2.1.8 и следствия 2.1.10, и замене в теореме Т.Я.Азизова условия (2.1.8а) более слабым условием Е\А = АЕ\. В связи с указанными обстоятельствами предложение 2.1.5 автором долгое время не публиковалось, хотя и использовалось неявным образом при подготовке некоторых сообщений, напр., Штраус [14],[16]. Следствие 2.1.11 сформулировано в такой форме, по-видимому, впервые в Штраус [30], хотя в действительности оно было известно специалистам и раньше, поскольку тесно связано со свойствами J-ортонормированных систем. Поэтому поводу наряду с монографией Азизов, Иохвидов [3] см. заметку А.Гериш, В.Гериш [1]. Пример 7г-с.с. оператора с неограниченной спектральной функцией был приведен, напр., в статье Штраус [6], там же был предложен один из возможных способов регуляризации соответству ющего расходящегося интегрального представления. Укажем также, что Азизовым были получены предложение 2.1.12 и следствие 2.1.15 (Азизов, Иохвидов [3], гл.III, ел.5.5 и гл.1,теор.2.18). Результаты, изложенные в 1 U.2, за исключением предложения 2.1.16, принадлежат автору, при этом основная в этом разделе теорема 2.1.23 была сформулирована в заметке Штраус [26], а ее доказательство приведено в Штраус [30]. Основные результаты 2 принадлежат автору и были опубликованы в заметке Штраус [7]. Отметим, что автору не удалось обнаружить предложение 2.2.7 и замечание 2.2.8 в доступной ему литературе по теории интерполяционных пространств, хотя они и представляются (по оценке Е.М.Семенова) известными соответствующему кругу специалистов. Близкое по структуре предложение, но относящееся к пространству Ll+L, содержится в монографии Берг, Лёфстрем [1] (теор. 5.2.1). Результаты 3 принадлежат автору, при этом теорема 2.3.5 и предшествующие
