Содержание к диссертации
Введение
1. Предварительные сведения 9
1.1. Представления, ассоциированные с линейными S-эрмитовшш функционалами 11
1.2. Групповые-алгебры 14
2. Квадратичные мажоранты полуторалинеиных S-эрмитовых форм
2.1. Неотрицательные квадратичные формы 16
2.2. Комплексификацмя 24
2.3. Инвариантные мажоранты 26
2.4. Минимальные мажоранты 44
2.5. Представимые мажоранты 55
2.6. Задача Ідейна 72
3. Квадратичные состояния на -алгебрах Вейля
3.1. S-алгебра Вейля над (пре)симлектическим пространством и квазисвободные *-автоморфизмы 81
3.2. Состояния на S-алгебрах Вейля. Различные результаты 83
3.3. Квадратичные состояния. Чистые квадратичные состояния 91
Литература 104
- Представления, ассоциированные с линейными S-эрмитовшш функционалами
- Инвариантные мажоранты
- S-алгебра Вейля над (пре)симлектическим пространством и квазисвободные *-автоморфизмы
- Квадратичные состояния. Чистые квадратичные состояния
Представления, ассоциированные с линейными S-эрмитовшш функционалами
Обобщенная квадратичная мажоранта формы {,} - это объект, вообще говоря, более общей природы, чем максимальное неотрицательное подпространство, поэтому возникает вопрос: какое отношение имеют квадратичные мажоранты к максимальным неотрицательным подпространствам? ОТЕЄТ на этот вопрос дается в пункте 2.5. Представимые мажоранты, где устанавливается взаимно-однозначное соотношение между максимальными неотрицательными подпространствами и минимальными по отношению к некоторому частичному порядку мажорантами формы {,} . При этом оказывается верным следующее утверждение (теорема 2.5.1.); для того чтобы ограниченный {,1-унитарный оператор U обладал максимальным неотрицательным инвариантным подпространством, необходимо и достаточно, чтобы U обладал инвариантной минимальной мажорантой формы {., }
В теории устойчивости решений уравнений типа (I) ванную роль играет существование специального максимального неотрицательного инвариантного относительно действия некоторого двояко- У -несжимающего оператора Т (Ту,Ту}г{у,у}, {Т У Т у}- V y}) подпространства пространства b fr . Именно, требуется найти такое максимальное неотрицательное инвариантное подпространство L что (т.е. спектр сужения Т на L лежит вне открытого единичного круга). Для {}} -унитарного оператора Т удовлетворяющего дополнительному условию компактен, (9) эта задача была положительно решена М.Г. Крейном (1984 г.) [э\ . В настоящей работе будет показано, что при выполнении условия (9), эта задача имеет положительное решение вообще для любого двояко- "J -несжимающего оператора Т (теорема 2.6.1).
Вернемся к соотношению (5). Если вместо ifi взять линейное (пре)симплектическое пространство "Z j а вместо [t\ (пре)симплектическую (билинейную) форму б Z Z " IR , то тогда условие (5), иыееющее в данном случае вид является необходимым и достаточным [4,5] для того, чтобы квадратичная форма 2С была корреляционной функцией некоторого квазисвободного состояния на -алгебре канонических коммутационных соотношений в форме Вейля. В разделе 3. Квадратичные состояния на -алгебрах Вейля мы продолжим отобра-нениє "квадратичная мажоранта н-» состояние" на множество обобщенных квадратичных мажорант так, что образом квадратичной мажоранты снова будет состояние. Множество этих состо-- дій (квадратичныхстояний) будет обобщением множества квазисвободных состояний с нулевым средним. При этом окажется верным следующее утверждение (теорема 3.3.1): для того чтобы квадратичное состояние было чистым, необходимо и достаточно, чтобы ассоциированная с ним мажоранта формы б была минимальной. Последний результат вместе с вышеупомянутой теоремой 2.5.1 позволяет свести в так называемых регулярных пространствах задачу существования чистых квадратичных состояний, инвариантных относительно действия заданной группы квазисвободных -автоморфизмов -алгебры Вейля, к задаче существования специального максимального неотрицательного инвариантного относительно некоторой группы унитарных в индефинитной метрике операторов подпространства. (Это пространство $/%- с индефинитной метрикой {,} строится так : стандартная комплексификация Z, { , У := продолжение формы t6Tv) до полуторалинейной формы на Ъ\,). При этом построение чистого инвариантного квадратичного состояния является естественным обобщением процедуры диагонализации квазисвободных -автоморфизмов и квадратичных гамильтонианов, порождающих эти -автоморфизмы, посредством линейного преобразования Боголюбова (см. напр. 16,7,8]).
Поскольку линейное преобразование Боголюбова, диагона-лизующее произвольно заданный квазисвободный -автоморфизм, существует не всегда (например, автоморфизм масштабных преобразований недиагонализуем), естественно возникает задача существования чистых квадратичных инвариантных состояний. Пример 2.3.1 (вместе с теоремой 3.3.1) показывает, что в общем слу - 8 -чае эта задача имеет отрицательное решение. В случае т.н. регулярных пространств задача существования чистых квадратичных состояний, инвариантных относительно заданной коммутативной группы квазисвободных -автоморфизмов имеет (см. замечание 2.5.4) не менее общий характер, чем проблема Филлипса (см. напр. 19]).
Работа выполнена в НИИМ ВГУ и докладывалась на семинаре по математическим методам квантовой теории ИМ All УССР (доктор физ.-мат.наук. Фущич В.И.), 1981 г.; в УШ-й Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах, г. Рига, 1983 г.j в Воронежских зимних математических школах 1980 - 1983 г.г.; на семинаре по индефинитной метрике ВГУ (проф. Иохвидов И.О.), 1979 - 1984г.г., а также на научных сессиях Воронежского госуниверситета, 1979 - 1984 г.г., и конференциях молодых ученых НИИМ ВГУ, 1980 - 1983 г.г. Диссертация состоит из введения, трех разделов и списка литературы. Первый раздел - предварительные сведения. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [27 - 32] .
Диссертация выполнена под научным руководством профессора ра И.С.Иохвидова. Автор приносит ему свою глубокую признательность.
Инвариантные мажоранты
Из сделанных замечаний 1,2,3 непосредственно вытекает, что справедлива Пусть Q - непустое подмножество множества автоморфизмов (регулярной) пары Z } . Если S = t , то для существования С -инвариантной минимальной мажоранты формы f, ) необходимо и достаточно, чтобы множество операторов Gc (Ui U6G 1 обладало таким общим инвариантным максимальным неотрицательным (по отношению к форме S\,J« ) подпространством ь 9 для которого Cz L LX«U. .
Если Ka/R , S или если IK r , то для существования С -инвариантной минимальной мажоранты формы {, } необходимо и достаточно, чтобы множество операторов Q обладало общим инвариантным максимальным неотрицательным (по отношению к форме S{t ) ) подпространством.
Более того, элементы множеств указанных инвариантных минимальных мажорант находятся во взаимно-однозначном соответствии с элементами соответствующих множеств инвариантных максимальных неотрицательных подпространств.
Теорема I утверждает,в частности,следующее: в случае IK = С вопрос существования минимальной мажоранты, инвариантной относительно действия заданного коммутативного семейства автоморфизмов регулярной пары Z, {,} эквивалентен проблеме Филлипса (см., напр., [9] ). В работе автора[28] пока зано, что задача вычисления максимальных неотрицательных подпространств, инвариантных относительно действия заданного (коммутативного) семейства автоморфизмов регулярной пары Z { \ (при К — С ) сводится к такой же задаче для семейства операторов вида Q д. , где Q - некоторое вспомогательное (коммутативное) семейство автоморфизмов регулярного сим-плектического пространства.
В дополнение к теореме I приведем два предложения, касающиеся вопросов единственности инвариантных минимальных мажорант. Тогда, если Q - Q -инвариантная минимальная мажоранта, то О U - С0 - инвариантная минимальная мажоранта при любом U С «В частности, если Q - единственная С0 -инвариантная минимальная мажоранта, то Q -(единственная) Q -инвариантная минимальная мажоранта.
Так как минимальная мажоранта при любом (J Є Q «Со -инвариантность мажоранты Q и соотношения (48) дают Следовательно, -инвариантная минимальная ма жоранта. Значит, если единственная, то oU-Q при всех -инвариантная минимальная мажоранта. и существует единственная G с -инвариантная минимальная мажоранта формы единственная Q -инвариантная минимальная мажоранта формы f ) По лемме 2.2.1 q Cz - мажоранта формы {,} с 9 причем в силу тождества Cz = I и в силу минимальности мажоранты Q 3 С есть минимальная мажоранта. Следовательно, так как U C2=C2L) при всех U є G , то [ Cz - Q -инвариантная минимальная мажоранта. Единственность С приводит к равенству Ц С = С Тем самым (см.(2.2.6)), ( Z)(n. = C) и по лемме 2.2.1 С) f Z -минимальная мажоранта формы Но для любого линейного имеем Uc і Z r U (по определению оператора Uq; ). Следовательно, q і Z - С -инвариантная минимальная мажоранта. Наконец , пусть С0 есть Q -инвариантная минимальная мажоранта формы {,} . Тогда по лемме 2.2.1 С?о - минимальная мажоранта формы {, } .По определениям формы Qc и операторов U (см. (-2.2.1), (2.2.3)) G -инвариантность формы Q0 влечет Q 4 -инвариантность формы Q0(C Таким образом единственность Q в классе всех G c -инвариантных минимальных мажорант формы {гУа приводит к равенству С = q0(C и, значит, Ц Z - Со Г Z= Q . Тем самым предложение 2 доказано.
S-алгебра Вейля над (пре)симлектическим пространством и квазисвободные *-автоморфизмы
Продолжая (б) на весь линеал W по билинейности, а (7)-по антилинейности (эти продолжения единственны). Согласно [4] введенные операции снабжают линеал vVz_ структурой -алгебры над С с единицей fl" j обозначим эту -алгебру через W-2 g. и назовем -алгеброй Вейля над "ZS . Подчеркнем важность определений (б), (7), дав им специальное название - ККС (канонические коммутационные соотношения), и отметим, что в силу ККС элемент . унитарен при любом X е Z , а множество таких элементов - базис Хамеля в wCe .
Возвращаясь к определениям (4), (5), отметим следующие импликации ( см.И). которые прямо следуют из KKCj при этом элементы множества oLi . , . называются квазисвободными Р-автоморфизмами.
Наконец, сделаем одно замечание, которое будет систематически: использоваться в дальнейшем. Положим для любого непустого Lc 2 Пусть. L - еще и линеал. Тогда Vv g. -подалгебра -алгебры Wz g. , изоморфная -алгебре Вейля \л/ вкі х, а продолжение по линейности на ЕЄСЬ линеал 1 64L L отображения - Р (XeL) ,где n : L с Z. - тождественное вложение, является изоморфизмом -алгебры WL64LXL И -алгебры LQ D
Состояния на # -алгебрах Вейля. Различные результаты, В этом пункте описываются некоторые свойства состояний на -алгебрах Вейля, введенных в предыдущем пункте. Прежде всего приведем известное (см., напр., [4] или [25 , с. 99]) предложе ние, являющееся простым следствием ККС. Пусть f - линейный функционал на -алгебре Вейля \s/ . В этой ситуации f - поло жительный функционал тогда и только тогда, когда т.е. функционал f положителен лишь в том случае, когда отображение - положительно определенная функция двух аргументов. Для того, чтобы линейный положительный функционал Т на -алгебре W-,.. был состоянием, необходимо и достаточно - 84 -выполнения равенства т(0) = і п Из только что приведенного предложения I и из того, что (поточечное) произведение двух положительно определенных функций двух аргументов - снова положительно определенная функция двух аргументов [26 , с. 237І , следует, что справедливо D Отметим , что множество Wz 0 совпадает с множеством положительно определенных на -,+ функций; это вытекает непосредственно из предложения I. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как fA есть положительно опреде ленная на Z, + функция и м(0)-1 , имеем согласно [II, с. 308] VyeZ fy Mf-V), 1И(у) 1, откуда последовательно вытекает (I), (2), (3), (5). Наконец, нетрудно убедиться в том, что откуда непосредственно следует (6). D Для доказательства следующего приложения ч потребуются дополнительные определения. Пусть (О - состояние на -алгебре Бейля w-j , так что пара (W-z6)co to - предгильбертово пространство. В этом случае -/Ьц, обозначает пополнение линеала ( Wzg)u) по соответствующей норме П М со : при этом канонические продолжения нормы II Ню и внутреннего произведения ( , Хо на все пространство ъл ю обозначаются теми же символами II I co , -JMO Пусть С - некоторая подгруппа группы всех -автоморфизмов -алгебры W2 g , a U) - G -инвариантное - 86 ( Od- ОС для всех 0t Q ) состояние на "-алгебре \Л4 g -Согласно пункту I.I для любого ОС Q и любого унитарного элемента U -алгебры W2 g- отображения u ,Jiio (U): (Wzj- /со " \W2e-)io - унитарные операторы в предгильбертовом пространстве ( WZ&)GJ , 5 w . Тем самым существует единственное продолжение (по непрерывности) отображений -из &U)( U) до унитарных в гильбертовом пространстве V}u операторов dtw ЗЇ to ( U ) . В частности, так как множество является базисом Хамеля в и со стоит в силу ККС из унитарных элементов, формула задает единственное продолжение линейного отбражения си(А) (Wz е")со "" VWz iuj до линейного ограниченного оператора tflu (A)jjfow — кО со Следовательно, так как Я — - представление, отображение
Квадратичные состояния. Чистые квадратичные состояния
Пусть теперь f есть чистое состояние. Тогда вследствие (12) f является состоянием предположим, что число !\ и состояния Т , f на алгебре WL суть такие, что а в остальном произвольны. Из (12) и определения (10) следует, что \ , fг - состояния и что f - vf + (1- )f- , а из этого соотношения, из (19) и чистоты f вытекает, что Но тогда в силу (II) и s fі и,значит, f -чистое состояние. Теперь перейдем к доказательству второй части сформулированного предложения. Предположим состояние { чистым, рассмотрим "-алгебру WL + і 5 м полоким
Согласно (3.1.9) соотношение (20) задает для любого у L0 -автоморфизм -алгебры v/ L s который будет обозначен тем же символом oi(y) . Положим Q . = {&( у)1 V L0} . Из (9) следует, что VyeL0 Ue L Х(у) = , поэтому является не только чистым состоянием на -алгебре W ff С vvL + L ,- , но и С-инвариантным состоянием (точнее, Q Г IV -инвариантным состоянием), а значит, — экстремальным Q -инвариантным состоянием на -алгебре Wi r . Теперь заметим, что (14) эквивалентно такому соотношению: из которого следует, что существует единственный Q -инвариантный линейный функционал f на WL L в » продолжающий функционал f ; действительно, если f есть Q -инвариантное продолжение функционала f , то тогда в силу откуда вследствие (21) немедленно следует, что
Далее, из (23) и из уже доказанной части предложения 4 следует, что fi есть состояние на WL+L ff » а отсюда и из того, что "Г есть единственное С-инвариантное продолжение чистого состояния т до состояния на WL+L 6 следует, что fj есть экстремальное С-инвариантное со стояние. Действительно, если , где инвариантные состояния, -инвариантные состояния и Тем самым в силу экстремальности состояния f имеем ра -венства f = f .fWL є з Lff , и (в силу единственности продолжения f до (J-инвариантного состояния) Т - fjt = з Следовательно, \ - экстремальное Q-инвариантное состояние. Теперь положим для любых Используя ЖС и определение -автоморфизмов 0(У) ( V є L о ) нетрудно убедиться в том, что для любых К 4єи, ,V Le Zt2 L Но тогда из ККС, (24) и из экстремальной Q-инвариантности состояния Т4 следует, что соответствие . K eL ycLo є L (корректно определенное ввиду дизъюнкности (8)), порождает неприводимое (см. замечание I) -представление Si -алгебры Wz 5- , а из (25) и из замечания 1.1.1 вытекает, что это -представление унитарно эквивалентно -Я . Тем самым неприводимость -представления $ вле-чет неприводимость ЗТу и, значит (см. замечание I), t -чистое состояние. Введем обобщение понятия квазисвободного состояния (см. например, L41) с нулевым средним. Пусть oj - линейный функционал на -алгебре Вейля \\/гб« . Будем писать U) є Qz,+ если существует такая неотрицательная квадратичная форма QeQ+ , что со(х) = e q (V eZ) (I) (с дополнительным соглашением е = 0). Эта (единственная в силу определения (I)) форма С) в дальнейшем называется Формой, ассоциированной с. CJ є Qz + и обозначается через Qw . Кроме того полагается
