Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Оценка перестановок и оптимальный конус для перестановок функций из анизотропного пространства типа Кальдерона 21
1.1. Основные определения 21
1.1.1. Банахово функциональное пространство (б.ф.п.) . 22
1.1.2. Ассоциированное пространство 24
1.1.3. Перестановочно-инвариантное пространство 26
1.1.4. Анизотропное пространство типа Кальдерона 32
1.2. Оценка перестановок функций из п.и.п. Е 38
1.2.1. Оценка анизотропных наилучших приближений через частные 38
1.2.2. Одна вспомогательная оценка 42
1.2.3. Оценка перестановок через среднее наилучшее приближение 45
1.3. Оптимальный конус для перестановок функций из анизо тропного пространства типа Кальдерона 50
1.3.1. Оптимальный конус для перестановок 50
1.3.2. Критерий вложения пространств A(E,F) в перестановочно-инвариантное пространство 57
1.3.3. Вложение и поглощение 62
Глава 2. Оптимальное п.и.п. для анизотропного пространства типа Кальдерона 69
2.1. Ассоциированное п.и.п. для конуса монотонных функций 70
2.1.1. Ассоциированное пространство для множеств из Но 70
2.1.2. Пространства WF и K'Q . 75
2.1.3. Оптимальность пространства (М') для множеств М М0 76
2.2. Оптимальное п.и.п. для анизотропного пространства типа Кальдерона 81
2.2.1. Описание пространства Хо(Еп) 82
2.2.2. Эквивалентное описание пространства Хо(Кп) 86
2.3. Приложение для анизотропных обобщенных пространств Бесова 102
2.3.1. Ассоциированное пространство Q'F в случае пространств Бесова 102
2.3.2. Оптимальное п.и.п. в случае обощенных пространств Бесова 108
Глава 3. Характеризация пространств Липшица на языке гармонических продолжений 111
3.1. Характеризация пространств Липшица с помощью интеграла Пуассона 112
3.1Л. Интеграл Пуассона и некоторые его свойства 112
3.1.2. Характеризация пространств Ла с помощью интегра лов Пуассона (теорема М.Тэйблсона) 114
3.1.3. Определение интегралов и производных дробного порядка 115
3.1.4. Свойства дробных интегралов и производных 118
3.2. Дробное интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра 120
3.2.1. Модифицированное определение дробной производной 120
3.2.2. Интегралы, зависящие от параметра 124
3.2.3. Дробное интегрирование и дифференцирование сверток 126
3.3. Оценки для дробных производных и интегралов от ядра Пуассона 130
3.3.1. Поточечные оценки 130
3.3.2. Оценки Li-норм 131
3.4. Обобщение теоремы М.Тэйблсона на случай дробных производных 132
3.4.1. Дробное дифференцирование интеграла Пуассона . 132
3.4.2. Обобщение теоремы М.Тэйблсона 136
Литература 144
- Перестановочно-инвариантное пространство
- Оптимальный конус для перестановок функций из анизо тропного пространства типа Кальдерона
- Оптимальность пространства (М') для множеств М М0
- Определение интегралов и производных дробного порядка
Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Диссертационная работа посвящена теоремам вложения для анизотропных конструктивных пространств Кальдерона A(E,F), а также описанию пространств ЛипшицаЛо,(0 <-а ^,1) в терминах дробных производных гармонических продолжений. Теория вложения для пространств функций играет важную роль в математическом анализе и его приложениях в теории дифференциальных уравнений, а также в теории рядов Фурье и в теории приближения. Её возникновение связано с работами С.Л. Соболева в 30-е годы 20 века. Им были введены и изучены; пространства WL получена для них система теорем вложения и приложения в уравнениях математической физики. Расширение Соболевской классификации на дробные порядки дифференцирования было предпринято в работах Л.Н. Слободецкого, И; Стейна, П.И. Лизоркина и далее; Я. Петре, Г. Трибеля и его учеников, М. Тэйблсона и др. Оно привело к появлению пространств Соболева-Лиувилля, а затем и более общей шкалы пространств Лизоркина-Трибеля. Другое направление исследований связано с созданием СМ Никольским теории вложений пространств: гёльдеровского типа, образующих шкалу с непрерывно меняющимися анизотропными характеристиками гладкости. О.В. Бесов ввел и изучил более общие пространства BL(Kn)|" совпадающие при в = оо с пространством Никольского Нр(Шп). Эти пространства сыграли важную роль для окончательного решения задачи о следах функций из пространств Соболева, изученной в работах Н. Ароншайна, В.М. Бабича, О.В. Бесова, Э. Гальярдо, П.И. Лизоркина, И. Стейна, СВ. Успенского идр., что дало» толчок в теории обобщенных решений для краевых задач для операторов в частных производных. Шкала пространств Бесова естественным образом возникает также в теории приближений, в рядах Фурье, в теории интерполяции линейных операторов.
ем пространств «обобщенной гладкости», в которых осуществлен переход от числовых (векторных) параметров гладкости к обобщенным параметрам — функциям (вектор-функциям) или последовательностям, причем при минимальных априорных предположениях. Такие пространства естественным образом возникают в теории рядов Фурье и теории приближений. Важный вклад в развитие теории пространств обобщенной гладкости Нр внесли исследования Н.К. Бари, А: Зигмунда, СБ. Стеч-кина, П.Л. Ульянова, М.К. Потапова, ЭА Стороженко, П. Освальда, Ю.В. Нетрусова и др.
Развитие теории обобщенных пространств Бесова связано с работами О.В. Бесова, А.В. Бухвалова, М.З. Берколайко, М.Л. Гольдмана, Г.А Калябина, Ю.В. Нетрусова и др.
Потребности теории нелинейных краевых задач привели в работах1 Ж. Госсе, Т. Дональдсона, Н. Трудингера и др. к рассмотрению пространств дифференцируемых функций, построенных,на-основе.. более общей, чем Lp, метрики пространств Орлича. Дальнейшие обобщения, связанные с введением более общих метрик, изучались в книге О.В. Бесова, В.П.Ильина, СМ. Никольского1', в работах М.З. Берколайко, Ю.А Брудного, АВ. Бухвалова, К.К. Головкина, М.Л. Гольдмана, B.C. Климова и др. Параллельно шло бурное развитие общей теории идеальных (банаховых функциональных) и симметричных (перестановочно-инвариантных) пространств, связанные с именами таких известных специалистов, какС.Г. Крейн, АП. Кальдерон, Е.М. Семенов, П.П. Забрей-ко, Я. Петре, Е.И, Бережной, В.И. Овчинников и др. Синтез этих подходов привел к возникновению концепции пространств Кальдерона, введенных им в 1964 г. Развитию теории были посвящены исследования К.К. Головкина, Ю.А Брудного и В.К. Шалашова.
Ряд важных современных результатов теории вложений для Провесов О.Б., Ильич Б.П., Никольский СМ. Интегральные представления функций и теоремы вложения. - М: Наука, 1975. 480 С.
странств Кальдероиа получен в работах М.Л. Гольдмана2'3), М.Л. Гольд-мана и Р. Кермана4'.
Таким образом, целесообразно рассмотреть с единой точки зрения те или иные обобщения пространств гладких функций. В определенной степени этому вопросу отвечает конструкция анизотропных пространств Кальдерона, рассмотренных в диссертационной работе.
Самостоятельный интерес представляет характеризация пространств Липшица с помощью дробных производных интеграла Пуассона.
Цель работы
1). Получение необходимых и достаточных условий для вложения анизотропного пространства Кальдерона в перестановочно-инвариантное пространство (п.и.п.), без априорных предположений относительно последнего.
2). Описание оптимального (то есть, самого узкого) п.и.п. для анизотропных пространств Кальдерона и Бесова.
3). Описание пространств Липшица на языке дробных производных гармонических продолжений.
Основные результаты работы
1). Введены конструктивные анизотропные пространства Кальдерона A(E,F), F = {Fi,...,Fn} как продпространства в.п.и.п. Е = '(Rn)1 состоящие из функций / Є i?(Rn); для которых их частные наилучшие приближения по норме Е с помощью целых функций экспоненциального типа степени t по j'-ой переменной при-
2)Goldman M.L. On imbedding constructive and structural Lipschitz spaces in symmetric spaces.// Trudy Mat. Inst. Steklov. 1986. -V. 173. - P. 93-117.
3лГолъдман М.Л. О вложении разных метрик для пространств типа Кальдерона. // Тр. МИАН, 1988. - Т. 181. - С. 70-94.
*)ГалъдманМ.Л-, Керман Р.А. Об оптимальном вложении пространств Кальдерона и обобщенных пространств Бесова. //Тр. МИАН, 2003. - Т. 243. - С. 161-193.
надлежат (как функции от t) идеальным пространствам i7.(R+), (j = 1,..., п). Изучены общие свойства этих пространств.
2). Для пространства Кальдерона А(Е, F) установлены точные условия вложения в п.и.п. X = X(Rn).
3). Получено описание эквивалентного конуса для конуса убывающих перестановок функций из пространства Кальдерона h{E,F),
4). Построено оптимальное (самое узкое) п.и.п. Хд, в которое вложено пространство Кальдерона A{E,F); получены приложения этого результата для анизотропных обобщенных пространств Бесова.
5). Получена характеризация пространств Липшица Л0 на языке дробных производных от гармонических продолжений функций из пространств Ло-Научная новизна работы
Все результаты диссертации являются новыми. В ней впервые установлены анизотропные аналоги результатов по теории вложений изотропных пространств Кальдерона, недавно полученных в работах М.Л. Гольдмана и Р. Кермана. Кроме того, для оптимальных п.и.п. получены эквивалентные нормы, не имеющие аналогов в теории изотропных пространств Кальдерона. Характеризация пространств Липшица на языке дробных производных от интеграла Пуассона развивает предшествующие подходы М.Тэйблсона, связанные с использованием целочисленных производных.
Теоретическая и практическая ценность работы.
Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в исследованиях по теории функциональных пространств и теории приближений; которые проводятся в МГУ, Математи-
ческом институте РАН им. В.А Стеклова, НГУ, ЯрГу, С.-П.Гу, МИРЭА и др. центрах.
Методы исследования
Использование убывающих перестановок для характеризации интегральных свойств функций, методы теории двойственности для описания оптимальных п.и.п., точные оценки норм операторов и функционалов на конусах монотонных функций. Применяются свойства подпространств для п.и.п., состоящих из целых функций экспоненциального типа, и методы теории приближений с помощью целых функций, а также методы гармонического анализа, связанные с интегралом Пуассона. Используется аппарат дробных интегралов и производных Лиувилля.
Апробация работы
Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа: на семинаре под руководством д.ф.-м.н. проф. А.В. Арутюнова; Н1 на семинаре под руководством д. ф.-м.н. проф. М.Ф. Сухининаид.ф.-м.н. проф. А.В. Фаминского, на научном семинаре д.ф.-м.н. проф. Е.И. Бережного в Ярославском государственном университете.
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 3 печатные работы, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объём работы
Диссертация состоит из введения, вступительного параграфа О, трех глав и списка литературы из 32 наименований. Диссертация изложена на ... страницах машинописного текста.
Перестановочно-инвариантное пространство
Переходим теперь к одному из основных для дальнейшего понятий -понятию п.и.п. Классическим премером п.и.п являются пространства Lp, 1 р со. Как будет видно из дальнейшего, норму в п.и.п. Е — E(EP) можно задавать на положительной полуоси Ж+ с помощью конструкции убывающей перестановки (представление Люксембурга). Как мы уже отметили, для измеримой (по Лебегу) функции / : Rn — С ее неубывающая перестановка / есть неотрицательная непрерывная справа убывающая на [О, со) функция, равноизмеримая6 с /(ж): mes{r R" : \f(x)\ t\ = mes{s 0 : f(s) t\ , t 0, (слева стоит n — мерная, а справа — одномерная мера Лебега). / удобна тем, что ее лебегово множество имеет относительно простую геометрическую структуру (как правило оно есть интервал), в то время как лебегово множество функции / может иметь довольно сложную природу. Тем не менее, / «сохраняет» главные интегральные свойства функции /. Ясно, что для убывающей на R+ функции /,/ = / ; например, если измеримое множество е С К" такое, что rnes е = , то х — Х — X(Q Л Из определения / следует, что равноизмеримые функции имеют одинаковую перестановку. Перечислим некоторые основные свойства перестановок (о свойствах функций распределения и перестановок можно прочесть Вместе с перестановкой / также рассматривают, так называемую, вторую перестановку / , определяемую для любого t 0 формулой: Известно, что / — тоже убывающая функция; из ее определения сразу следует, что f (t) / , t 0. Но важным отличием функции / от / является то, что для / имеет место неравенство: (сравнить с (10)), которое можно обобщить и на счетное число слагаемых. По поводу других функций, аналогичных функции / , см. [6, конец раздела 4.2]. Определение 1Л.4. Пусть р — б.ф.н. Она называется перестановочно-инвариантной, если каковы бы ни были равнаизмеримые функции f и д, выполняется равенство: p{f) = р{д). Соответственно, пространство Е(р) соответствующее такой б.ф.н. называется перестановочно-инвариантным.
Для п.и.п. имеет место следующий результат: Предложение 1Л.З. (представление Люксембурга). Пусть р — перестановочно-инвариантная норма на (IR, v). Тогда существует перестановочно-инвариантная б.ф.н, р на ([0,oo),dt) такая, что V/ Є LQ{P) имеет место равенство: p(f) = p(f ) (здесь dt означает мера Лебега). Ассоциированное пространство к п.и.п. замечательно тем, что оно само является п.и.п. Более того, справедливо следующее утверждение: Предложение 1.1.4. (о двойственности). Пусть р — перестановочно-инвариантная б.ф.н. Тогда ассоциированная б.ф.н. р тоже является перестановочно-инвариантной, и справедливы формулы: Рассмотрим некоторые примеры идеальных и перестановочно-инвариантных пространств. Отметим, что многие факты из р-теории (1 р со) справедливы для произвольных п.и.п. В частности, п.и.п. полны и для них справедливо обобщенное неравенство Минковского для сумм и интегралов. 1). Поскольку /ip(G)= ll/l oo)» 1 Р оо, то Lp - п.и.п. называют еще пространством Марцинкевича, с нормой: /]л := supf1/,p/ (i) = \\f\\M ; при этом, при р = со обычно полагают Moo = LQO. Очевидно, что APtg и Мр являются п.и.п. Отметим еще, что А№ Lp. 3). Пространство Орлича (см. [17]) ф, где Ф — iV-функция, то есть, допускает представление: В качестве Ф можно взять, например, функцию Ф(і) = ё — 1, то есть tp(t) = 2fe 2; при Ф(і) = tp получим L$. = Lp; здесь годятся р: 0 р оо. Ясно, что Хф — п.и.п. Все эти пространства являются, как легко проверить, идеальными пространствами {см. свойства (2) перестановок). 4). Так как, вообще говоря (f (t))Pv(t) ф (/ ) ( ) то весовое пространство Lpy с нормой (v(x) 0): не является п.и.п. Оно заведомо является идеальным. Важное понятие, связанное с п.и.п., это понятие фундаментальной функции. Определение 1.1.5. Фундаментальной функцией п.и.п. Е = Е(Жп) называется функция: где mes е = t (равенство норм имеет место в силу равноизмеримо-сти функций хе и X(ot) mese = t, и того, что Е — п.и.п.). Из этого определения сразу следует, что ?Е(0) = 0; pE{t) f при t oo, ipE{t) 0. Имеет место соотношение: из которого следует, что — 4- при 11 оо. Таким образом, функция (pE{t) — квазивогнута. Исходя из определения второй перестановки, и пользуясь неравенством Гёльдера, а затем соотношением y E{t) pE,{t) — і, можно получить оценку: где (Лт?(і) := —j—тг — инволюция фундаментальной функции, которая тоже является квазивогнутой функцией. Функции (рЕ и fiE будут
Оптимальный конус для перестановок функций из анизо тропного пространства типа Кальдерона
Предметом наших исследований в этом пункте является конус Ко, введенный соотношениями (1.1.7)-(1.1.9): Как будет видно из дальнейшего, этот конус не только дает «точное» вложение пространств A(EtF) в п.и.п., но и точную поточечную оценку для перестановок функций из Л. Таким образом, функции из конуса Ко, в определенном смысле (см. определение (1.3.1)), являются эквивалентными перестановкам функций из Л. Если учесть еще, что структура множества довольно сложна, в то время как для Ко имеется эффективное описание в терминах оператора Я, то целесообразно привлечь наше внимание на конус Ко. Здесь мы будем пользоваться обозначениями из 1.1.4. В частности, a(t) — {ai(),... ,an(t)} — непрерывно-дифференцируемая векторная функция: а - — непрерывны, о (-)-О) = 0; atj(+oo) = со, otj{t) f; і Є М+. Начнем с простой, но полезной для дальнейшего, леммы. казательство. 1). Поскольку пространства ЙЯй{() расширяются с ростом , то для / Є Ша(Т) имеем, что %\t\{f)E = 0 при і Т; поэтому Тогда (см. (1.1.3)), в силу идеальности Ft имеем: то есть (см. (1.1.10)), эта оценка дает включение (1.3.1). 2). Пусть теперь / Л. Поскольку то суммируя no j эти неравенства, а затем, прибавляя \\f\\E, мы получим: з что и требовалось доказать. Лемма доказана. Теорема 1.3.1. Пусть Е — п.и.п. В приведенных выше обозначениях: 1). Для любой f A(E,F) найдется функция h Ко такая, что: 2). Пусть еще оператор (1.1.11) ограничен. Тогда для любой h Є Ко существует функция f Л (і?, F) такая, что Эта теорема показывает, что в самом деле конус Ко дает точную (по порядку) поточечную оценку для перестановок функций из Л вблизи t = 0. Доказательство. 1). Для / А(Е, F) обозначим g(t) = t(f)E — среднее наилучшее приближение, то есть среднюю функцию системы {Є( (/)#,. , щ (/)#}; (Ясно, что (1.3.6) имеет место и в случае, когда F — квазинормиро-ванное пространство). Значитд Є &F И тогда, положив h(t) = #[#]() имеем, что h Є ifo и то есть, верно (1.3.2). В то же время, теорема 1.2.1. дает оценку при что и требовалось. 2). В условиях второй части теоремы, для h Є KQ рассмотрим д из представления (1.1.8) и положим для х = (#ь..., жп) Є Еп: о J/- (fi,...,J n). Константа Co = Co(n) Є R+ выбрана так, что (1.3.8)
Функция fr(a;) есть «модельная» ц.ф.э.т. і/, то есть, ду ШУ. Кроме того, известно, что (см. [1]) По обобщенному неравенству Минковского, из (1.3.7) (с учетом (1.3.9)) получим: 00 СО / Л/ \\ ТО есть, Kog(A(t)) eUr\F, поэтому G[g(A(-))] F(T,оо) М- L T.oo), так что klU,T) U/UI%T)HF« Н%0Ї здесь учли, что e„{f)E / и неравенство (1.3.10). (1.3.11) (1.3.12) Теорема 1.3.1. доказана. Заметим, что при доказательстве второй части этой теорема, мы существенно опирались на ограниченность оператора G. 1.3.2. Критерий вложения пространств A(E,F) в перестановочно-инвариантное пространство Всюду в дальнейшем обозначим 1/Л(Т) = ао 0. Во избежание недоразумений, для заданного п.и.п. X = Х(К") обозначим че рез Х(Ш+) - X соответствующее ему пространство (перестановочно-инвариантное!) на Е+; то есть, если рх — б.ф.н. порождающая X (ее, по-прежнему, будем обозначать 11 11 »)= IHIJV напомним, что эта норма будет перестановочно-инвариантна), то при этом будем использовать стандартное обозначение PJtiR (/ ) = И/ ІІЛЇЮ а если бласть определения ясна из контекста, то она будет опускаться в обозначениях. Таким образом, Вышесказанное основано на предложении 1.1.3. — представлении Люксембурга. Основным вопросом, рассмотренным в этом пункте, является установление необходимых и достаточных условий для вложения где X — п.и.п., без априорных предположений относительно X. Найденные условия отражают локальное (в окрестности нуля) и глобальное поведение перестановок функций из А.(Е, F). Именно, справедливо следующее утверждение. Теорема 1.3.2. Пусть X — Х(ШП) - п.и.п. Тогда: 1). Вложение (L3.13) имеет место при выполнении следующих уело 2). Условие (1.3.14) необходимо для вложения (1.3.13). В предположении, что оператор G (1.1.11) ограничен, для (1.3.13) необходимо и условие (1.3.15). Замечание. 1). Из (1.1.6)-(1.1.9) видим, что вложение (1.3.15) эквивалентно условию ограниченности оператора типа Харди Н : Qf — Х(0, ао). Действительно, 2). Локальные свойства перестановок функций f Є A(E,F) (поведение f (t) в окрестности нуля) определяются конусом Ко, то есть, парой {E,F} — это есть условие (1.3.15). Поведение f (t) при t, отделенных от нуля, не зависит от характеристики гладкости (то есть, от F; оно определяется внутренней характеристикой» пространства Е — это есть условие (1.3.14). В работе [1] доказано, в частности, что условие (1.3.14) эквивалентно следующему: Следствие 1.3.1. Включение A(EtF) -4 Ьоо(Мп) зквивалентно включению KQ - LQO{0,Q Q) (в предположении, что G ограничен).
Оптимальность пространства (М') для множеств М М0
Поскольку конусы йр и Ко принадлежат семейству Мо (см. пример к концу первой главы), то из леммы 2.1.1. следует, что (2.1.5) суть п.и.п. Эти пространства будут играть важную роль при построении оптимального п.и.п. Хо для вложения (1.3.13). Выясним взаимосвязь меж ду Qp и К 0. Для этого введем функцию: для ф Є Lli(K+) № 2Л.З. Оптимальность пространства (М ) для множеств М Є to В этом разделе мы, пользуясь свойством рефлексивности дважды ассоциированного пространства, покажем, что пространство (М1) = М" яв ляется самым узким п.и.п., содержащим множество М Є Мо- Разумеется, важным для нас случаем является тот, когда М — KQ, поскольку KQ « MQ — множество перестановок функций из пространства А{Е, F). Лемма 2.1.2. Введем для М Є Мо пространство Хм := {М )1 — ассоциированное к М . Тогда Хм есть оптимальное п.и.п. для вложения где X — Х(0,а) — п.и.п.. Это означает, что вложение (2.1.8) верно при X = Хм Щ что если оно имеет место для некоторого п.и.п. Х} то При этом, норма оператора вложение в (2.1.9) не б x то есть (2-1л0)-Повторяя предыдущее рассуждение с (2.1.10), вместо М м- X, мы получим, что М" вложено в X" — X, и норма оператора вложения не превосходит Д то есть, Лемма доказана. Следующий результат показывает, насколько «подобны» эквивалентные множества из Но. Оказывается, что натянутые (на такие множества) минимальные п.и.п. совпадают. Лемма 2.1.3. Пусть Мі, Мі Є Но и Мі - Мі, причем Сіх,0сл є 2 где Сі Є [0, оо) — из определения 1.3.1. Пусть Х{ = М", і = 1,2. Тогда Хі -$ Х2, причем Следствие. Ьш б лелше Мі RJ Мг, то Хі — Х2, с эквивалентностпъю норм. в последнем неравенстве мы учли оценку (2.1.2) и однородность функционала РЫг Итак, мы установили, что для любой s М % справедливо: то есть, Но тогда рассуждения, аналогичные тем, которые приводились в пункте 2) (доказательства леммы 2.1.2.), завершают доказательство леммы 2.1.3. Далее, если М\ « Л/2, то лемма 2.1.3. дает Х\ -4 Х% -» Хи то есть, Х\ — Х 2, и, кроме того, имеем что обеспечивает эквивалентность норм. Применительно к конусу KQ, лемма 2.1.2. дает, что KQ - KQ, причем KQ есть оптимальное п,и.п., содержащее KQ. Интересно сопоставить этот факт с теоремой 1.3.2, (см. условие (1.3.15)). С другой стороны, лемма 2.1.3. показывает, что M(f — KQ (CM. (1.3.18)), что в сочетании с (1.3.19) показывает, что именно Щ является оптимальным п.и.п., содержащим множество Таким образом, для множества М з (перестановок функций из Л) мы построим по конусу KQ самое узкое п.и.п. KQ, содержащее множество MQ. Ввиду критерия вложения (теорема ольше, чем в (2.1.8). Доказательство. То, что Хм — XM{$,OL) есть п.и.п., следует из того, что М — п.и.п., а Хм — ассоциированное пространство для Ы (см. пункт 1.1.2). 1). Сначала покажем, что М ч- Хм- Для h Є М имеем: мы учли здесь неравенство (2.L3). Тем самым мы получили включение Л/ М Хм 2). Пусть теперь X — п.и.п., для которого верно (2.1.8). Это включение влечет включение с той же нормой оператора вложения «7[ 1 /. - А В самом деле,
Тогда, для любой f Є X имеем (учесть h — h ): о Итак, V/ є X , /м, A\\f\\xn A - \\J\\M. x то есть (2-1л0)-Повторяя предыдущее рассуждение с (2.1.10), вместо М м- X, мы получим, что М" вложено в X" — X, и норма оператора вложения не превосходит Д то есть, Лемма доказана. Следующий результат показывает, насколько «подобны» эквивалентные множества из Но. Оказывается, что натянутые (на такие множества) минимальные п.и.п. совпадают. Лемма 2.1.3. Пусть Мі, Мі Є Но и Мі - Мі, причем Сіх,0сл є 2 где Сі Є [0, оо) — из определения 1.3.1. Пусть Х{ = М", і = 1,2. Тогда Хі -$ Х2, причем Следствие. Ьш б лелше Мі RJ Мг, то Хі — Х2, с эквивалентностпъю норм. в последнем неравенстве мы учли оценку (2.1.2) и однородность функционала РЫг Итак, мы установили, что для любой s М % справедливо: то есть, Но тогда рассуждения, аналогичные тем, которые приводились в пункте 2) (доказательства леммы 2.1.2.), завершают доказательство леммы 2.1.3. Далее, если М\ « Л/2, то лемма 2.1.3. дает Х\ -4 Х% -» Хи то есть, Х\ — Х 2, и, кроме того, имеем что обеспечивает эквивалентность норм. Применительно к конусу KQ, лемма 2.1.2. дает, что KQ - KQ, причем KQ есть оптимальное п,и.п., содержащее KQ. Интересно сопоставить этот факт с теоремой 1.3.2, (см. условие (1.3.15)). С другой стороны, лемма 2.1.3. показывает, что M(f — KQ (CM. (1.3.18)), что в сочетании с (1.3.19) показывает, что именно Щ является оптимальным п.и.п., содержащим множество Таким образом, для множества М з (перестановок функций из Л) мы построим по конусу KQ самое узкое п.и.п. KQ, содержащее множество MQ. Ввиду критерия вложения (теорема 1.З.2.), представляется целесообразным пользоваться именно пространством KQ ДЛЯ построения оптимального п.и.п. вложения (1.3.13). Именно этому вопросу посвящен следующий раздел. Для описания оптимального п.и.п. XQ — Хо(К") имеются два существенно разных случая, а именно: простой вид: норма в нем определяется стандартным образом: его фундаментальная функция, очевидно, равна: В случае 2) будем считать, что (iE(+0) /ІВ(+ОО) (так как при jUg(-bO) — fir (+Qo) имеем, что f/ — О є Q F, и мы окажемся в случае 1)), 1б)См. начало раздела 1.3.2, стр. 57.
Определение интегралов и производных дробного порядка
Переходим теперь к определению лиувиллевского интегродифферен цирования. 3.1.3. Определение интегралов и производных дробного порядка Определение 3.1.2. Пусть 0 j3 1 и функция f задана на Ж1. Если существует конечный интеграл то он называется дробным интегралом порядка /3 от /, Определение 3.1.3. Пусть О /? 1 и функция f задана на Ж1. Если существует конечный интеграл то он называется дробной производной порядка /3 от f. Замечания. 1). Дробный интеграл существует, например, для функции из Ьр(Ш1) при 1 р 0 1, 0 ft 1. 2), Что касается существования дробной производной D&, то она определена на функциях из пространства прісчед Лід того, чтобы f(x) 1 (L\), 0 /3 \, необходимо и достаточно, чтобы о и через ЛС Е1) обозначено пространство абсолютно непрерывных на R1 функции (см. (22, гл. 2, б, п. 3]). 3). Существует целый ряд различных (вообще говоря не эквивалентных) определений дробных производных и интегралов. Подробное изложение этого вопроса можно найти в [Ш]. Для наших целей выбранный вариант (определения 3.1.2.-3.1.3. так называемых дробных производных и интегралов Лиувилля) удобен тем, что при этом справедлива обычная (то есть, как для целых производных) формула дифференцирования свертки (см. ниже лемму 3.2.7.). 4). Всюду в дальнейшем, 0 /? 1. Нам также будет удобно пользоваться единообразным обозначением для дробных интегралов и про 5). іЯсли 0 — целое число, то под дробной производной порядка 0 будем понимать обычное дифференцирование: Примеры. Вычислим дробную производную (и интеграл) для экспоненциальной и степенной функций. После замены t — x s в (3.1.3), (3.1.4) получим: Более сложные примеры можно найти в \22, с. ЦЩ. ЗЛА. Свойства дробных интегралов и производных 1). Действие оператора I& (0 /3 1) в пространстве Lp описывается теоремой Харди-Литтлвуда: Пусть 1 р, q оо, (3 0. Оператор 1$ ограничен из ЬР{ШУ) в ЬЯ(Ш.1) тогда и только тогда, когда О 0 1, 1 р 0 1 и = (1-/))-1 (см. [22, с. 91]) 2). Операторы Р обладают полугрупповым свойством. Здесь используем обозначения (3.1.5) для производных. Чтоюы сформулировать упомянутое свойство, нам понадобится обозначение, введенное ниже.
Пусть действительные числа а і,... ,а„,огп+і такие, что существует только одно о,, для которого otj = тіп(а;ь... 7ап+і)- Тогда положим ccn+i — 0 и введем функцию справедлива следующая теорема: Пусть а и (3 такие числа, что определена функция гп{а, р , а + /3). Тогда в классе функций jmiaAa+P) . +1)-2 1 р оо , имеет место формула Если жеои такие действительные числа, что определена функция т(а, ct + /3), тогда в классе функций имеет место формула где М = m(af -а,/?, —р\ a + fi, —а — 0); а — произвольная точка. р(Коо);М7) = {$ Ф- измерима на (а, со) и [ Lp((OO0);№) ooj , где необходимо и достаточно, чтобы Отметим один существенный для нас недостаток определения 3.1.2., связанный с формулой (3.1.6): эта формула не имеет место при р. 1 — /3, в частности, если С — постоянная, то D&C не существует при /? 0 .Такая ситуация возникает, если мы рассматриваем интеграл Пуассона для / = С: при этом U(x,y) Ру С = С и D U(x, у) не существует. Это обстояте-лоьство не даст возможности перенести теорему М.Тэйблсона на случай дробных производных без существенных дополнительных предположений относительно функции /. В связи с этим мы дадим другое определение дробной производной, свободное от этого недостатка. Определение 3.2.1. Пусть 0 (3 1 и функция f непрерывно дифференцируема на R1. Если существует конечный интеграл где Il @ — конструкция (3.1.3), то его будем называть модифицированной дробной производной порядка /3 от функции f. То обстоятельство, что при таком определении при 0 /3 1 содержится требование об абсолютной непрерывности функции / (слишком сильное с точки зрения гладкости) для нашей целей не является существенным недостатком, поскольку мы юудем применять его к бесконечно дифференцируемым функциям вида Ру /. Конечно, для «хороших» функций определения 3.1.2. и 3.2.1. совпадают, как это вытекает из следующего утверждения. Лемма 3.2.1. Пусть 0 р 1, функция f абсолютно непрерывна на любом отрезке [а, 6] С (0, со) (или (—со, со),), причем: Значит Следствие. Пусть 0 /? 1. 7Ъг ?а Доказательство. Достаточно проверить, что для ядра Пуассона выполняются условия (3.2.1). 00 В силу оценок (3.1.1) имеем (Напомним, что для ) (ж_/ ) справедлива такая же формула, но только при fi 1 — /?, как показывает (3.1.6)). Доказательство. Из определения 3.2.1. следует, что Если = 0, то очевидно, что /) (- ) = 0. Если же /х ф 0, то Применим формулу для дробного интеграла из примера 3), (с параметрами 1 — /?, pi + 1, причем на ft накладывается условие \i + 1 1 — /3, то есть її Лемма доказана.
